हैवीसाइड स्टेप फंक्शन

Heaviside step
The Heaviside step function, using the half-maximum convention
General information
सामान्य परिभाषा	$$H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x<0\end{cases}}$$
आवेदन के क्षेत्र	Operational calculus

हीविसाइड स्टेप फंक्शन, या यूनिट स्टेप फंक्शन, जिसे आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है H या θ (लेकिन कभी कभी u, 1 या 𝟙), ओलिवर हीविसाइड (1850-1925) के नाम पर एक समारोह की ओर कदम बढ़ाएं है, जिसका मान नकारात्मक तर्कों के लिए 0 (संख्या) और सकारात्मक तर्कों के लिए 1 (संख्या) है। <रेफरी नाम = झांग झोउ 2021 पीपी। 9– 46 >Zhang, Weihong; Zhou, Ying (2021). "Level-set functions and parametric functions". संरचनात्मक अनुकूलन के लिए फ़ीचर-संचालित विधि. Elsevier. pp. 9–46. doi:10.1016/b978-0-12-821330-8.00002-x. हीविसाइड फ़ंक्शन, जिसे हीविसाइड स्टेप फ़ंक्शन भी कहा जाता है, एक असंतुलित फ़ंक्शन है। जैसा कि चित्र 2.13 में दिखाया गया है, यह नकारात्मक इनपुट के लिए शून्य और गैर-नकारात्मक इनपुट के लिए एक है।</ref> यह चरण कार्यों के सामान्य वर्ग का एक उदाहरण है, जिनमें से सभी को इस एक के अनुवादों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

फ़ंक्शन मूल रूप से अंतर समीकरणों के समाधान के लिए परिचालन कलन में विकसित किया गया था, जहां यह एक संकेत का प्रतिनिधित्व करता है जो एक निर्दिष्ट समय पर स्विच करता है और अनिश्चित काल तक चालू रहता है। ओलिवर हीविसाइड, जिन्होंने टेलीग्राफिक संचार के विश्लेषण में एक उपकरण के रूप में परिचालन कलन विकसित किया, ने कार्य का प्रतिनिधित्व किया 1.

हीविसाइड फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

• एक टुकड़ा कार्य:
  $$H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leq 0\end{cases}}$$
• आइवरसन ब्रैकेट नोटेशन का उपयोग करना:
  $$H(x):=[x>0]$$
• सूचक समारोह:
  $$H(x):=\mathbf {1} _{x>0}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)$$
• रैंप समारोह का व्युत्पन्न:
  $$H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{for }}x\neq 0$$

डिराक डेल्टा समारोह हीविसाइड फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है

$$\delta (x)={\frac {d}{dx}}H(x)$$

इसलिए हेविसाइड फ़ंक्शन को डिराक डेल्टा फ़ंक्शन का अभिन्न अंग माना जा सकता है। इसे कभी-कभी लिखा जाता है

$$H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds$$

हालाँकि यह विस्तार धारण नहीं कर सकता (या यहाँ तक कि समझ में नहीं आता)। x = 0, इस पर निर्भर करता है कि किस औपचारिकता का उपयोग अभिन्न अंग को अर्थ देने के लिए किया जाता है δ. इस संदर्भ में, हीविसाइड फ़ंक्शन एक यादृच्छिक चर का संचयी वितरण फ़ंक्शन है जो लगभग निश्चित रूप से 0 है। (निरंतर यादृच्छिक चर देखें।)

परिचालन कलन में, उपयोगी उत्तर शायद ही कभी इस बात पर निर्भर करते हैं कि किस मूल्य के लिए उपयोग किया जाता है H(0), तब से H का उपयोग ज्यादातर वितरण (गणित) के रूप में किया जाता है। हालांकि, पसंद के कार्यात्मक विश्लेषण और खेल सिद्धांत में कुछ महत्वपूर्ण परिणाम हो सकते हैं, जहां निरंतरता के अधिक सामान्य रूपों पर विचार किया जाता है। कुछ सामान्य विकल्प #शून्य तर्क देखे जा सकते हैं।

जीव रसायन और तंत्रिका विज्ञान में हीविसाइड स्टेप फ़ंक्शन के अनुमानों का उपयोग किया जाता है, जहां स्टेप फ़ंक्शंस (जैसे कि हिल समीकरण (बायोकेमिस्ट्री) और माइकलिस-मेंटेन कैनेटीक्स | माइकलिस-मेंटेन समीकरण) के रसद समारोह अनुमानों का उपयोग लगभग बाइनरी सेलुलर स्विच के लिए किया जा सकता है। रासायनिक संकेतों के जवाब में।

विश्लेषणात्मक सन्निकटन

${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh(kx)={\frac {1}{1+e^{-2kx}}}$
स्टेप फ़ंक्शन के पास पहुंचता है k → ∞.

