कुल व्युत्पन्न

Not to be confused with Total differential or Total derivative (fluid mechanics).

गणित में, एक फ़ंक्शन का कुल व्युत्पन्न f एक बिंदु पर कार्य के इस बिंदु के पास सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है जो इसके तर्कों के संबंध में है।आंशिक डेरिवेटिव के विपरीत, कुल व्युत्पन्न अपने सभी तर्कों के संबंध में फ़ंक्शन का अनुमान लगाता है, न कि केवल एक ही।कई स्थितियों में, यह एक साथ सभी आंशिक डेरिवेटिव पर विचार करने के समान है।कुल व्युत्पन्न शब्द का उपयोग मुख्य रूप से किया जाता है f कई चर का एक कार्य है, क्योंकि जब f एक एकल चर का एक कार्य है, कुल व्युत्पन्न फ़ंक्शन के साधारण व्युत्पन्न के समान है।

एक रैखिक मानचित्र के रूप में कुल व्युत्पन्न

होने देना $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ एक खुला सबसेट बनें।फिर एक फ़ंक्शन $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$ कहा जाता है (पूरी तरह से) एक बिंदु पर अलग -अलग है $a\in U$ यदि कोई रैखिक परिवर्तन मौजूद है $df_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ऐसा है कि

$\lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.$

रैखिक मानचित्र $df_{a}$ (कुल) व्युत्पन्न या (कुल) अंतर कहा जाता है $f$ पर $a$।कुल व्युत्पन्न के लिए अन्य अंकन शामिल हैं $D_{a}f$ तथा $Df(a)$।एक फ़ंक्शन (पूरी तरह से) अलग है यदि इसका कुल व्युत्पन्न अपने डोमेन में हर बिंदु पर मौजूद है।

वैचारिक रूप से, कुल व्युत्पन्न की परिभाषा इस विचार को व्यक्त करती है कि $df_{a}$ के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है $f$ बिंदु पर $a$।यह द्वारा निर्धारित रैखिक सन्निकटन में त्रुटि को निर्धारित करके सटीक बनाया जा सकता है $df_{a}$।ऐसा करने के लिए, लिखें

$f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),$

कहाँ पे $\varepsilon (h)$ सन्निकटन में त्रुटि के बराबर है।यह कहने के लिए कि व्युत्पन्न $f$ पर $a$ है $df_{a}$ बयान के बराबर है

$\varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),$

कहाँ पे $o$ बिग ओ नोटेशन#लिटिल-ओ नोटेशन | थोड़ा-ओ नोटेशन और इंगित करता है $\varepsilon (h)$ की तुलना में बहुत छोटा है $\lVert h\rVert$ जैसा $h\to 0$।कुल व्युत्पन्न $df_{a}$ अद्वितीय रैखिक परिवर्तन है जिसके लिए त्रुटि शब्द यह छोटा है, और यह वह अर्थ है जिसमें यह सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है $f$।

कार्यक्रम $f$ यदि और यदि इसका प्रत्येक घटक है तो केवल और केवल $f_{i}\colon U\to \mathbb {R}$ अलग -अलग है, इसलिए कुल डेरिवेटिव का अध्ययन करते समय, कोडोमैन में एक समय में एक समन्वय में काम करना अक्सर संभव होता है।हालांकि, डोमेन में निर्देशांक के बारे में भी यही सच नहीं है।यह सच है कि अगर $f$ पर अलग है $a$, फिर प्रत्येक आंशिक व्युत्पन्न $\partial f/\partial x_{i}$ पर मौजूद है $a$।यह गलत है: ऐसा हो सकता है कि सभी आंशिक डेरिवेटिव हैं $f$ पर $a$ मौजूद है, लेकिन $f$ पर अलग नहीं है $a$।इसका मतलब है कि फ़ंक्शन बहुत मोटा है $a$, इस तरह के चरम पर कि इसके व्यवहार को समन्वय दिशाओं में इसके व्यवहार द्वारा पर्याप्त रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है।कब $f$ इतना मोटा नहीं है, यह नहीं हो सकता है।अधिक सटीक रूप से, यदि सभी आंशिक डेरिवेटिव $f$ पर $a$ मौजूद हैं और एक पड़ोस में निरंतर हैं $a$, फिर $f$ पर अलग है $a$।जब ऐसा होता है, तो इसके अलावा, कुल व्युत्पन्न $f$ उस बिंदु पर आंशिक डेरिवेटिव के जैकोबियन मैट्रिक्स के अनुरूप रैखिक परिवर्तन है।

