मैट्रिक्स रिंग

"Matrix algebra" redirects here. For the algebraic theory of matrices, see Matrix (mathematics) and Linear algebra.

सार बीजगणित में, एक मैट्रिक्स रिंग मैट्रिक्स (गणित) का एक सेट है जिसमें एक रिंग (गणित) आर में प्रविष्टियां होती हैं जो मैट्रिक्स जोड़ और मैट्रिक्स गुणन के तहत एक रिंग बनाती हैं। (Lam 1999). सभी का सेट n × n R में प्रविष्टियों के साथ मैट्रिसेस एक मैट्रिक्स रिंग है जिसे M दर्शाया गया है_n(आर) (वैकल्पिक नोटेशन: मैट_n(आर)और R^n×n). अनंत मैट्रिसेस के कुछ सेट अनंत मैट्रिक्स रिंग बनाते हैं। मैट्रिक्स रिंग का कोई भी सबरिंग एक मैट्रिक्स रिंग है। एक आरएनजी (बीजगणित) के ऊपर, कोई मैट्रिक्स आरएनजी बना सकता है।

जब आर एक क्रमविनिमेय अंगूठी है, तो मैट्रिक्स रिंग एम_n(आर) आर पर एक सहयोगी बीजगणित है, और इसे 'मैट्रिक्स बीजगणित' कहा जा सकता है। इस सेटिंग में, यदि M एक मैट्रिक्स है और r, R में है, तो मैट्रिक्स rM मैट्रिक्स M है, जिसकी प्रत्येक प्रविष्टि को r से गुणा किया जाता है।

उदाहरण

• सभी का सेट n × n R के ऊपर मैट्रिसेस, M को निरूपित करता है_n(आर)। इसे कभी-कभी n-by-n आव्यूहों का पूर्ण वलय कहा जाता है।
• आर के ऊपर सभी ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों का समुच्चय।
• R के ऊपर सभी निचले त्रिकोणीय आव्यूहों का समुच्चय।
• R के ऊपर सभी विकर्ण आव्यूहों का समुच्चय। M का यह subalgebra_n(आर) आर की एन प्रतियों के छल्ले के उत्पाद के लिए बीजगणित समरूपता है।
• किसी भी इंडेक्स सेट I के लिए, सही आर-मॉड्यूल के एंडोमोर्फिज्म का वलय ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$ रिंग के लिए आइसोमोर्फिक है $\mathbb {CFM} _{I}(R)$ स्तंभ परिमित मैट्रिसेस की प्रविष्टियाँ जिनकी प्रविष्टियाँ द्वारा अनुक्रमित की जाती हैं I × I और जिनके प्रत्येक कॉलम में केवल सूक्ष्म रूप से कई गैर-शून्य प्रविष्टियाँ होती हैं। एम के एंडोमोर्फिम्स की अंगूठी को बाएं आर-मॉड्यूल के रूप में माना जाता है जो रिंग के लिए आइसोमोर्फिक है $\mathbb {RFM} _{I}(R)$ पंक्ति परिमित मैट्रिक्स की।
• यदि आर एक बनच बीजगणित है, तो पिछले बिंदु में पंक्ति या स्तंभ परिमितता की स्थिति को शिथिल किया जा सकता है। मानक के स्थान पर, परिमित राशि के बजाय बिल्कुल अभिसरण श्रृंखला का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वे मेट्रिसेस जिनके स्तंभ योग बिल्कुल अभिसारी अनुक्रम हैं, एक वलय बनाते हैं। निश्चित रूप से, वे मेट्रिसेस जिनकी पंक्ति योग बिल्कुल अभिसरण श्रृंखला हैं, वे भी एक वलय बनाते हैं। इस विचार का उपयोग हिल्बर्ट स्पेस का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है # हिल्बर्ट स्पेस पर ऑपरेटर, उदाहरण के लिए।
• पंक्ति परिमित और स्तंभ परिमित मैट्रिक्स वलय का प्रतिच्छेदन एक वलय बनाता है $\mathbb {RCFM} _{I}(R)$.
• यदि R क्रमविनिमेय वलय है, तो M_n(R) में R के ऊपर एक ** - बीजगणित की संरचना है, जहाँ M पर इनवोल्यूशन (गणित)#रिंग थ्योरी * है_n(आर) मैट्रिक्स स्थानान्तरण है।
• यदि A एक C*-बीजगणित है, तो M_n(ए) एक और सी * -बीजगणित है। यदि ए गैर-इकाई है, तो एम_n(ए) गैर-इकाई भी है। गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय के अनुसार, एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष एच और एक आइसोमेट्रिक *-आइसोमोर्फिज्म ए से बीजगणित बी(एच) के निरंतर संचालकों के मानक-बंद सबलजेब्रा में मौजूद है; यह एम की पहचान करता है_n(ए) बी (एच) के एक सबलजेब्रा के साथ^{$\oplus n$</सुप>). सादगी के लिए, यदि हम आगे मानते हैं कि H वियोज्य है और A $\subseteq$ B(H) एक इकाई C*-बीजगणित है, हम A को एक छोटे C*-बीजगणित पर एक मैट्रिक्स रिंग में तोड़ सकते हैं। एक प्रोजेक्शन_(रैखिक_एलजेब्रा)#ऑर्थोगोनल_प्रोजेक्शन p को ठीक करके ऐसा किया जा सकता है और इसलिए इसका ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन 1 − p; कोई ए की पहचान कर सकता है ${\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}$, जहां अनुमानों की ऑर्थोगोनलिटी के कारण मैट्रिक्स गुणन इरादा के अनुसार काम करता है। C*-बीजगणित पर एक मैट्रिक्स रिंग के साथ A की पहचान करने के लिए, हमें आवश्यकता है कि p और 1 − p की रैंक समान हो; अधिक सटीक रूप से, हमें चाहिए कि p और 1 − p मुर्रे-वॉन न्यूमैन समकक्ष हैं, यानी, एक आंशिक आइसोमेट्री यू मौजूद है जैसे कि p = uu* और 1 − p = u*u। इसे बड़े आकार के मैट्रिसेस के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है।}
• जटिल मैट्रिक्स बीजगणित एम_n(सी) समरूपता तक, जटिल संख्याओं के क्षेत्र सी पर एकमात्र परिमित-आयामी सरल साहचर्य बीजगणित हैं। मैट्रिक्स बीजगणित के आविष्कार से पहले, 1853 में विलियम रोवन हैमिल्टन ने एक अंगूठी पेश की, जिसके तत्वों को उन्होंने द्विभाजित कहा और आधुनिक लेखक टेंसर्स को अंदर बुलाएंगे $\mathbf {C} \otimes _{\mathbf {R} }\mathbf {H}$, जिसे बाद में एम के लिए आइसोमॉर्फिक दिखाया गया₂(सी)। एम का एक आधार (रैखिक बीजगणित)।₂(सी) में चार मैट्रिक्स इकाइयाँ होती हैं (मैट्रिसेस एक 1 और अन्य सभी प्रविष्टियाँ 0); एक अन्य आधार पहचान मैट्रिक्स और तीन पॉल मैट्रिसेस द्वारा दिया गया है।
• एक क्षेत्र पर एक मैट्रिक्स रिंग एक फ्रोबेनियस बीजगणित है, उत्पाद के निशान द्वारा दिए गए फ्रोबेनियस फॉर्म के साथ: σ(A, B) = tr(AB).

