Quasigroup

गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित में, अर्धसमूह एक बीजगणितीय संरचना है जो एक समूह (गणित) के समान है, इस अर्थ में कि विभाजन (गणित) हमेशा संभव है। Quasigroups मुख्य रूप से समूहों से भिन्न होते हैं, जिसमें उन्हें साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं होती है और न ही एक पहचान तत्व की आवश्यकता होती है।

पहचान तत्व वाले अर्धसमूह को लूप कहा जाता है।

परिभाषाएँ

क्वासिग्रुप की कम से कम दो संरचनात्मक रूप से समकक्ष औपचारिक परिभाषाएँ हैं। एक क्वासिग्रुप को एक बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक सेट के रूप में परिभाषित करता है, और दूसरा, सार्वभौमिक बीजगणित से, एक क्वासिग्रुप को तीन आदिम संचालन के रूप में परिभाषित करता है। एक एकल बाइनरी ऑपरेशन के साथ परिभाषित अर्धसमूह की समरूपता छवि (गणित), हालांकि, अर्धसमूह होने की आवश्यकता नहीं है। हम पहली परिभाषा से शुरू करते हैं।

बीजगणित

एक अर्धसमूह (Q, ∗) एक गैर-खाली सेट (गणित) क्यू है जिसमें एक बाइनरी ऑपरेशन ∗ (यानी, एक मैग्मा (बीजगणित) है, यह दर्शाता है कि एक क्वासिग्रुप को क्लोजर प्रॉपर्टी को संतुष्ट करना है), 'लैटिन स्क्वायर प्रॉपर्टी' का पालन करना। यह बताता है कि, क्यू में प्रत्येक ए और बी के लिए, क्यू में अद्वितीय तत्व एक्स और वाई मौजूद हैं जैसे कि दोनों

ए * एक्स = बी,

वाई * ए = बी

पकड़ना। (दूसरे शब्दों में: सेट का प्रत्येक तत्व प्रत्येक पंक्ति में ठीक एक बार होता है और अर्धसमूह की गुणा तालिका, या केली तालिका के प्रत्येक स्तंभ में ठीक एक बार होता है। यह गुण सुनिश्चित करता है कि परिमित अर्धसमूह की केली तालिका, और विशेष रूप से, परिमित समूह, एक लैटिन वर्ग है।) x और y अद्वितीय होने की आवश्यकता को इस आवश्यकता से प्रतिस्थापित किया जा सकता है कि मेग्मा रद्दीकरण संपत्ति हो। इन समीकरणों के अद्वितीय समाधान लिखे गए हैं x = a \ b और y = b / a. ऑपरेशन '\' और '/' को क्रमशः वाम विभाजन और सही विभाजन कहा जाता है। केली टेबल के संबंध में, पहले समीकरण (बाएं विभाजन) का अर्थ है कि एक पंक्ति में बी प्रविष्टि एक्स कॉलम को चिह्नित करती है जबकि दूसरा समीकरण (दायां विभाजन) का अर्थ है कि कॉलम में बी प्रविष्टि वाई पंक्ति को चिह्नित करती है।

Function_(mathematics)#Standard_functions से लैस खाली सेट अर्धसमूह की इस परिभाषा को पूरा करता है। कुछ लेखक खाली क्वासिग्रुप को स्वीकार करते हैं लेकिन अन्य इसे स्पष्ट रूप से बाहर कर देते हैं।

सार्वभौम बीजगणित

कुछ बीजगणितीय संरचना को देखते हुए, एक गणितीय पहचान एक समीकरण है जिसमें सभी चर निश्चित रूप से सार्वभौमिक परिमाणक होते हैं, और जिसमें सभी संक्रियाएँ (गणित) संरचना के लिए उचित आदिम संक्रियाओं में से होती हैं। बीजगणितीय संरचनाएं जो स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती हैं जो केवल सर्वसमिकाओं द्वारा दी जाती हैं उन्हें विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) कहा जाता है। सार्वभौमिक बीजगणित में कई मानक परिणाम केवल किस्मों के लिए होते हैं। अगर बाएँ और दाएँ विभाजन को आदिम रूप में लिया जाए तो अर्धसमूह एक किस्म बनाते हैं।

