विभाजन की अंगूठी

बीजगणित में, एक विभाजन वलय, जिसे तिरछा क्षेत्र भी कहा जाता है, एक शून्य वलय वलय (गणित) है जिसमें गैर-शून्य तत्वों द्वारा विभाजन (गणित) को परिभाषित किया गया है। विशेष रूप से, यह एक गैर-तुच्छ अंगूठी है जिसमें प्रत्येक अशून्य तत्व a में एक गुणात्मक व्युत्क्रम होता है, अर्थात, एक तत्व जिसे आमतौर पर दर्शाया जाता है a^–1, ऐसा है कि a a^–1 = a^–1 a = 1. तो, (दाएं) विभाजन को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है a / b = a b^–1, लेकिन इस अंकन से बचा जाता है, जैसा कि किसी को हो सकता है a b^–1 ≠ b^–1 a.

एक क्रमविनिमेय विभाजन वलय एक फ़ील्ड (गणित) है। वेडरबर्न की छोटी प्रमेय का दावा है कि सभी परिमित विभाजन वलय क्रमविनिमेय हैं और इसलिए परिमित क्षेत्र हैं।

ऐतिहासिक रूप से, विभाजन वलय को कभी-कभी फ़ील्ड कहा जाता था, जबकि फ़ील्ड को क्रमविनिमेय फ़ील्ड कहा जाता था। कुछ भाषाओं में, जैसे कि फ़्रेंच भाषा, फ़ील्ड (कोर) के समतुल्य शब्द का उपयोग कम्यूटेटिव और नॉनकम्यूटेटिव दोनों मामलों के लिए किया जाता है, और दो मामलों के बीच अंतर को कॉर्प्स कम्यूटेटिव (कम्यूटेटिव फ़ील्ड) या कॉर्प्स गौचे जैसे गुण जोड़कर किया जाता है। (तिरछा क्षेत्र)।

सभी विभाजन वलय साधारण वलय हैं। अर्थात्, उनके पास शून्य आदर्श और स्वयं के अलावा कोई दो-तरफा आदर्श (रिंग सिद्धांत) नहीं है।

क्षेत्रों और रैखिक बीजगणित से संबंध

सभी फ़ील्ड डिवीज़न रिंग हैं, और प्रत्येक अन्य डिवीज़न रिंग नॉनकम्यूटेटिव है। सबसे प्रसिद्ध उदाहरण चतुर्भुज का वलय है। यदि कोई चतुर्भुजों के निर्माण में वास्तविक संख्या गुणांकों के बजाय केवल तर्कसंगत संख्या की अनुमति देता है, तो उसे एक और विभाजन वलय प्राप्त होता है। सामान्य तौर पर, यदि R एक रिंग है और S, R के ऊपर एक सरल मॉड्यूल है, तो, शूर के लेम्मा द्वारा, S की एंडोमोर्फिज्म रिंग एक डिवीजन रिंग है; प्रत्येक डिवीजन रिंग कुछ सरल मॉड्यूल से इसी तरह उत्पन्न होती है।

अधिकांश रैखिक बीजगणित तैयार किया जा सकता है, और एक क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान के बजाय एक डिवीजन रिंग डी पर मॉड्यूल (गणित) के लिए सही रहता है। ऐसा करने पर यह निर्दिष्ट किया जाना चाहिए कि क्या कोई दाएं या बाएं मॉड्यूल पर विचार कर रहा है, और सूत्रों में बाएं और दाएं को ठीक से अलग करने में कुछ देखभाल की आवश्यकता है। विशेष रूप से, प्रत्येक मॉड्यूल का एक आधार (रैखिक बीजगणित) होता है, और गाऊसी उन्मूलन का उपयोग किया जा सकता है। इसलिए, इन उपकरणों से जो कुछ भी परिभाषित किया जा सकता है वह विभाजन बीजगणित पर काम करता है। मैट्रिक्स (गणित) और उनके उत्पादों को समान रूप से परिभाषित किया गया है, लेकिन एक मैट्रिक्स जो उलटा मैट्रिक्स छोड़ दिया गया है उसे सही उलटा होने की आवश्यकता नहीं है, और यदि ऐसा है, तो इसका दायां उलटा इसके बाएं उलटा से भिन्न हो सकता है।

