स्टेनर प्रणाली

फैनो समतल एक स्टेनर त्रिगुण प्रणाली S (2,3,7) है। ब्लॉक 7 रेखाएँ हैं, प्रत्येक में 3 बिंदु हैं। अंकों की प्रत्येक जोड़ी एक अद्वितीय रेखा से संबंधित है।

साहचर्य गणित में, स्टाइनर प्रणाली (जैकब स्टेनर के नाम पर) एक प्रकार का ब्लॉक अभिकल्पना है, जो कि विशेष रूप से λ = 1 और t = 2 या (हाल ही में) t ≥ 2 के साथ एक t-अभिकल्पना के माध्यम से संदर्भित होता है।

प्राचल निरूपक t, k, n, लिखित S(t,k,n) के साथ एक स्टेनर प्रणाली n है - जिसमे अवयव समुच्चय (गणित) Sसाथ के एक समुच्चय के साथ-साथ S के अवयव उपसमुच्चय (जिसे ब्लॉक कहा जाता है) विशेषता के साथ प्रत्येक t-अवयव का उपसमुच्चय S बिल्कुल एक ब्लॉक में समाहित है। ब्लॉक अभिकल्पना के लिए एक वैकल्पिक संकेतन में, एक S(t,k,n) एक t-(n,k होगा , 1) अभिकल्पना का प्रारूप हो सकता है।

यह परिभाषा अपेक्षाकृत नई है। स्टेनर प्रणालियों की चिरसम्मत परिभाषा के लिए यह भी आवश्यक है कि k = t + 1. एक S(2,3,n) को स्टेनर त्रिगुण कहा जाता था (और अभी भी है) (या ट्रायड) प्रणाली, जबकि एक S(3,4,n) को स्टेनर क्वाड्रपल प्रणाली कहा जाता है, इत्यादि। परिभाषा के सामान्यीकरण के साथ, इस नामकरण प्रणाली का अब सख्तता से पालन नहीं किया जाता है।

ब्लॉक अभिकल्पना में लंबे समय से चली आ रही समस्याएं थीं कि क्या कोई गैर-सूक्ष्म स्टेनर प्रणाली अवस्थित है (गैर-सूक्ष्म अर्थ t<k<n) t ≥ 6 के साथ यह भी कि क्या अपरिमित रूप से बहुतों के पास t = 4 या 5 है। दोनों अस्तित्व 2014 में पीटर कीवाश द्वारा सिद्ध किए गए थे। उनका प्रमाण गैर-रचनात्मक है और 2019 तक, t के बड़े मूल्यों के लिए कोई वास्तविक स्टेनर प्रणाली ज्ञात नहीं है।

स्टेनर प्रणाली के प्रकार

क्रमिक रूप का एक परिमित प्रक्षेप्य समतल q, ब्लॉक के रूप में लाइनों के साथ, एक S(2, q + 1, q² + q + 1) है, चूंकि यह है q² + q + 1 बिंदु, प्रत्येक रेखा q + 1 से होकर गुजरती है, अंक और अलग-अलग बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी ठीक एक रेखा पर स्थित होती है।

क्रम का एक परिमित अफ्फीन तल (घटना ज्यामिति) q, ब्लॉक के रूप में लाइनों के साथ, एक S(2, q, q²) है, क्रमिक रूप का एक सजातीय समतल q प्रक्षेपी तल से एक ब्लॉक और उस ब्लॉक के सभी बिंदुओं को हटाकर उसी क्रम के एक प्रक्षेपी तल से प्राप्त किया जा सकता है। इस तरह से हटाने के लिए अलग-अलग ब्लॉकों को चुनने से गैर-समरूपीय एफ़िन समतल बन सकते हैं।

किसी S(3,4,n) को 'स्टेनर चौगुनी प्रणाली' कहा जाता है। S(3,4,n) के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि n $\equiv$ 2 या 4 (मॉड 6) जिसका संक्षिप्त नाम SQS(n) प्रायः इन प्रणालियों के लिए प्रयोग किया जाता है। समरूपता तक, SQS(8) और SQS(10) अद्वितीय हैं, 4 SQS(14) और 1,054,163 SQS(16) हैं।