एक अर्धसमूह (Q, ∗, \, /) एक प्रकार (2,2,2) बीजगणित है (अर्थात, तीन बाइनरी संक्रियाओं से सुसज्जित) सर्वसमिका को संतुष्ट करता है:

y = x ∗ (x \ y),

y = x \ (x ∗ y),

y = (वाई / एक्स) * एक्स,

वाई = (वाई * एक्स) / एक्स।

दूसरे शब्दों में: गुणन और विभाजन किसी भी क्रम में, एक के बाद एक, एक ही तरफ एक ही तत्व द्वारा, कोई शुद्ध प्रभाव नहीं होता है।

इसलिए अगर (Q, ∗) तब पहली परिभाषा के अनुसार अर्धसमूह है (Q, ∗, \, /) सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में समान अर्धसमूह है। और इसके विपरीत: अगर (Q, ∗, \, /) सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ के अनुसार एक अर्धसमूह है, तब (Q, ∗) पहली परिभाषा के अनुसार अर्धसमूह है।

लूप्स

एक पाश एक अर्धसमूह है जिसमें एक पहचान तत्व होता है; वह है, एक तत्व, ई, ऐसा कि

x ∗ e = x और e ∗ x = x सभी x के लिए Q में।

यह इस प्रकार है कि पहचान तत्व, ई अद्वितीय है, और क्यू के प्रत्येक तत्व में अद्वितीय उलटा तत्व और उलटा तत्व हैं (जो समान होने की आवश्यकता नहीं है)।

एक idempotent तत्व के साथ एक अर्धसमूह को एक मनमुटाव (नुकीला idempotent अर्धसमूह) कहा जाता है; यह एक पाश की तुलना में एक कमजोर धारणा है लेकिन फिर भी आम है क्योंकि, उदाहरण के लिए, एक एबेलियन समूह दिया गया है, (A, +), इसकी घटाव संक्रिया को अर्धसमूह गुणन के रूप में लेने से एक मनमुटाव उत्पन्न होता है (A, −) समूह पहचान (शून्य) के साथ एक नुकीले idempotent में बदल गया। (अर्थात, एक क्वासिग्रुप#होमोटॉपी और आइसोटोपी है (x, y, z) ↦ (x, −y, z).)

एक पाश जो साहचर्य है एक समूह है। एक समूह में एक गैर-सहयोगी मनमुटाव आइसोटोप हो सकता है, लेकिन इसमें एक गैर-सहयोगी पाश आइसोटोप नहीं हो सकता है।

कमजोर सहयोगीता गुण हैं जिन्हें विशेष नाम दिए गए हैं।

उदाहरण के लिए, बॉल रन एक लूप है जो या तो संतुष्ट करता है:

x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = (x ∗ (y ∗ x)) ∗ जेड     Q में प्रत्येक x, y और z के लिए (बायां बोल लूप),

वरना

(((z ∗ x) ∗ y) ∗ x = z ∗ ((x ∗ y) ∗ x)     क्यू में प्रत्येक एक्स, वाई और जेड के लिए (एक सही बोल लूप)।

एक लूप जो बाएँ और दाएँ बोल लूप दोनों है, एक 'मौफंग लूप' है। यह सभी x, y, z के लिए धारण करने वाली निम्नलिखित एकल मौफांग पहचानों में से किसी एक के बराबर है:

x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = ((x ∗ y) ∗ x) ∗ z,

z ∗ (x ∗ (y ∗ x)) = ((z ∗ x) ∗ y) ∗ x,

(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = x ∗ ((y ∗ z) ∗ x), या

(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = (x ∗ (y ∗ z)) ∗ x.

