निहित कार्य

गणित में, एक अन्तर्निहित समीकरण रूप का एक संबंध (गणित) है $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,$ कहां R कई चरों (अक्सर बहुपद) का एक फलन (गणित) है। उदाहरण के लिए, यूनिट सर्कल का अंतर्निहित समीकरण है $x^{2}+y^{2}-1=0.$ एक अंतर्निहित फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन (गणित) है जिसे एक अंतर्निहित समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है, जो फ़ंक्शन के मान (गणित) के रूप में माने जाने वाले चरों में से एक से संबंधित है, अन्य को फ़ंक्शन के तर्क के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरण $x^{2}+y^{2}-1=0$ यूनिट सर्कल का परिभाषित करता है y के एक निहित कार्य के रूप में x यदि −1 ≤ x ≤ 1, और y गैर-नकारात्मक मूल्यों तक सीमित है।

निहित कार्य प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके तहत कुछ प्रकार के निहित समीकरण निहित कार्यों को परिभाषित करते हैं, अर्थात् वे जो शून्य बहुविकल्पीय कार्यों के बराबर प्राप्त होते हैं जो लगातार भिन्न होते हैं।

उदाहरण

उलटा कार्य

निहित कार्य का एक सामान्य प्रकार एक व्युत्क्रम कार्य है। सभी कार्यों में एक अद्वितीय उलटा कार्य नहीं होता है। यदि g का एक कार्य है x जिसका एक अनूठा व्युत्क्रम है, फिर का प्रतिलोम कार्य g, बुलाया g⁻¹, समीकरण का हल (गणित) देने वाला अनूठा फलन है

$y=g(x)$

के लिए x के अनुसार y. यह समाधान तब के रूप में लिखा जा सकता है

$x=g^{-1}(y)\,.$

परिभाषित g⁻¹ के विपरीत के रूप में g एक निहित परिभाषा है। कुछ कार्यों के लिए g, g⁻¹(y) एक बंद रूप अभिव्यक्ति के रूप में स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि g(x) = 2x − 1, तब g⁻¹(y) = 1/2(y + 1). हालांकि, यह अक्सर संभव नहीं होता है, या केवल एक नया अंकन शुरू करने से होता है (जैसा कि नीचे उत्पाद लॉग उदाहरण में है)।

सहज रूप से, एक उलटा कार्य प्राप्त किया जाता है g आश्रित और स्वतंत्र चरों की भूमिकाओं को आपस में बदलकर।

उदाहरण: उत्पाद लॉग एक अंतर्निहित कार्य है जो समाधान देता है x समीकरण का y − xe^x = 0.

बीजगणितीय कार्य

Main article: Algebraic function

एक बीजगणितीय फलन एक ऐसा फलन है जो बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है जिसके गुणांक स्वयं बहुपद होते हैं। उदाहरण के लिए, एक चर में एक बीजगणितीय फ़ंक्शन x का समाधान देता है y एक समीकरण का

$a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,$

जहां गुणांक a_i(x) के बहुपद कार्य हैं x. इस बीजगणितीय फलन को हल समीकरण के दाहिने पक्ष के रूप में लिखा जा सकता है y = f(x). ऐसे लिखा, f एक बहु-मूल्यवान कार्य है | बहु-मूल्यवान अंतर्निहित कार्य।

बीजगणितीय कार्य गणितीय विश्लेषण और बीजगणितीय ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। बीजगणितीय फलन का एक सरल उदाहरण इकाई वृत्त समीकरण के बाईं ओर दिया गया है:

$x^{2}+y^{2}-1=0\,.$

के लिए हल करना y एक स्पष्ट समाधान देता है:

$y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.$

लेकिन इस स्पष्ट समाधान को निर्दिष्ट किए बिना भी, यूनिट सर्कल समीकरण के अंतर्निहित समाधान को संदर्भित करना संभव है y = f(x), कहां f बहु-मूल्यवान अंतर्निहित कार्य है।

जबकि समीकरणों के लिए स्पष्ट समाधान पाया जा सकता है जो द्विघात समीकरण, घन समीकरण और चतुर्थक समीकरण हैं y, समान रूप से क्विंटिक समीकरण और उच्च डिग्री समीकरणों के लिए सही नहीं है, जैसे

$y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.$

फिर भी, कोई अभी भी अंतर्निहित समाधान का उल्लेख कर सकता है y = f(x) बहु-मूल्यवान अंतर्निहित कार्य शामिल है f.