एक अंतर फॉर्म के रूप में कुल व्युत्पन्न

जब विचाराधीन फ़ंक्शन वास्तविक-मूल्यवान होता है, तो कुल व्युत्पन्न को विभेदक रूप ों का उपयोग करके पुन: प्राप्त किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ चर का एक अलग कार्य है $x_{1},\ldots ,x_{n}$।का कुल व्युत्पन्न $f$ पर $a$ इसके जैकबियन मैट्रिक्स के संदर्भ में लिखा जा सकता है, जो इस उदाहरण में एक पंक्ति मैट्रिक्स है:

$Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.$

कुल व्युत्पन्न की रैखिक सन्निकटन संपत्ति का अर्थ है कि अगर

$\Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}$

एक छोटा वेक्टर है (जहां ${\mathsf {T}}$ ट्रांसपोज़ को दर्शाता है, ताकि यह वेक्टर एक कॉलम वेक्टर हो), फिर

$f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.$

Heuristically, यह बताता है कि अगर $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ समन्वय दिशाओं में infinitesimal वेतन वृद्धि हैं, फिर

$df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}.$

वास्तव में, इनफिनिटिमल की धारणा, जो यहां केवल प्रतीकात्मक है, को व्यापक गणितीय संरचना से सुसज्जित किया जा सकता है।तकनीक, जैसे कि विभेदक रूपों का सिद्धांत, प्रभावी रूप से इनफिनिटिमल वेतन वृद्धि जैसी वस्तुओं के विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय विवरण देता है, $dx_{i}$।उदाहरण के लिए, $dx_{i}$ वेक्टर अंतरिक्ष पर एक रैखिक कार्यात्मक के रूप में अंकित किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{n}$।का मूल्यांकन $dx_{i}$ एक वेक्टर पर $h$ में $\mathbb {R} ^{n}$ कितना उपाय $h$ में अंक $i$TH समन्वय दिशा।कुल व्युत्पन्न $df_{a}$ रैखिक कार्यों का एक रैखिक संयोजन है और इसलिए यह एक रैखिक कार्यात्मक है।मूल्यांकन $df_{a}(h)$ कितना उपाय $h$ द्वारा निर्धारित दिशा में अंक $f$ पर $a$, और यह दिशा ढाल है।यह दृष्टिकोण कुल व्युत्पन्न को बाहरी व्युत्पन्न का एक उदाहरण बनाता है।

मान लीजिए कि अब $f$ एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन है, अर्थात्, $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$।इस मामले में, घटक $f_{i}$ का $f$ वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं, इसलिए उनके पास अंतर रूप हैं $df_{i}$।कुल व्युत्पन्न $df$ इन रूपों को एक ही वस्तु में समेटता है और इसलिए वेक्टर-मूल्यवान विभेदक रूप का एक उदाहरण है।

कुल डेरिवेटिव के लिए श्रृंखला नियम

Main article: Chain rule

चेन नियम में कुल डेरिवेटिव के संदर्भ में एक विशेष रूप से सुरुचिपूर्ण बयान है।यह कहता है कि, दो कार्यों के लिए $f$ तथा $g$, समग्र समारोह का कुल व्युत्पन्न $g\circ f$ पर $a$ संतुष्ट

$d(g\circ f)_{a}=dg_{f(a)}\cdot df_{a}.$

यदि कुल डेरिवेटिव $f$ तथा $g$ उनके जैकबियन मैट्रिस के साथ पहचाने जाते हैं, फिर दाईं ओर की तरफ समग्र केवल मैट्रिक्स गुणा है।यह अनुप्रयोगों में बहुत उपयोगी है, क्योंकि यह एक समग्र फ़ंक्शन के तर्कों के बीच अनिवार्य रूप से मनमानी निर्भरता के लिए जिम्मेदार बनाता है।

