परिमित सरल समूहों की सूची

गणित में, परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में कहा गया है कि प्रत्येक परिमित समूह सरल समूह चक्रीय समूह, या वैकल्पिक समूह, या झूठ प्रकार के समूहों के 16 परिवारों में से एक या 26 छिटपुट समूहों में से एक है।

नीचे दी गई सूची सभी परिमित सरल समूहों को उनके आदेश (समूह सिद्धांत), शूर गुणक के आकार, बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह के आकार, आमतौर पर कुछ छोटे समूह प्रतिनिधित्व और सभी डुप्लिकेट की सूची के साथ देती है।

सारांश

निम्न तालिका परिमित सरल समूहों के 18 परिवारों और उनके आदेशों के साथ 26 छिटपुट सरल समूहों की पूरी सूची है। प्रत्येक परिवार के गैर-साधारण सदस्यों को सूचीबद्ध किया गया है, साथ ही किसी परिवार के भीतर या परिवारों के बीच डुप्लिकेट किए गए किसी भी सदस्य को सूचीबद्ध किया गया है। (डुप्लिकेट को हटाने में यह ध्यान रखना उपयोगी है कि कोई भी दो परिमित सरल समूहों का एक ही क्रम नहीं है, सिवाय इसके कि समूह ए₈= ए₃(2) और ए₂(4) दोनों के पास आदेश 20160 है, और यह कि समूह बी_n(क्यू) का सी के समान क्रम है_n(q) q विषम के लिए, n > 2। समूहों के बाद के युग्मों में सबसे छोटा B है₃(3) और सी₃(3) जिसमें दोनों का क्रम 4585351680 है।)

वैकल्पिक समूहों ए के लिए नोटेशन के बीच एक दुर्भाग्यपूर्ण संघर्ष है_n और झूठ प्रकार ए के समूह_n(क्यू)। कुछ लेखक ए के लिए कई अलग-अलग फोंट का उपयोग करते हैं_n उन्हें भेद करने के लिए। विशेष रूप से, इस लेख में हम वैकल्पिक समूह A सेट करके भेद करते हैं_n रोमन फॉन्ट में और लाई-टाइप ग्रुप ए_n(क्यू) इटैलिक में।

निम्नलिखित में, n एक धनात्मक पूर्णांक है, और q एक अभाज्य संख्या p की एक धनात्मक शक्ति है, जिसमें प्रतिबंधों को नोट किया गया है। अंकन (ए, बी) पूर्णांकों ए और बी के सबसे बड़े सामान्य विभाजक का प्रतिनिधित्व करता है।

Class	Family	Order	Exclusions	Duplicates
Cyclic groups	Z_p	p prime	None	None

Alternating groups	A_n n > 4	${\frac {n!}{2}}$	None	A₅ ≃ A₁(4) ≃ A₁(5) A₆ ≃ A₁(9) A₈ ≃ A₃(2)

Classical Chevalley groups	A_n(q)	${\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)$	A₁(2), A₁(3)	A₁(4) ≃ A₁(5) ≃ A₅ A₁(7) ≃ A₂(2) A₁(9) ≃ A₆ A₃(2) ≃ A₈
	B_n(q) n > 1	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	B₂(2)	B_n(2^m) ≃ C_n(2^m) B₂(3) ≃ ²A₃(2²)
	C_n(q) n > 2	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	None	C_n(2^m) ≃ B_n(2^m)
	D_n(q) n > 3	${\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$	None	None
Exceptional Chevalley groups	E₆(q)	${\frac {q^{36}}{(3,q-1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-1\right)$	None	None
	E₇(q)	${\frac {q^{63}}{(2,q-1)}}\prod _{i\in \{2,6,8,10,12,14,18\}}\left(q^{i}-1\right)$	None	None
	E₈(q)	$q^{120}\prod _{i\in \{2,8,12,14,18,20,24,30\}}\left(q^{i}-1\right)$	None	None
	F₄(q)	$q^{24}\prod _{i\in \{2,6,8,12\}}\left(q^{i}-1\right)$	None	None
	G₂(q)	$q^{6}\prod _{i\in \{2,6\}}\left(q^{i}-1\right)$	G₂(2)	None
Classical Steinberg groups	²A_n(q²) n > 1	${\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q+1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)$	²A₂(2²)	²A₃(2²) ≃ B₂(3)
Classical Steinberg groups	²D_n(q²) n > 3	${\frac {q^{n(n-1)}}{(4,q^{n}+1)}}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$	None	None
Exceptional Steinberg groups	²E₆(q²)	${\frac {q^{36}}{(3,q+1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-(-1)^{i}\right)$	None	None
Exceptional Steinberg groups	³D₄(q³)	$q^{12}\left(q^{8}+q^{4}+1\right)\left(q^{6}-1\right)\left(q^{2}-1\right)$	None	None
Suzuki groups	²B₂(q) q = 2²ⁿ⁺¹ n ≥ 1	$q^{2}\left(q^{2}+1\right)\left(q-1\right)$	None	None
Ree groups + Tits group	²F₄(q) q = 2²ⁿ⁺¹ n ≥ 1	$q^{12}\left(q^{6}+1\right)\left(q^{4}-1\right)\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)$	None	None
	²F₄(2)′	2¹²(2⁶ + 1)(2⁴ − 1)(2³ + 1)(2 − 1)/2 = 17971200
	²G₂(q) q = 3²ⁿ⁺¹ n ≥ 1	$q^{3}\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)$	None	None

