कर्नेल (बीजगणित)

बीजगणित में, एक समरूपता (फ़ंक्शन जो बीजगणितीय संरचना को संरक्षित करता है) का कर्नेल आम तौर पर 0 की उलटी छवि है (समूह (गणित) को छोड़कर जिसका संचालन गुणात्मक रूप से निरूपित किया जाता है, जहां कर्नेल 1 की उलटी छवि है)। एक महत्वपूर्ण विशेष मामला कर्नेल (रैखिक बीजगणित) है। गिरी (मैट्रिक्स), जिसे 'शून्य स्थान' भी कहा जाता है, मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित रेखीय मानचित्र का कर्नेल है।

होमोमोर्फिज्म का कर्नेल 0 (या 1) तक कम हो जाता है यदि और केवल अगर होमोमोर्फिज्म इंजेक्शन समारोह होता है, अर्थात यदि प्रत्येक तत्व की उलटी छवि में एक ही तत्व होता है। इसका मतलब यह है कि कर्नेल को उस डिग्री के माप के रूप में देखा जा सकता है जिस पर होमोमोर्फिज्म इंजेक्शन लगाने में विफल रहता है। कुछ प्रकार की संरचना के लिए, जैसे कि एबेलियन समूह और सदिश स्थान, संभावित गुठली ठीक उसी प्रकार की उपसंरचनाएँ हैं। यह हमेशा मामला नहीं होता है, और, कभी-कभी, संभावित गुठली को एक विशेष नाम प्राप्त होता है, जैसे समूहों के लिए सामान्य उपसमूह और अंगूठी (गणित) के लिए दो तरफा आदर्श।

गुठली भागफल वस्तुओं को परिभाषित करने की अनुमति देती है (जिसे सार्वभौमिक बीजगणित में भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित) और श्रेणी सिद्धांत में cokernel भी कहा जाता है)। कई प्रकार की बीजगणितीय संरचना के लिए, समरूपता पर मौलिक प्रमेय (या पहला समरूपता प्रमेय) बताता है कि समरूपता की छवि (गणित) कर्नेल द्वारा भागफल के लिए समरूपता है।

एक कर्नेल की अवधारणा को संरचनाओं तक विस्तारित किया गया है जैसे कि एक एकल तत्व की उलटी छवि यह तय करने के लिए पर्याप्त नहीं है कि एक समरूपता इंजेक्शन है या नहीं। इन स्थितियों में, कर्नेल एक सर्वांगसमता संबंध है।

यह लेख बीजगणितीय संरचनाओं में कुछ महत्वपूर्ण प्रकार के गुठली के लिए एक सर्वेक्षण है।

उदाहरणों का सर्वेक्षण

रैखिक मानचित्र

Main article: Kernel (linear algebra)

चलो वी और डब्ल्यू एक क्षेत्र (गणित) (या अधिक आम तौर पर, एक अंगूठी (गणित) पर मॉड्यूल (गणित)) पर वेक्टर रिक्त स्थान होने दें और टी को वी से डब्ल्यू तक एक रैखिक मानचित्र होने दें। यदि '0'_W W का शून्य सदिश है, तो T का कर्नेल शून्य स्थान {'0' का पूर्व प्रतिबिम्ब है_W}; अर्थात्, V का उपसमुच्चय जिसमें V के वे सभी तत्व शामिल हैं जिन्हें T द्वारा तत्व '0' में मैप किया गया है_W. कर्नेल को आमतौर पर निरूपित किया जाता है ker T, या उसकी कुछ भिन्नता:

$\ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}.$

चूँकि एक रेखीय नक्शा शून्य सदिशों को सुरक्षित रखता है, शून्य सदिश 0_V V का कर्नेल से संबंधित होना चाहिए। परिवर्तन T अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि इसका कर्नेल शून्य उप-स्थान तक कम हो जाता है।

कर्नेल ker T हमेशा V की एक रेखीय उपसमष्टि होती है। इस प्रकार, भागफल समष्टि (रैखिक बीजगणित) V/(ker T) के बारे में बात करना समझ में आता है। वेक्टर रिक्त स्थान के लिए पहला समरूपता प्रमेय बताता है कि यह भागफल स्थान T की छवि (फ़ंक्शन) के लिए प्राकृतिक समरूपता है (जो कि W का एक उप-स्थान है)। परिणामस्वरूप, वी का आयाम (रैखिक बीजगणित) कर्नेल के आयाम और छवि के आयाम के बराबर होता है।