चेतावनी

हर समीकरण नहीं R(x, y) = 0 एक एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ दर्शाता है, सर्कल समीकरण एक प्रमुख उदाहरण है। एक अन्य उदाहरण द्वारा दिया गया एक अंतर्निहित कार्य है x − C(y) = 0 कहां C एक घन बहुपद है जिसके ग्राफ में एक कूबड़ है। इस प्रकार, एक अंतर्निहित फ़ंक्शन के लिए एक वास्तविक (एकल-मूल्यवान) फ़ंक्शन होने के लिए ग्राफ़ के केवल भाग का उपयोग करना आवश्यक हो सकता है। एक अंतर्निहित फ़ंक्शन को कभी-कभी किसी भाग पर ज़ूम इन करने के बाद ही एक सच्चे फ़ंक्शन के रूप में सफलतापूर्वक परिभाषित किया जा सकता है x-अक्ष और कुछ अवांछित कार्यात्मक शाखाओं को काट देना। फिर एक समीकरण व्यक्त करना y अन्य चरों के निहित कार्य के रूप में लिखा जा सकता है।

परिभाषित समीकरण R(x, y) = 0 अन्य विकृति भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, समीकरण x = 0 एक समारोह का मतलब नहीं है f(x) के लिए समाधान दे रहा है y बिलकुल; यह एक खड़ी रेखा है। इस तरह की समस्या से बचने के लिए, स्वीकार्य प्रकार के समीकरणों या फ़ंक्शन डोमेन पर अक्सर विभिन्न बाधाएं लगाई जाती हैं। अंतर्निहित कार्य प्रमेय इस प्रकार के विकृतियों से निपटने का एक समान तरीका प्रदान करता है।

निहित भेदभाव

कैलकुलस में, अन्तर्निहित विभेदीकरण नामक एक विधि निहित रूप से परिभाषित कार्यों को अलग करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करती है।

एक अंतर्निहित कार्य को अलग करने के लिए y(x), एक समीकरण द्वारा परिभाषित R(x, y) = 0, इसे स्पष्ट रूप से हल करना आम तौर पर संभव नहीं है y और फिर अंतर करें। इसके बजाय, कोई कुल भेदभाव कर सकता है R(x, y) = 0 इसके संबंध में x और y और उसके बाद परिणामी रैखिक समीकरण को हल करें dy/dx के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए x और y. यहां तक ​​​​कि जब मूल समीकरण को स्पष्ट रूप से हल करना संभव हो, तो कुल भिन्नता से उत्पन्न सूत्र सामान्य रूप से बहुत सरल और उपयोग में आसान होता है।

उदाहरण

उदाहरण 1

विचार करना

$y+x+5=0\,.$

इस समीकरण को हल करना आसान है y, दे रहा है

$y=-x-5\,,$

जहां दाहिनी ओर कार्य का स्पष्ट रूप है y(x). विभेदीकरण तब देता है dy/dx = −1.

वैकल्पिक रूप से, कोई मूल समीकरण को पूरी तरह से अलग कर सकता है:

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}$

के लिए हल करना dy/dx देता है

${\frac {dy}{dx}}=-1\,,$

वही उत्तर जो पहले प्राप्त हुआ था।

उदाहरण 2

निहित फ़ंक्शन का एक उदाहरण जिसके लिए स्पष्ट भेदभाव का उपयोग करने की तुलना में अंतर्निहित भेदभाव आसान है, वह फ़ंक्शन है y(x) समीकरण द्वारा परिभाषित

$x^{4}+2y^{2}=8\,.$

इसके संबंध में स्पष्ट रूप से अंतर करने के लिए x, पहले पाना होता है

$y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,$

और फिर इस फ़ंक्शन को अलग करें। यह दो डेरिवेटिव बनाता है: एक के लिए y ≥ 0 और दूसरे के लिए y < 0.

