ट्रांसफिनिट इंडक्शन

तक की क्रमिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व $\omega ^{\omega }$. सर्पिल का प्रत्येक मोड़ एक शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है $\omega$. ट्रांसफिनिट इंडक्शन के लिए आधार केस (0 के लिए उपयोग किया जाता है), उत्तराधिकारी केस (उन अध्यादेशों के लिए उपयोग किया जाता है जिनके पूर्ववर्ती होते हैं), और एक सीमा मामला (ऑर्डिनल्स के लिए उपयोग किया जाता है जिनके पूर्ववर्ती नहीं होते हैं) को साबित करने की आवश्यकता होती है।

ट्रांसफिनिट इंडक्शन गणितीय इंडक्शन का एक विस्तार है जो सुव्यवस्थित सेटों के लिए होता है। सुव्यवस्थित सेट, उदाहरण के लिए बुनियादी संख्या या क्रमसूचक संख्या के सेट के लिए। इसकी शुद्धता ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी का एक प्रमेय है।

मामलों द्वारा प्रेरण

होने देना $P(\alpha )$ एक संपत्ति (दर्शन) बनें # गणित में गुण सभी अध्यादेशों के लिए परिभाषित $\alpha$. मान लीजिए कि जब भी $P(\beta )$ सभी के लिए सत्य है $\beta <\alpha$, तब $P(\alpha )$ भी सच है। फिर ट्रांसफिनिट इंडक्शन हमें बताता है $P$ सभी अध्यादेशों के लिए सत्य है।

आमतौर पर प्रमाण को तीन मामलों में विभाजित किया जाता है:

• शून्य स्थिति: सिद्ध कीजिए $P(0)$ क्या सच है।
• उत्तराधिकारी का मामला: सिद्ध करें कि किसी भी उत्तराधिकारी के लिए $\alpha +1$, $P(\alpha +1)$ से अनुसरण करता है $P(\alpha )$ (और, यदि आवश्यक हो, $P(\beta )$ सभी के लिए $\beta <\alpha$).
• लिमिट केस: साबित करें कि किसी भी लिमिट के क्रमसूचक सीमा $\lambda$, $P(\lambda )$ से अनुसरण करता है $P(\beta )$ सभी के लिए $\beta <\lambda$.

विचार किए गए अध्यादेश के प्रकार को छोड़कर सभी तीन मामले समान हैं। उन्हें औपचारिक रूप से अलग से विचार करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन व्यवहार में प्रमाण आमतौर पर इतने भिन्न होते हैं कि अलग-अलग प्रस्तुतियों की आवश्यकता होती है। शून्य को कभी-कभी एक सीमा क्रमसूचक माना जाता है और फिर कभी-कभी इसे उसी मामले में प्रमाण के रूप में माना जा सकता है जैसे कि सीमा अध्यादेश।

ट्रांसफिनिट रिकर्सन

ट्रांसफिनिट रिकर्सन ट्रांसफिनिट इंडक्शन के समान है; हालाँकि, यह साबित करने के बजाय कि सभी क्रमिक संख्याओं के लिए कुछ है, हम वस्तुओं का एक क्रम बनाते हैं, प्रत्येक क्रमांक के लिए एक।

एक उदाहरण के रूप में, एक (संभवतः अनंत-आयामी) वेक्टर अंतरिक्ष के लिए एक आधार (सदिश स्थल) खाली सेट से शुरू करके बनाया जा सकता है और प्रत्येक क्रमिक α> 0 के लिए एक वेक्टर का चयन किया जा सकता है जो रैखिक अवधि में नहीं है वैक्टर की $\{v_{\beta }\mid \beta <\alpha \}$. यह प्रक्रिया तब रुक जाती है जब कोई सदिश नहीं चुना जा सकता।

अधिक औपचारिक रूप से, हम ट्रांसफिनिट रिकर्सन प्रमेय को निम्नानुसार बता सकते हैं:

ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन प्रमेय (संस्करण 1)। एक वर्ग समारोह दिया G: V → V (जहाँ V सभी सेटों का वर्ग (सेट सिद्धांत) है), वहाँ एक अद्वितीय ट्रांसफ़िनेट अनुक्रम F: Ord → V (जहाँ Ord सभी अध्यादेशों का वर्ग है) मौजूद है जैसे कि

$F(\alpha )=G(F\upharpoonright \alpha )$ सभी अध्यादेशों के लिए α, जहां $\upharpoonright$ ऑर्डिनल्स <के लिए F के डोमेन के प्रतिबंध को दर्शाता है α।

जैसा कि प्रेरण के मामले में, हम अलग-अलग प्रकार के अध्यादेशों का अलग-अलग इलाज कर सकते हैं: ट्रांसफिनिट रिकर्सन का एक और सूत्र निम्नलिखित है:

ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन प्रमेय (संस्करण 2)'। एक सेट जी दिया₁, और वर्ग कार्य जी₂, जी₃, एक अद्वितीय फ़ंक्शन F: Ord → V मौजूद है जैसे कि

• एफ (0) = जी₁,
• एफ (α + 1) = जी₂(एफ (α)), सभी α ∈ ऑर्ड के लिए,
• $F(\lambda )=G_{3}(F\upharpoonright \lambda )$, सभी सीमा के लिए λ ≠ 0।