Mathieu groups	M₁₁	7920
	M₁₂	95040
	M₂₂	443520
	M₂₃	10200960
	M₂₄	244823040
Janko groups	J₁	175560
	J₂	604800
	J₃	50232960
	J₄	86775571046077562880
Conway groups	Co₃	495766656000
	Co₂	42305421312000
	Co₁	4157776806543360000
Fischer groups	Fi₂₂	64561751654400
	Fi₂₃	4089470473293004800
	Fi₂₄′	1255205709190661721292800
Higman–Sims group	HS	44352000
McLaughlin group	McL	898128000
Held group	He	4030387200
Rudvalis group	Ru	145926144000
Suzuki sporadic group	Suz	448345497600
O'Nan group	O'N	460815505920
Harada–Norton group	HN	273030912000000
Lyons group	Ly	51765179004000000
Thompson group	Th	90745943887872000
Baby Monster group	B	4154781481226426191177580544000000
Monster group	M	808017424794512875886459904961710757005754368000000000

चक्रीय समूह, जेड_p

सरलता: p के लिए एक अभाज्य संख्या सरल है।

आदेश: पी

शूर गुणक: तुच्छ।

बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह: क्रम का चक्र p − 1।

दुसरे नाम: Z/pZ, C_p टिप्पणी: केवल यही साधारण समूह हैं जो पूर्ण समूह नहीं हैं।

वैकल्पिक समूह, ए_n, एन> 4

सरलता: n <5 के लिए हल करने योग्य, अन्यथा सरल।

आदेश: n!/2 जब n > 1.

शूर गुणक: n के लिए 2 = 5 या n > 7, 6 n के लिए = 6 या 7; देखें वैकल्पिक और सममित समूहों के समूह

बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह: सामान्य तौर पर 2. अपवाद: n = 1, n = 2 के लिए, यह तुच्छ है, और बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह के लिए#सममित समूहों के बाहरी ऑटोमोर्फिज्म|n = 6, इसका क्रम 4 (प्रारंभिक आबेली) है।

दुसरे नाम: Alt_n.

समरूपता: ए₁ और ए₂ तुच्छ हैं। ए₃ क्रम 3 का चक्रीय है। A₄ A के लिए आइसोमोर्फिक है₁(3) (हल करने योग्य)। ए₅ A के लिए आइसोमोर्फिक है₁(4) और ए को₁(5)। ए₆ A के लिए आइसोमोर्फिक है₁(9) और व्युत्पन्न समूह बी के लिए₂(2)'। ए₈ A के लिए आइसोमोर्फिक है₃(2)।

टिप्पणियाँ: n बिंदुओं के क्रमपरिवर्तन के सममित समूह के एक उपसमूह 2 उपसमूह का एक सूचकांक जब n > 1।

झूठ प्रकार के समूह

अंकन: n एक सकारात्मक पूर्णांक है, q > 1 एक अभाज्य संख्या p की शक्ति है, और कुछ अंतर्निहित परिमित क्षेत्र का क्रम है। बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह का क्रम d⋅f⋅g के रूप में लिखा जाता है, जहां d विकर्ण ऑटोमोर्फिज्म के समूह का क्रम है, f है फील्ड ऑटोमोर्फिज्म (एक फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म द्वारा उत्पन्न) के (चक्रीय) समूह का क्रम, और 'जी' ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म के समूह का क्रम है (डाइनकिन आरेख के ऑटोमोर्फिज्म से आ रहा है)। बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह अक्सर होता है, लेकिन हमेशा नहीं, अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक $D\rtimes (F\times G)$ जहां ये सभी समूह $D,F,G$ प्रकार को छोड़कर क्रमशः d, f, g के क्रम के चक्रीय हैं $D_{n}(q)$ , $q$ विषम, जहां आदेश का समूह $d=4$ है $C_{2}\times C_{2}$ , और (केवल जब $n=4$ ) $G=S_{3}$ , तीन तत्वों पर सममित समूह। अंकन (ए, बी) पूर्णांकों ए और बी के सबसे बड़े सामान्य विभाजक का प्रतिनिधित्व करता है।