एक S (4,5, n) को 'स्टेनर क्विंटुपल प्रणाली' कहा जाता है। ऐसी प्रणाली के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि n $\equiv$ 3 या 5 (मॉड 6) जो उन विचारों से आता है जो सभी चिरसम्मत स्टेनर प्रणालियों पर लागू होते हैं। एक अतिरिक्त आवश्यक शर्त यह है कि n $\not \equiv$ 4 (मॉड 5), जो इस तथ्य से आता है कि ब्लॉकों की संख्या पूर्णांक होनी चाहिए। पर्याप्त शर्तें ज्ञात नहीं हैं किन्तु क्रमबद्ध 11 की एक विशेष स्टेनर क्विंटुपल प्रणाली है, लेकिन क्रमबद्ध 15 या क्रमबद्ध 17 में से कोई भी नहीं है। प्रणाली क्रमबद्ध 23, 35, 47, 71, 83, 107, 131, 167 और 243 के लिए जाने जाते हैं। सबसे छोटा क्रमबद्ध (2011 तक) 21 है जिसके लिए अस्तित्व ज्ञात नहीं है।

स्टेनर त्रिगुण प्रणाली

एक S(2,3,n) को 'स्टेनर त्रिगुण प्रणाली' कहा जाता है, और इसके ब्लॉक को 'ट्रिपल्स' कहा जाता है। क्रमबद्ध n के स्टेनर त्रिगुण प्रणाली के लिए संक्षिप्त नाम एसटीएस (n) देखना साधारण है। जोड़े की कुल संख्या n(n-1)/2 है, जिनमें से तीन एक त्रिगुण में दिखाई देते हैं, और इसलिए त्रिगुण की कुल संख्या n(n−1)/6 है। इससे पता चलता है कि कुछ k के लिए n को 6k+1 या 6k + 3 के रूप में होना चाहिए। तथ्य यह है कि n पर यह स्थिति S (2,3, n) के अस्तित्व के लिए पर्याप्त है, राज चंद्र बोस द्वारा यह सिद्ध किया गया था कि क्रम 2 (फानो तल) का प्रक्षेपी तल एक STS(7) है और क्रम 3 का अफ्फीन तल (घटना ज्यामिति) एक STS(9) है। समरूपता तक, STS(7) और STS(9) अद्वितीय हैं, दो STS(13)s, 80 STS(15)s, और 11,084,874,829 STS(19)s हैं।

हम S में सभी a के लिए aa = a समुच्चय करके स्टेनर त्रिगुण प्रणाली का उपयोग करके समुच्चय S पर एक गुणन परिभाषित कर सकते हैं, यदि ab = c {a,b,c} एक त्रिगुण है। यह S को एक आदर्श, क्रमविनिमेय अर्धसमूह बनाता है। इसका अतिरिक्त गुण यह है कि ab = c का तात्पर्य bc = a और ca = b से है। इसके विपरीत, इन गुणों वाला कोई भी (परिमित) क्वासिग्रुप स्टेनर त्रिगुण प्रणाली से उत्पन्न होता है। क्रमविनिमेय निरंकुश अर्धसमूह इस अतिरिक्त विशेषता को संतुष्ट करते हुए स्टेनर अर्धसमूह कहलाते हैं।