समरूपता

(Smith 2007) निम्नलिखित महत्वपूर्ण गुणों और उपवर्गों को नाम देता है:

अर्द्धसममिति

यदि निम्न समतुल्य सर्वसमिकाएं धारण करती हैं तो अर्धसमूह अर्धसममितीय होता है:

x ∗ y = y / x,

y ∗ x = x \ y,

x = (y ∗ x) ∗ y,

x = y ∗ (x ∗ y)।

हालांकि यह वर्ग विशेष प्रतीत हो सकता है, प्रत्येक क्वासिग्रुप क्यू प्रत्यक्ष उत्पाद क्यूब क्यू पर एक सेमीसिमेट्रिक क्वैसिग्रुप क्यूΔ को प्रेरित करता है।³ निम्नलिखित ऑपरेशन के माध्यम से:

$(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=(y_{3}/x_{2},\,y_{1}\backslash \,x_{3},\,x_{1}\!*y_{2})=(x_{2}/\!/y_{3},\,x_{3}\backslash \!\backslash \,y_{1},\,x_{1}\!*y_{2}),$

जहाँ // और \\ द्वारा दिए गए #Conjugation (पैरास्ट्रोफ़) हैं $y/\!/x=x/y$ और $y\backslash \!\backslash x=x\backslash y$.

कुल समरूपता

एक संकरा वर्ग एक पूरी तरह से सममित अर्धसमूह (कभी-कभी संक्षिप्त TS-quasigroup) होता है जिसमें सभी #Conjugation_(parastrophe) एक संक्रिया के रूप में मेल खाते हैं: x ∗ y = x / y = x \ y. परिभाषित करने का एक और तरीका (समान धारणा) पूरी तरह से सममित अर्धसमूह एक अर्धसूत्रीय अर्धसमूह के रूप में है जो कम्यूटेटिव भी है, अर्थात x ∗ y = y ∗ x.

स्टेनर प्रणाली के साथ समानुपाती कुल सममित क्वासिग्रुप ठीक हैं (यानी एक आक्षेप में), इसलिए इस तरह के क्वासिग्रुप को स्टेनर क्वासिग्रुप भी कहा जाता है, और कभी-कभी बाद वाले को स्क्वाग के रूप में भी संक्षिप्त किया जाता है। स्लूप शब्द लूप के लिए एक एनालॉग को संदर्भित करता है, अर्थात्, पूरी तरह सममित लूप जो संतुष्ट करते हैं x ∗ x = 1 के बजाय x ∗ x = x. आलस्य के बिना, कुल सममित अर्धसमूह विस्तारित स्टेनर ट्रिपल की ज्यामितीय धारणा के अनुरूप हैं, जिसे सामान्यीकृत अण्डाकार घन वक्र (GECC) भी कहा जाता है।

कुल विषमता

एक अर्धसमूह (Q, ∗) यदि सभी के लिए पूरी तरह से विरोधी सममित कहा जाता है c, x, y ∈ Q, निम्नलिखित दोनों निहितार्थ मान्य हैं:

1. (सी * एक्स) * वाई = (सी * वाई) * एक्स का तात्पर्य है कि एक्स = वाई
2. x ∗ y = y ∗ x का तात्पर्य है कि x = y।

इसे 'कमजोर रूप से पूरी तरह से विरोधी सममित' कहा जाता है यदि केवल पहला निहितार्थ है।