उदाहरण: प्रत्यक्ष निर्भरता के साथ भेदभाव

मान लीजिए कि f दो चर, x और y का एक कार्य है।यदि ये दो चर स्वतंत्र हैं, तो ताकि एफ का डोमेन हो $\mathbb {R} ^{2}$, फिर एफ के व्यवहार को एक्स और वाई दिशाओं में इसके आंशिक डेरिवेटिव के संदर्भ में समझा जा सकता है।हालांकि, कुछ स्थितियों में, x और y निर्भर हो सकता है।उदाहरण के लिए, ऐसा हो सकता है कि एफ एक वक्र के लिए विवश है $y=y(x)$।इस मामले में, हम वास्तव में समग्र फ़ंक्शन के व्यवहार में रुचि रखते हैं $f(x,y(x))$।एक्स के संबंध में एफ का आंशिक व्युत्पन्न एक्स को बदलने के संबंध में एफ के परिवर्तन की सही दर नहीं देता है क्योंकि एक्स को बदलना आवश्यक रूप से वाई को बदल देता है।हालांकि, कुल व्युत्पन्न के लिए श्रृंखला नियम इस तरह की निर्भरता को ध्यान में रखता है।लिखना $\gamma (x)=(x,y(x))$।फिर, चेन नियम कहता है

$d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}.$

जैकबियन मैट्रिसेस का उपयोग करके कुल व्युत्पन्न व्यक्त करके, यह बन जाता है:

${\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial x}{\partial x}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial y}{\partial x}}(x_{0}).$

पर मूल्यांकन को दबाना $x_{0}$ सुगमता के लिए, हम इसे भी लिख सकते हैं

${\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x}}.$

यह व्युत्पन्न के लिए एक सीधा सूत्र देता है $f(x,y(x))$ के आंशिक डेरिवेटिव के संदर्भ में $f$ और व्युत्पन्न $y(x)$।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए

$f(x,y)=xy.$

एक्स के संबंध में एफ के परिवर्तन की दर आमतौर पर एक्स के संबंध में एफ का आंशिक व्युत्पन्न है;इस मामले में,

${\frac {\partial f}{\partial x}}=y.$

हालांकि, यदि y x पर निर्भर करता है, तो आंशिक व्युत्पन्न F के परिवर्तन की सही दर नहीं देता है क्योंकि x परिवर्तन होता है क्योंकि आंशिक व्युत्पन्न मानता है कि y तय है।मान लीजिए कि हम लाइन के लिए विवश हैं

$y=x.$

फिर

$f(x,y)=f(x,x)=x^{2},$

और एक्स के संबंध में एफ का कुल व्युत्पन्न है

${\frac {df}{dx}}=2x,$

जो हम देखते हैं वह आंशिक व्युत्पन्न के बराबर नहीं है $\partial f/\partial x$।X के संदर्भ में y के लिए तुरंत प्रतिस्थापित करने के बजाय, हम ऊपर के रूप में श्रृंखला नियम का भी उपयोग कर सकते हैं:

${\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.$

उदाहरण: अप्रत्यक्ष निर्भरता के साथ भेदभाव

जबकि कोई अक्सर अप्रत्यक्ष निर्भरता को खत्म करने के लिए प्रतिस्थापन कर सकता है, श्रृंखला नियम एक अधिक कुशल और सामान्य तकनीक के लिए प्रदान करता है।मान लीजिए $L(t,x_{1},\dots ,x_{n})$ समय का एक कार्य है $t$ तथा $n$ चर $x_{i}$ जो स्वयं समय पर निर्भर करता है।फिर, समय व्युत्पन्न $L$ है

${\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.$

चेन नियम इस व्युत्पन्न को आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में व्यक्त करता है $L$ और कार्यों का समय व्युत्पन्न $x_{i}$:

${\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).$

इस अभिव्यक्ति का उपयोग अक्सर भौतिकी में लार्जानियन यांत्रिकी के गेज परिवर्तन के लिए किया जाता है, दो लैग्रैन्जियन के रूप में जो केवल समय के एक समारोह के कुल समय व्युत्पन्न से भिन्न होते हैं और $n$ सामान्यीकृत निर्देशांक गति के समान समीकरणों के लिए नेतृत्व करते हैं।एक दिलचस्प उदाहरण व्हीलर-फेनमैन एब्जॉर्बर थ्योरी के संबंध में कार्य-कारण के संकल्प की चिंता करता है#कार्य-कारण का संकल्प। व्हीलर-फेनमैन टाइम-सममित सिद्धांत।कोष्ठक में ऑपरेटर (ऊपर अंतिम अभिव्यक्ति में) को कुल व्युत्पन्न ऑपरेटर भी कहा जाता है $t$)।

उदाहरण के लिए, कुल व्युत्पन्न $f(x(t),y(t))$ है

${\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.$

यहाँ नहीं है $\partial f/\partial t$ तब से शब्द $f$ स्वयं स्वतंत्र चर पर निर्भर नहीं करता है $t$ सीधे।

कुल अंतर समीकरण

Main article: Total differential equation

कुल अंतर समीकरण कुल डेरिवेटिव के संदर्भ में व्यक्त एक अंतर समीकरण है।चूंकि बाहरी व्युत्पन्न समन्वय-मुक्त है, एक अर्थ में जिसे एक तकनीकी अर्थ दिया जा सकता है, ऐसे समीकरण आंतरिक और ज्यामितीय हैं।

समीकरण प्रणालियों के लिए आवेदन

अर्थशास्त्र में, समीकरणों की एक प्रणाली के संदर्भ में कुल व्युत्पन्न के लिए यह आम है। उदाहरण के लिए, एक साधारण आपूर्ति और मांग | आपूर्ति-मांग प्रणाली एक उत्पाद की मात्रा q को निर्दिष्ट कर सकती है, जो इसकी कीमत p और उपभोक्ताओं की आय के एक फ़ंक्शन d के रूप में मांग की जाती है, बाद में एक बहिर्जात चर है, और द्वारा आपूर्ति की गई मात्रा को निर्दिष्ट कर सकता हैनिर्माता इसकी कीमत के एक समारोह के रूप में और दो बहिर्जात संसाधन लागत चर आर और डब्ल्यू।समीकरणों की परिणामी प्रणाली

$q=D(p,I),$

$q=S(p,r,w),$

चर पी और क्यू के बाजार संतुलन मूल्यों को निर्धारित करता है।कुल व्युत्पन्न $dp/dr$ उदाहरण के लिए, आर के संबंध में पी का, बहिर्जात चर आर को बाजार मूल्य की प्रतिक्रिया का संकेत और परिमाण देता है।संकेतित प्रणाली में, कुल छह संभावित कुल डेरिवेटिव हैं, इस संदर्भ में तुलनात्मक सांख्यिकी के रूप में भी जाना जाता है: dp / dr, dp / dw, dp / dI, dq / dr, dq / dw, तथा dq / dI।कुल डेरिवेटिव पूरी तरह से समीकरणों की प्रणाली को अलग करके पाए जाते हैं, इसके माध्यम से विभाजित करते हैं, कहते हैं dr, उपचार dq / dr तथा dp / dr अज्ञात के रूप में, सेटिंग dI = dw = 0, और दो पूरी तरह से विभेदित समीकरणों को एक साथ हल करना, आमतौर पर क्रैमर के नियम का उपयोग करके।

यह भी देखें

• Directional derivative
• Fréchet derivative - कुल व्युत्पन्न का सामान्यीकरण
• Gateaux derivative
• Generalizations of the derivative
• Gradient#Total derivative

संदर्भ

• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• From thesaurus.maths.org total derivative

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• भौतिक विज्ञान

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Total Derivative". MathWorld.
• Ronald D. Kriz (2007) Envisioning total derivatives of scalar functions of two dimensions using raised surfaces and tangent planes from Virginia Tech