स्टेप फंक्शन के लिए एक चिकना कार्य सन्निकटन के लिए, कोई लॉजिस्टिक फंक्शन का उपयोग कर सकता है

$$H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},$$

जहां एक बड़ा k पर एक तेज संक्रमण से मेल खाती है x = 0. अगर हम लेते हैं H(0) = 1/2, समानता सीमा में है:

$$H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.$$

सिग्मॉइड फ़ंक्शन # उदाहरण | स्टेप फ़ंक्शन के लिए कई अन्य सहज, विश्लेषणात्मक सन्निकटन हैं। संभावनाओं में से हैं:

$${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}$$

ये सीमाएँ बिंदुवार और वितरण (गणित) के अर्थ में हैं। सामान्य तौर पर, हालाँकि, बिंदुवार अभिसरण को वितरणात्मक अभिसरण की आवश्यकता नहीं होती है, और इसके विपरीत वितरणात्मक अभिसरण को बिंदुवार अभिसरण की आवश्यकता नहीं होती है। (हालांकि, यदि कार्यों के एक बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम के सभी सदस्य समान रूप से कुछ अच्छे कार्य से बंधे हैं, तो लेबेसेग अभिसरण प्रमेय का प्रभुत्व है।)

सामान्य तौर पर, निरंतर वितरण संभाव्यता वितरण का कोई भी संचयी वितरण कार्य जो शून्य के आसपास चरम पर होता है और एक पैरामीटर होता है जो विचरण के लिए नियंत्रण करता है, एक सन्निकटन के रूप में काम कर सकता है, सीमा में भिन्नता शून्य तक पहुंचती है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त सभी तीन सन्निकटन सामान्य संभाव्यता वितरण के संचयी वितरण कार्य हैं: रसद वितरण, कॉची वितरण और सामान्य वितरण वितरण, क्रमशः।

अभिन्न प्रतिनिधित्व

अक्सर हीविसाइड चरण फ़ंक्शन का एकीकरण (गणित) प्रतिनिधित्व उपयोगी होता है:

$${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}$$

जहां दूसरा प्रतिनिधित्व पहले से घटाना आसान है, यह देखते हुए कि चरण कार्य वास्तविक है और इस प्रकार इसका अपना जटिल संयुग्म है।

शून्य तर्क

तब से H आमतौर पर एकीकरण में प्रयोग किया जाता है, और एक बिंदु पर एक समारोह का मूल्य इसके अभिन्न अंग को प्रभावित नहीं करता है, यह शायद ही कभी मायने रखता है कि किस विशेष मूल्य का चयन किया जाता है H(0). वास्तव में जब H को एक वितरण (गणित) या एक तत्व के रूप में माना जाता है L^∞ (एलपी स्पेस देखेंL^p स्पेस) शून्य पर मान की बात करना भी समझ में नहीं आता है, क्योंकि ऐसी वस्तुओं को लगभग हर जगह परिभाषित किया जाता है। यदि कुछ विश्लेषणात्मक सन्निकटन (जैसा कि #विश्लेषणात्मक सन्निकटन में) का उपयोग किया जाता है, तो अक्सर जो कुछ भी होता है वह शून्य पर प्रासंगिक सीमा का उपयोग किया जाता है।

किसी विशेष मान को चुनने के विभिन्न कारण मौजूद होते हैं।

• H(0) = 1/2 अक्सर उपयोग किया जाता है क्योंकि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में घूर्णी समरूपता होती है; दूसरे तरीके से रखें, H − 1/2 तब एक विषम कार्य है। इस स्थिति में चिह्न फलन के साथ निम्नलिखित संबंध सभी के लिए लागू होता है x:
  $$H(x)={\tfrac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x).$$
• H(0) = 1 का उपयोग कब किया जाता है H सही-निरंतर होना चाहिए। उदाहरण के लिए संचयी वितरण कार्यों को आमतौर पर सही निरंतर के रूप में लिया जाता है, जैसा कि लेबेसेग-स्टिल्टजेस एकीकरण में एकीकृत कार्य हैं। इस मामले में H एक बंद सेट अर्ध-अनंत अंतराल का सूचक कार्य है:
  $$H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).$$
  संगत प्रायिकता बंटन पतित बंटन है।
• H(0) = 0 का उपयोग कब किया जाता है H को बाएं-निरंतर रहने की आवश्यकता है। इस मामले में H एक खुले सेट अर्ध-अनंत अंतराल का सूचक कार्य है:
  $$H(x)=\mathbf {1} _{(0,\infty )}(x).$$
• ऑप्टिमाइज़ेशन और गेम थ्योरी से कार्यात्मक-विश्लेषण संदर्भों में, हीविसाइड फ़ंक्शन को बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित करना उपयोगी होता है। सीमित कार्यों की निरंतरता को बनाए रखने और कुछ समाधानों के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए सेट-वैल्यू फ़ंक्शन। इन मामलों में, हीविसाइड फ़ंक्शन संभावित समाधानों का एक पूरा अंतराल लौटाता है, H(0) = [0,1].