शेवाली समूह, ए_n(क्यू), बी_n(क्यू) एन> 1, सी_n(क्यू) एन> 2, डी_n(क्यू) एन> 3

	Chevalley groups, A_n(q) linear groups	Chevalley groups, B_n(q) n > 1 orthogonal groups	Chevalley groups, C_n(q) n > 2 symplectic groups	Chevalley groups, D_n(q) n > 3 orthogonal groups
Simplicity	A₁(2) and A₁(3) are solvable, the others are simple.	B₂(2) is not simple but its derived group B₂(2)′ is a simple subgroup of index 2; the others are simple.	All simple	All simple
Order	${\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)$	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	${\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$
Schur multiplier	For the simple groups it is cyclic of order (n+1,q−1) except for A₁(4) (order 2), A₁(9) (order 6), A₂(2) (order 2), A₂(4) (order 48, product of cyclic groups of orders 3, 4, 4), A₃(2) (order 2).	(2,q−1) except for B₂(2) = S₆ (order 2 for B₂(2), order 6 for B₂(2)′) and B₃(2) (order 2) and B₃(3) (order 6).	(2,q−1) except for C₃(2) (order 2).	The order is (4,qⁿ−1) (cyclic for n odd, elementary abelian for n even) except for D₄(2) (order 4, elementary abelian).
Outer automorphism group	(2,q−1)⋅f⋅1 for n = 1; (n+1,q−1)⋅f⋅2 for n > 1, where q = p^f	(2,q−1)⋅f⋅1 for q odd or n > 2; (2,q−1)⋅f⋅2 for q even and n = 2, where q = p^f	(2,q−1)⋅f⋅1, where q = p^f	(2,q−1)²⋅f⋅S₃ for n = 4, (2,q−1)²⋅f⋅2 for n > 4 even, (4,qⁿ−1)⋅f⋅2 for n odd, where q = p^f, and S₃ is the symmetric group of order 3! on 3 points.
Other names	Projective special linear groups, PSL_n+1(q), L_n+1(q), PSL(n + 1,q)	O_2n+1(q), Ω_2n+1(q) (for q odd).	Projective symplectic group, PSp_2n(q), PSp_n(q) (not recommended), S_2n(q), Abelian group (archaic).	O_2n⁺(q), PΩ_2n⁺(q). "Hypoabelian group" is an archaic name for this group in characteristic 2.
Isomorphisms	A₁(2) is isomorphic to the symmetric group on 3 points of order 6. A₁(3) is isomorphic to the alternating group A₄ (solvable). A₁(4) and A₁(5) are both isomorphic to the alternating group A₅. A₁(7) and A₂(2) are isomorphic. A₁(8) is isomorphic to the derived group ²G₂(3)′. A₁(9) is isomorphic to A₆ and to the derived group B₂(2)′. A₃(2) is isomorphic to A₈.	B_n(2^m) is isomorphic to C_n(2^m). B₂(2) is isomorphic to the symmetric group on 6 points, and the derived group B₂(2)′ is isomorphic to A₁(9) and to A₆. B₂(3) is isomorphic to ²A₃(2²).	C_n(2^m) is isomorphic to B_n(2^m)
Remarks	These groups are obtained from the general linear groups GL_n+1(q) by taking the elements of determinant 1 (giving the special linear groups SL_n+1(q)) and then quotienting out by the center.	This is the group obtained from the orthogonal group in dimension 2n + 1 by taking the kernel of the determinant and spinor norm maps. B₁(q) also exists, but is the same as A₁(q). B₂(q) has a non-trivial graph automorphism when q is a power of 2.	This group is obtained from the symplectic group in 2n dimensions by quotienting out the center. C₁(q) also exists, but is the same as A₁(q). C₂(q) also exists, but is the same as B₂(q).	This is the group obtained from the split orthogonal group in dimension 2n by taking the kernel of the determinant (or Dickson invariant in characteristic 2) and spinor norm maps and then killing the center. The groups of type D₄ have an unusually large diagram automorphism group of order 6, containing the triality automorphism. D₂(q) also exists, but is the same as A₁(q)×A₁(q). D₃(q) also exists, but is the same as A₃(q).

चेवेली समूह, ई₆(क्यू), ई₇(क्यू), ई₈(क्यू), एफ₄(क्यू), जी₂(क्यू)

	Chevalley groups, E₆(q)	Chevalley groups, E₇(q)	Chevalley groups, E₈(q)	Chevalley groups, F₄(q)	Chevalley groups, G₂(q)
Simplicity	All simple	All simple	All simple	All simple	G₂(2) is not simple but its derived group G₂(2)′ is a simple subgroup of index 2; the others are simple.
Order	q³⁶(q¹²−1)(q⁹−1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q⁵−1)(q²−1)/(3,q−1)	q⁶³(q¹⁸−1)(q¹⁴−1)(q¹²−1)(q¹⁰−1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q²−1)/(2,q−1)	q¹²⁰(q³⁰−1)(q²⁴−1)(q²⁰−1)(q¹⁸−1)(q¹⁴−1)(q¹²−1)(q⁸−1)(q²−1)	q²⁴(q¹²−1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q²−1)	q⁶(q⁶−1)(q²−1)
Schur multiplier	(3,q−1)	(2,q−1)	Trivial	Trivial except for F₄(2) (order 2)	Trivial for the simple groups except for G₂(3) (order 3) and G₂(4) (order 2)
Outer automorphism group	(3,q−1)⋅f⋅2, where q = p^f	(2,q−1)⋅f⋅1, where q = p^f	1⋅f⋅1, where q = p^f	1⋅f⋅1 for q odd, 1⋅f⋅2 for q even, where q = p^f	1⋅f⋅1 for q not a power of 3, 1⋅f⋅2 for q a power of 3, where q = p^f
Other names	Exceptional Chevalley group	Exceptional Chevalley group	Exceptional Chevalley group	Exceptional Chevalley group	Exceptional Chevalley group
Isomorphisms					The derived group G₂(2)′ is isomorphic to ²A₂(3²).
Remarks	Has two representations of dimension 27, and acts on the Lie algebra of dimension 78.	Has a representations of dimension 56, and acts on the corresponding Lie algebra of dimension 133.	It acts on the corresponding Lie algebra of dimension 248. E₈(3) contains the Thompson simple group.	These groups act on 27-dimensional exceptional Jordan algebras, which gives them 26-dimensional representations. They also act on the corresponding Lie algebras of dimension 52. F₄(q) has a non-trivial graph automorphism when q is a power of 2.	These groups are the automorphism groups of 8-dimensional Cayley algebras over finite fields, which gives them 7-dimensional representations. They also act on the corresponding Lie algebras of dimension 14. G₂(q) has a non-trivial graph automorphism when q is a power of 3. Moreover, they appear as automorphism groups of certain point-line geometries called split Cayley generalized hexagons.