सरलीकरण योग्य स्टेनर सिस्टम

कुछ S(2,3,n) प्रणालियों में उनके त्रिगुणों को (n-1)/2 समुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में (n/3) युग्मक असंयुक्त त्रिगुण होते हैं। इसे समाधेय कहा जाता है और इस तरह के प्रणाली को थॉमस किर्कमैन के बाद किर्कमैन त्रिगुण प्रणाली कहा जाता है, जिन्होंने स्टेनर से पहले इस तरह के समाधेय प्रणाली का अध्ययन किया था। डेल मेस्नर, अर्ल क्रेमर, और अन्य ने स्टाइनर त्रिगुण प्रणाली के संग्रह की जांच की जो पारस्परिक रूप से अलग हैं (अर्थात, इस तरह के संग्रह में कोई भी दो स्टेनर प्रणाली एक सामान्य ट्रिपलेट साझा नहीं करते हैं)। यह ज्ञात है (बेज़ 1917, क्रेमर और मेसनर 1974) कि 9-समुच्चय पर सभी 84 त्रिगुण को एक साथ कवर करने के लिए सात अलग-अलग S (2,3,9) प्रणाली उत्पन्न किए जा सकते हैं; उनके द्वारा यह भी ज्ञात था कि सरलीकरण के ऐसे 7-समुच्चय खोजने के लिए 15360 अलग-अलग तरीके हैं, जो पुन: लेबलिंग के अनुसार क्रमशः 6720 और 8640 की बहुलता के साथ दो गैर-समरूपीय सरलीकरणों को कम करते हैं।

1860 में जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा 1860 में किर्कमैन की स्कूली छात्राओं की समस्या के विस्तार के रूप में तेरह विभिन्न असम्बद्ध S (2,3,15) प्रणालियों को खोजने के लिए संबंधित प्रश्न पूछा गया था, अर्थात् कि क्या किर्कमैन की स्कूली छात्राएं 13 सप्ताह की पूरी अवधि के लिए बिना ट्रिपलेट के मार्च कर सकती हैं। पूरे कार्यकाल में लड़कियों को दोहराया जा रहा है। 1974 में RHF डेनिस्टन द्वारा प्रश्न हल किया गया था, जिन्होंने सप्ताह 1 का निर्माण इस प्रकार किया:

Day 1 ABJ CEM FKL HIN DGO
Day 2 ACH DEI FGM JLN BKO
Day 3 ADL BHM GIK CFN EJO
Day 4 AEG BIL CJK DMN FHO
Day 5 AFI BCD GHJ EKN LMO
Day 6 AKM DFJ EHL BGN CIO
Day 7 BEF CGL DHK IJM ANO

उपर्युक्त उदाहरण के अनुसार A से O लेबल वाली लड़कियों के लिए, और A से B, B से C, ... L से M और M को वापस A में बदलकर, N और O को अपरिवर्तित संरक्षित करते हुए अपने तत्काल पूर्ववर्ती से प्रत्येक बाद के सप्ताह के सरलीकरण का निर्माण किया। 13वें सप्ताह का सरलीकरण, उस रीलेबलिंग से गुजरने के बाद, 1 सप्ताह के सरलीकरण पर लौट आता है। डेनिस्टन ने अपने पेपर में बताया कि लीसेस्टर विश्वविद्यालय में इलियट ब्रदर्स (कंप्यूटर कंपनी) के कंप्यूटर पर उनके द्वारा नियोजित खोज में 7 घंटे लगे, और उन्होंने विशिष्टता स्थापित करने की तलाश में नहीं, ऊपर दिए गए सरलीकरण को खोजने पर खोज को तुरंत समाप्त कर दिया। सिल्वेस्टर की समस्या के गैर-समरूपीय सरलीकरणों की संख्या 2021 तक अज्ञात बनी हुई है।

गुण

इसका स्पष्ट तार्किक परिणाम S(t, k, n) है, वह $1<t<k<n$. (समानता, जबकि तकनीकी रूप से संभव है, सूक्ष्म प्रणालियों की ओर ले जाती है।)

यदि S(t, k, n) अवस्थित है, तो एक विशिष्ट अवयव वाले सभी ब्लॉकों को लेना और उस अवयव को त्यागना एक व्युत्पन्न प्रणाली S(t−1, k−1, n−1) देता है, इसलिए S(t−1, k−1, n−1) का अस्तित्व S(t, k, n) के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त है।

