स्टोकेस्टिक कैलकुलस

स्टोकेस्टिक कैलकुलस गणित की एक शाखा है जो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं पर काम करती है। यह स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के संबंध में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के अभिन्न अंग के लिए एकीकरण के एक सुसंगत सिद्धांत को परिभाषित करने की अनुमति देता है। यह क्षेत्र द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान जापानी लोगों के गणितज्ञ कियोसी इतो द्वारा बनाया और शुरू किया गया था।

सबसे प्रसिद्ध स्टोकेस्टिक प्रक्रिया, जिस पर स्टोकेस्टिक कैलकुलस लागू किया जाता है, वह वीनर प्रक्रिया (नॉर्बर्ट वीनर के सम्मान में नामित) है, जिसका उपयोग एक प्रकार कि गति को मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है, जैसा कि 1900 में लुई बैचलियर और 1905 में अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा वर्णित और अन्य भौतिक प्रसार प्रक्रियाओं के लिए किया जाता है। यादृच्छिक बलों के अधीन कणों के स्थान में। 1970 के दशक से, स्टॉक की कीमतों और बांड ब्याज दरों के समय के विकास को मॉडल करने के लिए वित्तीय गणित और अर्थशास्त्र में वीनर प्रक्रिया को व्यापक रूप से लागू किया गया है।

स्टोकेस्टिक कैलकुलस के मुख्य स्वाद इटो कैलकुलस और इसके परिवर्तनशील रिश्तेदार मॉडल कैलकुलस हैं। तकनीकी कारणों से इटो इंटीग्रल प्रक्रियाओं के सामान्य वर्गों के लिए सबसे उपयोगी है, लेकिन संबंधित स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल अक्सर समस्या निर्माण (विशेषकर इंजीनियरिंग विषयों में) में उपयोगी होता है। स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल को इटो इंटीग्रल के संदर्भ में आसानी से व्यक्त किया जा सकता है। स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल का मुख्य लाभ यह है कि यह सामान्य श्रृंखला नियम का पालन करता है और इसलिए इसे इटो लेम्मा की आवश्यकता नहीं होती है। यह समस्याओं को समन्वय प्रणाली के अपरिवर्तनीय रूप में व्यक्त करने में सक्षम बनाता है, जो आर के अलावा कई गुना पर स्टोकेस्टिक कैलकुलस विकसित करते समय अमूल्य है।ⁿ. वर्चस्वित अभिसरण प्रमेय स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल के लिए मान्य नहीं है; परिणामस्वरूप, इटो फॉर्म में इंटीग्रल्स को दोबारा व्यक्त किए बिना परिणामों को साबित करना बहुत मुश्किल है।

== यह अभिन्न == है

Main article: Itô calculus

इटो इंटीग्रल स्टोकेस्टिक कैलकुलस के अध्ययन का केंद्र है। अभिन्न $\int H\,dX$ सेमीमार्टिंगेल्स एक्स और स्थानीय रूप से बंधे 'अनुमानित' प्रक्रिया एच के लिए परिभाषित किया गया है।

स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल

Main article: Stratonovich integral

सेमीमार्टिंगेल का स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल $X$ एक अन्य सेमीमार्टिंगेल Y के विरुद्ध इसे Itô इंटीग्रल के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है

$\int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},$

जहां [एक्स, वाई]_t^c X के सतत भागों के द्विघात भिन्नता को दर्शाता है और Y. वैकल्पिक संकेतन

$\int _{0}^{t}X_{s}\,\partial Y_{s}$

इसका उपयोग स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल को दर्शाने के लिए भी किया जाता है।

अनुप्रयोग

स्टोकेस्टिक कैलकुलस का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग गणितीय वित्त में है, जिसमें संपत्ति की कीमतों को अक्सर स्टोकेस्टिक अंतर समीकरणों का पालन करने के लिए माना जाता है। उदाहरण के लिए, ब्लैक-स्कोल्स मॉडल के मूल्य विकल्प इस प्रकार हैं जैसे कि वे एक ज्यामितीय ब्राउनियन गति का अनुसरण करते हैं, जो स्टोकेस्टिक कैलकुलस को लागू करने के अवसरों और जोखिमों को दर्शाता है।

यह भी देखें

• यह कैलकुलस है
• यह लेम्मा है
• स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल
• सेमीमार्टिंगेल
• वीनर प्रक्रिया

संदर्भ

• Fima C Klebaner, 2012, Introduction to Stochastic Calculus with Application (3rd Edition). World Scientific Publishing, ISBN 9781848168312
• Szabados, T. S.; Székely, B. Z. (2008). "Stochastic Integration Based on Simple, Symmetric Random Walks". Journal of Theoretical Probability. 22: 203. arXiv:0712.3908. doi:10.1007/s10959-007-0140-8. Preprint