झूठ प्रकार का समूह#स्टाइनबर्ग समूह, ^{2</सुप>ए_n(क्यू²) एन > 1, ²डी_n(क्यू²) एन > 3, ^{2</सुप>ई₆(क्यू²), ³डी₄(क्यू³)}}

	Steinberg groups, ²A_n(q²) n > 1 unitary groups	Steinberg groups, ²D_n(q²) n > 3 orthogonal groups	Steinberg groups, ²E₆(q²)	Steinberg groups, ³D₄(q³)
Simplicity	²A₂(2²) is solvable, the others are simple.	All simple	All simple	All simple
Order	${1 \over (n+1,q+1)}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)$	${1 \over (4,q^{n}+1)}q^{n(n-1)}(q^{n}+1)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$	q³⁶(q¹²−1)(q⁹+1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q⁵+1)(q²−1)/(3,q+1)	q¹²(q⁸+q⁴+1)(q⁶−1)(q²−1)
Schur multiplier	Cyclic of order (n+1,q+1) for the simple groups, except for ²A₃(2²) (order 2), ²A₃(3²) (order 36, product of cyclic groups of orders 3,3,4), ²A₅(2²) (order 12, product of cyclic groups of orders 2,2,3)	Cyclic of order (4,qⁿ+1)	(3,q+1) except for ²E₆(2²) (order 12, product of cyclic groups of orders 2,2,3).	Trivial
Outer automorphism group	(n+1,q+1)⋅f⋅1, where q² = p^f	(4,qⁿ+1)⋅f⋅1, where q² = p^f	(3,q+1)⋅f⋅1, where q² = p^f	1⋅f⋅1, where q³ = p^f
Other names	Twisted Chevalley group, projective special unitary group, PSU_n+1(q), PSU(n + 1, q), U_n+1(q), ²A_n(q), ²A_n(q, q²)	²D_n(q), O_2n⁻(q), PΩ_2n⁻(q), twisted Chevalley group. "Hypoabelian group" is an archaic name for this group in characteristic 2.	²E₆(q), twisted Chevalley group	³D₄(q), D₄²(q³), Twisted Chevalley groups
Isomorphisms	The solvable group ²A₂(2²) is isomorphic to an extension of the order 8 quaternion group by an elementary abelian group of order 9. ²A₂(3²) is isomorphic to the derived group G₂(2)′. ²A₃(2²) is isomorphic to B₂(3).
Remarks	This is obtained from the unitary group in n + 1 dimensions by taking the subgroup of elements of determinant 1 and then quotienting out by the center.	This is the group obtained from the non-split orthogonal group in dimension 2n by taking the kernel of the determinant (or Dickson invariant in characteristic 2) and spinor norm maps and then killing the center. ²D₂(q²) also exists, but is the same as A₁(q²). ²D₃(q²) also exists, but is the same as ²A₃(q²).	One of the exceptional double covers of ²E₆(2²) is a subgroup of the baby monster group, and the exceptional central extension by the elementary abelian group of order 4 is a subgroup of the monster group.	³D₄(2³) acts on the unique even 26-dimensional lattice of determinant 3 with no roots.

सुजुकी समूह, ^{2</सुप>बी₂(2²ⁿ⁺¹)}

'सरलता:' n ≥ 1 के लिए सरल। समूह ^{2</सुप>बी₂(2) हल करने योग्य है।}

आदेश देना: क्यू^{2</उप>
(क्यू² + 1)
(क्यू − 1),
कहाँ
क्ष = 2²ⁿ⁺¹.}

'शूर मल्टीप्लायर:' n ≠ 1 के लिए तुच्छ, क्रम 4 का प्रारंभिक एबेलियन के लिए ^{2</सुप>बी₂(8)।}

बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह:

1⋅f⋅1,

जहां एफ = 2एन + 1.

अन्य नाम: सुज (2²ⁿ⁺¹), Sz(2²ⁿ⁺¹).

'समरूपता:' ^{2</सुप>बी₂(2) क्रम 20 का फ्रोबेनियस समूह है।}

टिप्पणी: सुजुकी समूह आकार के सेट पर कार्य करने वाले ज़ैसेनहॉस समूह हैं (2^{वह+1 </दाएं>)² + 1, और 2 के साथ फ़ील्ड पर 4-आयामी प्रतिनिधित्व है²ⁿ⁺¹ तत्व। वे केवल गैर-चक्रीय सरल समूह हैं जिनका क्रम 3 से विभाज्य नहीं है। वे छिटपुट सुजुकी समूह से संबंधित नहीं हैं।}

री समूह और स्तन समूह, ²एफ₄(2²ⁿ⁺¹)

'सरलता:' n ≥ 1 के लिए सरल। व्युत्पन्न समूह ²एफ₄(2)' सूचकांक 2 का सरल है में ²एफ₄(2), और स्तन समूह कहा जाता है, बेल्जियम के गणितज्ञ जैक्स स्तन के नाम पर।

आदेश देना: क्यू^{12</उप>
(क्यू⁶ + 1)
(क्यू⁴ − 1)
(क्यू³ + 1)
(क्यू − 1),
कहाँ
क्ष = 2²ⁿ⁺¹.}

स्तन समूह का क्रम 17971200 = 2 है¹¹ ⋅ 3³ ⋅ 5² ⋅ 13.