संरचना

• मैट्रिक्स रिंग एम_n(आर) मुक्त मॉड्यूल के एंडोमोर्फिज्म की अंगूठी के साथ पहचाना जा सकता है। रैंक एन के मुक्त अधिकार आर-मॉड्यूल; वह है, M_n(R) ≅ End_R(Rⁿ). मैट्रिक्स गुणन एंडोमोर्फिज्म की संरचना से मेल खाता है।
• रिंग एम_n(डी) एक विभाजन की अंगूठी के ऊपर डी एक आर्टिनियन रिंग सिंपल रिंग है, एक विशेष प्रकार का [[अर्द्ध साधारण अंगूठी]] छल्ले $\mathbb {CFM} _{I}(D)$ और $\mathbb {RFM} _{I}(D)$ सरल नहीं हैं और आर्टिनियन नहीं हैं यदि सेट I अनंत है, लेकिन वे अभी भी पूर्ण रैखिक छल्ले हैं।
• आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अर्ध-सरल वलय एक परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए समरूप है ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$, कुछ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक r के लिए, धनात्मक पूर्णांक n_i, और विभाजन के छल्ले डी_i.
• जब हम एम देखते हैं_n(सी) सी के रैखिक एंडोमोर्फिज्म की अंगूठी के रूप मेंⁿ, वे आव्यूह जो दिए गए उपस्थान V पर लुप्त हो जाते हैं, एक वाम आदर्श बनाते हैं। इसके विपरीत, एम के दिए गए बाएं आदर्श I के लिए_n(सी) 'आई' में सभी मैट्रिक्स के कर्नेल (रैखिक बीजगणित) का चौराहे सी का उप-स्थान देता है^एन. इस निर्माण के तहत, एम के वामपंथी आदर्श_n(सी) सी के उप-स्थानों के साथ आपत्ति में हैं^एन.
• एम के दो तरफा आदर्श (रिंग थ्योरी) के बीच एक आपत्ति है_n(आर) और आर के दो तरफा आदर्श अर्थात्, आर के प्रत्येक आदर्श I के लिए, सभी का सेट n × n I में प्रविष्टियों के साथ मैट्रिक्स एम का एक आदर्श है_n(आर), और एम के प्रत्येक आदर्श_n(आर) इस तरह से उत्पन्न होता है। इसका तात्पर्य यह है कि एम_n(आर) सरल अंगूठी है अगर और केवल अगर आर सरल है। के लिए n ≥ 2, एम के हर बाएं आदर्श या सही आदर्श नहीं_n(आर) पिछले निर्माण से एक बाएं आदर्श या आर में एक सही आदर्श से उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, मेट्रिसेस का सेट जिसका कॉलम 2 से एन के सूचकांक के साथ सभी शून्य एम में एक बाएं आदर्श हैं_n(आर)।
• पिछला आदर्श पत्राचार वास्तव में इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि छल्ले आर और एम_n(आर) मोरिता समकक्ष हैं। मोटे तौर पर, इसका मतलब है कि बाएं आर-मॉड्यूल की श्रेणी और बाएं एम की श्रेणी_n(आर) -मॉड्यूल बहुत समान हैं। इस वजह से, बाएं आर-मॉड्यूल और बाएं एम के समरूपता वर्गों के बीच एक प्राकृतिक विशेषण पत्राचार होता है_n(आर) - मॉड्यूल, और आर के बाएं आदर्शों के आइसोमोर्फिज्म वर्गों और एम के बाएं आदर्शों के बीच_n(आर)। समान कथन सही मॉड्यूल और सही आदर्शों के लिए मान्य हैं। मोरिटा तुल्यता के माध्यम से, एम_n(आर) किसी भी मोरिटा तुल्यता को प्राप्त करता है। आर के मोरिटा-इनवेरिएंट गुण, जैसे कि साधारण रिंग, आर्टिनियन रिंग, नोथेरियन रिंग, प्राइम रिंग।