यह संपत्ति आवश्यक है, उदाहरण के लिए, धूल एल्गोरिथ्म में।

उदाहरण

• प्रत्येक समूह (गणित) एक लूप है, क्योंकि a ∗ x = b अगर और केवल अगर x = a⁻¹ ∗ b, और y ∗ a = b अगर और केवल अगर y = b ∗ a⁻¹.
• पूर्णांक Z (या परिमेय संख्या Q या वास्तविक संख्या R) घटाव (-) के साथ अर्धसमूह बनाते हैं। ये अर्धसमूह लूप नहीं हैं क्योंकि कोई पहचान तत्व नहीं है (0 एक सही पहचान है क्योंकि a − 0 = a, लेकिन वामपंथी पहचान नहीं क्योंकि, सामान्य तौर पर, 0 − a ≠ a).
• अशून्य परिमेय Q^× (या शून्येतर वास्तविक आर^×) विभाजन (गणित) (÷) के साथ अर्धसमूह बनाते हैं।
• विशेषता (बीजगणित) के एक क्षेत्र (गणित) पर कोई भी सदिश स्थान 2 रूपों के बराबर नहीं है, ऑपरेशन के तहत एक आदर्श, विनिमेय अर्धसमूह x ∗ y = (x + y) / 2.
• हर स्टाइनर प्रणाली एक आदर्श, क्रमविनिमेय अर्धसमूह को परिभाषित करती है: a ∗ b a और b वाले ट्रिपल का तीसरा तत्व है। ये अर्धसमूह भी संतुष्ट करते हैं (x ∗ y) ∗ y = x अर्धसमूह में सभी x और y के लिए। इन अर्धसमूहों को स्टेनर अर्धसमूहों के रूप में जाना जाता है।
• सेट {±1, ±i, ±j, ±k} कहाँ ii = jj = kk = +1 और अन्य सभी उत्पादों के साथ जैसा कि क्वाटरनियन समूह में होता है, ऑर्डर 8 का एक गैर-सहयोगी लूप बनाता है। इसके आवेदन के लिए हाइपरबोलिक क्वाटरनियन#ऐतिहासिक समीक्षा देखें। (अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण स्वयं एक पाश या अर्धसमूह नहीं बनाते हैं।)
• गैर-शून्य Octonions गुणन के तहत एक गैर-सहयोगी पाश बनाते हैं। ऑक्टोनियन एक विशेष प्रकार का लूप होता है जिसे मौफांग लूप के रूप में जाना जाता है।
• एक साहचर्य अर्धसमूह या तो खाली है या चतुर्धातुक समूह है, क्योंकि यदि कम से कम एक तत्व है, तो साहचर्य के साथ संयुक्त अर्धसमूह बाइनरी ऑपरेशन के अर्धग्रुप#Inverse_properties का तात्पर्य एक पहचान तत्व के अस्तित्व से है जो तब व्युत्क्रम तत्वों के अस्तित्व को दर्शाता है, इस प्रकार एक समूह की सभी तीन आवश्यकताओं को पूरा करना।
• निम्नलिखित निर्माण हंस ज़ैसेनहॉस के कारण है। चार आयामी वेक्टर अंतरिक्ष 'एफ' के अंतर्निहित सेट पर⁴ 3-एलिमेंट गाल्वा का मैदान के ऊपर F = Z/3Z परिभाषित करना

(एक्स₁, एक्स₂, एक्स₃, एक्स₄) ∗ (और₁, और₂, और₃, और₄) = (एक्स₁, एक्स₂, एक्स₃, एक्स₄) + (और₁, और₂, और₃, और₄) + (0, 0, 0, (एक्स₃ - और₃)(एक्स₁y₂ - एक्स₂y₁)).

तब, (F⁴, ∗) क्रमविनिमेय मौफांग लूप है जो समूह नहीं है।

• अधिक सामान्यतः, किसी भी विभाजन बीजगणित के शून्येतर तत्व अर्धसमूह बनाते हैं।

गुण

In the remainder of the article we shall denote quasigroup multiplication simply by juxtaposition.

Quasigroups में रद्द करने की संपत्ति है: यदि ab = ac, तब b = c. यह ab या ac के बाएं विभाजन की विशिष्टता से अनुसरण करता है। इसी प्रकार यदि ba = ca, तब b = c.