मूल समीकरण को स्पष्ट रूप से अलग करना काफी आसान है:

$4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,$

दे रही है

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.$

उदाहरण 3

अक्सर, स्पष्ट रूप से हल करना मुश्किल या असंभव होता है y, और अन्तर्निहित विभेदीकरण ही विभेदीकरण का एकमात्र व्यवहार्य तरीका है। एक उदाहरण समीकरण है

$y^{5}-y=x\,.$

बीजीय व्यंजक असम्भव है y स्पष्ट रूप से एक कार्य के रूप में x, और इसलिए कोई नहीं मिल सकता है dy/dx स्पष्ट भेदभाव द्वारा। निहित विधि का उपयोग करना, dy/dx प्राप्त करने के लिए समीकरण को अवकलित करके प्राप्त किया जा सकता है

$5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,$

कहां dx/dx = 1. फैक्टरिंग आउट dy/dx पता चलता है कि

$\left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,$

जो परिणाम देता है

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,$

जिसके लिए परिभाषित किया गया है

$y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.$

अंतर्निहित कार्य के व्युत्पन्न के लिए सामान्य सूत्र

यदि R(x, y) = 0, अंतर्निहित कार्य का व्युत्पन्न y(x) द्वारा दिया गया है

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,$

कहां R_x और R_y के आंशिक डेरिवेटिव का संकेत दें R इसके संबंध में x और y.

उपरोक्त सूत्र कुल व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए चेन नियम#Multivariable_case का उपयोग करने से आता है - के संबंध में x - दोनों पक्षों का R(x, y) = 0:

${\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,$

इसलिए

${\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,$

जिसे हल करने पर dy/dx, उपरोक्त अभिव्यक्ति देता है।

अंतर्निहित कार्य प्रमेय

यूनिट सर्कल को स्पष्ट रूप से बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (x, y) संतुष्टि देने वाला x² + y² = 1. बिंदु के आसपास A, y एक निहित कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है y(x). (कई मामलों के विपरीत, यहां इस कार्य को स्पष्ट किया जा सकता है g₁(x) = √1 − x².) बिंदु के आसपास ऐसा कोई कार्य मौजूद नहीं है B, जहां स्पर्शरेखा स्थान लंबवत है।

Main article: Implicit function theorem

होने देना R(x, y) दो चरों का एक अवकलनीय फलन हो, और (a, b) वास्तविक संख्याओं का एक ऐसा युग्म बनिए R(a, b) = 0. यदि ∂R/∂y ≠ 0, तब R(x, y) = 0 एक अंतर्निहित कार्य को परिभाषित करता है जो कुछ छोटे पर्याप्त पड़ोस (गणित) में भिन्न होता है (a, b); दूसरे शब्दों में, एक भिन्न कार्य है f के कुछ पड़ोस में परिभाषित और अलग-अलग है a, ऐसा है कि R(x, f(x)) = 0 के लिए x इस पड़ोस में।

शर्त ∂R/∂y ≠ 0 मतलब कि (a, b) निहित समीकरण के निहित वक्र के वक्र का एक विलक्षण बिंदु है R(x, y) = 0 जहां स्पर्शरेखा लंबवत नहीं है।

कम तकनीकी भाषा में, अंतर्निहित कार्य मौजूद हैं और इन्हें अलग किया जा सकता है, यदि वक्र में एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा है।

बीजगणितीय ज्यामिति में

प्रपत्र के संबंध (गणित) पर विचार करें R(x₁, …, x_n) = 0, कहां R एक बहुभिन्नरूपी बहुपद है। इस संबंध को संतुष्ट करने वाले चरों के मूल्यों के समुच्चय को एक अंतर्निहित वक्र कहा जाता है यदि n = 2 और एक निहित सतह अगर n = 3. निहित समीकरण बीजगणितीय ज्यामिति का आधार हैं, जिनके अध्ययन के मूल विषय कई अंतर्निहित समीकरणों के एक साथ समाधान हैं जिनके बाएँ हाथ बहुपद हैं। समकालिक समाधानों के इन समुच्चयों को affine बीजगणितीय समुच्चय कहा जाता है।