ध्यान दें कि हमें G के डोमेन की आवश्यकता है₂, जी₃ उपरोक्त गुणों को अर्थपूर्ण बनाने के लिए पर्याप्त व्यापक होना। इन गुणों को संतुष्ट करने वाले अनुक्रम की विशिष्टता को ट्रांसफिनिट इंडक्शन का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

अधिक आम तौर पर, कोई भी किसी भी अच्छी तरह से स्थापित संबंध आर पर ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा वस्तुओं को परिभाषित कर सकता है। संबंध; यानी किसी भी एक्स के लिए, सभी वाई का संग्रह ऐसा है कि वाईआरएक्स एक सेट है।)

पसंद के स्वयंसिद्ध से संबंध

इंडक्शन और रिकर्सन का उपयोग करने वाले सबूत या निर्माण अक्सर एक सुव्यवस्थित संबंध बनाने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हैं जिसे ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा इलाज किया जा सकता है। हालांकि, यदि प्रश्न में संबंध पहले से ही सुव्यवस्थित है, तो कोई भी अक्सर पसंद के स्वयंसिद्ध को लागू किए बिना ट्रांसफिनिट इंडक्शन का उपयोग कर सकता है। उदाहरण के लिए, बोरेल सेट के बारे में कई परिणाम सेट के क्रमिक रैंक पर ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा सिद्ध होते हैं; ये रैंक पहले से ही सुव्यवस्थित हैं, इसलिए उन्हें अच्छी तरह से व्यवस्थित करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता नहीं है।

विटाली सेट के निम्नलिखित निर्माण से एक तरीका पता चलता है कि पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग एक सबूत में ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा किया जा सकता है:

सबसे पहले, वास्तविक संख्याओं को अच्छी तरह से क्रमित करें (यह वह जगह है जहां पसंद का स्वयंसिद्ध अच्छी तरह से व्यवस्थित प्रमेय के माध्यम से प्रवेश करता है), एक क्रम देते हुए $\langle r_{\alpha }|\alpha <\beta \rangle$, जहां β सातत्य की प्रमुखता के साथ एक क्रमसूचक है। चलो वी₀ बराबर आर₀. फिर चलो वी₁ समान आर_{α1</उप>, जहां α1 कम से कम ऐसा है कि rα1</उप> - वी0 परिमेय संख्या नहीं है। जारी रखना; प्रत्येक चरण में r अनुक्रम से कम से कम वास्तविक का उपयोग करें जिसका किसी भी तत्व के साथ तर्कसंगत अंतर नहीं है जो अब तक v क्रम में निर्मित है। तब तक जारी रखें जब तक r अनुक्रम में सभी वास्तविक समाप्त नहीं हो जाते। अंतिम वी अनुक्रम विटाली सेट की गणना करेगा।}

उपरोक्त तर्क वास्तविक को अच्छी तरह से व्यवस्थित करने के लिए, शुरुआत में ही पसंद के स्वयंसिद्ध सिद्धांत का एक आवश्यक तरीके से उपयोग करता है। उस चरण के बाद, पसंद के स्वयंसिद्ध का फिर से उपयोग नहीं किया जाता है।

पसंद के स्वयंसिद्ध के अन्य उपयोग अधिक सूक्ष्म हैं। उदाहरण के लिए, ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा एक निर्माण अक्सर ए के लिए एक अद्वितीय मान निर्दिष्ट नहीं करेगा_α+1, α तक अनुक्रम दिया गया है, लेकिन केवल एक शर्त निर्दिष्ट करेगा कि A_α+1 संतुष्ट होना चाहिए, और तर्क देना चाहिए कि इस स्थिति को संतुष्ट करने वाला कम से कम एक सेट है। यदि प्रत्येक चरण में इस तरह के एक सेट का एक अनूठा उदाहरण परिभाषित करना संभव नहीं है, तो प्रत्येक चरण में इस तरह के एक का चयन करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध (कुछ रूप) को लागू करना आवश्यक हो सकता है। गणनीय निर्धारित लंबाई के आगमन और पुनरावर्तन के लिए, निर्भर पसंद का कमजोर स्वयंसिद्ध पर्याप्त है। क्योंकि जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के सिद्धांत हैं जो सिद्धांतकारों को सेट करने के लिए हैं जो निर्भर पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करते हैं लेकिन पसंद के पूर्ण स्वयंसिद्ध नहीं हैं, यह ज्ञान कि एक विशेष प्रमाण के लिए केवल निर्भर विकल्प की आवश्यकता होती है, उपयोगी हो सकता है।

यह भी देखें

• गणितीय प्रेरण
• एप्सिलॉन-इंडक्शन|∈-इंडक्शन
• पारलौकिक संख्या
• अच्छी तरह से स्थापित संबंध#प्रवेश और पुनरावर्तन|अच्छी तरह से स्थापित प्रेरण
• ज़ोर्न की लेम्मा

संदर्भ

• Suppes, Patrick (1972), "Section 7.1", Axiomatic set theory, Dover Publications, ISBN 0-486-61630-4

बाहरी संबंध

• Emerson, Jonathan; Lezama, Mark & Weisstein, Eric W. "Transfinite Induction". MathWorld.