क्वासिग्रुप्स के लैटिन वर्ग गुण का अर्थ है कि, तीन में से किन्हीं दो चरों को दिया गया है xy = z, तीसरा चर विशिष्ट रूप से निर्धारित है।

गुणन संचालक

अर्धसमूह की परिभाषा को बाएँ और दाएँ गुणन संचालकों पर शर्तों के रूप में माना जा सकता है L_x, R_x: Q → Q, द्वारा परिभाषित

${\begin{aligned}L_{x}(y)&=xy\\R_{x}(y)&=yx\\\end{aligned}}$

परिभाषा कहती है कि दोनों मानचित्रण क्यू से स्वयं में आक्षेप हैं। एक मैग्मा क्यू ठीक एक अर्धसमूह है जब क्यू में प्रत्येक एक्स के लिए ये सभी ऑपरेटर विशेषण हैं। व्युत्क्रम मानचित्रण बाएँ और दाएँ विभाजन हैं, अर्थात,

${\begin{aligned}L_{x}^{-1}(y)&=x\backslash y\\R_{x}^{-1}(y)&=y/x\end{aligned}}$

इस अंकन में अर्धसमूह के गुणन और विभाजन संक्रियाओं (#सार्वभौमिक_बीजगणित पर अनुभाग में बताए गए) के बीच की पहचान हैं

${\begin{aligned}L_{x}L_{x}^{-1}&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\L_{x}^{-1}L_{x}&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R_{x}R_{x}^{-1}&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (y/x)x&=y\\R_{x}^{-1}R_{x}&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (yx)/x&=y\end{aligned}}$

जहाँ 1 Q पर पहचान मानचित्रण को दर्शाता है।

लैटिन वर्ग

Main article: Latin square

एक लैटिन वर्ग, एक अर्धसमूह के लिए बिना सीमा वाली गुणा तालिका जिसके 10 तत्व अंक 0–9 हैं।

एक परिमित क्वासिग्रुप की गुणन तालिका एक लैटिन वर्ग है: ए n × n तालिका n विभिन्न प्रतीकों से इस तरह से भरी हुई है कि प्रत्येक प्रतीक प्रत्येक पंक्ति में ठीक एक बार और प्रत्येक कॉलम में ठीक एक बार आता है।

इसके विपरीत, प्रत्येक लैटिन वर्ग को कई तरीकों से अर्धसमूह की गुणा तालिका के रूप में लिया जा सकता है: सीमा पंक्ति (कॉलम हेडर युक्त) और सीमा कॉलम (पंक्ति शीर्षलेख युक्त) प्रत्येक तत्वों का क्रमपरिवर्तन हो सकता है। छोटे लैटिन वर्ग और क्वैसिग्रुप देखें।

अनंत अर्धसमूह

एक अनगिनत अनंत क्वासिग्रुप क्यू के लिए, एक अनंत सरणी की कल्पना करना संभव है जिसमें प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक कॉलम क्यू के कुछ तत्व क्यू से मेल खाता है, और जहां तत्व a ∗ b ए से संबंधित पंक्ति में है और कॉलम बी पर प्रतिक्रिया दे रहा है। इस स्थिति में भी, लैटिन वर्ग संपत्ति का कहना है कि अनंत सरणी की प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में हर संभव मान ठीक एक बार होगा।

गुणा के तहत गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं के समूह जैसे अनगिनत अनंत अर्धसमूह के लिए, लैटिन वर्ग संपत्ति अभी भी रखती है, हालांकि नाम कुछ असंतोषजनक है, क्योंकि संयोजनों की सरणी का उत्पादन करना संभव नहीं है जिसके लिए उपरोक्त विचार एक अनंत सरणी का विस्तार होता है क्योंकि सभी वास्तविक संख्याएँ एक क्रम में नहीं लिखी जा सकती हैं। (हालांकि यह कुछ हद तक भ्रामक है, क्योंकि वास्तविक को लंबाई के क्रम में लिखा जा सकता है ${\mathfrak {c}}$, सुव्यवस्थित प्रमेय मानते हुए।)