${\tbinom {n}{t}}$ की संख्या t-अवयव उपसमुच्चय में S है, जबकि ${\tbinom {k}{t}}$ की संख्या t-प्रत्येक ब्लॉक में अवयव उपसमुच्चय है, चूंकि प्रत्येक t-अवयव उपसमुच्चय ${\tbinom {n}{t}}=b{\tbinom {k}{t}}$ ठीक एक ब्लॉक में समाहित है, हमारे पास है

$b={\frac {\tbinom {n}{t}}{\tbinom {k}{t}}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-t+1)}{k(k-1)\cdots (k-t+1)}},$

जहाँ b ब्लॉक की संख्या है। ${\tbinom {n-1}{t-1}}=r{\tbinom {k-1}{t-1}}$ के बारे में इसी तरह का तर्क t-अवयव उपसमुच्चय जिसमें एक विशेष अवयव होता है, जो कि हमें देता है

$r={\frac {\tbinom {n-1}{t-1}}{\tbinom {k-1}{t-1}}}$ =${\frac {(n-t+1)\cdots (n-2)(n-1)}{(k-t+1)\cdots (k-2)(k-1)}},$

जहाँ r किसी दिए गए अवयव वाले ब्लॉकों की संख्या है। इन परिभाषाओं से समीकरण $bk=rn$ का अनुसरण होता है, अस्तित्व के लिए यह एक S(t, k, n) आवश्यक शर्त है, वह b और r पूर्णांक हैं। जैसा कि किसी भी ब्लॉक अभिकल्पना के साथ होता है, फिशर की असमानता $b\geq n$ स्टेनर प्रणाली में सत्य है।

एक स्टेनर प्रणाली के मापदंडों को देखते हुए S(t, k, n) और आकार का एक उपसमुच्चय $t'\leq t$, कम से कम एक ब्लॉक में समाहित, एक पास्कल त्रिकोण का निर्माण करके तत्वों की एक निश्चित संख्या में उस उपसमुच्चय को प्रतिच्छेद करने वाले ब्लॉकों की संख्या की गणना कर सकता है। विशेष रूप से, तत्वों की किसी भी संख्या में एक निश्चित ब्लॉक को प्रतिच्छेद करने वाले ब्लॉकों की संख्या चुने गए ब्लॉक से स्वतंत्र होती है।

किसी भी i-अवयव वाले बिंदुओं के समुच्चय वाले ब्लॉक की संख्या है:

$\lambda _{i}=\left.{\binom {n-i}{t-i}}\right/{\binom {k-i}{t-i}}{\text{ for }}i=0,1,\ldots ,t,$

यह दिखाया जा सकता है कि यदि कोई स्टेनर प्रणाली S(2, k, n) है, जहाँ k तब 1 से बड़ी एक प्रमुख शक्ति n $\equiv$ 1 है या k (mod k(k−1)). विशेष रूप से, एक स्टेनर त्रिगुण प्रणाली S(2, 3, n) होना आवश्यक है n = 6m + 1 or 6m + 3. और जैसा कि हमने पहले ही उल्लेख किया है, यह स्टेनर त्रिगुण प्रणाली पर एकमात्र प्रतिबंध है, अर्थात प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए m, प्रणाली S(2, 3, 6m + 1) और S(2, 3, 6m + 3) अस्तित्व का निर्माण करते हैं।

इतिहास

स्टेनर त्रिगुण प्रणाली को पहली बार 1844 में वेस्ली एस.बी. वूलहाउस द्वारा लेडीज़ एंड जेंटलमैन्स डायरी के पुरस्कार प्रश्न 1733 में परिभाषित किया गया था। जिनके द्वारा उत्पन्न समस्या का सरलीकरण किया गया थॉमस किर्कमैन (1847). 1850 में किर्कमैन ने किर्कमैन की स्कूलगर्ल प्रॉब्लम के रूप में जानी जाने वाली समस्या का एक रूपांतर प्रस्तुत किया, जो एक अतिरिक्त विशेषता (संकल्पनीयता) वाले त्रिगुण प्रणाली के लिए पूछता है। किर्कमैन के काम से अनजान, जैकब स्टेनर (1853) त्रिगुण प्रणाली को पुनः प्रारम्भ किया, और जैसा कि यह काम अधिक व्यापक रूप से जाना जाता था, प्रणाली को उनके सम्मान में नामित किया गया था।