यदि वी और डब्ल्यू परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष हैं | परिमित-आयामी और आधार (रैखिक बीजगणित) चुना गया है, तो टी को मैट्रिक्स (गणित) एम द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और कर्नेल को रैखिक की सजातीय प्रणाली को हल करके गणना की जा सकती है समीकरण Mv = 0. इस स्थिति में, T के कर्नेल को कर्नेल (मैट्रिक्स) M से पहचाना जा सकता है, जिसे M का शून्य स्थान भी कहा जाता है। शून्य स्थान का आयाम, जिसे M की शून्यता कहा जाता है, M माइनस के स्तंभों की संख्या द्वारा दिया जाता है। रैंक-शून्यता प्रमेय के परिणामस्वरूप एम का रैंक (मैट्रिक्स सिद्धांत)।

सजातीय अवकल समीकरणों को हल करना अक्सर कुछ अवकल संकारकों के कर्नेल की गणना करने जैसा होता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा से स्वयं तक सभी दो-भिन्न-भिन्न कार्यों f को खोजने के लिए

$xf''(x)+3f'(x)=f(x),$

वी को सभी दो अलग-अलग कार्यों का स्थान दें, डब्ल्यू को सभी कार्यों का स्थान दें, और एक रैखिक ऑपरेटर टी को वी से डब्ल्यू तक परिभाषित करें

$(Tf)(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x)$

वी और एक्स में एफ के लिए एक मनमाना वास्तविक संख्या। तब अवकल समीकरण के सभी हल ker T में हैं।

एक अंगूठी (गणित) पर मॉड्यूल के बीच समरूप तरीके से समरूपता के लिए गुठली को परिभाषित कर सकते हैं। इसमें एक विशेष मामले के रूप में एबेलियन समूहों के बीच समरूपता के लिए गुठली शामिल है। यह उदाहरण सामान्य एबेलियन श्रेणियों में गुठली के सार को दर्शाता है; कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) देखें।

समूह समरूपता

मान लीजिए कि G और H समूह (गणित) हैं और f को G से H तक एक समूह समाकारिता है। यदि e_H एच का पहचान तत्व है, तो एफ का कर्नेल सिंगलटन सेट {ई का प्रीइमेज है_H}; अर्थात्, G का उपसमुच्चय जिसमें G के वे सभी तत्व शामिल हैं जिन्हें f द्वारा तत्व e में मैप किया गया है_H.

कर्नेल को आमतौर पर निरूपित किया जाता है ker f (या एक भिन्नता)। प्रतीकों में:

$\ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.$

चूंकि एक समूह समरूपता पहचान तत्वों को संरक्षित करती है, पहचान तत्व ई_G G का कर्नेल से संबंधित होना चाहिए।

होमोमोर्फिज्म f अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि इसका कर्नेल केवल सिंगलटन सेट {e_G}. अगर एफ इंजेक्शन नहीं थे, तो गैर-इंजेक्शन तत्व इसके कर्नेल का एक अलग तत्व बना सकते हैं: वहां मौजूद होगा $a,b\in G$ ऐसा है कि $a\neq b$ और $f(a)=f(b)$. इस प्रकार $f(a)f(b)^{-1}=e_{H}$. f एक समूह समरूपता है, इसलिए व्युत्क्रम और समूह संचालन संरक्षित हैं, दे रहे हैं $f\left(ab^{-1}\right)=e_{H}$; दूसरे शब्दों में, $ab^{-1}\in \ker f$, और ker f सिंगलटन नहीं होगा। इसके विपरीत, कर्नेल के विशिष्ट तत्व सीधे इंजेक्शन का उल्लंघन करते हैं: यदि कोई तत्व मौजूद होता $g\neq e_{G}\in \ker f$, तब $f(g)=f(e_{G})=e_{H}$, इस प्रकार f इंजेक्शन नहीं होगा।

ker f G का एक उपसमूह है और आगे यह एक सामान्य उपसमूह है। इस प्रकार, एक संगत भागफल समूह है G/(ker f). यह समूहों के लिए समरूपता प्रमेय द्वारा f (G) के लिए आइसोमोर्फिक है, f के तहत G की छवि (जो H का एक उपसमूह भी है)।