शूर गुणक: n ≥ 1 के लिए तुच्छ और स्तन समूह के लिए।

बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह:

1⋅f⋅1,

जहाँ f = 2n +1. स्तन समूह के लिए आदेश 2।

टिप्पणी: झूठ प्रकार के अन्य सरल समूहों के विपरीत, स्तन समूह में बीएन जोड़ी नहीं होती है, हालांकि इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह ऐसा करता है, इसलिए अधिकांश लेखक इसे झूठ प्रकार के मानद समूह के रूप में गिनते हैं।

री समूह, ^{2</सुप>जी₂(3²ⁿ⁺¹)}

'सरलता:' n ≥ 1 के लिए सरल। समूह ^{2</सुप>जी₂(3) सरल नहीं है, बल्कि इसका व्युत्पन्न समूह है^{2</सुप>जी₂(3)' इंडेक्स 3 का एक साधारण उपसमूह है।}}

'आदेश देना:' क्यू^{3</उप>
(क्यू³ + 1)
(क्यू − 1),
कहाँ
क्ष = 3²ⁿ⁺¹}

'शूर गुणक:' n ≥ 1 और के लिए तुच्छ ^{2</सुप>जी₂(3)'।}

बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह:

1⋅f⋅1,

जहां एफ = 2एन + 1।

अन्य नाम: री (3^2एन+1), आर(3²ⁿ⁺¹), ई₂^∗(3^{वह+1 </दाएं>) .}

समरूपता: व्युत्पन्न समूह ^{2</सुप>जी₂(3)' ए के लिए आइसोमोर्फिक है₁(8)।}

टिप्पणियां: ^{2</सुप>जी₂(3²ⁿ⁺¹) का 3 पर दोहरा सकर्मक क्रमचय निरूपण है^3(2n+1) +1 अंक और 3 के साथ फ़ील्ड पर 7-आयामी सदिश स्थान पर कार्य करता है^{क्षमाकर्ता की ओर वह +1।}}

छिटपुट समूह

मैथ्यू समूह, एम₁₁, एम₁₂, एम₂₂, एम₂₃, एम₂₄

	Mathieu group, M₁₁	Mathieu group, M₁₂	Mathieu group, M₂₂	Mathieu group, M₂₃	Mathieu group, M₂₄
Order	2⁴ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 11 = 7920	2⁶ ⋅ 3³ ⋅ 5 ⋅ 11 = 95040	2⁷ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 443520	2⁷ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 10200960	2¹⁰ ⋅ 3³ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 244823040
Schur multiplier	Trivial	Order 2	Cyclic of order 12^{[lower-alpha 1]}	Trivial	Trivial
Outer automorphism group	Trivial	Order 2	Order 2	Trivial	Trivial
Remarks	A 4-transitive permutation group on 11 points, and is the point stabilizer of M₁₂ (in the 5-transitive 12-point permutation representation of M₁₂). The group M₁₁ is also contained in M₂₃. The subgroup of M₁₁ fixing a point in the 4-transitive 11-point permutation representation is sometimes called M₁₀, and has a subgroup of index 2 isomorphic to the alternating group A₆.	A 5-transitive permutation group on 12 points, contained in M₂₄.	A 3-transitive permutation group on 22 points, and is the point stabilizer of M₂₃ (in the 4-transitive 23-point permutation representation of M₂₃). The subgroup of M₂₂ fixing a point in the 3-transitive 22-point permutation representation is sometimes called M₂₁, and is isomorphic to PSL(3,4) (i.e. isomorphic to A₂(4)).	A 4-transitive permutation group on 23 points, and is the point stabilizer of M₂₄ (in the 5-transitive 24-point permutation representation of M₂₄).	A 5-transitive permutation group on 24 points.

जंको समूह, जे₁, जे₂, जे₃, जे₄

	Janko group, J₁	Janko group, J₂	Janko group, J₃	Janko group, J₄
Order	2³ ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 175560	2⁷ ⋅ 3³ ⋅ 5² ⋅ 7 = 604800	2⁷ ⋅ 3⁵ ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 19 = 50232960	2²¹ ⋅ 3³ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11³ ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 43 = 86775571046077562880
Schur multiplier	Trivial	Order 2	Order 3	Trivial
Outer automorphism group	Trivial	Order 2	Order 2	Trivial
Other names	J(1), J(11)	Hall–Janko group, HJ	Higman–Janko–McKay group, HJM
Remarks	It is a subgroup of G₂(11), and so has a 7-dimensional representation over the field with 11 elements.	The automorphism group J₂:2 of J₂ is the automorphism group of a rank 3 graph on 100 points called the Hall-Janko graph. It is also the automorphism group of a regular near octagon called the Hall-Janko near octagon. The group J₂ is contained in G₂(4).	J₃ seems unrelated to any other sporadic groups (or to anything else). Its triple cover has a 9-dimensional unitary representation over the field with 4 elements.	Has a 112-dimensional representation over the field with 2 elements.

कॉनवे समूह, कं₁, कं₂, कं₃

	Conway group, Co₁	Conway group, Co₂	Conway group, Co₃
Order	2²¹ ⋅ 3⁹ ⋅ 5⁴ ⋅ 7² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 23 = 4157776806543360000	2¹⁸ ⋅ 3⁶ ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 42305421312000	2¹⁰ ⋅ 3⁷ ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 495766656000
Schur multiplier	Order 2	Trivial	Trivial
Outer automorphism group	Trivial	Trivial	Trivial
Other names	·1	·2	·3, C₃
Remarks	The perfect double cover Co₀ of Co₁ is the automorphism group of the Leech lattice, and is sometimes denoted by ·0.	Subgroup of Co₀; fixes a norm 4 vector in the Leech lattice.	Subgroup of Co₀; fixes a norm 6 vector in the Leech lattice. It has a doubly transitive permutation representation on 276 points.