उलटा गुण

क्वासिग्रुप का बाइनरी ऑपरेशन इस अर्थ में उलटा है कि दोनों $L_{x}$ और $R_{x}$, Quasigroup#Multiplication_operators, विशेषण हैं, और इसलिए उलटा कार्य करते हैं।

प्रत्येक पाश तत्व के द्वारा दिया गया एक अद्वितीय बाएँ और दाएँ व्युत्क्रम होता है

$x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e$

$x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e$

कहा जाता है कि एक पाश में (दो तरफा) व्युत्क्रम होता है $x^{\lambda }=x^{\rho }$ सभी एक्स के लिए इस मामले में उलटा तत्व आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $x^{-1}$.

लूप में व्युत्क्रमों की कुछ मजबूत धारणाएँ हैं जो अक्सर उपयोगी होती हैं:

• एक लूप में बाएं उलटा गुण होता है यदि $x^{\lambda }(xy)=y$ सभी के लिए $x$ और $y$. समान रूप से, $L_{x}^{-1}=L_{x^{\lambda }}$ या $x\backslash y=x^{\lambda }y$.
• एक लूप में सही उलटा गुण होता है यदि $(yx)x^{\rho }=y$ सभी के लिए $x$ और $y$. समान रूप से, $R_{x}^{-1}=R_{x^{\rho }}$ या $y/x=yx^{\rho }$.
• एक लूप में एंटीऑटोमोर्फिक उलटा गुण होता है यदि $(xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }$ या, समकक्ष, अगर $(xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }$.
• एक लूप में कमजोर उलटा गुण होता है जब $(xy)z=e$ अगर और केवल अगर $x(yz)=e$. इसे व्युत्क्रम के माध्यम से कहा जा सकता है $(xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }$ या समकक्ष $x(yx)^{\rho }=y^{\rho }$.

एक लूप में उलटा गुण होता है यदि इसमें बाएँ और दाएँ दोनों उलटा गुण होते हैं। व्युत्क्रम संपत्ति के छोरों में भी एंटीऑटोमोर्फिक और कमजोर उलटा गुण होते हैं। वास्तव में, कोई भी लूप जो उपरोक्त चार सर्वसमिकाओं में से किन्हीं दो को संतुष्ट करता है, उसके पास व्युत्क्रम गुण होता है और इसलिए वह चारों को संतुष्ट करता है।

कोई भी लूप जो बाएँ, दाएँ, या एंटीऑटोमॉर्फिक व्युत्क्रम गुणों को संतुष्ट करता है, स्वचालित रूप से दो तरफा व्युत्क्रम होता है।

आकारिकी

अर्धसमूह या पाश समाकारिता एक मानचित्र है (गणित) f : Q → P दो अर्धसमूहों के बीच जैसे कि f(xy) = f(x)f(y). Quasigroup समरूपता आवश्यक रूप से बाएँ और दाएँ विभाजन, साथ ही साथ पहचान तत्वों (यदि वे मौजूद हैं) को संरक्षित करते हैं।

समरूपता और समस्थानिक

Main article: Isotopy of loops

Q और P को अर्धसमूह होने दें। Q से P तक एक 'क्वैसिग्रुप होमोटॉपी' एक ट्रिपल है (α, β, γ) Q से P तक के नक्शे जैसे कि

$\alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,$

Q में सभी x, y के लिए। एक क्वासिग्रुप होमोमोर्फिज्म सिर्फ एक समरूपता है जिसके लिए तीन मानचित्र समान हैं।

एक 'आइसोटोपी' एक समरूपता है जिसके लिए तीन मानचित्रों में से प्रत्येक (α, β, γ) एक आक्षेप है। यदि उनके बीच एक समस्थानिक है तो दो अर्धसमूह समस्थानिक हैं। लैटिन वर्गों के संदर्भ में, एक समस्थानिक (α, β, γ) पंक्तियों α के क्रमपरिवर्तन, कॉलम β के क्रमपरिवर्तन, और अंतर्निहित तत्व सेट γ पर क्रमचय द्वारा दिया जाता है।

