अनुक्रमित परिवार

Not to be confused with Family of sets.

गणित में, एक परिवार, या अनुक्रमित परिवार, अनौपचारिक रूप से वस्तुओं का एक संग्रह है, प्रत्येक कुछ सूचकांक सेट से एक सूचकांक के साथ जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों के सेट द्वारा अनुक्रमित वास्तविक संख्याओं का एक परिवार, वास्तविक संख्याओं का एक संग्रह है, जहां एक दिया गया फ़ंक्शन अनुक्रमण के रूप में प्रत्येक पूर्णांक (संभवतः समान) के लिए एक वास्तविक संख्या का चयन करता है।

अधिक औपचारिक रूप से, एक अनुक्रमित परिवार एक फ़ंक्शन के डोमेन के साथ एक फ़ंक्शन (गणित) है $I$ और छवि (गणित) $X$ (अर्थात, अनुक्रमित परिवार और गणितीय कार्य तकनीकी रूप से समान हैं, केवल दृष्टिकोण भिन्न हैं)। अक्सर सेट का तत्व (गणित)। $X$ उन्हें परिवार बनाने वाला कहा जाता है। इस दृष्टि से, अनुक्रमित परिवारों की व्याख्या कार्यों के बजाय अनुक्रमित तत्वों के संग्रह के रूप में की जाती है। सेट $I$ परिवार का सूचकांक सेट कहा जाता है, और $X$ अनुक्रमित सेट है.

अनुक्रम प्राकृतिक संख्या द्वारा अनुक्रमित एक प्रकार के परिवार हैं। सामान्य तौर पर, सूचकांक सेट $I$ गणनीय सेट होने तक सीमित नहीं है। उदाहरण के लिए, कोई वास्तविक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित प्राकृतिक संख्याओं के उपसमुच्चय के एक बेशुमार परिवार पर विचार कर सकता है।

औपचारिक परिभाषा

होने देना $I$ और $X$ सेट हो और $f$ एक फलन (गणित) ऐसा कि

$${\begin{aligned}f~:~&I\to X\\&i\mapsto x_{i}=f(i),\end{aligned}}$$

कहाँ $i$ का एक तत्व है $I$ और छवि $f(i)$ का $i$ समारोह के अंतर्गत $f$ द्वारा निरूपित किया जाता है $x_{i}$. उदाहरण के लिए, $f(3)$ द्वारा निरूपित किया जाता है $x_{3}.$ प्रतीक $x_{i}$ यह इंगित करने के लिए प्रयोग किया जाता है $x_{i}$ का तत्व है $X$ द्वारा अनुक्रमित $i\in I.$ कार्यक्रम $f$ इस प्रकार तत्वों का एक परिवार स्थापित होता है $X$ द्वारा अनुक्रमित $I,$ जिसे निरूपित किया जाता है $\left(x_{i}\right)_{i\in I},$ या केवल $\left(x_{i}\right)$ यदि सूचकांक सेट को ज्ञात माना जाता है। कभी-कभी कोष्ठक के स्थान पर कोण कोष्ठक या ब्रेसिज़ का उपयोग किया जाता है, हालांकि ब्रेसिज़ के उपयोग से अनुक्रमित परिवारों को सेट के साथ भ्रमित होने का जोखिम होता है।

फ़ंक्शन (गणित) और अनुक्रमित परिवार किसी भी फ़ंक्शन के बाद से औपचारिक रूप से समकक्ष हैं $f$ किसी फ़ंक्शन के डोमेन के साथ $I$ एक परिवार को प्रेरित करता है $(f(i))_{i\in I}$ और इसके विपरीत। किसी परिवार का एक तत्व होना संबंधित कार्य की सीमा में होने के बराबर है। हालाँकि, व्यवहार में, परिवार को एक समारोह के बजाय एक संग्रह के रूप में देखा जाता है।

