अदिश क्षेत्र

एक अदिश क्षेत्र जैसे तापमान या दबाव, जहां क्षेत्र की तीव्रता को रंगों के विभिन्न रंगों द्वारा दर्शाया जाता है।

गणित और भौतिकी में, एक स्केलर फ़ील्ड एक फ़ंक्शन (गणित) है जो एक संख्या को प्रत्येक बिंदु (ज्यामिति) से एक अंतरिक्ष (गणित) में जोड़ता है - संभवतः भौतिक स्थान। अदिश या तो शुद्ध अदिश (गणित) (आयाम रहित) या अदिश (भौतिकी) (माप की इकाई के साथ) हो सकता है।

एक भौतिक संदर्भ में, स्केलर फ़ील्ड्स को संदर्भ फ्रेम की पसंद से स्वतंत्र होने की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि समान इकाइयों का उपयोग करने वाले किसी भी दो पर्यवेक्षक स्केलर फ़ील्ड के मूल्य पर अंतरिक्ष (या स्पेसटाइम) में समान निरपेक्ष बिंदु पर सहमत होंगे, चाहे कोई भी हो उनके संबंधित मूल बिंदु। भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले उदाहरणों में पूरे अंतरिक्ष में तापमान वितरण, तरल पदार्थ में दबाव वितरण, और स्पिन-शून्य क्वांटम फ़ील्ड, जैसे हिग्स फ़ील्ड शामिल हैं। ये क्षेत्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत के विषय हैं।

परिभाषा

गणितीय रूप से, एक क्षेत्र (गणितीय विश्लेषण) U पर एक अदिश क्षेत्र U पर एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन या जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन या वितरण (गणित) है।^[1]^[2] क्षेत्र यू कुछ यूक्लिडियन अंतरिक्ष, मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष, या अधिक आम तौर पर कई गुना का एक उपसमुच्चय हो सकता है, और यह क्षेत्र पर आगे की शर्तों को लागू करने के लिए गणित में विशिष्ट है, जैसे कि यह निरंतर कार्य या अक्सर कुछ के लिए लगातार भिन्न होता है गण। एक अदिश क्षेत्र शून्य कोटि का एक टेन्सर क्षेत्र है,^[3] और शब्द अदिश क्षेत्र का उपयोग इस तरह के एक अधिक सामान्य टेंसर क्षेत्र, घनत्व बंडल, या अंतर रूप के साथ एक समारोह को अलग करने के लिए किया जा सकता है।

का अदिश क्षेत्र

\sin(2\pi (xy+\sigma ))

के रूप में हिल रहा है

\sigma

बढ़ती है। लाल सकारात्मक मूल्यों का प्रतिनिधित्व करता है, बैंगनी नकारात्मक मूल्यों का प्रतिनिधित्व करता है, और आकाश नीला शून्य के करीब मूल्यों का प्रतिनिधित्व करता है।

भौतिक रूप से, एक अदिश क्षेत्र इसके साथ जुड़ी माप की इकाइयों के द्वारा अतिरिक्त रूप से प्रतिष्ठित होता है। इस संदर्भ में, एक स्केलर क्षेत्र को भौतिक प्रणाली का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली समन्वय प्रणाली से भी स्वतंत्र होना चाहिए- अर्थात, समान इकाइयों का उपयोग करने वाले किसी भी दो पर्यवेक्षक (विशेष सापेक्षता) को किसी दिए गए समय पर स्केलर फ़ील्ड के संख्यात्मक मान पर सहमत होना चाहिए। भौतिक स्थान का बिंदु। स्केलर फ़ील्ड्स अन्य भौतिक मात्राओं जैसे कि वेक्टर फ़ील्ड्स के विपरीत हैं, जो एक यूक्लिडियन वेक्टर को एक क्षेत्र के हर बिंदु के साथ-साथ टेंसर फ़ील्ड और स्पिनर से जोड़ते हैं।^{[citation needed]} अधिक संक्षेप में, स्केलर फ़ील्ड्स अक्सर स्यूडोस्केलर फ़ील्ड्स के विपरीत होते हैं।

भौतिकी में उपयोग

भौतिकी में, अदिश क्षेत्र अक्सर किसी विशेष बल से जुड़ी संभावित ऊर्जा का वर्णन करते हैं। बल एक वेक्टर क्षेत्र है, जिसे संभावित ऊर्जा स्केलर क्षेत्र के ढाल के कारक के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरणों में शामिल:

संभावित क्षेत्र, जैसे न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण क्षमता, या इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में विद्युत क्षमता, अदिश क्षेत्र हैं जो अधिक परिचित बलों का वर्णन करते हैं।
एक तापमान, आर्द्रता, या दबाव क्षेत्र, जैसे कि मौसम विज्ञान में उपयोग किया जाता है।

क्वांटम सिद्धांत और सापेक्षता में उदाहरण

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, एक बोसोनिक क्षेत्र स्पिन-0 कणों से जुड़ा होता है। अदिश क्षेत्र वास्तविक या जटिल मान हो सकता है। जटिल अदिश क्षेत्र आवेशित कणों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इनमें मानक मॉडल के हिग्स क्षेत्र के साथ-साथ आवेशित चपरासी शामिल हैं जो मजबूत परमाणु संपर्क में मध्यस्थता करते हैं।^[4]
प्रारंभिक कणों के मानक मॉडल में, एक अदिश हिग्स फ़ील्ड का उपयोग लेप्टान और W और Z बोसोन को उनका द्रव्यमान देने के लिए किया जाता है, युकावा अंतःक्रिया और सहज समरूपता के संयोजन के माध्यम से। इस तंत्र को हिग्स तंत्र के रूप में जाना जाता है।^[5] 2012 में सर्न में पहली बार हिग्स बोसॉन के उम्मीदवार का पता चला था।
गुरुत्वाकर्षण के अदिश सिद्धांतों में अदिश क्षेत्रों का उपयोग गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का वर्णन करने के लिए किया जाता है।
स्केलर-टेंसर सिद्धांत | स्केलर-टेंसर सिद्धांत एक टेंसर और एक स्केलर दोनों के माध्यम से गुरुत्वीय अंतःक्रिया का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस तरह के प्रयास उदाहरण के लिए पास्कल जॉर्डन सिद्धांत हैं^[6] कलुज़ा-क्लेन सिद्धांत और ब्रान्स-डिके सिद्धांत के सामान्यीकरण के रूप में।^[7]

मानक मॉडल के हिग्स क्षेत्र को अदिश क्षेत्र के रूप में उपयोग करते हुए, हिग्स क्षेत्र जैसे अदिश क्षेत्र अदिश-टेंसर सिद्धांतों के भीतर पाए जा सकते हैं।^[8]^[9] यह क्षेत्र उन कणों के साथ गुरुत्वाकर्षण और युकावा इंटरेक्शन-जैसे (लघु-श्रेणी) का संपर्क करता है जो इसके माध्यम से द्रव्यमान प्राप्त करते हैं।^[10]

स्केलर फ़ील्ड सुपरस्ट्रिंग सिद्धांतों के भीतर तनु क्षेत्रों के रूप में पाए जाते हैं, स्ट्रिंग के अनुरूप समरूपता को तोड़ते हुए, हालांकि इस टेंसर की क्वांटम विसंगतियों को संतुलित करते हैं।^[11]
अदिश क्षेत्रों की परिकल्पना प्रारंभिक ब्रह्मांड के उच्च त्वरित विस्तार (मुद्रास्फीति (ब्रह्मांड विज्ञान)) के कारण हुई है,^[12] क्षितिज की समस्या को हल करने में मदद करना और ब्रह्माण्ड विज्ञान के गैर-लुप्त होने वाले ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के लिए एक काल्पनिक कारण देना। इस संदर्भ में मासलेस (यानी लंबी दूरी की) स्केलर फील्ड्स को इनफ्लैटॉन्स के रूप में जाना जाता है। बड़े पैमाने पर (यानी शॉर्ट-रेंज) स्केलर फ़ील्ड भी प्रस्तावित हैं, उदाहरण के लिए हिग्स-जैसे फ़ील्ड का उपयोग करना।^[13]

अन्य प्रकार के क्षेत्र

सदिश क्षेत्र, जो एक सदिश (ज्यामिति) को अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु से जोड़ते हैं। मौसम विज्ञान में वेक्टर क्षेत्रों के कुछ उदाहरणों में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र और वायु प्रवाह (हवा) शामिल हैं।
टेंसर क्षेत्र, जो एक टेंसर को अंतरिक्ष में हर बिंदु से जोड़ता है। उदाहरण के लिए, सामान्य सापेक्षता गुरुत्वाकर्षण आइंस्टीन टेंसर नामक टेंसर क्षेत्र से जुड़ा हुआ है। कलुजा-क्लेन सिद्धांत में, स्पेसटाइम को पांच आयामों तक बढ़ाया जाता है और इसके रीमैन वक्रता टेंसर को साधारण आयाम में अलग किया जा सकता है। चार-आयामी गुरुत्वाकर्षण और एक अतिरिक्त सेट, जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लिए मैक्सवेल के समीकरणों के बराबर है, साथ ही एक अतिरिक्त स्केलर क्षेत्र डिलेटन के नाम से जाना जाता है।^{[citation needed]} (स्ट्रिंग थ्योरी में बड़े पैमाने पर बोसोनिक क्षेत्रों में डिलेटन स्केलर भी पाया जाता है।)

