सरल कार्य

वास्तविक विश्लेषण के गणित क्षेत्र में, एक साधारण फ़ंक्शन एक वास्तविक संख्या (या जटिल संख्या) है - एक चरण फ़ंक्शन के समान, वास्तविक रेखा के सबसेट पर मूल्यवान फ़ंक्शन। सरल कार्य इतने अच्छे होते हैं कि उनका उपयोग गणितीय तर्क, सिद्धांत और प्रमाण को आसान बना देता है। उदाहरण के लिए, सरल फ़ंक्शन केवल सीमित संख्या में मान प्राप्त करते हैं। कुछ लेखकों को मापने योग्य कार्य होने के लिए सरल कार्यों की भी आवश्यकता होती है; जैसा कि व्यवहार में उपयोग किया जाता है, वे हमेशा होते हैं।

एक साधारण फ़ंक्शन का एक मूल उदाहरण आधे खुले अंतराल [1, 9) पर फर्श समारोह है, जिसका एकमात्र मान {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} है। एक अधिक उन्नत उदाहरण वास्तविक रेखा पर डिरिचलेट फ़ंक्शन है, जो मान 1 लेता है यदि x परिमेय है और अन्यथा 0। (इस प्रकार सरल से सरल फ़ंक्शन का एक तकनीकी अर्थ होता है जो कुछ हद तक आम भाषा से भिन्न होता है।) सभी चरण फ़ंक्शन सरल होते हैं।

सरल कार्यों का उपयोग अभिन्न के सिद्धांतों के विकास में पहले चरण के रूप में किया जाता है, जैसे कि लेब्सग इंटीग्रल, क्योंकि एक साधारण फ़ंक्शन के लिए एकीकरण को परिभाषित करना आसान है और सरल कार्यों के अनुक्रमों द्वारा अधिक सामान्य कार्यों का अनुमान लगाना भी आसान है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक साधारण फ़ंक्शन मापने योग्य सेटों के संकेतक कार्यों का एक सीमित रैखिक संयोजन है। अधिक सटीक रूप से, मान लें कि (X, Σ) एक सिग्मा-बीजगणित है। चलो ए₁, ..., ए_n ∈ Σ असंयुक्त मापन योग्य सेटों का एक क्रम हो, और चलो a₁, ..., ए_n वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्याओं का एक क्रम हो। एक साधारण फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है $f:X\to \mathbb {C}$ रूप का

$f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x),$

कहाँ ${\mathbf {1} }_{A}$ सेट ए का सूचक कार्य है।

सरल कार्यों के गुण

दो सरल कार्यों का योग, अंतर और उत्पाद फिर से सरल कार्य हैं, और स्थिरांक से गुणा एक साधारण कार्य को सरल रखता है; इसलिए यह इस प्रकार है कि किसी दिए गए मापनीय स्थान पर सभी सरल कार्यों का संग्रह एक क्षेत्र पर बीजगणित बनाता है $\mathbb {C}$.

सरल कार्यों का एकीकरण

यदि एक माप (गणित) μ को अंतरिक्ष (X,Σ) पर परिभाषित किया गया है, तो μ के संबंध में f का लेबेस्ग इंटीग्रल है

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}),$

यदि सभी सारांश परिमित हैं।

लेबेस्ग एकीकरण से संबंध

सरल फ़ंक्शंस के उपरोक्त इंटीग्रल को फ़ंक्शंस के अधिक सामान्य वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है, इस प्रकार लेबेस्ग इंटीग्रल को परिभाषित किया जाता है। यह विस्तार निम्नलिखित तथ्य पर आधारित है.

प्रमेय. कोई भी गैर-नकारात्मक मापन योग्य कार्य $f\colon X\to \mathbb {R} ^{+}$ गैर-नकारात्मक सरल कार्यों के एक मोनोटोनिक बढ़ते अनुक्रम की बिंदुवार सीमा है।

कथन में निहित है कि सह-डोमेन में सिग्मा-बीजगणित $\mathbb {R} ^{+}$ बोरेल σ-बीजगणित का प्रतिबंध है ${\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )$ को $\mathbb {R} ^{+}$. प्रमाण इस प्रकार आगे बढ़ता है। होने देना $f$ माप स्थान पर परिभाषित एक गैर-नकारात्मक मापनीय फ़ंक्शन बनें $(X,\Sigma ,\mu )$. प्रत्येक के लिए $n\in \mathbb {N}$, के सह-डोमेन को उप-विभाजित करें $f$ में $2^{2n}+1$ अंतराल, $2^{2n}$ जिनकी लंबाई होती है $2^{-n}$. यानी प्रत्येक के लिए $n$, परिभाषित करना

$I_{n,k}=\left[{\frac {k-1}{2^{n}}},{\frac {k}{2^{n}}}\right)$ के लिए $k=1,2,\ldots ,2^{2n}$, और $I_{n,2^{2n}+1}=[2^{n},\infty )$,

जो असंयुक्त हैं और गैर-नकारात्मक वास्तविक रेखा को कवर करते हैं ($\mathbb {R} ^{+}\subseteq \cup _{k}I_{n,k},\forall n\in \mathbb {N}$).

अब सेट को परिभाषित करें

$A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})\,$ के लिए $k=1,2,\ldots ,2^{2n}+1,$

जो मापने योग्य हैं ($A_{n,k}\in \Sigma$) क्योंकि $f$ मापने योग्य माना जाता है।

फिर सरल कार्यों का बढ़ता क्रम

$f_{n}=\sum _{k=1}^{2^{2n}+1}{\frac {k-1}{2^{n}}}{\mathbf {1} }_{A_{n,k}}$ बिंदुवार अभिसरित होता है $f$ जैसा $n\to \infty$. ध्यान दें कि, कब $f$ परिबद्ध है, अभिसरण एकसमान है।

यह भी देखें

बोचनर मापने योग्य कार्य

संदर्भ

• J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
• S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
• H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.