एक ऑटोटोपी एक क्वासिग्रुप से स्वयं के लिए एक आइसोटोपी है। अर्धसमूह के सभी ऑटोटोपियों का सेट एक उपसमूह के रूप में ऑटोमोर्फिज्म समूह के साथ एक समूह बनाता है।

प्रत्येक अर्धसमूह एक पाश के लिए समस्थानिक है। यदि एक लूप एक समूह के लिए समस्थानिक है, तो यह उस समूह के लिए समस्थानिक है और इस प्रकार स्वयं एक समूह है। हालाँकि, एक अर्धसमूह जो एक समूह के लिए समस्थानिक है, एक समूह होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, आर पर क्वैसीग्रुप द्वारा दिए गए गुणन के साथ (x + y)/2 योज्य समूह के लिए समस्थानिक है (R, +), लेकिन स्वयं एक समूह नहीं है। औसत दर्जे का मेग्मा#ब्रुक-टोयोडा प्रमेय|ब्रुक-टोयोडा प्रमेय द्वारा प्रत्येक औसत दर्जे का मैग्मा अर्धसमूह एक एबेलियन समूह के लिए समस्थानिक है।

संयुग्मन (पैरास्ट्रोफ)

बाएँ और दाएँ विभाजन परिभाषित समीकरण में चरों की अनुमति देकर अर्धसमूह बनाने के उदाहरण हैं। मूल संक्रिया से ∗ (अर्थात्, x ∗ y = z) हम पांच नए ऑपरेशन बना सकते हैं: x o y := y ∗ x (विपरीत ऑपरेशन), / और \, और उनके विपरीत। यह कुल छह क्वासिग्रुप ऑपरेशन बनाता है, जिन्हें ∗ के संयुग्म या पैरास्ट्रोफ कहा जाता है। इनमें से किन्हीं दो संक्रियाओं को एक-दूसरे से (और स्वयं से) संयुग्मी या पैरास्ट्रोफिक कहा जाता है।

आइसोस्ट्रोफी (पैराटोपी)

यदि समुच्चय Q में दो अर्धसमूह संक्रियाएँ हैं, ∗ और ·, और उनमें से एक दूसरे के संयुग्मन के लिए समस्थानिक है, तो संक्रियाओं को एक दूसरे के लिए 'आइसोस्ट्रोफिक' कहा जाता है। आइसोस्ट्रोफी के इस संबंध के कई अन्य नाम भी हैं, जैसे, 'पैराटॉपी'।

सामान्यीकरण

पोलीएडिक या मल्टीएरी क्वासिग्रुप्स

एक n-'ary अर्धसमूह' एक arity|n-ary संक्रिया के साथ एक समुच्चय है, (Q, f) साथ f: Qⁿ → Q, जैसे कि समीकरण f(x₁,...,x_n) = y के पास किसी एक चर के लिए एक अनूठा समाधान है यदि अन्य सभी n चर मनमाने ढंग से निर्दिष्ट किए गए हैं। 'Polyadic' या 'multiary' का अर्थ है n-ary कुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांक n के लिए।

एक 0-एरी, या 'न्यूलरी', क्यूसग्रुप क्यू का एक स्थिर तत्व है। ए 1-एरी, या 'यूनरी', क्वासिग्रुप क्यू का खुद के लिए एक आक्षेप है। एक 'बाइनरी', या 2-एरी, अर्धसमूह एक सामान्य अर्धसमूह है।

मल्टीएरी क्वासिग्रुप का एक उदाहरण एक पुनरावृत्त समूह ऑपरेशन है, y = x₁ · x₂ · ··· · x_n; संचालन के क्रम को निर्दिष्ट करने के लिए कोष्ठकों का उपयोग करना आवश्यक नहीं है क्योंकि समूह साहचर्य है। यदि संचालन का क्रम निर्दिष्ट किया गया है, तो एक ही या अलग समूह या अर्धसमूह संचालन के किसी भी अनुक्रम को पूरा करके एक बहु-अर्धसमूह भी बना सकता है।

