प्रत्यक्ष उत्पाद

गणित में, अक्सर पहले से ही ज्ञात वस्तुओं के प्रत्यक्ष उत्पाद को परिभाषित कर सकते हैं, एक नया उत्पाद दे सकते हैं। यह उत्पाद सेट पर उपयुक्त रूप से परिभाषित संरचना के साथ अंतर्निहित सेट (गणित) के कार्टेशियन उत्पाद को सामान्यीकृत करता है। अधिक संक्षेप में, कोई उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) के बारे में बात करता है, जो इन धारणाओं को औपचारिक रूप देता है।

उदाहरण सेट, समूह (गणित) (नीचे वर्णित), उत्पाद रिंग और अन्य बीजगणितीय संरचनाओं का उत्पाद हैं। टोपोलॉजिकल स्पेस का उत्पाद टोपोलॉजी एक और उदाहरण है।

प्रत्यक्ष योग भी है - कुछ क्षेत्रों में इसका उपयोग परस्पर विनिमय के लिए किया जाता है, जबकि अन्य में यह एक अलग अवधारणा है।

उदाहरण

• यदि हम विचार करें $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्या के सेट के रूप में, फिर प्रत्यक्ष उत्पाद $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ सिर्फ कार्टेशियन उत्पाद है $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}.$
• यदि हम विचार करें $\mathbb {R}$ जोड़ के तहत वास्तविक संख्याओं के समूह (गणित) के रूप में, फिर प्रत्यक्ष उत्पाद $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ अब भी है $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$ इसके अंतर्निहित सेट के रूप में। इसमें और पिछले उदाहरण में यही अंतर है $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ अब एक समूह है, और इसलिए हमें यह भी कहना होगा कि उनके तत्वों को कैसे जोड़ा जाए। यह परिभाषित करके किया जाता है $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).$
• यदि हम विचार करें $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्या के रिंग (गणित) के रूप में, फिर प्रत्यक्ष उत्पाद $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ फिर से है $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$ इसके अंतर्निहित सेट के रूप में। रिंग संरचना में इसके द्वारा परिभाषित जोड़ होते हैं $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ और गुणन द्वारा परिभाषित $(a,b)(c,d)=(ac,bd).$
• हालांकि अंगूठी $\mathbb {R}$ एक क्षेत्र है (गणित), $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ एक नहीं है, क्योंकि तत्व $(1,0)$ गुणनात्मक व्युत्क्रम नहीं है।

इसी तरह, हम बहुत सी बीजगणितीय संरचनाओं के प्रत्यक्ष उत्पाद के बारे में बात कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .$ यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि प्रत्यक्ष उत्पाद समरूपता तक साहचर्य है। वह है, $(A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)$ किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए $A,$ $B,$ और $C$ उसी तरह का। प्रत्यक्ष उत्पाद भी तुल्याकारिता तक क्रमविनिमेय है, अर्थात, $A\times B\cong B\times A$ किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए $A$ और $B$ उसी तरह का। हम अपरिमित रूप से अनेक बीजगणितीय संरचनाओं के प्रत्यक्ष गुणनफल के बारे में भी बात कर सकते हैं; उदाहरण के लिए हम अनगिनत अनंत प्रतियों का प्रत्यक्ष उत्पाद ले सकते हैं $\mathbb {R} ,$ जिसे हम लिखते हैं $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb .$

समूह प्रत्यक्ष उत्पाद

Main articles: Direct product of groups and Direct sum

समूह (गणित) में दो समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद को परिभाषित किया जा सकता है $(G,\circ )$ और $(H,\cdot ),$ द्वारा चिह्नित $G\times H.$ एबेलियन समूहों के लिए जो योगात्मक रूप से लिखे गए हैं, इसे समूहों का प्रत्यक्ष योग भी कहा जा सकता है, जिसे निरूपित किया जाता है $G\oplus H.$ इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

• नए समूह के तत्वों का सेट (गणित) तत्वों के सेट का कार्टेशियन उत्पाद है $G{\text{ and }}H,$ वह है $\{(g,h):g\in G,h\in H\};$
• इन तत्वों पर एक ऑपरेशन डालें, परिभाषित तत्व-वार:
  $$(g,h)\times \left(g',h'\right)=\left(g\circ g',h\cdot h'\right)$$

ध्यान दें कि $(G,\circ )$ के समान हो सकता है $(H,\cdot ).$ यह निर्माण एक नया समूह देता है। इसका एक सामान्य उपसमूह आइसोमॉर्फिक है $G$ (फॉर्म के तत्वों द्वारा दिया गया $(g,1)$), और एक आइसोमॉर्फिक टू $H$ (तत्व शामिल हैं $(1,h)$).

उल्टा भी रहता है। निम्नलिखित मान्यता प्रमेय है: यदि एक समूह $K$ दो सामान्य उपसमूह शामिल हैं $G{\text{ and }}H,$ ऐसा है कि $K=GH$ और का चौराहा $G{\text{ and }}H$ तब केवल पहचान शामिल है $K$ के लिए आइसोमोर्फिक है $G\times H.$ इन स्थितियों में छूट, सामान्य होने के लिए केवल एक उपसमूह की आवश्यकता होती है, अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद देता है।

उदाहरण के रूप में लें $G{\text{ and }}H$ क्रम 2 के अद्वितीय (समरूपता तक) समूह की दो प्रतियाँ, $C^{2}:$ कहना $\{1,a\}{\text{ and }}\{1,b\}.$ तब $C_{2}\times C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\},$ ऑपरेशन तत्व के साथ तत्व द्वारा। उदाहरण के लिए, $(1,b)^{*}(a,1)=\left(1^{*}a,b^{*}1\right)=(a,b),$ और$(1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1).$ एक प्रत्यक्ष उत्पाद के साथ, हमें कुछ प्राकृतिक समूह समरूपता मुफ्त में मिलती है: द्वारा परिभाषित प्रक्षेपण मानचित्र

$${\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}$$

समन्वय कार्य कहलाते हैं।

इसके अलावा, हर समरूपता $f$ प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए पूरी तरह से इसके घटक कार्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है $f_{i}=\pi _{i}\circ f.$ किसी भी समूह के लिए $(G,\circ )$ और कोई पूर्णांक $n\geq 0,$ प्रत्यक्ष उत्पाद का बार-बार उपयोग सभी के समूह को देता है $n$-टुपल्स $G^{n}$ (के लिए $n=0,$ यह तुच्छ समूह है), उदाहरण के लिए $\mathbb {Z} ^{n}$ और $\mathbb {R} ^{n}.$

मॉड्यूल का प्रत्यक्ष उत्पाद

मॉड्यूल (गणित) के लिए प्रत्यक्ष उत्पाद (मॉड्यूल के टेन्सर उत्पाद के साथ भ्रमित नहीं होना) ऊपर दिए गए समूहों के लिए परिभाषित एक के समान है, कार्टेशियन उत्पाद का उपयोग घटक के अतिरिक्त होने के संचालन के साथ होता है, और स्केलर गुणा बस वितरण करता है सभी घटक। से शुरू $\mathbb {R}$ हमें यूक्लिडियन अंतरिक्ष मिलता है $\mathbb {R} ^{n},$ एक वास्तविक का प्रोटोटाइपिकल उदाहरण $n$-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष। का प्रत्यक्ष उत्पाद $\mathbb {R} ^{m}$ और $\mathbb {R} ^{n}$ है $\mathbb {R} ^{m+n}.$ ध्यान दें कि परिमित सूचकांक के लिए प्रत्यक्ष उत्पाद ${\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के लिए कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक है ${\textstyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}.}$ प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष उत्पाद अनंत सूचकांकों के लिए समरूप नहीं हैं, जहां प्रत्यक्ष योग के तत्व सभी के लिए शून्य हैं, लेकिन प्रविष्टियों की एक सीमित संख्या के लिए। वे श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में दोहरे हैं: प्रत्यक्ष योग प्रतिफल है, जबकि प्रत्यक्ष उत्पाद उत्पाद है।

उदाहरण के लिए विचार करें ${\textstyle X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$ और ${\textstyle Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} ,}$ अनंत प्रत्यक्ष उत्पाद और वास्तविक संख्याओं का प्रत्यक्ष योग। केवल गैर-शून्य तत्वों की परिमित संख्या वाले अनुक्रम ही अंदर हैं $Y.$ उदाहरण के लिए, $(1,0,0,0,\ldots )$ में है $Y$ लेकिन $(1,1,1,1,\ldots )$ क्या नहीं है। ये दोनों क्रम प्रत्यक्ष उत्पाद में हैं $X;$ वास्तव में, $Y$ का उचित उपसमुच्चय है $X$ (वह है, $Y\subset X$).

टोपोलॉजिकल स्पेस डायरेक्ट प्रोडक्ट

टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के संग्रह के लिए प्रत्यक्ष उत्पाद $X_{i}$ के लिए $i$ में $I,$ कुछ इंडेक्स सेट, एक बार फिर कार्टेशियन उत्पाद का उपयोग करता है

$$\prod _{i\in I}X_{i}.$$

टोपोलॉजी को परिभाषित करना थोड़ा मुश्किल है। बहुत से कारकों के लिए, यह करने के लिए स्पष्ट और स्वाभाविक बात है: प्रत्येक कारक से खुले उपसमुच्चय के सभी कार्टेशियन उत्पादों का संग्रह होने के लिए बस खुले सेट के आधार (टोपोलॉजी) के रूप में लें:

$${\mathcal {B}}=\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ :\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\right\}.$$

इस टोपोलॉजी को उत्पाद टोपोलॉजी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सीधे उत्पाद टोपोलॉजी को परिभाषित करना $\mathbb {R} ^{2}$ के खुले सेट द्वारा $\mathbb {R}$ (खुले अंतरालों के संघों को अलग करना), इस टोपोलॉजी के आधार में विमान में खुले आयतों के सभी अलग-अलग संघ शामिल होंगे (जैसा कि यह पता चला है, यह सामान्य मीट्रिक अंतरिक्ष टोपोलॉजी के साथ मेल खाता है)।

अनंत उत्पादों के लिए उत्पाद टोपोलॉजी में एक मोड़ है, और यह सभी प्रक्षेपण मानचित्रों को निरंतर बनाने में सक्षम होने और उत्पाद में सभी कार्यों को निरंतर बनाने के लिए और केवल अगर इसके सभी घटक कार्य निरंतर हैं (अर्थात संतुष्ट करने के लिए) उत्पाद की श्रेणीबद्ध परिभाषा: यहाँ आकारिकी निरंतर कार्य हैं): हम खुले सेट के आधार के रूप में प्रत्येक कारक से खुले उपसमुच्चय के सभी कार्टेशियन उत्पादों के संग्रह के रूप में लेते हैं, पहले की तरह, अनंतिम के साथ सभी लेकिन बहुत से खुले उपसमुच्चय संपूर्ण कारक हैं:

$${\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ :\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{i}=X_{i})\right\}.$$

अधिक प्राकृतिक लगने वाली टोपोलॉजी, इस मामले में, पहले की तरह असीम रूप से कई खुले उपसमुच्चय के उत्पादों को लेने के लिए होगी, और यह कुछ हद तक दिलचस्प टोपोलॉजी, बॉक्स टोपोलॉजी का उत्पादन करती है। हालाँकि निरंतर घटक कार्यों के समूह का एक उदाहरण खोजना बहुत मुश्किल नहीं है जिसका उत्पाद कार्य निरंतर नहीं है (उदाहरण के लिए अलग प्रविष्टि बॉक्स टोपोलॉजी देखें और अधिक)। समस्या जो मोड़ को आवश्यक बनाती है, अंततः इस तथ्य में निहित है कि खुले सेटों का प्रतिच्छेदन केवल टोपोलॉजी की परिभाषा में बहुत से सेटों के लिए खुला होने की गारंटी है।

उत्पाद (उत्पाद टोपोलॉजी के साथ) अपने कारकों के गुणों को संरक्षित करने के संबंध में अच्छे हैं; उदाहरण के लिए, हॉसडॉर्फ स्पेस का उत्पाद हॉसडॉर्फ है; कनेक्टेड रिक्त स्थान का उत्पाद जुड़ा हुआ है, और कॉम्पैक्ट स्पेस का उत्पाद कॉम्पैक्ट है। वह आखिरी वाला, जिसे टाइकोनॉफ प्रमेय कहा जाता है, अभी तक पसंद के स्वयंसिद्ध के लिए एक और समानता है।

अधिक गुणों और समतुल्य योगों के लिए, अलग प्रविष्टि उत्पाद टोपोलॉजी देखें।

द्विआधारी संबंधों का प्रत्यक्ष उत्पाद

द्विआधारी संबंधों के साथ दो सेटों के कार्टेशियन उत्पाद पर $R{\text{ and }}S,$ परिभाषित करना $(a,b)T(c,d)$ जैसा $aRc{\text{ and }}bSd.$ अगर $R{\text{ and }}S$ प्रतिवर्त संबंध , अविचलित संबंध, सकर्मक संबंध, सममित संबंध या एंटीसिमेट्रिक संबंध दोनों हैं, तो $T$ भी होगा। इसी प्रकार, का कुल संबंध $T$ से विरासत में मिला है $R{\text{ and }}S.$ गुणों का संयोजन यह इस प्रकार है कि यह एक पूर्व आदेश होने और समकक्ष संबंध होने के लिए भी लागू होता है। हालांकि, यदि $R{\text{ and }}S$ जुड़े हुए रिश्ते हैं, $T$ कनेक्ट होने की आवश्यकता नहीं है; उदाहरण के लिए, का प्रत्यक्ष उत्पाद $\,\leq \,$ पर $\mathbb {N}$ स्वयं से संबंध नहीं रखता $(1,2){\text{ and }}(2,1).$

== सार्वभौमिक बीजगणित == में प्रत्यक्ष उत्पाद अगर $\Sigma$ एक निश्चित हस्ताक्षर (तर्क) है, $I$ एक मनमाना (संभवतः अनंत) इंडेक्स सेट है, और $\left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}$ का एक अनुक्रमित परिवार है $\Sigma$ बीजगणित, प्रत्यक्ष उत्पाद ${\textstyle \mathbf {A} =\prod _{i\in I}\mathbf {A} _{i}}$ एक है $\Sigma$ बीजगणित को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

• ब्रह्मांड सेट $A$ का $\mathbf {A}$ ब्रह्मांड सेट का कार्टेशियन उत्पाद है $A_{i}$ का $\mathbf {A} _{i},$ औपचारिक रूप से: ${\textstyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.}$
• प्रत्येक के लिए $n$ और प्रत्येक $n$-और ऑपरेशन प्रतीक $f\in \Sigma ,$ इसकी व्याख्या $f^{\mathbf {A} }$ में $\mathbf {A}$ घटकवार, औपचारिक रूप से परिभाषित किया गया है: सभी के लिए $a_{1},\dotsc ,a_{n}\in A$ और प्रत्येक $i\in I,$ $i$वें घटक $f^{\mathbf {A} }\!\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)$ परिभाषित किया जाता है $f^{\mathbf {A} _{i}}\!\left(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\right).$ प्रत्येक के लिए $i\in I,$ $i$वें प्रक्षेपण $\pi _{i}:A\to A_{i}$ द्वारा परिभाषित किया गया है $\pi _{i}(a)=a(i).$ यह के बीच एक विशेषण समरूपता है $\Sigma$ अल्जेब्रास $\mathbf {A} {\text{ and }}\mathbf {A} _{i}.$