फिशर समूह, Fi₂₂, होना₂₃, होना₂₄′

	Fischer group, Fi₂₂	Fischer group, Fi₂₃	Fischer group, Fi₂₄′
Order	2¹⁷ ⋅ 3⁹ ⋅ 5² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 64561751654400	2¹⁸ ⋅ 3¹³ ⋅ 5² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 = 4089470473293004800	2²¹ ⋅ 3¹⁶ ⋅ 5² ⋅ 7³ ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 ⋅ 29 = 1255205709190661721292800
Schur multiplier	Order 6	Trivial	Order 3
Outer automorphism group	Order 2	Trivial	Order 2
Other names	M(22)	M(23)	M(24)′, F₃₊
Remarks	A 3-transposition group whose double cover is contained in Fi₂₃.	A 3-transposition group contained in Fi₂₄′.	The triple cover is contained in the monster group.

हिगमैन-सिम्स समूह, एचएस

आदेश: 2⁹ ⋅ 3² ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

शूर गुणक: क्रम 2।

बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह: क्रम 2।

टिप्पणी: यह 100 अंकों के साथ हिगमैन सिम्स ग्राफ पर रैंक 3 क्रमचय समूह के रूप में कार्य करता है, और सह में निहित है₂ और कंपनी में₃.

मैकलॉघलिन समूह (गणित), मैकएल

आदेश: 2⁷ ⋅ 3⁶ ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

शूर गुणक: क्रम 3।

बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह: क्रम 2।

टिप्पणी: 275 अंकों के साथ मैकलॉघलिन ग्राफ पर रैंक 3 क्रमचय समूह के रूप में कार्य करता है, और सह में समाहित है₂ और कंपनी में₃.

आयोजित समूह, वह

आदेश देना: 2¹⁰ ⋅ 3³ ⋅ 5² ⋅ 7³ ⋅ 17 = 4030387200

शूर गुणक: तुच्छ।

बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह: क्रम 2।

अन्य नाम: हेल्ड-हिगमैन-मैके ग्रुप, एचएचएम, एफ₇, एचटीएच

टिप्पणी: राक्षस समूह में क्रम 7 के एक तत्व को केंद्रीकृत करता है।

रुदवालिस समूह, रु

आदेश देना: 2¹⁴ ⋅ 3³ ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

शूर गुणक: क्रम 2।

बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह: तुच्छ।

टिप्पणी: डबल कवर गॉसियन पूर्णांकों पर 28-आयामी जाली पर कार्य करता है।

सुजुकी छिटपुट समूह, सुज

आदेश: 2¹³ ⋅ 3⁷ ⋅ 5² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

शूर गुणक: क्रम 6।

बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह: क्रम 2।

दुसरे नाम: Sz

टिप्पणी: 6 गुना आवरण आइज़ेंस्टीन पूर्णांकों पर 12-आयामी जाली पर कार्य करता है। यह झूठ प्रकार के सुजुकी समूह से संबंधित नहीं है।

ओ'एन समूह, ओ'एन

आदेश देना: 2⁹ ⋅ 3⁴ ⋅ 5 ⋅ 7³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

शूर गुणक: क्रम 3।

बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह: क्रम 2।

अन्य नाम: ओ'नान-सिम्स समूह, ओ'एनएस, ओ-एस

टिप्पणियां: ट्रिपल कवर में 7 तत्वों के साथ क्षेत्र में दो 45-आयामी प्रतिनिधित्व होते हैं, जो एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा बदले जाते हैं।

हरदा–नॉर्टन समूह, HN

आदेश देना: 2¹⁴ ⋅ 3⁶ ⋅ 5⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

शूर गुणक: तुच्छ।

बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह: क्रम 2।

अन्य नाम: एफ₅, डी

'टिप्पणी:' राक्षस समूह में क्रम 5 के एक तत्व को केंद्रीकृत करता है।

ल्योंस समूह, Ly

आदेश देना: 2⁸ ⋅ 3⁷ ⋅ 5⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

शूर गुणक: तुच्छ।

बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह: तुच्छ।

अन्य नाम: ल्योंस-सिम्स समूह, LyS

टिप्पणी: 5 तत्वों के साथ क्षेत्र पर 111-आयामी प्रतिनिधित्व है।

थॉम्पसन समूह (परिमित), थ

आदेश: 2¹⁵ ⋅ 3¹⁰ ⋅ 5³ ⋅ 7² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

शूर गुणक: तुच्छ।

बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह: तुच्छ।

अन्य नाम: एफ₃, इ

'टिप्पणी:' राक्षस में क्रम 3 के एक तत्व को केंद्रीकृत करता है, और ई में निहित है₈(3), इसलिए 3 तत्वों के साथ क्षेत्र पर 248-आयामी प्रतिनिधित्व है।

बेबी मॉन्स्टर ग्रुप, बी

आदेश देना:

2⁴¹ ⋅ 3¹³ ⋅ 5⁶ ⋅ 7² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47

= 4154781481226426191177580544000000

शूर गुणक: क्रम 2।

बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह: तुच्छ।

अन्य नाम: एफ₂ टिप्पणी: दोहरा आवरण राक्षस समूह में समाहित है। इसमें जटिल संख्याओं पर आयाम 4371 का प्रतिनिधित्व है (बिना किसी गैर-इनवेरिएंट उत्पाद के), और एक कम्यूटेटिव लेकिन गैर-सहयोगी उत्पाद को संरक्षित करने वाले 2 तत्वों के साथ फ़ील्ड पर आयाम 4370 का प्रतिनिधित्व है।