मैथ्यू समूह

स्टाइनर प्रणाली के कई उदाहरण समूह सिद्धांत से निकटता से संबंधित हैं। विशेष रूप से, मैथ्यू समूह कहे जाने वाले परिमित सरल समूहों की सूची स्टेनर प्रणाली के स्वसमाकृतिकता समूह के रूप में उत्पन्न होती है:

• मैथ्यू समूह M11 | मैथ्यू समूह M₁₁S(4,5,11) स्टेनर प्रणाली का स्वसमाकृतिकता समूह है
• मैथ्यू समूह M12 | मैथ्यू समूह M₁₂S(5,6,12) स्टेनर प्रणाली का स्वसमाकृतिकता समूह है
• मैथ्यू समूह M22 | मैथ्यू समूह एम₂₂S(3,6,22) स्टेनर प्रणाली के स्वसमाकृतिकता समूह का अद्वितीय सूचकांक 2 उपसमूह है
• मैथ्यू समूह M23 | मैथ्यू समूह एम₂₃S(4,7,23) स्टेनर प्रणाली का स्वसमाकृतिकता समूह है
• मैथ्यू समूह M24 | मैथ्यू समूह एम₂₄S(5,8,24) स्टेनर प्रणाली का स्वसमाकृतिकता समूह है।

स्टेनर प्रणाली S (5, 6, 12)

एक अद्वितीय S (5,6,12) स्टेनर प्रणाली है; इसका स्वसमाकृतिकता ग्रुप मैथ्यू ग्रुप m₁₂ है, और उस संदर्भ में इसे W₁₂ द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्रक्षेपीय रेखा निर्माण

यह निर्माण कारमाइकल (1937) के कारण हुआ है। इसमें एक नया अवयव जोड़ें, इसे ∞ कॉल करें, परिमित क्षेत्र के 11 तत्वों के लिए F₁₁ (अर्थात, पूर्णांक मॉड 11) यह समुच्चय, S, 12 तत्वों में से औपचारिक रूप से प्रक्षेपण रेखा के बिंदुओं F₁₁ के साथ पहचाना जा सकता है, आकार 6 के निम्नलिखित विशिष्ट उपसमुच्चय को कॉल करें,

$\{\infty ,1,3,4,5,9\},$

ब्लॉक (इसमें सम्मिलित है ∞ साथ में 5 अशून्य वर्गों के साथ F₁₁) इस ब्लॉक से हमें इसके अन्य ब्लॉक S(5,6,12) मिलते हैं प्रणाली बार-बार रैखिक आंशिक परिवर्तन को लागू करके यह प्राप्त होता है:

$z'=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},$

जहाँ a,b,c,d F₁₁ में हैं और ad − bc = 1 परिभाषित करने के सामान्य फलनों के साथ f (−d/c) = ∞ और f (∞) = a/c, ये फलन S खुद पर समुच्चय को प्रतिरूप करते हैं। ज्यामितीय भाषा में, वे प्रक्षेपीय रेखा की परियोजनाशीलता हैं। वे संघटन के अंतर्गत एक समूह (गणित) बनाते हैं जो प्रक्षेपी विशेष PSL(2,11) क्रम 660 रेखीय समूह है। इस समूह के वास्तव में पांच अवयव हैं जो प्रारम्भिक ब्लॉक को निश्चित रूप से छोड़ देते हैं, अर्थात् ऐसे कि b=c=0 और ad=1 जिससे कि f(z) = a² z. तो उस ब्लॉक के 660/5 = 132 चित्र होंगे। इस समुच्चय पर इस ग्रुप ग्रुप एक्शन (गणित) की गुणा सकर्मक विशेषता के परिणामस्वरूप, पांच तत्वों का कोई भी उपसमुच्चय S आकार छह की इन 132 छवियों में से ठीक एक में दिखाई देगा।