निर्धारकों को गैर-अनुवांशिक विभाजन बीजगणित पर परिभाषित नहीं किया गया है, और इस अवधारणा की आवश्यकता वाली हर चीज को गैर-अनुवांशिक विभाजन बीजगणित में सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है।

निर्देशांक में काम करते हुए, एक परिमित आयामी दाएं मॉड्यूल के तत्वों को कॉलम वैक्टर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसे दाईं ओर स्केलर द्वारा गुणा किया जा सकता है, और बाईं ओर मैट्रिसेस (रैखिक मानचित्रों का प्रतिनिधित्व) द्वारा गुणा किया जा सकता है; एक परिमित आयामी बाएं मॉड्यूल के तत्वों के लिए, पंक्ति वैक्टर का उपयोग किया जाना चाहिए, जिसे बाईं ओर स्केलर द्वारा और दाईं ओर मैट्रिक्स द्वारा गुणा किया जा सकता है। दाएं मॉड्यूल का दोहरा एक बायां मॉड्यूल है, और इसके विपरीत। मैट्रिक्स के स्थानांतरण को विपरीत डिवीजन रिंग डी पर एक मैट्रिक्स के रूप में देखा जाना चाहिए^{नियम के क्रम में op} (AB)^T = B^TA^T वैध बने रहने के लिए.

डिवीज़न रिंग पर प्रत्येक मॉड्यूल मुफ़्त मॉड्यूल है; अर्थात्, इसका एक आधार होता है, और एक मॉड्यूल के सभी आधार अपरिवर्तनीय आधार संख्या होते हैं। एक डिवीजन रिंग पर परिमित-आयामी मॉड्यूल के बीच रैखिक मानचित्रों को मैट्रिक्स (गणित) द्वारा वर्णित किया जा सकता है; तथ्य यह है कि परिभाषा के अनुसार रेखीय मानचित्र अदिश गुणन के साथ चलते हैं, उन्हें सदिशों के विपरीत दिशा में अदिश की तरह लिखकर अंकन में सबसे आसानी से दर्शाया जाता है। गाऊसी उन्मूलन एल्गोरिथ्म लागू रहता है। मैट्रिक्स का कॉलम रैंक कॉलम द्वारा उत्पन्न दाएं मॉड्यूल का आयाम है, और पंक्ति रैंक पंक्तियों द्वारा उत्पन्न बाएं मॉड्यूल का आयाम है; वेक्टर स्पेस केस के समान प्रमाण का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि ये रैंक समान हैं, और मैट्रिक्स की रैंक को परिभाषित करते हैं।

डिवीजन रिंग एकमात्र रिंग (गणित) है जिस पर प्रत्येक मॉड्यूल मुफ़्त है: एक रिंग आर एक डिवीजन रिंग है यदि और केवल यदि प्रत्येक आर-मॉड्यूल फ्री मॉड्यूल है। एक विभाजन वलय के वलय का केंद्र क्रमविनिमेय होता है और इसलिए एक क्षेत्र होता है। इसलिए प्रत्येक विभाजन वलय अपने केंद्र पर एक विभाजन बीजगणित है। विभाजन के छल्ले को मोटे तौर पर इस आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है कि वे अपने केंद्रों पर परिमित-आयामी या अनंत-आयामी हैं या नहीं। पहले को केंद्रीय रूप से परिमित और दूसरे को केंद्रीय रूप से अनंत कहा जाता है। निस्संदेह, प्रत्येक क्षेत्र अपने केंद्र पर एक-आयामी है। हैमिल्टनियन चतुर्भुज का वलय इसके केंद्र पर एक 4-आयामी बीजगणित बनाता है, जो वास्तविक संख्याओं के समरूपी है।

