राक्षस समूह

This article is about the largest of the sporadic finite simple groups. For the kind of infinite group known as a Tarski monster group, see Tarski monster group.

अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में जिसे समूह सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, राक्षस समूह एम (जिसे फिशर-ग्रीज़ राक्षस या मैत्रीपूर्ण विशाल के रूप में भी जाना जाता है) ऑर्डर (समूह सिद्धांत) वाला सबसे बड़ा छिटपुट सरल समूह है।
      2⁴⁶ · 3²⁰ · 5⁹ · 7⁶ · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
   = 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000
   ≈ 8×10⁵³.

परिमित समूह सरल समूह पूरी तरह से परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण है। ऐसा प्रत्येक समूह 18 अनगिनत अनंत परिवारों में से एक से संबंधित है या 26 छिटपुट समूहों में से एक है जो इस तरह के व्यवस्थित पैटर्न का पालन नहीं करते हैं। राक्षस समूह में उप-भाग के रूप में 20 छिटपुट समूह (स्वयं सहित) शामिल हैं। 1982 में राक्षस के अस्तित्व को सिद्ध करने वाले रॉबर्ट ग्रिएस ने उन 20 समूहों को सुखी परिवार और शेष छह अपवादों को पारिया समूह कहा है।

इसकी जटिलता के कारण राक्षस की एक अच्छी रचनात्मक परिभाषा देना कठिन है। मार्टिन गार्डनर ने जून 1980 में अमेरिकी वैज्ञानिक में अपने गणितीय खेल कॉलम में राक्षस समूह का एक लोकप्रिय विवरण लिखा था।

इतिहास

राक्षस की भविष्यवाणी बर्नड फिशर (गणितज्ञ) (अप्रकाशित, लगभग 1973) और रॉबर्ट ग्रिएस ने की थी एक साधारण समूह के रूप में जिसमें फिशर के बेबी मॉन्स्टर समूह का एक डबल कवरिंग समूह शामिल है जो एक इनवोल्यूशन (समूह सिद्धांत) के सेंट्रलाइज़र और सामान्याइज़र के रूप में है। कुछ महीनों के भीतर, थॉम्पसन ऑर्डर फॉर्मूला का उपयोग करके ग्रिज़ द्वारा एम का ऑर्डर पाया गया, और फिशर, जॉन हॉर्टन कॉनवे, नॉर्टन और थॉम्पसन ने अन्य समूहों को उप-समूह के रूप में खोजा, जिनमें कई ज्ञात छिटपुट समूह और दो नए समूह शामिल थे: थॉम्पसन समूह (परिमित) और हरदा-नॉर्टन समूह। राक्षस के चरित्र सिद्धांत, एक 194-बाई-194 सरणी, की गणना 1979 में फिशर और डोनाल्ड लिविंगस्टोन द्वारा माइकल थॉर्न द्वारा लिखित कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके की गई थी। 1970 के दशक में यह स्पष्ट नहीं था कि राक्षस वास्तव में अस्तित्व में था या नहीं। ग्रिएस ने एम को ग्रिज़ बीजगणित के ऑटोमोर्फिज्म समूह के रूप में निर्मित किया, जो वास्तविक संख्याओं पर एक 196,884-आयामी क्रमविनिमेय गैर-सहयोगी बीजगणित है; उन्होंने पहली बार 14 जनवरी, 1980 को एन आर्बर में अपने निर्माण की घोषणा की। अपने 1982 के पेपर में, उन्होंने राक्षस को फ्रेंडली जाइंट के रूप में संदर्भित किया, लेकिन इस नाम को आम तौर पर अपनाया नहीं गया है। जॉन कॉनवे और जैक्स टिट्सबाद में इस निर्माण को सरल बनाया गया।

ग्रिएस के निर्माण से पता चला कि राक्षस मौजूद है। जॉन जी. थॉम्पसन ने दिखाया कि इसकी विशिष्टता (परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण से आने वाली कुछ शर्तों को पूरा करने वाले एक साधारण समूह के रूप में) 196,883-आयामी वफादार प्रतिनिधित्व के अस्तित्व से उत्पन्न होगी। इस तरह के प्रतिनिधित्व के अस्तित्व का प्रमाण साइमन पी. नॉर्टन द्वारा घोषित किया गया था, हालाँकि उन्होंने कभी भी विवरण प्रकाशित नहीं किया। ग्रिज़, मेयरफ्रैंकनफेल्ड और सेगेव ने राक्षस की विशिष्टता का पहला पूर्ण प्रकाशित प्रमाण दिया (अधिक सटीक रूप से, उन्होंने दिखाया कि राक्षस के समान आक्रमणों के केंद्रीकरण वाला एक समूह राक्षस के लिए आइसोमोर्फिक है)।

राक्षस छिटपुट सरल समूहों के विकास की परिणति था और इसे तीन में से किन्हीं दो उपसमूहों से बनाया जा सकता है: फिशर समूह Fi₂₄, बेबी मॉन्स्टर, और कॉनवे समूह कंपनी₁.