किटेन विनिर्माण

W₁₂ का एक वैकल्पिक निर्माण R.T 'किटेन' के उपयोग से प्राप्त किया जाता है। कर्टिस, जो एक बार में एक ब्लॉक लिखने के लिए एक हाथ कैलकुलेटर के रूप में अभिप्रेत था। किटेन विधि संख्याओं के 3x3 ग्रिड में पैटर्न को पूरा करने पर आधारित है, जो सदिश स्थान F पर एक F₃xF₃ सजातीय ज्यामिति S (2,3,9) प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है।

K₆ से निर्माण रेखाचित्र गुणनखंड

संपूर्ण रेखाचित्र के रेखाचित्र गुणनखंडन के बीच संबंध पूर्ण रेखाचित्र K₆ एक S (5,6,12) उत्पन्न करें। K₆ रेखाचित्र में 6 कोने, 15 किनारे, 15 पूर्ण मिलान, और 6 अलग-अलग 1-गुणनखंड हैं (किनारों को पूर्ण मिलानों में विभाजित करने के तरीके)। शीर्षों का समुच्चय (123456 लेबल किया गया) और गुणनखंडों का समुच्चय (लेबल किया गया ABCDEF) प्रत्येक को एक ब्लॉक प्रदान करता है। गुणनखंडों के प्रत्येक युग्म में ठीक एक समान मिलान होता है। मान लीजिए गुणनखंड A और B में किनारों 12, 34 और 56 के साथ सामान्य मिलान है। तीन नए ब्लॉक AB3456, 12AB56, और 1234AB जोड़ें, प्रत्येक किनारे को बदले में गुणनखंड लेबल के साथ सामान्य मिलान में बदलें। इसी तरह तीन और ब्लॉक 12CDEF, 34CDEF, और 56CDEF जोड़ें, सामान्य मिलान के संबंधित किनारे के लेबल द्वारा गुणनखंड लेबल को प्रतिस्थापित करें। 90 नए ब्लॉक जोड़ने के लिए सभी 15 जोड़े गुणनखंडों के लिए ऐसा करें। अंत में, का पूरा समुच्चय लें ${\tbinom {12}{6}}=924$ 12 में से 6 वस्तुओं का संयोजन, और किसी भी संयोजन को त्याग दें जिसमें अब तक उत्पन्न 92 ब्लॉकों में से किसी के साथ 5 या अधिक वस्तुएं समान हैं। ठीक 40 ब्लॉक शेष हैं, जिसके परिणामस्वरूप 2 + 90 + 40 = 132 S (5,6,12) के ब्लॉक का निर्माण करता है। यह विधि काम करती है क्योंकि सममित और प्रत्यावर्ती समूहों S₆ के असाधारण बाहरी का एक स्वसमाकृतिकता है। स्वसमाकृतिकता सममित समूह S₆ पर बाहरी स्वसमाकृतिकता, जो गुणनखंडों के शीर्षों और विभाजनों के किनारों को प्रतिरूप करता है। बाहरी स्वसमाकृतिकता के अनुसार, शीर्षों को अनुमति देने से गुणनखंडों को अलग-अलग अनुमति देने का कारण बनता है।

स्टेनर प्रणाली S (5, 8, 24)

स्टेनर प्रणाली S(5, 8, 24), जिसे विट अभिकल्पना या विट ज्यामितीय के रूप में भी जाना जाता है, सबसे पहले किसके द्वारा वर्णित किया गया था? कार्मिकेल (1931) और द्वारा पुनः खोजा गया Witt (1938). यह प्रणाली कई छिटपुट सरल समूह और असाधारण वस्तु 24-आयामी जाली (समूह) के साथ जुड़ी हुई है जिसे जोंक जाली के रूप में जाना जाता है। S(5, 8, 24) का स्वसमाकृतिकता समूह मैथ्यू समूह M₂₄ है, और उस संदर्भ में अभिकल्पना को W₂₄ दर्शाया गया है (डब्ल्यू फॉर विट)।