यह भी देखें

स्केलर क्षेत्र सिद्धांत
वेक्टर बोसोन
वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन

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संदर्भ

↑ Apostol, Tom (1969). गणना. Vol. II (2nd ed.). Wiley.
↑ "Scalar", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
↑ "Scalar field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
↑ Technically, pions are actually examples of pseudoscalar mesons, which fail to be invariant under spatial inversion, but are otherwise invariant under Lorentz transformations.
↑ P.W. Higgs (Oct 1964). "टूटी हुई समरूपता और गेज बोसोन का द्रव्यमान". Phys. Rev. Lett. 13 (16): 508–509. Bibcode:1964PhRvL..13..508H. doi:10.1103/PhysRevLett.13.508.
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श्रेणी:बहुभिन्नरूपी कलन श्रेणी:वीडियो क्लिप वाले लेख श्रेणी:अदिश भौतिक राशियां

[1] Apostol, Tom (1969). गणना. Vol. II (2nd ed.). Wiley.

[2] "Scalar", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[3] "Scalar field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[4] Technically, pions are actually examples of pseudoscalar mesons, which fail to be invariant under spatial inversion, but are otherwise invariant under Lorentz transformations.

[5] P.W. Higgs (Oct 1964). "टूटी हुई समरूपता और गेज बोसोन का द्रव्यमान". Phys. Rev. Lett. 13 (16): 508–509. Bibcode:1964PhRvL..13..508H. doi:10.1103/PhysRevLett.13.508.

[6] Jordan, P. (1955). गुरुत्वाकर्षण और अंतरिक्ष. Braunschweig: Vieweg.

[7] Brans, C.; Dicke, R. (1961). "मच का सिद्धांत और गुरुत्वाकर्षण का एक सापेक्षवादी सिद्धांत". Phys. Rev. 124 (3): 925. Bibcode:1961PhRv..124..925B. doi:10.1103/PhysRev.124.925.

[8] Zee, A. (1979). "गुरुत्वाकर्षण का टूटा-सममित सिद्धांत". Phys. Rev. Lett. 42 (7): 417–421. Bibcode:1979PhRvL..42..417Z. doi:10.1103/PhysRevLett.42.417.

[9] Dehnen, H.; Frommert, H.; Ghaboussi, F. (1992). "हिग्स फील्ड और गुरुत्वाकर्षण का एक नया स्केलर-टेंसर सिद्धांत". Int. J. Theor. Phys. 31 (1): 109. Bibcode:1992IJTP...31..109D. doi:10.1007/BF00674344. S2CID 121308053.

[10] Dehnen, H.; Frommmert, H. (1991). "मानक मॉडल के भीतर हिग्स-फील्ड ग्रेविटी". Int. J. Theor. Phys. 30 (7): 985–998 [p. 987]. Bibcode:1991IJTP...30..985D. doi:10.1007/BF00673991. S2CID 120164928.

[11] Brans, C. H. (2005). "अदिश-टेंसर सिद्धांत की जड़ें". arXiv:gr-qc/0506063. Bibcode:2005gr.qc.....6063B. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

[12] Guth, A. (1981). "मुद्रास्फीति ब्रह्मांड: क्षितिज और समतलता की समस्याओं का एक संभावित समाधान". Phys. Rev. D. 23 (2): 347–356. Bibcode:1981PhRvD..23..347G. doi:10.1103/PhysRevD.23.347.

[13] Cervantes-Cota, J. L.; Dehnen, H. (1995). "SU(5) GUT में प्रेरित गुरुत्वाकर्षण मुद्रास्फीति". Phys. Rev. D. 51 (2): 395–404. arXiv:astro-ph/9412032. Bibcode:1995PhRvD..51..395C. doi:10.1103/PhysRevD.51.395. PMID 10018493. S2CID 11077875.

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