एबेलियन समूहों के विशेष मामले में, पिछले खंड से कोई विचलन नहीं होता है।

उदाहरण

बता दें कि जी 6 तत्वों पर चक्रीय समूह है {0, 1, 2, 3, 4, 5} मॉड्यूलर अंकगणित के साथ, एच 2 तत्वों पर चक्रीय हो {0, 1} मॉड्यूलर जोड़ के साथ, और f समरूपता जो G में प्रत्येक तत्व g को तत्व g modulo 2 में H में मैप करती है। फिर ker f = {0, 2, 4} , क्योंकि इन सभी तत्वों को 0 पर मैप किया गया है_H. भागफल समूह G/(ker f) दो तत्व हैं: {0, 2, 4} और {1, 3, 5} . यह वास्तव में एच के लिए आइसोमोर्फिक है।

रिंग समरूपता

आर और एस को रिंग (गणित) होने दें (एकल बीजगणित माना जाता है) और एफ को आर से एस तक रिंग समरूपता होने दें। अगर 0_S S का शून्य तत्व है, तो f का कर्नेल पूर्णांकों पर रेखीय मानचित्र के रूप में, या, समतुल्य, योगात्मक समूहों के रूप में इसका कर्नेल है। यह शून्य आदर्श {0 की पूर्व-छवि है_S}, जो कि R का उपसमुच्चय है जिसमें R के वे सभी तत्व शामिल हैं जिन्हें f द्वारा तत्व 0 में मैप किया गया है_S. कर्नेल को आमतौर पर निरूपित किया जाता है ker f (या एक भिन्नता)। प्रतीकों में:

$\operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}{\mbox{.}}$

चूँकि एक वलय समरूपता शून्य तत्वों को संरक्षित करती है, शून्य तत्व 0_R R का कर्नेल से संबंधित होना चाहिए। समाकारिता f अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि इसका कर्नेल केवल सिंगलटन सेट {0 है_R}. यह हमेशा होता है यदि R एक क्षेत्र (गणित) है, और S शून्य वलय नहीं है।

चूँकि ker f में गुणक पहचान केवल तभी होती है जब S शून्य वलय होता है, यह पता चलता है कि कर्नेल आम तौर पर R का उपवलय नहीं है। कर्नेल एक सबरिंग (बीजगणित) है, और, अधिक सटीक रूप से, एक दो तरफा आदर्श (रिंग) सिद्धांत) आर. इस प्रकार, भागफल वलय R/(ker f) के बारे में बात करना समझ में आता है। छल्लों के लिए पहला समरूपता प्रमेय कहता है कि यह भागफल वलय स्वाभाविक रूप से f (जो कि S का एक उपसमूह है) की छवि के लिए समरूप है। (ध्यान दें कि रिंग को कर्नेल परिभाषा के लिए यूनिटल होने की आवश्यकता नहीं है)।

कुछ हद तक, इसे मॉड्यूल के लिए स्थिति के एक विशेष मामले के रूप में माना जा सकता है, क्योंकि ये सभी रिंग R पर बिमॉड्यूल हैं:

• आर ही;
• R का कोई दो-तरफा आदर्श (जैसे ker f);
• R का कोई भागफल वलय (जैसे R/(ker f)); और
• किसी भी वलय समरूपता का कोडोमेन जिसका डोमेन R है (जैसे S, f का कोडोमेन)।

हालांकि, समरूपता प्रमेय एक मजबूत परिणाम देता है, क्योंकि अंगूठी समरूपता गुणन को संरक्षित करती है जबकि मॉड्यूल समरूपता (यहां तक ​​कि छल्ले के बीच भी) सामान्य रूप से नहीं होती है।

यह उदाहरण सामान्य मालसेव बीजगणित में गुठली के सार को दर्शाता है।

एकाकार समरूपता

एम और एन को मोनोइड (बीजगणित) होने दें और एफ को एम से एन तक एक मोनोइड समरूपता होने दें। फिर एफ का कर्नेल प्रत्यक्ष उत्पाद का सबसेट है M × M एम के तत्वों के उन सभी क्रमबद्ध युग्मों से मिलकर जिनके घटक दोनों एन में एक ही तत्व के लिए f द्वारा मैप किए गए हैं। कर्नेल को आमतौर पर निरूपित किया जाता है ker f (या उसकी भिन्नता)। प्रतीकों में:

$\operatorname {ker} f=\left\{\left(m,m'\right)\in M\times M:f(m)=f\left(m'\right)\right\}.$

चूंकि एफ एक फ़ंक्शन (गणित) है, फॉर्म के तत्व (m, m) कर्नेल से संबंधित होना चाहिए। समाकारिता f अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि इसकी गिरी केवल समानता (गणित) है {(m, m) : m in M} .

