रिंग समरूपता

अंगूठी सिद्धांत में, अमूर्त बीजगणित की एक शाखा, एक रिंग होमोमोर्फिज्म दो रिंग (बीजगणित) के बीच एक संरचना-संरक्षण कार्य (गणित) है। अधिक स्पष्ट रूप से, यदि आर और एस वलय हैं, तो एक वलय समरूपता एक फलन है f : R → S ऐसा है कि एफ है:

अतिरिक्त संरक्षण:

$f(a+b)=f(a)+f(b)$ आर में सभी ए और बी के लिए,

गुणन संरक्षण:

$f(ab)=f(a)f(b)$ आर में सभी ए और बी के लिए,

और इकाई (गुणात्मक पहचान) को संरक्षित करना:

$f(1_{R})=1_{S}$.

योगात्मक व्युत्क्रम और योगात्मक पहचान भी संरचना का हिस्सा हैं, लेकिन यह स्पष्ट रूप से आवश्यक नहीं है कि उनका भी सम्मान किया जाए, क्योंकि ये स्थितियाँ उपरोक्त तीन स्थितियों के परिणाम हैं।

यदि अतिरिक्त f एक आक्षेप है, तो इसका व्युत्क्रम फलन f है^-1 भी एक वलय समाकारिता है। इस मामले में, f को 'रिंग आइसोमोर्फिज्म' कहा जाता है, और रिंग्स R और S को आइसोमोर्फिक कहा जाता है। रिंग थ्योरी के दृष्टिकोण से, आइसोमॉर्फिक रिंग्स को अलग नहीं किया जा सकता है।

यदि आर और एस हैं आरएनजी (बीजगणित) एस, तो संबंधित धारणा एक की हैरंग समरूपता, तीसरी शर्त के बिना उपरोक्त के रूप में परिभाषित f(1_R) = 1_S. ए रंग (यूनिटल) रिंगों के बीच होमोआकारिता को रिंग होमोमोर्फिज्म नहीं होना चाहिए।

दो रिंग होमोमोर्फिज्म का समारोह रचना एक रिंग होमोमोर्फिज्म है। यह इस प्रकार है कि सभी अंगूठियों का वर्ग (सेट सिद्धांत) एक श्रेणी (गणित) बनाता है जिसमें रिंग होमोमोर्फिम्स मोर्फिज्म (cf. रिंगों की श्रेणी) के रूप में होता है। विशेष रूप से, कोई रिंग एंडोमोर्फिज्म, रिंग आइसोमोर्फिज्म और रिंग ऑटोमोर्फिज्म की धारणा प्राप्त करता है।

गुण

होने देना $f\colon R\rightarrow S$ एक अंगूठी समरूपता हो। फिर, सीधे इन परिभाषाओं से कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है:

• एफ (0_R) = 0_S.
• f(−a) = −f(a) सभी a in R के लिए।
• आर में किसी इकाई तत्व के लिए, एफ (ए) एक इकाई तत्व है जैसे कि f(a⁻¹) = f(a)⁻¹. विशेष रूप से, f, R की इकाइयों के (गुणात्मक) समूह से S (या im(f)) की इकाइयों के समूह (गुणात्मक) समूह से एक समूह समरूपता को प्रेरित करता है।
• f का प्रतिबिम्ब (गणित), जिसे im(f) द्वारा निरूपित किया जाता है, S का उपवलय है।
• च की गिरी (बीजगणित) , के रूप में परिभाषित ker(f) = {a in R : f(a) = 0_S}, R में एक वलय आदर्श है। एक वलय R में प्रत्येक आदर्श इस तरह से कुछ वलय समरूपता से उत्पन्न होता है।
• समाकारिता f अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि ker(f) = {0_R}.
• यदि कोई रिंग होमोमोर्फिज्म मौजूद है f : R → S तब S की विशेषता (बीजगणित) R की विशेषता को विभाजित करती है। इसका उपयोग कभी-कभी यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ रिंग R और S के बीच, कोई रिंग समरूपता नहीं है R → S मौजूद।
• यदि आर_pR और S में समाविष्ट सबसे छोटा उपवलय है_pS में समाविष्ट सबसे छोटा उपवलय है, तो प्रत्येक वलय समरूपता f : R → S रिंग समरूपता को प्रेरित करता है f_p : R_p → S_p.
• यदि R एक क्षेत्र (गणित) है (या अधिक सामान्यतः एक तिरछा क्षेत्र ) और S शून्य वलय नहीं है, तो f अंतःक्षेपी है।
• यदि R और S दोनों क्षेत्र (गणित) हैं, तो im(f) S का एक उपक्षेत्र है, इसलिए S को R के क्षेत्र विस्तार के रूप में देखा जा सकता है।
• यदि R और S क्रमविनिमेय हैं और I, S की एक गुणजावली है तो f⁻¹(I) R की एक गुणजावली है।
• यदि R और S क्रमविनिमेय हैं और P, S की अभाज्य गुणजावली है तो f⁻¹(P) R की एक अभाज्य गुणजावली है।
• यदि R और S क्रमविनिमेय हैं, M, S की उच्चिष्ठ गुणजावली है, और f आच्छादक है, तो f⁻¹(M) R की एक उच्चिष्ठ गुणजावली है।
• यदि R और S क्रमविनिमेय हैं और S एक पूर्णांकीय प्रांत है, तो ker(f) R की एक अभाज्य गुणजावली है।
• यदि R और S क्रमविनिमेय हैं, S एक क्षेत्र है, और f आच्छादक है, तो ker(f) R की एक उच्चिष्ठ गुणजावली है।
• यदि f आच्छादक है, P, R में अभाज्य (अधिकतम) आदर्श है और ker(f) ⊆ P, तो एफ(पी) एस में प्रमुख (अधिकतम) आदर्श है।