शूर गुणक और राक्षस का बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह दोनों तुच्छ समूह हैं।

अभ्यावेदन

फेथफुल रिप्रजेंटेशन कॉम्प्लेक्स रिप्रेजेंटेशन की न्यूनतम डिग्री 47 × 59 × 71 = 196,883 है, इसलिए यह एम के क्रम के तीन सबसे बड़े अभाज्य विभाजकों का उत्पाद है। किसी भी क्षेत्र पर सबसे छोटे वफादार रैखिक प्रतिनिधित्व का आयाम दो तत्वों वाले क्षेत्र पर 196,882 है, जो सबसे छोटे वफादार जटिल प्रतिनिधित्व के आयाम से केवल एक कम है।

राक्षस का सबसे छोटा वफादार क्रमपरिवर्तन प्रतिनिधित्व चालू है 2⁴·3⁷·5³·7⁴ · 11 · 13² · 29 · 41 · 59 · 71 (लगभग 10²⁰) अंक.

राक्षस को तर्कसंगत संख्याओं पर गैलोज़ समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है, और हर्विट्ज़ समूह के रूप में।

राक्षस सरल समूहों के बीच असामान्य है क्योंकि इसके तत्वों का प्रतिनिधित्व करने का कोई आसान तरीका नहीं है। यह इसके आकार के कारण इतना अधिक नहीं है जितना कि छोटे प्रतिनिधित्वों की अनुपस्थिति के कारण है। उदाहरण के लिए, सरल समूह ए₁₀₀ और एस.एल₂₀(2) बहुत बड़े हैं लेकिन गणना करना आसान है क्योंकि उनमें छोटे क्रमपरिवर्तन या रैखिक प्रतिनिधित्व हैं। वैकल्पिक समूह, जैसे ए₁₀₀, क्रमपरिवर्तन निरूपण हैं जो समूह के आकार की तुलना में छोटे हैं, और झूठ प्रकार के समूह के सभी सीमित सरल समूह, जैसे एसएल₂₀(2), रैखिक निरूपण हैं जो समूह के आकार की तुलना में छोटे हैं। मॉन्स्टर के अलावा सभी छिटपुट समूहों में रैखिक प्रतिनिधित्व भी इतना छोटा होता है कि कंप्यूटर पर उनके साथ काम करना आसान होता है (राक्षस के बाद अगला सबसे कठिन मामला बेबी मॉन्स्टर है, आयाम 4370 के प्रतिनिधित्व के साथ)।

कंप्यूटर निर्माण

मार्टिन सेसेन ने mmgroup नामक एक तेज़ पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) पैकेज लागू किया है, जो राक्षस समूह का पहला कार्यान्वयन होने का दावा करता है जहां मनमाने ढंग से संचालन प्रभावी ढंग से किया जा सकता है। दस्तावेज़ में कहा गया है कि एक सामान्य आधुनिक पीसी पर समूह तत्वों के गुणन में 40 मिलीसेकंड से भी कम समय लगता है, जो कि 2013 में रॉबर्ट अर्नोट विल्सन|रॉबर्ट ए. विल्सन के अनुमान से पांच ऑर्डर तेज है। एमएमग्रुप सॉफ्टवेयर पैकेज का उपयोग राक्षस समूह के दो नए अधिकतम उपसमूहों को खोजने के लिए किया गया है।

इससे पहले, रॉबर्ट ए. विल्सन ने स्पष्ट रूप से (कंप्यूटर की सहायता से) दो उलटे 196,882 गुणा 196,882 मैट्रिक्स (जीएफ (2) में तत्वों के साथ) पाए थे, जो मैट्रिक्स गुणन द्वारा एक समूह के राक्षस समूह का निर्माण कर रहे थे; यह विशेषता 0 में 196,883-आयामी प्रतिनिधित्व से एक आयाम कम है। इन मैट्रिक्स के साथ गणना करना संभव था लेकिन उपयोगी होने के लिए समय और भंडारण स्थान के मामले में यह बहुत महंगा है, क्योंकि ऐसा प्रत्येक मैट्रिक्स साढ़े चार गीगाबाइट से अधिक घेरता है।