परिणाम यह निकला ker f M पर एक तुल्यता संबंध है, और वास्तव में एक सर्वांगसम संबंध है। इस प्रकार, भागफल मोनॉइड की बात करना समझ में आता है M/(ker f). मोनोइड्स के लिए पहला आइसोमोर्फिज्म प्रमेय कहता है कि यह भागफल मोनोइड एफ की छवि के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है (जो एन का एक submonoid है; सर्वांगसमता संबंध के लिए)।

यह उपरोक्त उदाहरणों से स्वाद में बहुत अलग है। विशेष रूप से, एन के पहचान तत्व की पूर्व छवि एफ के कर्नेल को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

सार्वभौमिक बीजगणित

उपरोक्त सभी मामलों को सार्वभौमिक बीजगणित में एकीकृत और सामान्यीकृत किया जा सकता है।

सामान्य मामला

मान लीजिए A और B किसी दिए गए प्रकार की बीजगणितीय संरचनाएँ हैं और f को A से B तक उस प्रकार की समाकारिता होने दें। तब f का कर्नेल प्रत्यक्ष उत्पाद A × A का सबसेट होता है, जिसमें A के उन सभी ऑर्डर किए गए युग्मों के तत्व शामिल होते हैं, जिनके घटक दोनों f द्वारा B में समान तत्व के लिए मैप किए जाते हैं। कर्नेल को आमतौर पर निरूपित किया जाता है ker f (या एक भिन्नता)। प्रतीकों में:

$\operatorname {ker} f=\left\{\left(a,a'\right)\in A\times A:f(a)=f\left(a'\right)\right\}{\mbox{.}}$

चूँकि f एक फलन (गणित) है, प्रपत्र (a, a) के तत्व कर्नेल से संबंधित होने चाहिए।

होमोमोर्फिज्म f अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि इसका कर्नेल बिल्कुल विकर्ण सेट {(a, a) : a ∈ A} है।

यह देखना आसान है कि ker f, A पर एक तुल्यता संबंध है, और वास्तव में एक सर्वांगसम संबंध है। इस प्रकार, भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित) A/(ker f) के बारे में बात करना समझ में आता है। समरूपता प्रमेय#जनरल इन जनरल यूनिवर्सल बीजगणित कहता है कि यह भागफल बीजगणित स्वाभाविक रूप से f की छवि के लिए समरूप है (जो कि B का एक उप बीजगणित है)।

ध्यान दें कि यहाँ कर्नेल की परिभाषा (जैसा कि मोनॉइड उदाहरण में है) बीजगणितीय संरचना पर निर्भर नहीं करती है; यह विशुद्ध रूप से समुच्चय (गणित)-सैद्धांतिक अवधारणा है। इस सामान्य अवधारणा पर अधिक जानकारी के लिए, अमूर्त बीजगणित के बाहर, एक फ़ंक्शन का कर्नेल देखें।

मालसेव बीजगणित

मालसेव बीजगणित के मामले में, इस रचना को सरल बनाया जा सकता है। प्रत्येक मालसेव बीजगणित में एक विशेष तटस्थ तत्व होता है (वेक्टर रिक्त स्थान के मामले में शून्य वेक्टर, क्रमविनिमेय समूहों के मामले में पहचान तत्व, और अंगूठी (गणित) या मॉड्यूल के मामले में शून्य तत्व)। एक मालसेव बीजगणित की विशेषता यह है कि हम तटस्थ तत्व के समतुल्य वर्ग से संपूर्ण तुल्यता संबंध ker f पुनर्प्राप्त कर सकते हैं।

विशिष्ट होने के लिए, ए और बी को किसी दिए गए प्रकार के मालसेव बीजगणितीय संरचनाएं होने दें और एफ को ए से बी तक उस प्रकार का समरूपता होने दें। यदि ई_B B का तटस्थ तत्व है, तो f का कर्नेल सिंगलटन सेट {e_B}; अर्थात्, A का उपसमुच्चय जिसमें A के वे सभी तत्व शामिल हैं जिन्हें f द्वारा तत्व e में मैप किया गया है_B. कर्नेल को आमतौर पर निरूपित किया जाता है ker f (या एक भिन्नता)। प्रतीकों में:

$\operatorname {ker} f=\{a\in A:f(a)=e_{B}\}{\mbox{.}}$

चूंकि मालसेव बीजगणित समरूपता तटस्थ तत्वों को संरक्षित करती है, पहचान तत्व ई_A A का कर्नेल से संबंधित होना चाहिए। होमोमोर्फिज्म f अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि इसका कर्नेल केवल सिंगलटन सेट {e_A}.

