तर्कसंगत कार्य

For the use in automata theory, see Finite-state transducer. For the use in monoid theory, see Rational function (monoid).

गणित में, एक परिमेय फलन कोई भी फलन (गणित) होता है जिसे एक परिमेय भिन्न द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जो कि एक बीजगणितीय भिन्न है, जिसमें अंश और हर दोनों बहुपद होते हैं। यह आवश्यक नहीं है कि बहुपदों के गुणांक परिमेय संख्याएँ हों; उन्हें किसी भी क्षेत्र (गणित) क में लिया जा सकता है। इस मामले में, एक परिमेय फलन और परिमेय अंश के ऊपर की बात करता है। चर (गणित) के मान किसी भी क्षेत्र L में K वाले किसी भी क्षेत्र में लिए जा सकते हैं। फिर फ़ंक्शन का डोमेन (फ़ंक्शन) वेरिएबल्स के मानों का सेट है जिसके लिए हर शून्य नहीं है, और कोडोमेन 'एल' है।

एक क्षेत्र 'के' पर तर्कसंगत कार्यों का सेट एक क्षेत्र है, 'के' पर बहुपद कार्यों के अंगूठी (गणित) के अंशों का क्षेत्र ।

परिभाषाएँ

एक समारोह $f(x)$ एक तर्कसंगत कार्य कहा जाता है अगर और केवल अगर इसे फॉर्म में लिखा जा सकता है

$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$

कहां $P\,$ और $Q\,$ के बहुपद कार्य हैं $x\,$ और $Q\,$ शून्य कार्य नहीं है। के एक समारोह का डोमेन $f\,$ के सभी मानों का समुच्चय है $x\,$ जिसके लिए भाजक $Q(x)\,$ शून्य नहीं है।

हालांकि, यदि $\textstyle P$ और $\textstyle Q$ एक गैर-निरंतर बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है $\textstyle R$, फिर सेटिंग $\textstyle P=P_{1}R$ और $\textstyle Q=Q_{1}R$ एक तर्कसंगत कार्य करता है

$f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},$

जिसका डोमेन इससे बड़ा हो सकता है $f(x)$, और के बराबर है $f(x)$ के डोमेन पर $f(x).$ पहचानने का एक सामान्य प्रयोग है $f(x)$ और $f_{1}(x)$, अर्थात निरंतरता द्वारा के डोमेन का विस्तार करना है $f(x)$ उसके वहां के लिए $f_{1}(x).$ वास्तव में, एक परिमेय अंश को बहुपदों के अंशों के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ दो भिन्न होते हैं ${\frac {A(x)}{B(x)}}$ और ${\frac {C(x)}{D(x)}}$ समकक्ष माने जाते हैं यदि $A(x)D(x)=B(x)C(x)$. इस मामले में ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ के बराबर है ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}$.

एक उचित परिमेय फलन एक परिमेय फलन होता है जिसमें बहुपद की घात होती है $P(x)$ की डिग्री से कम है $Q(x)$ और दोनों वास्तविक बहुपद हैं, जिन्हें अंश#उचित और अनुचित भिन्नों के सादृश्य द्वारा नामित किया गया है $\mathbb {Q}$.

डिग्री

तर्कसंगत कार्य की डिग्री की कई गैर समकक्ष परिभाषाएं हैं।

आमतौर पर, तर्कसंगत फ़ंक्शन की डिग्री इसके घटक बहुपदों के बहुपद की अधिकतम डिग्री होती है P और Q, जब अंश को निम्नतम शब्दों में घटाया जाता है। यदि की डिग्री f है d, फिर समीकरण

$f(z)=w\,$

है d में विशिष्ट समाधान z के कुछ मूल्यों को छोड़कर w, महत्वपूर्ण मान कहलाते हैं, जहां दो या दो से अधिक समाधान मेल खाते हैं या जहां कुछ समाधान अनंत पर बिंदु को अस्वीकार कर दिया जाता है (अर्थात, जब समाशोधन हर होने के बाद समीकरण की डिग्री कम हो जाती है)।

जटिल संख्या गुणांक के मामले में, डिग्री एक के साथ एक परिमेय फलन एक मोबियस परिवर्तन है।