इसके अतिरिक्त,

• रिंग होमोमोर्फिज्म का संघटन रिंग होमोमोर्फिज्म है।
• प्रत्येक वलय R के लिए, पहचान मानचित्र R → R एक अंगूठी समरूपता है।
• इसलिए, रिंग होमोमोर्फिज्म के साथ मिलकर सभी रिंगों का वर्ग एक श्रेणी बनाता है, रिंगों की श्रेणी।
• शून्य मानचित्र R → S R के प्रत्येक तत्व को 0 पर भेजना केवल एक वलय समरूपता है यदि S शून्य वलय है (अंगूठी जिसका एकमात्र तत्व शून्य है)।
• प्रत्येक वलय R के लिए, एक अद्वितीय वलय समाकारिता होती है Z → R. यह कहता है कि पूर्णांकों का वलय, छल्लों की श्रेणी (गणित) में एक प्रारंभिक वस्तु है।
• प्रत्येक वलय R के लिए, R से शून्य वलय तक एक अद्वितीय वलय समरूपता है। यह कहता है कि शून्य वलय, छल्लों की श्रेणी में एक अंतिम वस्तु है।

उदाहरण

• कार्यक्रम f : Z → Z/nZ, द्वारा परिभाषित f(a) = [a]_n = a mod n कर्नेल n'Z' के साथ एक विशेषण वलय समरूपता है (मॉड्यूलर अंकगणित देखें)।
• जटिल संयुग्मन C → C एक रिंग होमोमोर्फिज्म है (यह रिंग ऑटोमोर्फिज्म का एक उदाहरण है)।
• प्रधान अभिलाक्षणिक p वाले वलय R के लिए, R → R, x → x^p एक रिंग एंडोमोर्फिज्म है जिसे फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म कहा जाता है।
• यदि R और S वलय हैं, तो R से S तक का शून्य कार्य एक वलय समरूपता है यदि और केवल यदि S शून्य वलय है। (अन्यथा यह मानचित्र 1 में विफल रहता है_R 1_S।) दूसरी ओर, शून्य फलन हमेशा a होता है रंग समरूपता।
• यदि R[X] वास्तविक संख्या R में गुणांक वाले चर 'X में सभी बहुपद ों की अंगूठी को दर्शाता है, और C जटिल संख्या ओं को दर्शाता है, तो फ़ंक्शन f : R[X] → C द्वारा परिभाषित f(p) = p(i) (बहुपद p में चर X के लिए काल्पनिक इकाई i को प्रतिस्थापित करें) एक विशेषण वलय समरूपता है। F के कर्नेल में 'R' [X] में सभी बहुपद शामिल हैं जो विभाज्य हैं X² + 1.
• यदि f : R → S रिंग R और S के बीच रिंग होमोमोर्फिज्म है, फिर f मैट्रिक्स रिंग ्स के बीच रिंग होमोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है M_n(R) → M_n(S).
• मान लीजिए V क्षेत्र k पर एक सदिश स्थान है। फिर नक्शा $\rho :k\to \operatorname {End} (V)$ के द्वारा दिया गया $\rho (a)v=av$ एक अंगूठी समरूपता है। अधिक आम तौर पर, एक एबेलियन ग्रुप एम दिया गया है, रिंग आर पर एम पर एक मॉड्यूल संरचना रिंग होमोमोर्फिज्म देने के बराबर है $R\to \operatorname {End} (M)$.
• क्रमविनिमेय वलय R पर एकात्मक साहचर्य बीजगणित के बीच एक एकात्मक बीजगणित समाकारिता एक वलय समाकारिता है जो मॉड्यूल समाकारिता | R-रैखिक भी है।