अंतर समीकरणों में

अंतर समीकरणों के समाधान आम तौर पर एक अंतर्निहित कार्य द्वारा व्यक्त किए जाते हैं।

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग

प्रतिस्थापन की सीमांत दर

अर्थशास्त्र में, जब स्तर निर्धारित होता है R(x, y) = 0 मात्राओं के लिए एक उदासीनता वक्र है x और y दो वस्तुओं का उपभोग, अंतर्निहित व्युत्पन्न का पूर्ण मूल्य dy/dx की व्याख्या दो वस्तुओं के प्रतिस्थापन की सीमांत दर के रूप में की जाती है: कितना अधिक y एक इकाई के नुकसान के प्रति उदासीन होने के लिए किसी को प्राप्त करना चाहिएx.

तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर

इसी तरह, कभी-कभी स्तर सेट होता है R(L, K) उपयोग की गई मात्राओं के विभिन्न संयोजनों को दर्शाने वाला एक आइसोक्वेंट है L श्रम और K भौतिक पूंजी का प्रत्येक जिसके परिणामस्वरूप कुछ अच्छे के उत्पादन की समान मात्रा का उत्पादन होगा। इस मामले में अंतर्निहित व्युत्पन्न का पूर्ण मूल्य dK/dL की व्याख्या उत्पादन के दो कारकों के बीच तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर के रूप में की जाती है: श्रम की एक कम इकाई के साथ उत्पादन की समान मात्रा का उत्पादन करने के लिए फर्म को कितनी अधिक पूंजी का उपयोग करना चाहिए।

अनुकूलन

Main article: Mathematical economics § Mathematical optimization

अक्सर आर्थिक सिद्धांत में, कुछ फ़ंक्शन जैसे उपयोगिता फ़ंक्शन या लाभ (अर्थशास्त्र) फ़ंक्शन को पसंद वेक्टर के संबंध में अधिकतम किया जाना है x भले ही उद्देश्य कार्य किसी विशिष्ट कार्यात्मक रूप तक सीमित न हो। अंतर्निहित कार्य प्रमेय गारंटी देता है कि अनुकूलन की पहली-क्रम की स्थिति इष्टतम वेक्टर के प्रत्येक तत्व के लिए एक अंतर्निहित कार्य परिभाषित करती है x* पसंद वेक्टर का x. जब लाभ को अधिकतम किया जा रहा है, आम तौर पर परिणामी अंतर्निहित कार्य श्रम मांग समारोह और विभिन्न वस्तुओं की आपूर्ति कार्य होते हैं। जब उपयोगिता को अधिकतम किया जा रहा है, तो आम तौर पर परिणामी अंतर्निहित कार्य श्रम आपूर्ति कार्य और विभिन्न वस्तुओं के लिए मांग कार्य होते हैं।

इसके अलावा, समस्या के पैरामीटर # गणितीय कार्यों का प्रभाव x* - निहित फ़ंक्शन के आंशिक डेरिवेटिव - को पहले-क्रम की स्थितियों की प्रणाली के कुल डेरिवेटिव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो फ़ंक्शन के डिफरेंशियल का उपयोग करके पाया जाता है #कई चर में अंतर।

यह भी देखें

• अंतर्निहित वक्र
• कार्यात्मक समीकरण
• लेवल सेट
  • समोच्च रेखा
  • आइसोसर्फेस
• प्रतिस्थापन के सीमांत दर
• अंतर्निहित कार्य प्रमेय
• लघुगणकीय विभेदन
• बहुभुज
• संबंधित दरें

आगे की पढाई

• Binmore, K. G. (1983). "Implicit Functions". Calculus. New York: Cambridge University Press. pp. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Boston: McGraw-Hill. pp. 223–228. ISBN 0-07-054235-X.
• Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). "Implicit Functions and Their Derivatives". Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton. pp. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

बाहरी कड़ियाँ

• Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: "Implicit Differentiation, What's Going on Here?". 3Blue1Brown. Essence of Calculus. May 3, 2017 – via YouTube.