एक परिमेय फलन के ग्राफ की बीजगणितीय विविधता की डिग्री ऊपर परिभाषित डिग्री नहीं है: यह अंश की अधिकतम डिग्री है और एक से अधिक भाजक की डिग्री है।

कुछ संदर्भों में, जैसे कि स्पर्शोन्मुख विश्लेषण में, एक परिमेय फलन की डिग्री अंश और भाजक की डिग्री के बीच का अंतर है। नेटवर्क संश्लेषण और नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट) में, डिग्री दो का एक तर्कसंगत कार्य (अर्थात, डिग्री के दो बहुपदों का अनुपात अधिकतम दो पर) अक्सर कहा जाता हैbiquadratic function.

उदाहरण

Examples of rational functions

Rational function of degree 3, with a graph of degree 3: $y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$

Rational function of degree 2, with a graph of degree 3: $y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$

तर्कसंगत कार्य

$f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$

पर परिभाषित नहीं है

$x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.$

यह स्पर्शोन्मुख है ${\tfrac {x}{2}}$ जैसा $x\to \infty .$ तर्कसंगत कार्य

$f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}$

सभी वास्तविक संख्या ओं के लिए परिभाषित किया गया है, लेकिन सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिए नहीं, क्योंकि यदि x का वर्गमूल है $-1$ (यानी काल्पनिक इकाई या इसका नकारात्मक), तो औपचारिक मूल्यांकन शून्य से विभाजन की ओर ले जाएगा:

$f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},$

जो अपरिभाषित है।

एक अचर फलन जैसे f(x) = π एक परिमेय फलन है क्योंकि अचर बहुपद होते हैं। फ़ंक्शन स्वयं परिमेय है, भले ही f(x) का मान (गणित) सभी x के लिए अपरिमेय हो।

हर बहुपद समारोह $f(x)=P(x)$ के साथ एक तर्कसंगत कार्य है $Q(x)=1.$ एक फ़ंक्शन जिसे इस रूप में नहीं लिखा जा सकता है, जैसे $f(x)=\sin(x),$ तर्कसंगत कार्य नहीं है। हालांकि, विशेषण तर्कहीन आमतौर पर कार्यों के लिए उपयोग नहीं किया जाता है।

तर्कसंगत कार्य $f(x)={\tfrac {x}{x}}$ 0 को छोड़कर सभी x के लिए 1 के बराबर है, जहाँ एक हटाने योग्य विलक्षणता है। दो परिमेय फलनों का योग, गुणनफल, या भागफल (शून्य बहुपद द्वारा विभाजन को छोड़कर) अपने आप में एक परिमेय फलन है। हालाँकि, मानक रूप में कमी की प्रक्रिया अनजाने में ऐसी विलक्षणताओं को हटाने का परिणाम हो सकती है जब तक कि देखभाल नहीं की जाती। तुल्यता वर्ग के रूप में तर्कसंगत कार्यों की परिभाषा का उपयोग करना इसके आसपास हो जाता है, क्योंकि x/x 1/1 के बराबर है।

टेलर श्रृंखला

किसी भी तर्कसंगत फ़ंक्शन की टेलर श्रृंखला के गुणांक एक पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करते हैं, जो अनिश्चित गुणांक वाले टेलर श्रृंखला के लिए तर्कसंगत फ़ंक्शन को समान करके और भाजक को साफ़ करने के बाद समान शर्तों को एकत्रित करके पाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए,

${\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.$

हर से गुणा करना और बांटना,

$1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$

$1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.$

x की समान शक्तियाँ प्राप्त करने के लिए योगों के सूचकांकों को समायोजित करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

$1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.$

समान पदों का संयोजन देता है

$1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.$

चूंकि यह मूल टेलर श्रृंखला के अभिसरण के दायरे में सभी एक्स के लिए सही है, हम निम्नानुसार गणना कर सकते हैं। चूँकि बायीं ओर का अचर पद दायीं ओर के अचर पद के बराबर होना चाहिए, यह उसी का अनुसरण करता है