फिशर-ग्रिस राक्षस समूह , एम

आदेश देना:

2⁴⁶ ⋅ 3²⁰ ⋅ 5⁹ ⋅ 7⁶ ⋅ 11² ⋅ 13³ ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

शूर गुणक: तुच्छ।

बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह: तुच्छ।

अन्य नाम: एफ₁, एम₁, राक्षस समूह, दोस्ताना विशाल, फिशर का राक्षस।

टिप्पणी: अन्य छिटपुट समूहों में से 6 को छोड़कर सभी उपभाग के रूप में शामिल हैं। राक्षसी चन्द्रमा से संबंधित। राक्षस 196,883-आयामी ग्रिज बीजगणित और अनंत-आयामी राक्षस वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित का ऑटोमोर्फिज्म समूह है, और राक्षस झूठ बीजगणित पर स्वाभाविक रूप से कार्य करता है।

छोटे क्रम के गैर-चक्रीय सरल समूह

Order	Factored order	Group	Schur multiplier	Outer automorphism group
60	2² ⋅ 3 ⋅ 5	A₅ = A₁(4) = A₁(5)	2	2
168	2³ ⋅ 3 ⋅ 7	A₁(7) = A₂(2)	2	2
360	2³ ⋅ 3² ⋅ 5	A₆ = A₁(9) = B₂(2)′	6	2×2
504	2³ ⋅ 3² ⋅ 7	A₁(8) = ²G₂(3)′	1	3
660	2² ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11	A₁(11)	2	2
1092	2² ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13	A₁(13)	2	2
2448	2⁴ ⋅ 3² ⋅ 17	A₁(17)	2	2
2520	2³ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7	A₇	6	2
3420	2² ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 19	A₁(19)	2	2
4080	2⁴ ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 17	A₁(16)	1	4
5616	2⁴ ⋅ 3³ ⋅ 13	A₂(3)	1	2
6048	2⁵ ⋅ 3³ ⋅ 7	²A₂(9) = G₂(2)′	1	2
6072	2³ ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 23	A₁(23)	2	2
7800	2³ ⋅ 3 ⋅ 5² ⋅ 13	A₁(25)	2	2×2
7920	2⁴ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 11	M₁₁	1	1
9828	2² ⋅ 3³ ⋅ 7 ⋅ 13	A₁(27)	2	6
12180	2² ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 29	A₁(29)	2	2
14880	2⁵ ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 31	A₁(31)	2	2
20160	2⁶ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7	A₃(2) = A₈	2	2
20160	2⁶ ⋅ 3² ⋅ 5 ⋅ 7	A₂(4)	3×4²	D₁₂
25308	2² ⋅ 3² ⋅ 19 ⋅ 37	A₁(37)	2	2
25920	2⁶ ⋅ 3⁴ ⋅ 5	²A₃(4) = B₂(3)	2	2
29120	2⁶ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13	²B₂(8)	2²	3
32736	2⁵ ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 31	A₁(32)	1	5
34440	2³ ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 41	A₁(41)	2	2
39732	2² ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 43	A₁(43)	2	2
51888	2⁴ ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 47	A₁(47)	2	2
58800	2⁴ ⋅ 3 ⋅ 5² ⋅ 7²	A₁(49)	2	2²
62400	2⁶ ⋅ 3 ⋅ 5² ⋅ 13	²A₂(16)	1	4
74412	2² ⋅ 3³ ⋅ 13 ⋅ 53	A₁(53)	2	2
95040	2⁶ ⋅ 3³ ⋅ 5 ⋅ 11	M₁₂	2	2

(100,000 से कम के ऑर्डर के लिए पूर्ण)

Hall (1972) दस लाख से कम क्रम के 56 गैर-चक्रीय सरल समूहों को सूचीबद्ध करता है।

यह भी देखें

छोटे समूहों की सूची

↑ There were several mistakes made in the initial calculations of the Schur multiplier, so some older books and papers list incorrect values. (This caused an error in the title of Janko's original 1976 paper^[1] giving evidence for the existence of the group J₄. At the time it was thought that the full covering group of M₂₂ was 6⋅M₂₂. In fact J₄ has no subgroup 12⋅M₂₂.)

संदर्भ

↑ Z. Janko (1976). "A new finite simple group of order 86,775,571,046,077,562,880 which possesses M₂₄ and the full covering group of M₂₂ as subgroups". J. Algebra. 42: 564–596. doi:10.1016/0021-8693(76)90115-0.

अग्रिम पठन

Simple Groups of Lie Type by Roger W. Carter, ISBN 0-471-50683-4
Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: "Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups." Oxford, England 1985.
Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups (volume 1), AMS, 1994 (volume 3), AMS, 1998
Hall, Marshall Jr. (1972), "Simple groups of order less than one million", Journal of Algebra, 20: 98–102, doi:10.1016/0021-8693(72)90090-7, ISSN 0021-8693, MR 0285603
Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, vol. 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012
Atlas of Finite Group Representations: contains representations and other data for many finite simple groups, including the sporadic groups.
Orders of non abelian simple groups up to 10¹⁰, and on to 10⁴⁸ with restrictions on rank.

बाहरी संबंध

Orders of non abelian simple groups up to order 10,000,000,000.

[2] There were several mistakes made in the initial calculations of the Schur multiplier, so some older books and papers list incorrect values. (This caused an error in the title of Janko's original 1976 paper^[1] giving evidence for the existence of the group J₄. At the time it was thought that the full covering group of M₂₂ was 6⋅M₂₂. In fact J₄ has no subgroup 12⋅M₂₂.)