असतत रूप

इकाई चरण का एक वैकल्पिक रूप, इसके बजाय एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है H : ℤ → ℝ (अर्थात असतत चर में ले रहा है n), है:

$$H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}$$

या अर्ध-अधिकतम सम्मेलन का उपयोग करना:

$$H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}$$

कहाँ n एक पूर्णांक है। अगर n तब एक पूर्णांक है n < 0 का अर्थ होना चाहिए n ≤ −1, जबकि n > 0 का अर्थ यह होना चाहिए कि फ़ंक्शन एकता प्राप्त करता है n = 1. इसलिए स्टेप फ़ंक्शन के डोमेन पर रैंप जैसा व्यवहार प्रदर्शित करता है [−1, 1], और अर्ध-अधिकतम परिपाटी का उपयोग करते हुए प्रामाणिक रूप से एक स्टेप फ़ंक्शन नहीं हो सकता है।

निरंतर मामले के विपरीत, की परिभाषा H[0] महत्वपूर्ण है।

असतत-समय इकाई आवेग असतत-समय कदम का पहला अंतर है

$$\delta [n]=H[n]-H[n-1].$$

यह फ़ंक्शन क्रोनकर डेल्टा का संचयी योग है:

$$H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]$$

कहाँ

$$\delta [k]=\delta _{k,0}$$

पतित वितरण है।

antiderivative और डेरिवेटिव

रैंप फ़ंक्शन हीविसाइड स्टेप फ़ंक्शन का एक प्रतिपक्षी है:

$$\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.$$

हीविसाइड स्टेप फंक्शन का वितरण व्युत्पन्न डिराक डेल्टा फंक्शन है:

$${\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.$$

फूरियर रूपांतरण

हीविसाइड स्टेप फंक्शन का फूरियर रूपांतरण एक वितरण है। हमारे पास फूरियर रूपांतरण की परिभाषा के लिए स्थिरांक के एक विकल्प का उपयोग करना

$${\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\operatorname {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).$$

यहाँ p.v.1/s वितरण (गणित) है जो एक परीक्षण कार्य करता है φ के कॉची प्रिंसिपल वैल्यू के लिए $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (s)}{s}}\,ds$. इंटीग्रल में दिखाई देने वाली सीमा को (टेम्पर्ड) वितरण के अर्थ में भी लिया जाता है।

एकतरफा लाप्लास रूपांतरण

हीविसाइड स्टेप फंक्शन का लाप्लास ट्रांसफॉर्म एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है। हमारे पास एकतरफा लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करना:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}$$

जब द्विपक्षीय परिवर्तन का उपयोग किया जाता है, तो अभिन्न को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है और परिणाम समान होगा।

अन्य भाव

हीविसाइड स्टेप फंक्शन को hyperfunction के रूप में दर्शाया जा सकता है

$$H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log z,\ -{\frac {1}{2\pi i}}\log z\right).$$

कहाँ log z जटिल लघुगणक # का मूल मूल्य है z.

के लिए भी व्यक्त किया जा सकता है x ≠ 0 के रूप में निरपेक्ष मूल्य समारोह के संदर्भ में

$$H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}\,.$$

यह भी देखें

• डिराक डेल्टा समारोह
• संकेतक समारोह
• आइवरसन ब्रैकेट
• लाप्लास परिवर्तन
• सूचक का लाप्लासियन
• गणितीय कार्यों की सूची
• मैकाले कोष्ठक
• ऋणात्मक संख्या
• आयताकार समारोह
• साइन समारोह
• ज्या अभिन्न
• कदम की प्रतिक्रिया

बाहरी संबंध

• Digital Library of Mathematical Functions, NIST, [1].
• Berg, Ernst Julius (1936). "Unit function". Heaviside's Operational Calculus, as applied to Engineering and Physics. McGraw-Hill Education. p. 5.
• Calvert, James B. (2002). "Heaviside, Laplace, and the Inversion Integral". University of Denver.
• Davies, Brian (2002). "Heaviside step function". Integral Transforms and their Applications (3rd ed.). Springer. p. 28.
• Duff, George F. D.; Naylor, D. (1966). "Heaviside unit function". Differential Equations of Applied Mathematics. John Wiley & Sons. p. 42.