$a_{0}={\frac {1}{2}}.$

फिर, चूंकि बाईं ओर x की कोई शक्ति नहीं है, दाईं ओर के सभी गुणांक शून्य होने चाहिए, जिससे यह अनुसरण करता है

$a_{1}={\frac {1}{4}}$

$a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.$

इसके विपरीत, कोई भी अनुक्रम जो एक रेखीय पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है, टेलर श्रृंखला के गुणांक के रूप में उपयोग किए जाने पर एक तर्कसंगत कार्य निर्धारित करता है। यह इस तरह की पुनरावृत्तियों को हल करने में उपयोगी है, क्योंकि आंशिक अंश का उपयोग करके हम किसी भी उचित परिमेय फलन को गुणनखंडों के योग के रूप में लिख सकते हैं 1 / (ax + b) और टेलर गुणांकों के लिए एक स्पष्ट सूत्र देते हुए, ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में इनका विस्तार करें; यह फ़ंक्शन उत्पन्न करने का तरीका है।

सार बीजगणित और ज्यामितीय धारणा

सार बीजगणित में एक बहुपद की अवधारणा को औपचारिक अभिव्यक्तियों को शामिल करने के लिए विस्तारित किया जाता है जिसमें बहुपद के गुणांक किसी भी क्षेत्र (गणित) से लिए जा सकते हैं। इस सेटिंग में एक फ़ील्ड F और कुछ अनिश्चित X दिया गया है, एक 'तर्कसंगत व्यंजक' बहुपद वलय F[X] के अंशों के क्षेत्र का कोई भी तत्व है। किसी भी परिमेय व्यंजक को Q ≠ 0 वाले दो बहुपदों P/Q के भागफल के रूप में लिखा जा सकता है, हालांकि यह निरूपण अद्वितीय नहीं है। बहुपद P, Q, R, और S के लिए P/Q, R/S के समतुल्य है, जब PS = QR है। हालाँकि, चूंकि F [X] एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन है, इसलिए किसी भी तर्कसंगत अभिव्यक्ति P / Q के लिए P और Q बहुपदों के साथ सबसे कम डिग्री और Q को मोनिक बहुपद के रूप में चुना जाता है। यह समान है कि कैसे पूर्णांकों के एक अंश (गणित) को हमेशा सामान्य कारकों को रद्द करके सबसे कम शब्दों में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है।

परिमेय व्यंजकों के क्षेत्र को F(X) निरूपित किया जाता है। कहा जाता है कि इस क्षेत्र को एफ (एक पारलौकिक तत्व ) एक्स द्वारा (एक क्षेत्र के रूप में) उत्पन्न किया जाता है, क्योंकि एफ (एक्स) में एफ और तत्व एक्स दोनों से युक्त कोई उचित उपक्षेत्र नहीं होता है।

जटिल तर्कसंगत कार्य

<गैलरी कैप्शन = जूलिया तर्कसंगत मानचित्रों के लिए सेट करती है> जूलिया समुच्चय f(z)=1 over az5+z3+bz.png| ${\frac {1}{az^{5}+z^{3}+bz}}$ जूलिया समुच्चय f(z)=1 over z3+z*(-3-3*I).png|${\frac {1}{z^{3}+z(-3-3i)}}$ जूलिया ने f(z)=(z2+a) ओवर (z2+b) a=-0.2+0.7i , b= के लिए सेट किया0.917.png|${\frac {z^{2}-0.2+0.7i}{z^{2}+0.917}}$ जूलिया f(z)= के लिए निर्धारित हैz2 over (z9-z+0.025).png| ${\frac {z^{2}}{z^{9}-z+0.025}}$ </गैलरी> जटिल विश्लेषण में, एक तर्कसंगत कार्य

$f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}$

जटिल गुणांक वाले दो बहुपदों का अनुपात है, जहां Q शून्य बहुपद नहीं है और P और Q कोई सामान्य कारक नहीं है (यह टालता है f अनिश्चित मान 0/0 लेना)।