उदाहरण

• जैसा कि ऊपर बताया गया है, सभी फ़ील्ड (गणित) डिवीजन रिंग हैं।
• चतुर्भुज एक गैर-अनुवांशिक विभाजन वलय बनाते हैं।
• चतुर्भुजों का उपसमुच्चय a + bi + cj + dk, ऐसा है कि a, b, c, और d वास्तविक संख्याओं के एक निश्चित उपक्षेत्र से संबंधित है, एक गैर क्रमविनिमेय विभाजन वलय है। जब यह उपक्षेत्र परिमेय संख्याओं का क्षेत्र है, तो यह परिमेय चतुर्भुजों का विभाजन वलय है।
• होने देना $\sigma :\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ क्षेत्र का एक स्वचालितता बनें $\mathbb {C}$. होने देना $\mathbb {C} ((z,\sigma ))$ जटिल गुणांकों के साथ औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला की अंगूठी को निरूपित करें, जिसमें गुणन को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: गुणांक को सीधे अनिश्चित के साथ बदलने की अनुमति देने के बजाय $z$, के लिए $\alpha \in \mathbb {C}$, परिभाषित करना $z^{i}\alpha :=\sigma ^{i}(\alpha )z^{i}$ प्रत्येक सूचकांक के लिए $i\in \mathbb {Z}$. अगर $\sigma$ जटिल संख्याओं (जैसे जटिल संयुग्म) का एक गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म है, तो लॉरेंट श्रृंखला की परिणामी अंगूठी एक गैर-अनुवांशिक विभाजन अंगूठी है जिसे तिरछा लॉरेंट श्रृंखला अंगूठी के रूप में जाना जाता है; अगर σ = id तो इसमें औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला की अंगूठी शामिल है। इस अवधारणा को किसी भी निश्चित क्षेत्र पर लॉरेंट श्रृंखला की रिंग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है $F$, एक गैरतुच्छ दिया गया $F$-automorphism $\sigma$.

मुख्य प्रमेय

वेडरबर्न की छोटी प्रमेय: सभी परिमित विभाजन वलय क्रमविनिमेय हैं और इसलिए परिमित क्षेत्र हैं। (अर्नेस्ट विट ने एक सरल प्रमाण दिया।)

फ्रोबेनियस प्रमेय (वास्तविक विभाजन बीजगणित): वास्तविक पर एकमात्र परिमित-आयामी साहचर्य विभाजन बीजगणित स्वयं वास्तविक, जटिल संख्याएं और चतुर्भुज हैं।

संबंधित धारणाएँ

पुराने उपयोग में डिवीज़न रिंग को फ़ील्ड कहा जाता था। कई भाषाओं में, एक शब्द जिसका अर्थ शरीर है, का उपयोग डिवीजन रिंगों के लिए किया जाता है, कुछ भाषाओं में या तो कम्यूटेटिव या नॉनकम्यूटेटिव डिवीजन रिंग्स को नामित किया जाता है, जबकि अन्य में विशेष रूप से कम्यूटेटिव डिवीजन रिंग्स (जिसे अब हम अंग्रेजी में फ़ील्ड कहते हैं) निर्दिष्ट करते हैं। फ़ील्ड (गणित) पर लेख में अधिक संपूर्ण तुलना पाई जाती है।

स्क्यू फ़ील्ड नाम में एक दिलचस्प शाब्दिक शब्दार्थ विशेषता है: एक संशोधक (यहां स्क्यू) आधार शब्द (यहां फ़ील्ड) के दायरे को चौड़ा करता है। इस प्रकार एक फ़ील्ड एक विशेष प्रकार का स्क्यू फ़ील्ड है, और सभी स्क्यू फ़ील्ड फ़ील्ड नहीं हैं।

जबकि विभाजन के छल्ले और बीजगणित, जैसा कि यहां चर्चा की गई है, को साहचर्य गुणन माना जाता है, प्रभाग बीजगणित#जरूरी नहीं कि साहचर्य विभाजन बीजगणित जैसे ऑक्टोनियन भी रुचि के हों।

एक निकट-क्षेत्र (गणित) | निकट-क्षेत्र एक विभाजन वलय के समान एक बीजगणितीय संरचना है, सिवाय इसके कि इसमें दो वितरण कानूनों में से केवल एक है।

यह भी देखें

• हुआ की पहचान

संदर्भ

• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 131 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95183-0. Zbl 0980.16001.

अग्रिम पठन

• Cohn, P.M. (1995). Skew fields. Theory of general division rings. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 57. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-43217-0. Zbl 0840.16001.

बाहरी संबंध

• Proof of Wedderburn's Theorem at Planet Math
• Grillet's Abstract Algebra, section VIII.5's characterization of division rings via their free modules.