रैंप समारोह

रैम्प फ़ंक्शन के एक फ़ंक्शन का ग्राफ़

रैम्प फ़ंक्शन एक एकात्मक कार्य वास्तविक फ़ंक्शन है, जिसके फ़ंक्शन का ग्राफ़ बढ़ाना के आकार का होता है। इसे कई #परिभाषाओं द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए नकारात्मक इनपुट के लिए 0, गैर-नकारात्मक इनपुट के लिए आउटपुट इनपुट के बराबर है। रैंप शब्द का उपयोग स्केलिंग और स्थानांतरण द्वारा प्राप्त अन्य कार्यों के लिए भी किया जा सकता है, और इस लेख में फ़ंक्शन यूनिट रैंप फ़ंक्शन (ढलान 1, 0 से शुरू) है।

गणित में, रैम्प फ़ंक्शन को सकारात्मक भाग के रूप में भी जाना जाता है।

यंत्र अधिगम में, इसे आमतौर पर रेक्टिफायर_(न्यूरल_नेटवर्क्स) वास्तविक कार्य के रूप में जाना जाता है या विद्युत अभियन्त्रण में अर्ध-तरंग सुधार के अनुरूप एक रेक्टिफायर (तंत्रिका नेटवर्क)। आँकड़ों में (जब संभावना फ़ंक्शन के रूप में उपयोग किया जाता है) इसे टोबिट मॉडल के रूप में जाना जाता है।

इस फ़ंक्शन के गणित और इंजीनियरिंग में कई #अनुप्रयोग हैं, और संदर्भ के आधार पर इसे विभिन्न नामों से जाना जाता है। रैंप फ़ंक्शन के रेक्टिफायर_(न्यूरल_नेटवर्क)#अन्य_नॉन-लीनियर_वेरिएंट हैं।

परिभाषाएँ

रैंप फ़ंक्शन (R(x) : R → R₀⁺) को कई तरीकों से विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। संभावित परिभाषाएँ हैं:

• एक टुकड़ावार कार्य:
  $$R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}$$
• मैक्सिमा और मिनिमा:
  $$R(x):=\max(x,0)$$
• एक स्वतंत्र चर का अंकगणितीय माध्य और उसका निरपेक्ष मान (एकता ग्रेडिएंट और उसके मापांक के साथ एक सीधी रेखा):
  $$R(x):={\frac {x+|x|}{2}}$$
  इसे निम्नलिखित परिभाषा पर ध्यान देकर प्राप्त किया जा सकता है max(a, b),
  $$\max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}$$
  जिसके लिए a = x और b = 0
• हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन को एकता ग्रेडिएंट के साथ एक सीधी रेखा से गुणा किया जाता है:
  $$R\left(x\right):=xH(x)$$
• हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन का स्वयं के साथ कनवल्शन:
  $$R\left(x\right):=H(x)*H(x)$$
• हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन का अभिन्न अंग:
  $$R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi$$
• मैकाले कोष्ठक:
  $$R(x):=\langle x\rangle$$
• पहचान फ़ंक्शन के सकारात्मक और नकारात्मक भाग:
  $$R:=\operatorname {id} ^{+}$$

अनुप्रयोग

रैंप फ़ंक्शन के इंजीनियरिंग में कई अनुप्रयोग हैं, जैसे अंकीय संकेत प्रक्रिया के सिद्धांत में।

फोन विकल्प खरीदने से भुगतान और मुनाफा।

वित्त में, कॉल विकल्प का भुगतान एक रैंप (स्ट्राइक प्राइस द्वारा स्थानांतरित) होता है। रैंप को क्षैतिज रूप से फ़्लिप करने से एक पुट विकल्प प्राप्त होता है, जबकि लंबवत फ़्लिपिंग (नकारात्मक लेना) एक विकल्प को बेचने या छोटा होने के अनुरूप होता है। वित्त में, आकार को [[आइस हाँकी स्टिक ]] के समान होने के कारण व्यापक रूप से हॉकी स्टिक कहा जाता है।

मल्टीवेरिएट एडेप्टिव रिग्रेशन स्प्लिंस#हिंज की एक प्रतिबिंबित जोड़ी x=3.1 पर एक गाँठ के साथ कार्य करती है

आंकड़ों में, बहुभिन्नरूपी अनुकूली प्रतिगमन स्प्लिन #मल्टीवेरिएट अनुकूली प्रतिगमन स्प्लिन (एमएआरएस) के हिंज फ़ंक्शन रैंप हैं, और प्रतिगमन मॉडल बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

विश्लेषणात्मक गुण

गैर-नकारात्मकता

किसी फ़ंक्शन के संपूर्ण डोमेन में फ़ंक्शन गैर-नकारात्मक है, इसलिए इसका निरपेक्ष मान स्वयं है, अर्थात।

$$\forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geq 0$$

और

$$\left|R(x)\right|=R(x)$$

Proof

by the mean of definition 2, it is non-negative in the first quarter, and zero in the second; so everywhere it is non-negative.

व्युत्पन्न

इसका व्युत्पन्न हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन है:

$$R'(x)=H(x)\quad {\mbox{for }}x\neq 0.$$

दूसरा व्युत्पन्न

रैंप फ़ंक्शन अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है:

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0}),$$

कहाँ δ(x)डिराक डेल्टा है। इस का मतलब है कि R(x) दूसरे व्युत्पन्न ऑपरेटर के लिए ग्रीन का फ़ंक्शन है। इस प्रकार, कोई भी फ़ंक्शन, f(x), एक पूर्णांकीय दूसरे व्युत्पन्न के साथ, f″(x), समीकरण को संतुष्ट करेगा:

$$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-s)f''(s)\,ds\quad {\mbox{for }}a<x<b.$$

फूरियर रूपांतरण

$${\mathcal {F}}{\big \{}R(x){\big \}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}\,dx={\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},$$

कहाँ δ(x) डिराक डेल्टा है (इस सूत्र में, इसका व्युत्पन्न प्रकट होता है)।

लाप्लास परिवर्तन

का एकल-पक्षीय लाप्लास रूपांतरण R(x) इस प्रकार दिया गया है,

$${\mathcal {L}}{\big \{}R(x){\big \}}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.$$

बीजगणितीय गुण

पुनरावृत्ति अपरिवर्तन

रैंप मैपिंग का प्रत्येक पुनरावृत्त कार्य स्वयं ही है

$$R{\big (}R(x){\big )}=R(x).$$

Proof

$$R{\big (}R(x){\big )}:={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}=R(x).$$

This applies the non-negative property.

यह भी देखें

• टोबिट मॉडल