आदर्श (रिंग थ्योरी) की धारणा किसी भी मालसेव बीजगणित (वेक्टर रिक्त स्थान के मामले में रैखिक उप-स्थान के रूप में, समूहों के मामले में सामान्य उपसमूह, छल्ले के मामले में दो तरफा आदर्श, और मॉड्यूल के मामले में submodule) के लिए सामान्य है। बीजगणित)। यह पता चला है कि ker f, A का उप-लजेब्रा नहीं है, लेकिन यह एक आदर्श है। फिर भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित) G/(ker f) के बारे में बात करना समझ में आता है। मालसेव बीजगणित के लिए पहला समरूपता प्रमेय कहता है कि यह भागफल बीजगणित f की छवि के लिए स्वाभाविक रूप से समरूप है (जो कि बी का एक उपलजगणित है)।

अधिक सामान्य प्रकार के बीजगणितों के लिए इसके और सर्वांगसमता संबंध के बीच संबंध इस प्रकार है। सबसे पहले, कर्नेल-एज़-ए-आदर्श तटस्थ तत्व ई का समकक्ष वर्ग है_A कर्नेल-एज़-ए-कन्ग्रेंस के तहत। उलटी दिशा के लिए, हमें मालसेव बीजगणित (जो समूहों के लिए दोनों ओर विभाजन (गणित) है और वेक्टर रिक्त स्थान, मॉड्यूल और रिंगों के लिए घटाव) में भागफल की धारणा की आवश्यकता है। इसका उपयोग करते हुए, ए के तत्व ए और बी कर्नेल-ए-ए-कॉन्ग्रेंस के बराबर हैं यदि और केवल अगर उनका अंश ए/बी कर्नेल-एज-ए-आदर्श का तत्व है।

गैर बीजगणितीय संरचना वाले बीजगणित

कभी-कभी बीजगणित अपने बीजगणितीय संक्रियाओं के अतिरिक्त एक गैर-बीजगणितीय संरचना से लैस होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई टोपोलॉजिकल समूह या टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थान पर विचार कर सकता है, जो एक टोपोलॉजी (संरचना) से लैस हैं। इस मामले में, हम इस अतिरिक्त संरचना को संरक्षित करने के लिए समरूपता च की अपेक्षा करेंगे; टोपोलॉजिकल उदाहरणों में, हम चाहेंगे कि f एक सतत मानचित्र हो। प्रक्रिया भागफल बीजगणित के साथ एक रोड़ा में चल सकती है, जो अच्छी तरह से व्यवहार नहीं किया जा सकता है। टोपोलॉजिकल उदाहरणों में, हम टोपोलॉजिकल बीजगणितीय संरचनाओं को हॉसडॉर्फ स्पेस (जैसा कि आमतौर पर किया जाता है) की आवश्यकता के द्वारा समस्याओं से बच सकते हैं; तब कर्नेल (हालांकि यह निर्मित होता है) एक बंद सेट होगा और भागफल स्थान (टोपोलॉजी) ठीक काम करेगा (और हौसडॉर्फ भी होगा)।

श्रेणी सिद्धांत में गुठली

श्रेणी सिद्धांत में कर्नेल की धारणा एबेलियन बीजगणित के कर्नेल का सामान्यीकरण है; कर्नेल जोड़ीश्रेणी सिद्धांत) देखें। सर्वांगसमता संबंध के रूप में कर्नेल का श्रेणीबद्ध सामान्यीकरण कर्नेल युग्म है। (अंतर कर्नेल, या बाइनरी तुल्यकारक (गणित) की धारणा भी है।)

यह भी देखें

• कर्नेल (रैखिक बीजगणित)
• शून्य सेट

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• गिरी (रैखिक बीजगणित)
• समाकृतिकता
• सदिश स्थल
• रैखिक नक्शा
• शून्य वेक्टर
• preimage
• सबसेट
• रैखिक उपक्षेत्र
• रैखिक समीकरणों की प्रणाली
• भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित)
• अलग करने योग्य समारोह
• अंतर ऑपरेटर
• सजातीय अंतर समीकरण
• एबेलियन श्रेणियां
• एकात्मक बीजगणित
• आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)
• भागफल की अंगूठी
• आरएनजी (बीजगणित)
• शून्य अंगूठी
• bimodule
• क्रमित युग्म
• समारोह (गणित)
• भागफल मोनोइड
• subalgebra
• सेट (गणित)
• एक समारोह का कर्नेल
• तुल्यता वर्ग
• मॉड्यूल (बीजगणित)
• लब्धि
• निरंतर नक्शा

संदर्भ

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-43334-9.

• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.