ऐसे बहुसांस्कृतिक अर्धसमूह मौजूद हैं जिनका इनमें से किसी भी तरीके से प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है। एक एन-आरी क्वैसिग्रुप 'इरेड्यूसिबल' है, यदि इसके संचालन को निम्नलिखित तरीके से दो परिचालनों की संरचना में शामिल नहीं किया जा सकता है:

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots ,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{j}),\,x_{j+1},\dots ,x_{n}),$

कहाँ 1 ≤ i < j ≤ n और (i, j) ≠ (1, n). सभी के लिए परिमित अलघुकरणीय n-आरी अर्धसमूह मौजूद हैं n > 2; विवरण के लिए अकिविस और गोल्डबर्ग (2001) देखें।

सहयोगीता के एन-आरी संस्करण के साथ एक एन-आरी अर्धसमूह को एन-आरी समूह कहा जाता है। एन-आरी समूह।

दाएं- और बाएं-अर्धसमूह

एक सही अर्धसमूह (Q, ∗, /) एक प्रकार (2,2) बीजगणित है जो दोनों सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करता है: वाई = (वाई / एक्स) * एक्स; वाई = (वाई * एक्स) / एक्स।

इसी तरह, एक 'वाम-अर्धसमूह' (Q, ∗, \) एक प्रकार (2,2) बीजगणित है जो दोनों सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करता है: वाई = एक्स ∗ (एक्स \ वाई); वाई = एक्स \ (एक्स * वाई)।

छोटे क्वासिग्रुप्स और लूप्स की संख्या

Main article: Small Latin squares and quasigroups

छोटे अर्धसमूहों के समरूपता वर्गों की संख्या (sequence A057991 in the OEIS) और लूप्स (sequence A057771 in the OEIS) यहाँ दिया गया है:

Order	Number of quasigroups	Number of loops
0	1	0
1	1	1
2	1	1
3	5	1
4	35	2
5	1,411	6
6	1,130,531	109
7	12,198,455,835	23,746
8	2,697,818,331,680,661	106,228,849
9	15,224,734,061,438,247,321,497	9,365,022,303,540
10	2,750,892,211,809,150,446,995,735,533,513	20,890,436,195,945,769,617
11	19,464,657,391,668,924,966,791,023,043,937,578,299,025	1,478,157,455,158,044,452,849,321,016

यह भी देखें

• विभाजन वलय - एक वलय जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व का गुणक व्युत्क्रम होता है
• सेमिग्रुप - एक बीजगणितीय संरचना जिसमें एक सहयोगी बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक सेट होता है
• मोनोइड - एक पहचान तत्व वाला एक अर्धसमूह
• प्लेनर टर्नरी रिंग - एक योगात्मक और गुणक लूप संरचना है
• लूप थ्योरी और क्वैसिग्रुप थ्योरी में समस्याएं
• सुडोकू का गणित

संदर्भ

• Akivis, M. A.; Goldberg, Vladislav V. (2001). "Solution of Belousov's problem". Discussiones Mathematicae - General Algebra and Applications. 21 (1): 93–103. arXiv:math/0010175. doi:10.7151/dmgaa.1030. S2CID 18421746.
• Belousov, V.D. (1967). Foundations of the Theory of Quasigroups and Loops (in русский). Moscow: Izdat. "Nauka". OCLC 472241611.
• Belousov, V.D. (1971). Algebraic Nets and Quasigroups (in русский). Kishinev: Izdat. "Štiinca". OCLC 8292276.
• Belousov, V.D. (1981). Elements of Quasigroup Theory: a Special Course (in русский). Kishinev: Kishinev State University Printing House. OCLC 318458899.
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बाहरी संबंध

• quasigroups
• "Quasi-group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]