डायरेक्ट लेक्सिकोग्राफिक जनरेशन

24-अवयव समुच्चय के सभी 8-अवयव उपसमुच्चय लेक्सिकोग्राफिक क्रम में उत्पन्न होते हैं, और ऐसा कोई भी उपसमुच्चय जो चार से कम स्थितियों में पहले से पाए गए कुछ उपसमुच्चय से भिन्न होता है, को छोड़ दिया जाता है।

तत्वों 01, 02, 03, ..., 22, 23, 24 के लिए अष्टक की सूची तब है:

01 02 03 04 05 06 07 08

01 02 03 04 09 10 11 12

01 02 03 04 13 14 15 16

.

. (अगले 753 अष्टक छोड़े गए)

.

13 14 15 16 17 18 19 20

13 14 15 16 21 22 23 24

17 18 19 20 21 22 23 24

प्रत्येक एकल अवयव किसी अष्टक में कहीं न कहीं 253 बार होता है। प्रत्येक जोड़ी 77 बार आती है। प्रत्येक त्रिगुण 21 बार होता है। प्रत्येक चौगुना (टेट्राड) 5 बार होता है। प्रत्येक क्विंटुपल (पेंटाड) एक बार होता है। हर हेक्साड, हेप्टाड या ऑक्टैड नहीं होता है।

बाइनरी भाषा में कोड से निर्माण

24-बिट बाइनरी गोले कोड के 4096 कोडवर्ड उत्पन्न होते हैं, और 8 के हैमिंग वजन वाले 759 कोडवर्ड S(5,8,24) प्रणाली के अनुरूप होते हैं।

गोले कोड को कई तरीकों से बनाया जा सकता है, जैसे कि लेक्सिकोग्राफिक क्रम में सभी 24-बिट बाइनरी स्ट्रिंग्स को उत्पन्न करना और हैमिंग दूरी को छोड़ना। नतीजा ऐसा दिखता है:

    000000000000000000000000
    000000000000000011111111
    000000000000111100001111
    .
    . (next 4090 24-bit strings omitted)
    .
    111111111111000011110000
    111111111111111100000000
    111111111111111111111111

XOR ऑपरेशन के अनुसार कोडवर्ड एक समूह (गणित) बनाते हैं।

प्रक्षेपीय रेखा निर्माण

यह निर्माण कारमाइकल (1931) के कारण हुआ है। एक नया अवयव जोड़ें, इसे ∞ कॉल करें, परिमित क्षेत्र के 23 तत्वों के लिए F₂₃ (अर्थात पूर्णांक मॉड 23) यह समुच्चय, S, 24 तत्वों में से औपचारिक रूप से प्रक्षेपीय रेखा ओवर के बिंदुओं के साथ पहचाना जा सकता है F₂₃. आकार 8 के निम्नलिखित विशिष्ट उपसमुच्चय को कॉल करें।

$\{\infty ,0,1,3,12,15,21,22\},$

एक ब्लॉक (हम विस्तारित बाइनरी गोले कोड का कोई भी ऑक्टैड ले सकते हैं, जिसे द्विघात अवशेष कोड के रूप में देखा जाता है।) इस ब्लॉक से, हम के अन्य ब्लॉक प्राप्त करते हैं। S(5,8,24) प्रणाली बार-बार रैखिक आंशिक परिवर्तनों को लागू करके:

$z'=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},$

जहाँ a,b,c,d में हैं F₂₃ और ad − bc = 1.परिभाषित करने के सामान्य फलनों के साथ f (−d/c) = ∞ और f (∞) = a/c, ये फलन समुच्चय S को खुद पर प्रतिरूप करते हैं। ज्यामितीय भाषा में, वे प्रक्षेपीय रेखा की परियोजनाशीलता हैं। वे संघटन के अंतर्गत एक समूह (गणित) बनाते हैं जो PSL(2,23) क्रम 6072 प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूह है। इस समूह के ठीक 8 अवयव हैं जो प्रारंभिक ब्लॉक को निश्चित रूप से छोड़ देते हैं। तो उस ब्लॉक के 6072/8 = 759 चित्र होंगे। ये S(5,8,24) के अष्टक बनाते हैं।