गुण

• यदि S, R का एक उपवलय है, तो M_n(एस) एम का एक सबरिंग है_n(आर)। उदाहरण के लिए, एम_n(जेड) एम का एक सबरिंग है_n(क्यू)।
• मैट्रिक्स रिंग एम_n(आर) कम्यूटेटिव रिंग है अगर और केवल अगर n = 0, R = 0, या R क्रमविनिमेय वलय है और n = 1. वास्तव में, यह ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस के सबरिंग के लिए भी सही है। यहाँ दो ऊपरी त्रिभुजों को दर्शाने वाला एक उदाहरण दिया गया है 2 × 2 मैट्रिसेस जो कम्यूट नहीं करते हैं, मान लेते हैं 1 ≠ 0:

  ${\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}$

  और

  ${\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}.$

• एन ≥ 2 के लिए, मैट्रिक्स रिंग एम_n(आर) एक शून्य अंगूठी पर शून्य विभाजक और नीलपोटेंट तत्व होते हैं; वही ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स की अंगूठी के लिए है। में एक उदाहरण 2 × 2 मैट्रिक्स होगा

  ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.$

• एम का केंद्र (रिंग थ्योरी)।_n(आर) में पहचान मैट्रिक्स के स्केलर गुणक होते हैं, $I_{n}$, जिसमें स्केलर R के केंद्र से संबंधित है।
• एम का इकाई समूह_n(आर), गुणन के तहत व्युत्क्रमणीय मेट्रिसेस से मिलकर, जीएल निरूपित किया जाता है_n(आर)।
• यदि F एक क्षेत्र है, तो M में किन्हीं दो आव्यूहों A और B के लिए_n(एफ), समानता AB = $I_{n}$ तात्पर्य BA = $I_{n}$. हालांकि यह हर रिंग आर के लिए सही नहीं है। एक वलय R जिसके मैट्रिक्स वलय सभी में उल्लिखित गुण हैं, एक स्थिर रूप से परिमित वलय के रूप में जाना जाता है (Lam 1999, p. 5).

मैट्रिक्स मोटी हो जाओ

वास्तव में, आर को एम के लिए केवल एक सेमीरिंग होना चाहिए_n(आर) परिभाषित किया जाना है। इस मामले में एम_n(आर) एक सेमीरिंग है, जिसे 'मैट्रिक्स सेमीरिंग' कहा जाता है। इसी प्रकार, यदि R एक क्रमविनिमेय सेमिरिंग है, तो M_n(आर) एक 'हैmatrix semialgebra.

उदाहरण के लिए, यदि आर बूलियन सेमिरिंग है (दो-तत्व बूलियन बीजगणित आर= {0,1} 1 + 1 = 1 के साथ), फिर एम_n(आर) संघ के साथ संघ के साथ एक एन-एलिमेंट सेट पर द्विआधारी संबंधों की संगोष्ठी है, गुणन के रूप में संबंधों की संरचना, शून्य के रूप में खाली संबंध (शून्य मैट्रिक्स) और पहचान तत्व के रूप में पहचान संबंध (पहचान मैट्रिक्स)।

यह भी देखें

• केंद्रीय सरल बीजगणित
• क्लिफर्ड बीजगणित
• हर्विट्ज़ प्रमेय (सामान्य विभाजन बीजगणित)
• सामान्य मैट्रिक्स रिंग
• सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम

संदर्भ

• Lam, T. Y. (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5