सामान्य कार्य

स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में, एक फ़ंक्शन f: क्रमसूचक संख्या → Ord को 'सामान्य' (या 'सामान्य फ़ंक्शन') कहा जाता है यदि और केवल यदि यह निरंतर फ़ंक्शन है #आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के बीच निरंतर फ़ंक्शन (ऑर्डर टोपोलॉजी के संबंध में) और मोनोटोनिक फ़ंक्शन। यह निम्नलिखित दो स्थितियों के बराबर है:

1. प्रत्येक सीमा क्रमसूचक γ के लिए (अर्थात γ न तो शून्य है और न ही उत्तराधिकारी है), यह मामला है कि f(γ) = सर्वोच्च {f(ν) : ν < γ}।
2. सभी ऑर्डिनल्स α < β के लिए, यह मामला है कि f(α) < f(β)।

उदाहरण

एक साधारण सामान्य फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है f(α) = 1 + α (क्रमिक अंकगणित देखें)। लेकिन f(α) = α + 1 सामान्य नहीं है क्योंकि यह किसी भी सीमा क्रम पर निरंतर नहीं है; अर्थात्, एक-बिंदु खुले सेट की उलटी छवि {λ + 1} सेट है {λ}, जो तब खुला नहीं होता जब λ एक सीमा क्रमसूचक हो। यदि β एक निश्चित क्रमसूचक है, तो कार्य f(α) = β + α, f(α) = β × α (के लिए β ≥ 1), और f(α) = β^α (के लिए β ≥ 2) सभी सामान्य हैं.

सामान्य कार्यों के अधिक महत्वपूर्ण उदाहरण एलेफ़ संख्याओं द्वारा दिए गए हैं $f(\alpha )=\aleph _{\alpha }$, जो क्रमसूचक और कार्डिनल संख्याओं को और बेथ संख्याओं से जोड़ता है $f(\alpha )=\beth _{\alpha }$.

गुण

यदि f सामान्य है, तो किसी भी क्रमिक α के लिए,

f(α) ≥ α.

प्रमाण: यदि नहीं, तो γ न्यूनतम चुनें जैसे कि f(γ) < γ। चूँकि f सख्ती से नीरस रूप से बढ़ रहा है, f(f(γ)) <'f(γ), γ' की न्यूनतमता का खंडन करता है .

इसके अलावा, ऑर्डिनल्स के किसी भी गैर-रिक्त सेट एस के लिए, हमारे पास है

एफ(सुपर एस) = सुपर एफ(एस)।

प्रमाण: ≥ एफ की एकरसता और सर्वोच्च की परिभाषा से आता है। ≤ के लिए, δ = su S सेट करें और तीन मामलों पर विचार करें:

• यदि δ = 0, तो S = {0} और su f(S) = f(0);
• यदि δ = ν + 1 एक उत्तराधिकारी क्रमसूचक है, तो S में ν < s के साथ s मौजूद है, ताकि δ ≤ एस. इसलिए, f(δ) ≤ f(s), जिसका अर्थ है f(δ) ≤ super f(S ');
• यदि δ एक गैर-शून्य सीमा है, तो ν < δ, और S में एक s चुनें, जैसे कि ν < s (संभव) चूंकि δ = समर्थन एस)। इसलिए, f(ν) < f(s) ताकि f(ν) < super f(' 'एस), उपज एफ(δ) = समर्थन {एफ(ν) : ν < δ} ≤ समर्थन एफ (एस), इच्छानुसार।

प्रत्येक सामान्य फलन f में मनमाने ढंग से बड़े निश्चित बिंदु होते हैं; प्रमाण के लिए सामान्य कार्यों के लिए निश्चित-बिंदु प्रमेयिका देखें। कोई एक सामान्य फ़ंक्शन f बना सकता है: Ord → Ord, जिसे f का व्युत्पन्न कहा जाता है, जैसे कि f' (α) α है- एफ का वां निश्चित बिंदु। सामान्य कार्यों के पदानुक्रम के लिए, वेब्लेन फ़ंक्शन देखें।

संदर्भ

• Johnstone, Peter (1987), Notes on Logic and Set Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33692-5.