अलौकिक ऑक्टैड जेनरेटर से निर्माण

अलौकिक ऑक्टैड जेनरेटर (MOG) ऑक्टैड उत्पन्न करने का एक उपकरण है, जैसे निर्दिष्ट उपसमुच्चय वाले इसमें पंक्तियों को निर्दिष्ट कुछ भारों के साथ 4x6 सरणी होती है। विशेष रूप से, एक 8-उपसमुच्चय को S(5,8,24) का अष्टक बनने के लिए तीन नियमों का पालन करना चाहिए। सबसे पहले, 6 स्तंभों में से प्रत्येक में समान समता (गणित) होनी चाहिए, अर्थात, उन सभी में विषम संख्या में कक्ष होने चाहिए या उन सभी में समान संख्या में कक्ष होने चाहिए। दूसरा, शीर्ष पंक्ति में प्रत्येक स्तंभ के समान समानता होनी चाहिए। तीसरा, पंक्तियों को क्रमशः चार तत्वों के साथ परिमित फ़ील्ड पर वज़न 0, 1, 2, और 3 से गुणा किया जाता है, और 6 स्तम्भ के लिए स्तम्भ योग की गणना परिमित क्षेत्र अंकगणितीय परिभाषाओं का उपयोग करके गुणा और जोड़ के साथ की जाती है। परिणामी स्तम्भ योग प्रारूप का एक वैध हेक्सकोड शब्द बनाना चाहिए (a, b, c, a + b + c, 3a + 2b + c, 2a + 3b + c) जहां a, b, c भी क्रम 4 के परिमित क्षेत्र से हैं। स्तंभ योग एक वैध हेक्साकोडवर्ड बनाते हैं, तो 8 का वह उपसमुच्चय S(5,8,24) का अष्टक नहीं है।

एमओजी 8-समुच्चय को दो अलग-अलग 4-समुच्चयों में विभाजित करने के 35 तरीकों और फ़ानो की 35 पंक्तियों के बीच एक आक्षेप (कॉनवेल 1910, द थ्री-स्पेस पीजी (3,2) और इसका समूह) बनाने पर आधारित है। समतल फानो थ्री-स्पेस 3-स्पेस पीजी(3,2) यह ज्यामितीय रूप से भी संबंधित है (कुलिनेन, डायमंड रिंग में सिमिट्री इनवेरिएंस, एएमएस के नोटिस, पीपी ए 193-194, फरवरी 1979) 4x4 सरणी को प्रत्येक 4 कोशिकाओं के 4 अलग-अलग समूहों में विभाजित करने के 35 अलग-अलग तरीकों से, जैसे कि यदि 4x4 सरणी एक चार-आयामी परिमित संबंध स्थान का प्रतिनिधित्व करती है, फिर समूह समानांतर उप-स्थानों का एक समुच्चय बनाते हैं।

यह भी देखें

• लगातार वजन कोड
• किर्कमैन की छात्रा समस्या
• सिल्वेस्टर-गैलई विन्यास

संदर्भ

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• Assmus, E.F.; Key, J.D. (1992), Designs and Their Codes, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41361-9
• Beth, Thomas; Jungnickel, Dieter; Lenz, Hanfried (1986), Design Theory, Cambridge: Cambridge University Press. 2nd ed. (1999) ISBN 978-0-521-44432-3.
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बाहरी संबंध

• Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. "Steiner System". MathWorld.
• Rumov, B.T. (2001) [1994], "Steiner system", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Steiner systems by Andries E. Brouwer
• Implementation of S(5,8,24) by Dr. Alberto Delgado, Gabe Hart, and Michael Kolkebeck
• S(5, 8, 24) Software and Listing by Johan E. Mebius