गैर-उदाहरण

• कार्यक्रम f : Z/6Z → Z/6Z द्वारा परिभाषित f([a]₆) = [4a]₆ एक है रंग समरूपता (और रंग एंडोमोर्फिज्म), कर्नेल 3Z/6Z और इमेज 2Z/6Z के साथ (जो Z/3Z के लिए आइसोमोर्फिक है)।
• कोई वलय समरूपता नहीं है Z/nZ → Z किसी के लिए n ≥ 1.
• यदि R और S वलय हैं, तो समावेशन $R\to R\times S$ प्रत्येक r को (r, 0) पर भेजना एक rng समरूपता है, लेकिन एक रिंग समरूपता नहीं है (यदि S शून्य वलय नहीं है), क्योंकि यह R की गुणक पहचान 1 को गुणक पहचान (1,1) से मैप नहीं करता है $R\times S$.

अंगूठियों की श्रेणी

Main article: Category of rings

एंडोमोर्फिज्म, आइसोमोर्फिज्म और ऑटोमोर्फिज्म

• एक रिंग एंडोमोर्फिज्म एक रिंग होमोमोर्फिज्म है जो रिंग से खुद में होता है।
• रिंग आइसोमोर्फिज्म एक रिंग होमोमोर्फिज्म है जिसमें 2-तरफा व्युत्क्रम होता है जो कि रिंग होमोमोर्फिज्म भी होता है। कोई यह साबित कर सकता है कि रिंग होमोमोर्फिज्म एक आइसोमोर्फिज्म है अगर और केवल अगर यह अंतर्निहित सेट पर एक फ़ंक्शन के रूप में विशेषण है। यदि दो रिंग आर और एस के बीच रिंग आइसोमोर्फिज्म मौजूद है, तो आर और एस आइसोमोर्फिक कहलाते हैं। आइसोमॉर्फिक रिंग्स केवल तत्वों की रीलेबलिंग से भिन्न होती हैं। उदाहरण: समरूपता तक, क्रम 4 के चार वलय हैं। (इसका अर्थ है कि क्रम 4 के चार जोड़ीदार गैर-समरूपी वलय ऐसे हैं कि क्रम 4 का हर दूसरा वलय उनमें से एक के लिए समरूपी है।) दूसरी ओर, समरूपता तक, ग्यारह हैं rngs क्रम 4.
• एक रिंग ऑटोमोर्फिज्म एक रिंग आइसोमोर्फिज्म है जो रिंग से खुद में होता है।

एकरूपता और अधिरूपता

अंतःक्षेपी वलय समरूपता वलय की श्रेणी में एकरूपता के समान हैं: यदि f : R → S एक मोनोमोर्फिज्म है जो इंजेक्शन नहीं है, तो यह कुछ आर भेजता है₁ और आर₂ एस के एक ही तत्व के लिए। दो मानचित्र जी पर विचार करें₁ और जी₂ Z[x] से R तक वह मानचित्र x से r₁ और आर₂, क्रमश; f ∘ g₁ और f ∘ g₂ समान हैं, लेकिन चूँकि f एक एकरूपता है, यह असंभव है।

हालांकि, विशेषण रिंग होमोमोर्फिज्म, रिंगों की श्रेणी में अधिरूपता से बहुत अलग हैं। उदाहरण के लिए, समावेशन Z ⊆ Q एक रिंग एपिमोर्फिज्म है, लेकिन एक अनुमान नहीं है। हालांकि, वे बिल्कुल मजबूत एपिमोर्फिज्म के समान हैं।

यह भी देखें

• अंगूठियों का परिवर्तन
• रिंग एक्सटेंशन

संदर्भ

• Artin, Michael (1991). Algebra. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall.
• Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., MR 0242802
• Bourbaki, N. (1998). Algebra I, Chapters 1–3. Springer.
• Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. New York: Springer-Verlag. xvi+785. ISBN 0-387-94268-8. MR 1322960.
• Hazewinkel, Michiel (2004). Algebras, rings and modules. Springer-Verlag. ISBN 1-4020-2690-0.
• Jacobson, Nathan (1985). Basic algebra I (2nd ed.). ISBN 9780486471891.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556