विल्सन का दावा है कि राक्षस का सबसे अच्छा वर्णन यह है कि, यह राक्षस शीर्ष बीजगणित का ऑटोमोर्फिज्म समूह है। हालाँकि, यह बहुत मददगार नहीं है, क्योंकि किसी को भी मॉन्स्टर वर्टेक्स बीजगणित का वास्तव में सरल और प्राकृतिक निर्माण नहीं मिला है।

विल्सन ने सहयोगियों के साथ राक्षस के साथ गणना करने की एक विधि ढूंढी जो काफी तेज़ थी, हालांकि अब सेसेन के उपर्युक्त कार्य ने इसकी जगह ले ली है। मान लीजिए V 2 तत्वों के साथ क्षेत्र पर 196,882 आयामी वेक्टर स्थान है। मॉन्स्टर का एक बड़ा उपसमूह एच (अधिमानतः एक अधिकतम उपसमूह) चुना जाता है जिसमें गणना करना आसान होता है। चुना गया उपसमूह H 3 है¹⁺¹².2.सुज.2, जहां सुज सुजुकी समूह (गणित) है। राक्षस के तत्वों को एच और एक अतिरिक्त जनरेटर टी के तत्वों में शब्दों के रूप में संग्रहीत किया जाता है। वी में एक वेक्टर पर इन शब्दों में से एक की कार्रवाई की गणना करना उचित रूप से त्वरित है। इस क्रिया का उपयोग करके, गणना करना संभव है (जैसे) राक्षस के एक तत्व के आदेश के रूप में)। विल्सन ने वैक्टर यू और वी प्रदर्शित किए हैं जिनका संयुक्त स्टेबलाइजर तुच्छ समूह है। इस प्रकार (उदाहरण के लिए) कोई सबसे छोटा i > 0 ज्ञात करके राक्षस के तत्व g के क्रम की गणना कर सकता है जैसे कि g^मैंu = आप और जीⁱv = v. यह और इसी तरह के निर्माण (विभिन्न विशेषताओं (बीजगणित) में) का उपयोग राक्षस समूह के कुछ गैर-स्थानीय अधिकतम उपसमूहों को खोजने के लिए किया गया था।

चांदनी

Main article: Monstrous moonshine

कॉनवे और नॉर्टन के राक्षसी चंद्रमा अनुमान में राक्षस समूह दो प्रमुख घटकों में से एक है, जो असतत और गैर-असतत गणित से संबंधित है और अंततः 1992 में रिचर्ड इवेन बोरचर्ड्स द्वारा सिद्ध किया गया था।

इस सेटिंग में, मॉन्स्टर समूह राक्षस मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज्म समूह, एक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित, ग्रिज़ बीजगणित युक्त एक अनंत आयामी बीजगणित के रूप में दिखाई देता है, और मॉन्स्टर लाई बीजगणित, एक सामान्यीकृत केएसी-मूडी बीजगणित पर कार्य करता है।

कॉनवे सहित कई गणितज्ञों ने राक्षस को एक सुंदर और अभी भी रहस्यमय वस्तु के रूप में देखा है।{{sfn|Roberts|2013}कॉनवे ने राक्षस समूह के बारे में कहा: यह वहां क्यों है इसका कोई स्पष्टीकरण कभी नहीं दिया गया है, और यह स्पष्ट रूप से सिर्फ संयोग से वहां नहीं है। इसमें इतने दिलचस्प गुण हैं कि यह सब महज एक दुर्घटना बनकर रह जाएगा। राक्षस समूह के गुणों के विशेषज्ञ साइमन पी. नॉर्टन को यह कहते हुए उद्धृत किया गया है, मैं एक वाक्य में समझा सकता हूं कि राक्षसी मूनशाइन क्या है, यह भगवान की आवाज है।