[1] Z. Janko (1976). "A new finite simple group of order 86,775,571,046,077,562,880 which possesses M₂₄ and the full covering group of M₂₂ as subgroups". J. Algebra. 42: 564–596. doi:10.1016/0021-8693(76)90115-0.

[lower-alpha 1]

[1]

परिमित सरल समूहों की सूची

Contents

सारांश

चक्रीय समूह, जेड_p

वैकल्पिक समूह, ए_n, एन> 4

झूठ प्रकार के समूह

शेवाली समूह, ए_n(क्यू), बी_n(क्यू) एन> 1, सी_n(क्यू) एन> 2, डी_n(क्यू) एन> 3

चेवेली समूह, ई₆(क्यू), ई₇(क्यू), ई₈(क्यू), एफ₄(क्यू), जी₂(क्यू)

झूठ प्रकार का समूह#स्टाइनबर्ग समूह, ^{2</सुप>ए_n(क्यू²) एन > 1, ²डी_n(क्यू²) एन > 3, ^{2</सुप>ई₆(क्यू²), ³डी₄(क्यू³)}}

सुजुकी समूह, ^{2</सुप>बी₂(2²ⁿ⁺¹)}

री समूह और स्तन समूह, ²एफ₄(2²ⁿ⁺¹)

री समूह, ^{2</सुप>जी₂(3²ⁿ⁺¹)}

छिटपुट समूह

मैथ्यू समूह, एम₁₁, एम₁₂, एम₂₂, एम₂₃, एम₂₄

जंको समूह, जे₁, जे₂, जे₃, जे₄

कॉनवे समूह, कं₁, कं₂, कं₃

फिशर समूह, Fi₂₂, होना₂₃, होना₂₄′

हिगमैन-सिम्स समूह, एचएस

मैकलॉघलिन समूह (गणित), मैकएल

आयोजित समूह, वह

रुदवालिस समूह, रु

सुजुकी छिटपुट समूह, सुज

ओ'एन समूह, ओ'एन

हरदा–नॉर्टन समूह, HN

ल्योंस समूह, Ly

थॉम्पसन समूह (परिमित), थ

बेबी मॉन्स्टर ग्रुप, बी

फिशर-ग्रिस राक्षस समूह , एम

छोटे क्रम के गैर-चक्रीय सरल समूह

यह भी देखें

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बाहरी संबंध

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परिमित सरल समूहों की सूची

सारांश

चक्रीय समूह, जेडp

वैकल्पिक समूह, एn, एन> 4

झूठ प्रकार के समूह

शेवाली समूह, एn(क्यू), बीn(क्यू) एन> 1, सीn(क्यू) एन> 2, डीn(क्यू) एन> 3

चेवेली समूह, ई6(क्यू), ई7(क्यू), ई8(क्यू), एफ4(क्यू), जी2(क्यू)

झूठ प्रकार का समूह#स्टाइनबर्ग समूह, 2</सुप>एn(क्यू2) एन > 1, 2डीn(क्यू2) एन > 3, 2</सुप>ई6(क्यू2), 3डी4(क्यू3)

सुजुकी समूह, 2</सुप>बी2(22n+1)

री समूह और स्तन समूह, 2एफ4(22n+1)

री समूह, 2</सुप>जी2(32n+1)

छिटपुट समूह

मैथ्यू समूह, एम11, एम12, एम22, एम23, एम24

जंको समूह, जे1, जे2, जे3, जे4

कॉनवे समूह, कं1, कं2, कं3

फिशर समूह, Fi22, होना23, होना24′

हिगमैन-सिम्स समूह, एचएस

मैकलॉघलिन समूह (गणित), मैकएल

आयोजित समूह, वह

रुदवालिस समूह, रु

सुजुकी छिटपुट समूह, सुज

ओ'एन समूह, ओ'एन

हरदा–नॉर्टन समूह, HN

ल्योंस समूह, Ly

थॉम्पसन समूह (परिमित), थ

बेबी मॉन्स्टर ग्रुप, बी

फिशर-ग्रिस राक्षस समूह , एम

छोटे क्रम के गैर-चक्रीय सरल समूह

यह भी देखें

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संदर्भ

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

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चक्रीय समूह, जेड_p

वैकल्पिक समूह, ए_n, एन> 4

शेवाली समूह, ए_n(क्यू), बी_n(क्यू) एन> 1, सी_n(क्यू) एन> 2, डी_n(क्यू) एन> 3

चेवेली समूह, ई₆(क्यू), ई₇(क्यू), ई₈(क्यू), एफ₄(क्यू), जी₂(क्यू)

झूठ प्रकार का समूह#स्टाइनबर्ग समूह, ^{2</सुप>ए_n(क्यू²) एन > 1, ²डी_n(क्यू²) एन > 3, ^{2</सुप>ई₆(क्यू²), ³डी₄(क्यू³)}}

सुजुकी समूह, ^{2</सुप>बी₂(2²ⁿ⁺¹)}

री समूह और स्तन समूह, ²एफ₄(2²ⁿ⁺¹)

री समूह, ^{2</सुप>जी₂(3²ⁿ⁺¹)}

मैथ्यू समूह, एम₁₁, एम₁₂, एम₂₂, एम₂₃, एम₂₄

जंको समूह, जे₁, जे₂, जे₃, जे₄

कॉनवे समूह, कं₁, कं₂, कं₃

फिशर समूह, Fi₂₂, होना₂₃, होना₂₄′