का डोमेन f जटिल संख्याओं का समूह है जैसे कि $Q(z)\neq 0$. प्रत्येक तर्कसंगत फ़ंक्शन को स्वाभाविक रूप से एक ऐसे फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है जिसका डोमेन और रेंज संपूर्ण रीमैन क्षेत्र (जटिल प्रोजेक्टिव लाइन) है।

तर्कसंगत कार्य मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन के प्रतिनिधि उदाहरण हैं।

तर्कसंगत कार्यों का परिवर्तन (नक्शे) रीमैन क्षेत्र पर असतत गतिशील प्रणाली बनाता है।

एक बीजगणितीय विविधता पर एक परिमेय फलन की धारणा

Main article: Function field of an algebraic variety

बहुपद वलय की तरह # कई चरों में बहुपद वलय, परिमेय व्यंजकों को n अनिश्चित X के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है₁,..., एक्स_n, F[X के भिन्नों के क्षेत्र को लेकर₁,..., एक्स_n], जिसे F(X₁,..., एक्स_n).

तर्कसंगत फलन के अमूर्त विचार का एक विस्तारित संस्करण बीजगणितीय ज्यामिति में प्रयोग किया जाता है। वहाँ एक बीजगणितीय विविधता V का कार्य क्षेत्र V के समन्वय वलय के अंशों के क्षेत्र के रूप में बनता है (अधिक सटीक रूप से कहा जाता है, V में एक ज़रिस्की-घने ​​एफ़िन ओपन सेट का)। इसके तत्वों f को गैर-खाली खुले सेट U पर बीजगणितीय ज्यामिति के अर्थ में नियमित कार्यों के रूप में माना जाता है, और इसे प्रक्षेप्य रेखा के आकारिकी के रूप में भी देखा जा सकता है।

अनुप्रयोग

तर्कसंगत कार्यों का उपयोग संख्यात्मक विश्लेषण में प्रक्षेप और कार्यों के सन्निकटन के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए हेनरी पाडे द्वारा पेश किए गए पैड सन्निकटन। तर्कसंगत कार्यों के संदर्भ में सन्निकटन कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली और अन्य संख्यात्मक सॉफ्टवेयर के लिए उपयुक्त हैं। बहुपदों की तरह, उनका सीधा मूल्यांकन किया जा सकता है, और साथ ही वे बहुपदों की तुलना में अधिक विविध व्यवहार व्यक्त करते हैं। तर्कसंगत कार्यों का उपयोग विज्ञान और इंजीनियरिंग में अधिक जटिल समीकरणों को अनुमानित या मॉडल करने के लिए किया जाता है, जिसमें भौतिकी में क्षेत्र और बल, विश्लेषणात्मक रसायन विज्ञान में स्पेक्ट्रोस्कोपी, जैव रसायन में एंजाइम कैनेटीक्स, इलेक्ट्रॉनिक सर्किटरी, वायुगतिकी, विवो में दवा सांद्रता, परमाणुओं और अणुओं के लिए तरंग कार्य, प्रकाशिकी शामिल हैं। और छवि संकल्प, और ध्वनिकी और ध्वनि में सुधार करने के लिए फोटोग्राफी.

संकेत प्रसंस्करण में, लाप्लास रूपांतरण (निरंतर सिस्टम के लिए) या z-परिणत (असतत-समय सिस्टम के लिए) आम तौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली (फ़िल्टर) के आवेग प्रतिक्रिया के साथ अनंत आवेग प्रतिक्रिया जटिल संख्याओं पर तर्कसंगत कार्य हैं। .

यह भी देखें

• अंशों का क्षेत्र
• आंशिक अंश अपघटन
• एकीकरण में आंशिक अंश
• एक बीजगणितीय विविधता का कार्य क्षेत्र
• बीजगणितीय अंश – तर्कसंगत कार्यों का एक सामान्यीकरण जो पूर्णांक जड़ों को लेने की अनुमति देता है

संदर्भ

• "Rational function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007), "Section 3.4. Rational Function Interpolation and Extrapolation", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

बाहरी कड़ियाँ

• Dynamic visualization of rational functions with JSXGraphश्रेणी:योजनाओं की रूपरेखाश्रेणी: मेरोमॉर्फिक कार्यतर्कसंगत कार्य