मैके का ई₈ अवलोकन

राक्षस और विस्तारित डायनकिन आरेखों के बीच भी संबंध हैं ${\tilde {E}}_{8},$ विशेष रूप से आरेख के नोड्स और राक्षस में कुछ संयुग्मी वर्गों के बीच, जिसे मैके के ई के रूप में जाना जाता है₈ अवलोकन। इसके बाद इसे विस्तारित आरेखों के बीच एक संबंध तक बढ़ाया जाता है ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}$ और समूह 3.Fi₂₄', 2.बी, और एम, जहां ये फिशर समूह, बेबी मॉन्स्टर समूह और मॉन्स्टर के (3/2/1-गुना केंद्रीय विस्तार) हैं। ये राक्षस में प्रकार 1ए, 2ए और 3ए के तत्वों के केंद्रीकरणकर्ताओं से जुड़े छिटपुट समूह हैं, और विस्तार का क्रम आरेख की समरूपता से मेल खाता है। एडीई वर्गीकरण देखें#ट्रिनिटीज|एडीई वर्गीकरण: आगे के कनेक्शन के लिए ट्रिनिटी (मैकके पत्राचार प्रकार के), जिसमें (राक्षस के लिए) बल्कि छोटे सरल समूह प्रक्षेप्य विशेष रैखिक समूह (2,11) और एक कैनोनिक के 120 ट्रिटेंजेंट विमानों के साथ शामिल हैं जीनस 4 के सेक्सटिक वक्र को ब्रिंग्स कर्व के नाम से जाना जाता है।

अधिकतम उपसमूह

26 छिटपुट सरल समूहों का आरेख, उप-भाग संबंधों को दर्शाता है।

राक्षस के पास अधिकतम उपसमूहों के 46 संयुग्मी वर्ग हैं। लगभग 60 समरूपता प्रकारों के गैर-एबेलियन सरल समूह उपसमूहों के रूप में या उपसमूहों के भागफल के रूप में पाए जाते हैं। प्रतिनिधित्व करने वाला सबसे बड़ा वैकल्पिक समूह A है₁₂.

राक्षस में 26 छिटपुट समूहों में से 20 को उप-भाग के रूप में शामिल किया गया है। मार्क रोनन की पुस्तक सिमेट्री एंड द मॉन्स्टर में से एक पर आधारित यह आरेख दिखाता है कि वे एक साथ कैसे फिट होते हैं। पंक्तियाँ ऊपरी समूह द्वारा निचले समूह को उपभाग के रूप में शामिल करने का संकेत देती हैं। गोलाकार चिह्न उन समूहों को दर्शाते हैं जो बड़े छिटपुट समूहों में शामिल नहीं हैं। स्पष्टता के लिए अनावश्यक समावेशन नहीं दिखाए गए हैं।

राक्षस के अधिकतम उपसमूहों के 46 वर्ग निम्नलिखित सूची द्वारा दिए गए हैं। विल्सन एट का पिछला अप्रकाशित कार्य। अल ने फॉर्म यू के गैर-एबेलियन सरल सॉकल (गणित) के साथ किसी भी लगभग सरल उपसमूह को खारिज करने का इरादा किया था₃(4), एल₂(8), और एल₂(16). हालाँकि, बाद वाले का डायट्रिच एट अल द्वारा खंडन किया गया, जिन्होंने फॉर्म यू का एक नया अधिकतम उपसमूह पाया₃(4). उन्हीं लेखकों ने पहले फॉर्म एल का एक नया अधिकतम उपसमूह पाया था₂(13) और पुष्टि की कि सामाजिक एल के साथ कोई अधिकतम उपसमूह नहीं हैं₂(8) या एल₂(16), इस प्रकार साहित्य में वर्गीकरण पूरा हुआ।

ध्यान दें कि अधिकतम उपसमूहों की तालिकाओं में अक्सर सूक्ष्म त्रुटियां पाई गई हैं, और विशेष रूप से नीचे दी गई सूची के कम से कम दो उपसमूहों को कुछ पिछली सूचियों से गलत तरीके से हटा दिया गया था।