एक विशेष मामले के रूप में, यदि index $I=\{1,2\},$ दो का प्रत्यक्ष उत्पाद $\Sigma$ अल्जेब्रास $\mathbf {A} _{1}{\text{ and }}\mathbf {A} _{2}$ प्राप्त होता है, के रूप में लिखा जाता है $\mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2}.$ अगर $\Sigma$ केवल एक बाइनरी ऑपरेशन होता है $f,$ #समूह प्रत्यक्ष उत्पाद की परिभाषा, समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद की, संकेतन का उपयोग करके प्राप्त की जाती है $A_{1}=G,A_{2}=H,$ $f^{A_{1}}=\circ ,\ f^{A_{2}}=\cdot ,\ {\text{ and }}f^{A}=\times .$ इसी तरह, मॉड्यूल के प्रत्यक्ष उत्पाद की परिभाषा यहां सम्मिलित की गई है।

श्रेणीबद्ध उत्पाद

Main article: Product (category theory)

प्रत्यक्ष उत्पाद को एक मनमाना श्रेणी सिद्धांत के रूप में समझा जा सकता है। किसी श्रेणी में, वस्तुओं का संग्रह दिया गया है $(A_{i})_{i\in I}$ एक सेट द्वारा अनुक्रमित $I$, इन वस्तुओं का एक उत्पाद एक वस्तु है $A$ एक साथ morphisms के साथ $p_{i}\colon A\to A_{i}$ सभी के लिए $i\in I$, ऐसा है कि अगर $B$ morphisms के साथ कोई अन्य वस्तु है $f_{i}\colon B\to A_{i}$ सभी के लिए $i\in I$, एक अद्वितीय रूपवाद मौजूद है $B\to A$ जिसकी रचना के साथ $p_{i}$ के बराबर होती है $f_{i}$ हरएक के लिए $i$. ऐसा $A$ और $(p_{i})_{i\in I}$ हमेशा मौजूद नहीं है। यदि वे मौजूद हैं, तो $(A,(p_{i})_{i\in I})$ समरूपता तक अद्वितीय है, और $A$ निरूपित किया जाता है $\prod _{i\in I}A_{i}$.

समूहों की श्रेणी के विशेष मामले में, एक उत्पाद हमेशा मौजूद होता है: का अंतर्निहित सेट $\prod _{i\in I}A_{i}$ के अंतर्निहित सेटों का कार्टेशियन उत्पाद है $A_{i}$, समूह संचालन घटकवार गुणन है, और (होमो) रूपवाद $p_{i}\colon A\to A_{i}$ प्रक्षेपण प्रत्येक टपल को इसके पास भेज रहा है $i$वें समन्वय।

आंतरिक और बाह्य प्रत्यक्ष उत्पाद

See also: Internal direct sum

कुछ लेखक आंतरिक प्रत्यक्ष उत्पाद और बाह्य प्रत्यक्ष उत्पाद के बीच अंतर करते हैं। अगर $A,B\subseteq X$ और $A\times B\cong X,$ तब हम कहते हैं $X$ का आंतरिक प्रत्यक्ष उत्पाद है $A{\text{ and }}B,$ जबकि अगर $A{\text{ and }}B$ सबऑब्जेक्ट नहीं हैं तो हम कहते हैं कि यह एक बाहरी प्रत्यक्ष उत्पाद है।

यह भी देखें

• Direct sum
• Cartesian product
• Coproduct
• Free product
• Semidirect product
• Zappa–Szep product
• Tensor product of graphs
• Orders on the Cartesian product of totally ordered sets

संदर्भ

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556