कोई भी सेट $X$ एक परिवार को जन्म देता है $\left(x_{x}\right)_{x\in X},$ कहाँ $X$ स्वयं द्वारा अनुक्रमित किया गया है (जिसका अर्थ है $f$ पहचान फ़ंक्शन है)। हालाँकि, परिवार सेट से भिन्न होते हैं क्योंकि एक ही वस्तु एक परिवार में विभिन्न सूचकांकों के साथ कई बार दिखाई दे सकती है, जबकि एक सेट अलग-अलग वस्तुओं का एक संग्रह है। एक परिवार में कोई भी तत्व बिल्कुल एक बार होता है यदि और केवल तभी जब संबंधित फ़ंक्शन इंजेक्शन हो।

एक अनुक्रमित परिवार $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ एक सेट को परिभाषित करता है ${\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\},$ यानी की छवि $I$ अंतर्गत $f.$ मैपिंग के बाद से $f$ इंजेक्शन का कार्य होना आवश्यक नहीं है, मौजूद हो सकता है $i,j\in I$ साथ $i\neq j$ ऐसा है कि $x_{i}=x_{j}.$ इस प्रकार, $|{\mathcal {X}}|\leq |I|$, कहाँ $|A|$ सेट की प्रमुखता को दर्शाता है $A.$ उदाहरण के लिए, अनुक्रम $\left((-1)^{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$ छवि सेट है $\left\{(-1)^{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\{-1,1\}.$ इसके अलावा, सेट $\{x_{i}:i\in I\}$ किसी भी संरचना के बारे में जानकारी नहीं रखता $I.$ इसलिए, परिवार के बजाय सेट का उपयोग करने से, कुछ जानकारी खो सकती है। उदाहरण के लिए, किसी परिवार के सूचकांक सेट पर ऑर्डर करने से परिवार पर ऑर्डर उत्पन्न होता है, लेकिन संबंधित छवि सेट पर कोई ऑर्डर नहीं होता है।

अनुक्रमित उपपरिवार

एक अनुक्रमित परिवार $\left(B_{i}\right)_{i\in J}$ अनुक्रमित परिवार का एक उपपरिवार है $\left(A_{i}\right)_{i\in I},$ अगर और केवल अगर $J$ का एक उपसमुच्चय है $I$ और $B_{i}=A_{i}$ सभी के लिए धारण करता है $i\in J.$

उदाहरण

अनुक्रमित वैक्टर

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित वाक्य पर विचार करें:

The vectors $v_{1},\ldots ,v_{n}$ are linearly independent.

यहाँ $\left(v_{i}\right)_{i\in \{1,\ldots ,n\}}$ सदिशों के एक परिवार को दर्शाता है। $i$वें>-वें वेक्टर $v_{i}$ केवल इस परिवार के संबंध में ही समझ में आता है, क्योंकि सेट अव्यवस्थित हैं इसलिए कोई नहीं है $i$-एक सेट का वेक्टर. इसके अलावा, रैखिक स्वतंत्रता को संग्रह की संपत्ति के रूप में परिभाषित किया गया है; इसलिए यह महत्वपूर्ण है कि वे सदिश एक समुच्चय या एक परिवार के रूप में रैखिक रूप से स्वतंत्र हों। उदाहरण के लिए, यदि हम विचार करें $n=2$ और $v_{1}=v_{2}=(1,0)$ एक ही वेक्टर के रूप में, तो उनके सेट में केवल एक तत्व होता है (जैसा कि एक सेट (गणित) अव्यवस्थित अलग-अलग तत्वों का एक संग्रह है) और रैखिक रूप से स्वतंत्र है, लेकिन परिवार में एक ही तत्व दो बार होता है (चूंकि अलग-अलग अनुक्रमित होता है) और है रैखिक रूप से निर्भर (समान वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर होते हैं)।

मैट्रिसेस

मान लीजिए कि एक पाठ निम्नलिखित बताता है:

A square matrix $A$ is invertible, if and only if the rows of $A$ are linearly independent.

