डिस्क एकीकरण

डिस्क इंटीग्रेशन, जिसे समाकलन गणित में डिस्क विधि के रूप में भी जाना जाता है, एक ठोस-राज्य सामग्री की क्रांति के ठोस की मात्रा की गणना करने की एक विधि है जब अभिन्न एक अक्ष के साथ क्रांति की धुरी के समानांतर होती है। यह विधि परिणामी त्रि-आयामी आकार को अलग-अलग त्रिज्या और असीम मोटाई की डिस्क की अनंत संख्या के ढेर के रूप में प्रस्तुत करती है। क्रांतियों के खोखले ठोस प्राप्त करने के लिए डिस्क (वॉशर विधि) के बजाय रिंगों के साथ समान सिद्धांतों का उपयोग करना भी संभव है। यह खोल एकीकरण के विपरीत है, जो क्रांति के अक्ष के लंबवत अक्ष के साथ एकीकृत होता है।

परिभाषा

का कार्य x

यदि परिक्रमण किया जाने वाला कार्य एक कार्य है x, निम्नलिखित अभिन्न क्रांति के ठोस की मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है:

$\pi \int _{a}^{b}R(x)^{2}\,dx$

कहाँ R(x) फ़ंक्शन और रोटेशन की धुरी के बीच की दूरी है। यह तभी काम करता है जब रोटेशन की धुरी क्षैतिज हो (उदाहरण: y = 3 या कोई अन्य स्थिर)।

का कार्य y

यदि परिक्रमण किया जाने वाला कार्य एक कार्य है y, निम्नलिखित समाकल परिक्रमण के ठोस का आयतन प्राप्त करेगा:

$\pi \int _{c}^{d}R(y)^{2}\,dy$

कहाँ R(y) फ़ंक्शन और रोटेशन की धुरी के बीच की दूरी है। यह तभी काम करता है जब रोटेशन की धुरी लंबवत हो (उदाहरण: x = 4 या कोई अन्य स्थिर)।

वॉशर विधि

परिक्रमण का एक खोखला ठोस ("वॉशर विधि") प्राप्त करने के लिए, परिक्रमण के आंतरिक ठोस का आयतन लेना और इसे परिक्रमण के बाहरी ठोस के आयतन से घटाना होगा। इसकी गणना निम्न के समान एकल अभिन्न में की जा सकती है:

$\pi \int _{a}^{b}\left(R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\right)\,dx$

कहाँ R_O(x) वह कार्य है जो रोटेशन की धुरी से सबसे दूर है और R_I(x) वह कार्य है जो रोटेशन के अक्ष के सबसे निकट है। उदाहरण के लिए, अगला आंकड़ा रोटेशन को दिखाता है {{mvar|x}वर्गमूल और द्विघात वक्रों के बीच परिबद्ध लाल पत्ती का }-अक्ष:

एक्स-अक्ष के बारे में रोटेशन

इस ठोस का आयतन है:

$\pi \int _{0}^{1}\left(\left({\sqrt {x}}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right)\,dx\,.$

किसी को सावधानी बरतनी चाहिए कि दो कार्यों के अंतर के वर्ग का मूल्यांकन न करें, बल्कि दो कार्यों के वर्गों के अंतर का मूल्यांकन करें।

$R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\neq \left(R_{\mathrm {O} }(x)-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}$

(यह सूत्र केवल क्रांतियों के बारे में काम करता है x-एक्सिस।)

किसी भी क्षैतिज अक्ष के बारे में घुमाने के लिए, बस उस अक्ष से प्रत्येक सूत्र से घटाएं। अगर h एक क्षैतिज अक्ष का मान है, तो आयतन बराबर होता है

$\pi \int _{a}^{b}\left(\left(h-R_{\mathrm {O} }(x)\right)^{2}-\left(h-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}\right)\,dx\,.$

उदाहरण के लिए, के बीच के क्षेत्र को घुमाने के लिए y = −2x + x² और y = x अक्ष के साथ y = 4, कोई इस प्रकार एकीकृत करेगा:

$\pi \int _{0}^{3}\left(\left(4-\left(-2x+x^{2}\right)\right)^{2}-(4-x)^{2}\right)\,dx\,.$

एकीकरण की सीमाएँ पहले समीकरण के शून्य से दूसरे को घटाती हैं। ध्यान दें कि किसी अन्य अक्ष के साथ एकीकरण करते समय x, फ़ंक्शन का ग्राफ़ जो रोटेशन के अक्ष से सबसे दूर है वह स्पष्ट नहीं हो सकता है। पिछले उदाहरण में, भले ही का ग्राफ y = x, x-अक्ष के संबंध में, के ग्राफ़ से और ऊपर है y = −2x + x², फ़ंक्शन के रोटेशन के अक्ष के संबंध में y = x आंतरिक कार्य है: इसका ग्राफ करीब है y = 4 या उदाहरण में घूर्णन के अक्ष का समीकरण।

दोनों पर एक ही विचार लागू किया जा सकता है y-अक्ष और कोई अन्य ऊर्ध्वाधर अक्ष। इसके लिए प्रत्येक समीकरण को हल करना होगा x उन्हें एकीकरण सूत्र में सम्मिलित करने से पहले।

यह भी देखें

• क्रांति का ठोस
• शैल एकीकरण

संदर्भ

• "Volumes of Solids of Revolution". CliffsNotes.com. Retrieved July 8, 2014.
• Weisstein, Eric W. "Method of Disks". MathWorld.
• Frank Ayres, Elliott Mendelson. Schaum's Outlines: Calculus. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. pp. 244–248 (online copy, p. 244, at Google Books. Retrieved July 12, 2013.)