समारोह की ओर कदम बढ़ाएं

This article is about a piecewise constant function. For the unit step function, see Heaviside step function.

गणित में, वास्तविक संख्याओं पर एक फ़ंक्शन (गणित) को चरण फ़ंक्शन कहा जाता है यदि इसे अंतराल (गणित) के सूचक कार्यों के एक परिमित सेट रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। अनौपचारिक रूप से बोलते हुए, एक स्टेप फ़ंक्शन एक टुकड़ावार निरंतर कार्य होता है जिसमें केवल बहुत ही टुकड़े होते हैं।

राइट-कंटीन्यूअस है।

परिभाषा और पहला परिणाम

एक समारोह $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ इसे स्टेप फंक्शन कहा जाता है अगर इसे इस रूप में लिखा जा सकता है

$f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)$, सभी वास्तविक संख्याओं के लिए $x$

कहाँ $n\geq 0$, $\alpha _{i}$ वास्तविक संख्याएँ हैं, $A_{i}$ अंतराल हैं, और $\chi _{A}$ का सूचक कार्य है $A$:

$\chi _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{if }}x\notin A\\\end{cases}}$

इस परिभाषा में, अंतराल $A_{i}$ माना जा सकता है कि निम्नलिखित दो गुण हैं:

1. अंतराल अलग सेट हैं: $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ के लिए $i\neq j$
2. अंतराल का संघ (सेट सिद्धांत) संपूर्ण वास्तविक रेखा है: $\bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .$

दरअसल, अगर शुरुआत में ऐसा नहीं होता है, तो अंतराल का एक अलग सेट चुना जा सकता है जिसके लिए ये धारणाएं लागू होती हैं। उदाहरण के लिए, स्टेप फंक्शन

$f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}$

रूप में लिखा जा सकता है

$f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.$

परिभाषा में भिन्नता

कभी-कभी, अंतराल को दाएँ-खुले होने की आवश्यकता होती है या सिंगलटन होने की अनुमति दी। यह शर्त कि अंतरालों का संग्रह परिमित होना चाहिए, अक्सर छोड़ दिया जाता है, खासकर स्कूली गणित में, हालांकि यह अभी भी स्थानीय रूप से परिमित संग्रह होना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप टुकड़े-टुकड़े स्थिर कार्यों की परिभाषा होती है।

उदाहरण

हैवीसाइड स्टेप फंक्शन अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला स्टेप फंक्शन है।

* एक स्थिर फलन, चरण फलन का एक तुच्छ उदाहरण है। तब केवल एक अंतराल होता है, $A_{0}=\mathbb {R} .$

• साइन समारोह sgn(x), जो ऋणात्मक संख्याओं के लिए -1 और धनात्मक संख्याओं के लिए +1 है, और सबसे सरल गैर-निरंतर चरण फलन है।
• हैवीसाइड स्टेप फंक्शन H(x), जो ऋणात्मक संख्याओं के लिए 0 और धनात्मक संख्याओं के लिए 1 है, साइन फ़ंक्शन के समतुल्य है, एक बदलाव और सीमा के पैमाने तक ($H=(\operatorname {sgn} +1)/2$). यह कुछ परीक्षण सिग्नल (इलेक्ट्रॉनिक्स) के पीछे गणितीय अवधारणा है, जैसे कि एक गतिशील प्रणाली (परिभाषा) के चरण प्रतिक्रिया को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

आयताकार फलन, अगला सरलतम चरण फलन।

* आयताकार फ़ंक्शन, सामान्यीकृत बॉक्सकार समारोह, का उपयोग यूनिट पल्स को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

गैर-उदाहरण

• पूर्णांक भाग फ़ंक्शन इस लेख की परिभाषा के अनुसार एक चरण फ़ंक्शन नहीं है, क्योंकि इसमें अनंत संख्या में अंतराल हैं। हालाँकि, कुछ लेखक अंतरालों की अनंत संख्या के साथ चरण कार्यों को भी परिभाषित करता है।

गुण

• दो चरणों वाले फलनों का योग और गुणनफल भी एक चरण फलन होता है। किसी संख्या के साथ चरण फलन का गुणनफल भी चरण फलन होता है। इस प्रकार, कदम कार्य वास्तविक संख्याओं पर एक क्षेत्र पर बीजगणित बनाते हैं।
• एक कदम समारोह केवल मूल्यों की एक सीमित संख्या लेता है। यदि अंतराल $A_{i},$ के लिए $i=0,1,\dots ,n$ स्टेप फंक्शन की उपरोक्त परिभाषा में असंयुक्त हैं और उनका मिलन वास्तविक रेखा है, तब $f(x)=\alpha _{i}$ सभी के लिए $x\in A_{i}.$
• स्टेप फंक्शन का निश्चित इंटीग्रल एक टुकड़ा-वार रैखिक कार्य है।
• स्टेप फंक्शन का लेबेस्ग इंटीग्रल $\textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$ है $\textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),$ कहाँ $\ell (A)$ अंतराल की लंबाई है $A$, और यह यहाँ माना जाता है कि सभी अंतराल $A_{i}$ परिमित लंबाई है। वास्तव में, यह समानता (परिभाषा के रूप में देखी गई) लेबेस्ग इंटीग्रल के निर्माण में पहला कदम हो सकता है।
• एक असतत यादृच्छिक चर को कभी-कभी एक यादृच्छिक चर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका संचयी वितरण कार्य टुकड़े-टुकड़े स्थिर होता है। इस मामले में, यह स्थानीय रूप से एक स्टेप फ़ंक्शन है (विश्व स्तर पर, इसमें असीमित संख्या में चरण हो सकते हैं)। आम तौर पर, हालांकि, किसी भी यादृच्छिक चर को केवल गिने-चुने संभावित मूल्यों के साथ एक असतत यादृच्छिक चर कहा जाता है, इस मामले में उनका संचयी वितरण फ़ंक्शन स्थानीय रूप से एक कदम फ़ंक्शन नहीं है, क्योंकि असीम रूप से कई अंतराल एक परिमित क्षेत्र में जमा हो सकते हैं।

यह भी देखें

• क्रेनेल फ़ंक्शन
• खंड अनुसार
• सिग्मॉइड फ़ंक्शन
• सरल कार्य
• चरण पहचान
• भारी कदम समारोह
• टुकड़ा-टुकड़ा-निरंतर मूल्यांकन