• 2.बी   किसी इन्वॉल्वमेंट का केंद्रीकरणकर्ता; इसमें सिलो 47-उपसमूह का नॉर्मलाइज़र (47:23) × 2 शामिल है
• 2¹⁺²⁴.Co₁   किसी इन्वॉल्वमेंट का केंद्रीकरणकर्ता
• 3.फाई₂₄   क्रम 3 के उपसमूह का सामान्यीकरण; इसमें साइलो 29-उपसमूह का नॉर्मलाइज़र ((29:14) × 3.2) शामिल है
• 2².²ई₆(2²):एस₃   क्लेन 4-समूह का सामान्यीकरणकर्ता
• 2¹⁰⁺¹⁶.O₁₀⁺(2)
• 2^2+11+22.(एम₂₄ × एस₃)   क्लेन 4-समूह का सामान्यीकरणकर्ता; इसमें नॉर्मलाइज़र (23:11) × एस शामिल है₄ सिलो 23-उपसमूह का
• 3^{1+12.2z.2   क्रम 3 के उपसमूह का सामान्यीकरण}
• 2^5+10+20. (एस₃ × एल₅(2))
• एस₃ × गु   क्रम 3 के उपसमूह का सामान्यीकरण; इसमें नॉर्मलाइज़र (31:15) × एस शामिल है₃ सिलो 31-उपसमूह का
• 2^3+6+12+18.(एल₃(2)×3एस₆)
• 3⁸.O₈⁻ (3).2₃
• (डी₁₀ × एचएन).2   क्रम 5 के उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता
• (3²:2×O₈⁺(3)).एस₄
• 3²⁺⁵⁺¹⁰.(एम₁₁ × 2एस₄)
• 3^3+2+6+6:(एल₃(3) × एसडी₁₆)
• 5¹⁺⁶:2J₂:4   क्रम 5 के उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता
• (7:3 × वह):2   क्रम 7 के उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता
• (ए₅ × ए₁₂):2
• 5³⁺³.(2 × एल₃(5))
• (ए₆ × ए₆ × ए₆).(2 × एस₄)
• (ए₅ × यू₃(8):3₁):2   में नॉर्मलाइज़र ((19:9) × ए शामिल है₅):सिलो 19-उपसमूह का 2
• 5²⁺²⁺⁴:(एस₃ × जीएल₂(5))
• (एल₃(2) × एस₄(4):2).2   में नॉर्मलाइज़र ((17:8) × एल शामिल है₃(2)).2 सिलो 17-उपसमूह का
• 7¹⁺⁴:(3×2एस₇)   क्रम 7 के उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता
• (5²:4.2²× यू₃(5)).एस₃
• (एल₂(11)× एम₁₂):2   में नॉर्मलाइज़र (11:5 × एम) शामिल है₁₂):क्रम 11 के एक उपसमूह का 2
• (ए₇ × (ए₅ × ए₅):2²):2
• 5⁴:(3×2एल₂(25)):2₂
• 7²⁺¹⁺²:GL₂(7)
• एम₁₁ × ए₆.2²
• (एस₅ × एस₅ × एस₅):एस₃
• (एल₂(11) × एल₂(11)):4
• 13²:2L₂(13).4
• (7²:(3×2ए₄) × एल₂(7)):2
• (13:6 × एल₃(3)).2   क्रम 13 के उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता
• 13¹⁺²:(3×4एस₄)   क्रम 13 के उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता; सिलो 13-उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता
• यू₃(4):4  
• एल₂(71)   में साइलो 71-उपसमूह का नॉर्मलाइज़र 71:35 शामिल है
• एल₂(59)   में साइलो 59-उपसमूह का नॉर्मलाइज़र 59:29 शामिल है
• 11²:(5×2ए₅)   सिलो 11-उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता।
• एल₂(41)   नॉर्टन और विल्सन ने इस रूप का अधिकतम उपसमूह पाया; ज़वार्नित्सिन द्वारा बताई गई एक सूक्ष्म त्रुटि के कारण कुछ पिछली सूचियों और कागजात में कहा गया था कि ऐसा कोई अधिकतम उपसमूह मौजूद नहीं था
• एल₂(29):2  
• 7²: चित्र₂(7)   इसे गलती से 7-स्थानीय उपसमूहों की कुछ पिछली सूचियों से हटा दिया गया था
• एल₂(19):2  
• एल₂(13):2  
• 41:40   सिलो 41-उपसमूह का सामान्यीकरणकर्ता

यह भी देखें

• सुपरसिंगुलर प्राइम (चांदनी सिद्धांत), अभाज्य संख्याएं जो राक्षस के क्रम को विभाजित करती हैं

स्रोत

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अग्रिम पठन

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बाहरी संबंध

• What is... The Monster? by Richard E. Borcherds, Notices of the American Mathematical Society, October 2002 1077
• MathWorld: Monster Group
• Atlas of Finite Group Representations: Monster group
• Scientific American June 1980 Issue: The capture of the monster: a mathematical group with a ridiculous number of elements