पिछले उदाहरण की तरह, यह महत्वपूर्ण है कि पंक्तियाँ $A$ एक परिवार के रूप में रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, एक समूह के रूप में नहीं। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें

$$A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.$$

पंक्तियों के सेट में एक ही तत्व होता है $(1,1)$ चूंकि एक सेट अद्वितीय तत्वों से बना है इसलिए यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है, लेकिन मैट्रिक्स उलटा नहीं है क्योंकि मैट्रिक्स निर्धारक 0 है। दूसरी ओर, पंक्तियों के परिवार में दो तत्व अलग-अलग अनुक्रमित होते हैं जैसे कि पहली पंक्ति $(1,1)$ और दूसरी पंक्ति $(1,1)$ इसलिए यह रैखिक रूप से निर्भर है। इसलिए कथन सही है यदि यह पंक्तियों के परिवार को संदर्भित करता है, लेकिन गलत है यदि यह पंक्तियों के सेट को संदर्भित करता है। (यह कथन तब भी सही है जब पंक्तियों की व्याख्या एक मल्टीसेट के संदर्भ में की जाती है, जिसमें तत्वों को भी अलग रखा जाता है लेकिन अनुक्रमित परिवार की संरचना में कुछ कमी होती है।)

अन्य उदाहरण

होने देना $\mathbf {n}$ परिमित समुच्चय हो $\{1,2,\ldots n\},$ कहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है.

• एक क्रमित युग्म (2-टपल ) दो तत्वों के समुच्चय द्वारा अनुक्रमित एक परिवार है, $\mathbf {2} =\{1,2\};$ क्रमित युग्म का प्रत्येक तत्व समुच्चय के प्रत्येक तत्व द्वारा अनुक्रमित होता है $\mathbf {2} .$
• एक टुपल|$n$-टुपल सेट द्वारा अनुक्रमित एक परिवार है $\mathbf {n} .$
• अनंत अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित एक परिवार है।
• एक टुपल एक है $n$-अनिर्दिष्ट के लिए टुपल $n,$ या एक अनंत क्रम.
• एक $n\times m$ मैट्रिक्स (गणित) कार्टेशियन उत्पाद द्वारा अनुक्रमित एक परिवार है $\mathbf {n} \times \mathbf {m}$ कौन से तत्व क्रमित जोड़े हैं; उदाहरण के लिए, $(2,5)$ दूसरी पंक्ति और 5वें कॉलम पर मैट्रिक्स तत्व को अनुक्रमित करना।
• एक नेट (गणित) एक निर्देशित सेट द्वारा अनुक्रमित एक परिवार है।

अनुक्रमित परिवारों पर संचालन

सूचकांक सेट का उपयोग अक्सर योगों और अन्य समान परिचालनों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ संख्याओं का एक अनुक्रमित परिवार है, उन सभी संख्याओं का योग किसके द्वारा दर्शाया जाता है

$$\sum _{i\in I}a_{i}.$$

कब $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ समुच्चयों का एक परिवार है, उन सभी समुच्चयों के संघ (समुच्चय सिद्धांत) को निरूपित किया जाता है

$$\bigcup _{i\in I}A_{i}.$$

इसी तरह इंटरसेक्शन (सेट सिद्धांत) और कार्टेशियन उत्पादों के लिए।

श्रेणी सिद्धांत में उपयोग

Main article: Diagram (category theory)

श्रेणी सिद्धांत में अनुरूप अवधारणा को आरेख (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है। आरेख श्रेणी सिद्धांत में वस्तुओं के अनुक्रमित परिवार को जन्म देने वाला एक फ़नकार है C, किसी अन्य श्रेणी द्वारा अनुक्रमित J, और दो सूचकांकों के आधार पर आकारिकी से संबंधित है।

यह भी देखें

• Array data type
• Coproduct
• Diagram (category theory)
• Disjoint union
• Family of sets
• Index notation
• Net (mathematics)
• Parametric family
• Sequence
• Tagged union

संदर्भ

• Mathematical Society of Japan, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Cited as EDM (volume).