विटाली सेट

गणित में, एक विटाली सेट वास्तविक संख्याओं के एक सेट का एक प्राथमिक उदाहरण है, जो लेबेस्गु माप नहीं है, जिसे 1905 में जोसेफ विटाली द्वारा खोजा गया था। विटाली प्रमेय अस्तित्व प्रमेय है कि ऐसे सेट हैं। अनगिनत विटाली सेट हैं, और उनका अस्तित्व पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है। 1970 में, रॉबर्ट एम. सोलोवे ने पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के एक मॉडल का निर्माण किया, जहां वास्तविक संख्याओं के सभी सेट लेबेस्गु मापन योग्य हैं, एक दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व को मानते हुए (कोकिला मॉडल देखें)।

मापने योग्य सेट

कुछ समुच्चयों की एक निश्चित 'लंबाई' या 'द्रव्यमान' होता है। उदाहरण के लिए, अंतराल (गणित) [0, 1] को लंबाई 1 माना जाता है; आम तौर पर, अंतराल [ए, बी], ए ≤ बी, को लंबाई बी − ए माना जाता है। यदि हम ऐसे अंतरालों को समान घनत्व वाली धातु की छड़ों के रूप में सोचते हैं, तो उनके पास भी अच्छी तरह से परिभाषित द्रव्यमान होते हैं। सेट [0, 1] ∪ [2, 3] लंबाई एक के दो अंतराल से बना है, इसलिए हम इसकी कुल लंबाई 2 लेते हैं। द्रव्यमान के संदर्भ में, हमारे पास द्रव्यमान 1 की दो छड़ें हैं, इसलिए कुल द्रव्यमान है 2.

यहां एक स्वाभाविक प्रश्न है: यदि ई वास्तविक रेखा का एक मनमाना उपसमुच्चय है, तो क्या इसका 'द्रव्यमान' या 'कुल लंबाई' है? एक उदाहरण के रूप में, हम पूछ सकते हैं कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय का द्रव्यमान क्या है, यह देखते हुए कि अंतराल [0, 1] का द्रव्यमान 1 है। 1 उचित प्रतीत हो सकता है।

हालांकि द्रव्यमान के निकटतम सामान्यीकरण सिग्मा योगात्मकता है, जो लेबेस्ग माप को जन्म देता है। यह अंतराल [ए, बी] के लिए बी-ए का माप निर्दिष्ट करता है, लेकिन तर्कसंगत संख्याओं के सेट को 0 का माप प्रदान करेगा क्योंकि यह गणनीय है। कोई भी सेट जिसमें एक अच्छी तरह से परिभाषित Lebesgue माप है, को मापने योग्य कहा जाता है, लेकिन Lebesgue माप का निर्माण (उदाहरण के लिए Carathéodory के विस्तार प्रमेय का उपयोग करके) यह स्पष्ट नहीं करता है कि गैर-मापने योग्य सेट मौजूद हैं या नहीं। उस प्रश्न के उत्तर में पसंद का स्वयंसिद्ध शामिल है।

निर्माण और प्रमाण

एक विटाली सेट एक उपसमुच्चय है $V$ अंतराल का (गणित) $[0,1]$ वास्तविक संख्याओं का ऐसा कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए $r$, ठीक एक संख्या है $v\in V$ ऐसा है कि $v-r$ एक परिमेय संख्या है। विटाली सेट मौजूद हैं क्योंकि परिमेय संख्याएँ $\mathbb {Q}$ वास्तविक संख्याओं का एक सामान्य उपसमूह बनाएं $\mathbb {R}$ इसके अलावा, और यह योज्य भागफल समूह के निर्माण की अनुमति देता है $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ इन दो समूहों में से जो योग के अंतर्गत वास्तविक संख्याओं के उपसमूह के रूप में परिमेय संख्याओं के सहसमुच्चयों द्वारा गठित समूह है। इस समूह $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ असंयुक्त सेट की स्थानांतरित प्रतियां शामिल हैं $\mathbb {Q}$ इस अर्थ में कि इस भागफल समूह का प्रत्येक तत्व रूप का एक समूह है $\mathbb {Q} +r$ कुछ के लिए $r$ में $\mathbb {R}$. के बेशुमार सेट तत्व $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ एक सेट का विभाजन $\mathbb {R}$, और प्रत्येक तत्व सघन सेट है $\mathbb {R}$. का प्रत्येक तत्व $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ काटती है $[0,1]$, और पसंद का स्वयंसिद्ध एक सबसेट के अस्तित्व की गारंटी देता है $[0,1]$ के प्रत्येक तत्व में से ठीक एक प्रतिनिधि (गणित) युक्त $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$. इस तरह से बने सेट को विटाली सेट कहा जाता है।

हर विटाली सेट $V$ बेशुमार है, और $v-u$ किसी के लिए तर्कहीन है $u,v\in V,u\neq v$.

गैर-मापनीयता

धनात्मक परिमेय संख्याओं की संभावित गणना

एक विटाली सेट गैर-मापने योग्य नहीं है। इसे दर्शाने के लिए हम यह मान लेते हैं $V$ औसत दर्जे का है और हम एक विरोधाभास प्राप्त करते हैं। होने देना $q_{1},q_{2},\dots$ में परिमेय संख्याओं की गणना हो $[-1,1]$ (याद रखें कि परिमेय संख्याएँ गणनीय होती हैं)। के निर्माण से $V$, ध्यान दें कि अनुवादित सेट $V_{k}=V+q_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}$, $k=1,2,\dots$ जोड़ो में असंयुक्त हैं, और आगे ध्यान दें कि

$[0,1]\subseteq \bigcup _{k}V_{k}\subseteq [-1,2]$.

पहला समावेशन देखने के लिए, किसी भी वास्तविक संख्या पर विचार करें $r$ में $[0,1]$ और जाने $v$ में प्रतिनिधि हो $V$ समतुल्य वर्ग के लिए $[r]$; तब

$r-v=q_{i}$ कुछ तर्कसंगत संख्या के लिए $q_{i}$ में $[-1,1]$ जिसका तात्पर्य है $r$ में है $V_{i}$.

सिग्मा एडिटिविटी का उपयोग करके इन समावेशन के लिए लेबेस्ग उपाय लागू करें:

$1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V_{k})\leq 3.$

क्योंकि Lebesgue उपाय अनुवाद अपरिवर्तनीय है, $\lambda (V_{k})=\lambda (V)$ और इसीलिए

$1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leq 3.$

लेकिन यह असंभव है। निरंतर की असीमित रूप से कई प्रतियाँ $\lambda (V)$ स्थिरांक शून्य है या धनात्मक, इसके अनुसार या तो शून्य या अनंत प्राप्त होता है। किसी भी स्थिति में योग नहीं है $[1,3]$. इसलिए $V$ सब के बाद मापने योग्य नहीं हो सकता है, यानी लेबेस्ग माप $\lambda$ के लिए कोई मान परिभाषित नहीं करना चाहिए $\lambda (V)$.

यह भी देखें

• Banach–Tarski paradox
• Carathéodory's criterion
• Non-measurable set
• Outer measure

ग्रन्थसूची

• Herrlich, Horst (2006). Axiom of Choice. Springer. p. 120. ISBN 9783540309895.
• Vitali, Giuseppe (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani.