सरल समूह

गणित में, एक साधारण समूह एक गैर-तुच्छ समूह (गणित) होता है जिसका एकमात्र सामान्य उपसमूह तुच्छ समूह और स्वयं समूह होता है। एक समूह जो सरल नहीं है, उसे दो छोटे समूहों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात् एक गैर-तुच्छ सामान्य उपसमूह और संबंधित भागफल समूह। इस प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है, और परिमित समूहों के लिए अंततः जॉर्डन-होल्डर प्रमेय द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित सरल समूहों पर पहुंच जाता है।

2004 में पूरा हुआ परिमित सरल समूहों का संपूर्ण वर्गीकरण, गणित के इतिहास में एक प्रमुख मील का पत्थर है।

उदाहरण

परिमित सरल समूह

चक्रीय समूह $G=(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ,+)=\mathbb {Z} _{3}$ सर्वांगसमता वर्गों का मोडुलो ऑपरेशन 3 (मॉड्यूलर अंकगणित देखें) सरल है। अगर $H$ इस समूह का एक उपसमूह है, इसका क्रम (समूह सिद्धांत) (तत्वों की संख्या) के क्रम का विभाजक होना चाहिए $G$ जो कि 3 है। चूँकि 3 अभाज्य है, इसका एकमात्र भाजक 1 और 3 है, इसलिए या तो $H$ है $G$ , या $H$ तुच्छ समूह है. दूसरी ओर, समूह $G=(\mathbb {Z} /12\mathbb {Z} ,+)=\mathbb {Z} _{12}$ सरल नहीं है. सेट $H$ 0, 4, और 8 मॉड्यूलो 12 के सर्वांगसम वर्गों का क्रम 3 का एक उपसमूह है, और यह एक सामान्य उपसमूह है क्योंकि एबेलियन समूह का कोई भी उपसमूह सामान्य है। इसी प्रकार, पूर्णांकों का योगात्मक समूह $(\mathbb {Z} ,+)$ सरल नहीं है; सम पूर्णांकों का समुच्चय एक गैर-तुच्छ उचित सामान्य उपसमूह है।^[1] कोई भी किसी भी एबेलियन समूह के लिए इसी तरह के तर्क का उपयोग कर सकता है, यह निष्कर्ष निकालने के लिए कि एकमात्र सरल एबेलियन समूह अभाज्य संख्या क्रम के चक्रीय समूह हैं। नॉनबेलियन सरल समूहों का वर्गीकरण बहुत कम तुच्छ है। सबसे छोटा नॉनबेलियन सरल समूह प्रत्यावर्ती समूह है $A_{5}$ क्रम 60 का, और क्रम 60 का प्रत्येक सरल समूह समूह समरूपता है $A_{5}$ .^[2] दूसरा सबसे छोटा नॉनबेलियन सरल समूह क्रम 168 का प्रक्षेप्य विशेष रैखिक समूह पीएसएल(2,7) है, और क्रम 168 का प्रत्येक सरल समूह पीएसएल(2,7) के समरूपी है।^[3]^[4]

अनंत सरल समूह

अनंत प्रत्यावर्ती समूह $A_{\infty }$ , अर्थात पूर्णांकों के समतः समर्थित क्रमपरिवर्तन का समूह सरल है। इस समूह को परिमित सरल समूहों के बढ़ते हुए संघ के रूप में लिखा जा सकता है $A_{n}$ मानक एम्बेडिंग के संबंध में $A_{n}\rightarrow A_{n+1}$ . अनंत सरल समूहों के उदाहरणों का एक और परिवार दिया गया है $PSL_{n}(F)$ , कहाँ $F$ एक अनंत क्षेत्र है और $n\geq 2$ .

परिमित रूप से उत्पन्न अनंत सरल समूहों का निर्माण करना कहीं अधिक कठिन है। पहला अस्तित्व परिणाम गैर-स्पष्ट है; यह ग्राहम हिगमैन के कारण है और इसमें हिगमैन समूह के सरल भागफल शामिल हैं।^[5] स्पष्ट उदाहरण, जो अंततः प्रस्तुत किए जाते हैं, में अनंत थॉम्पसन समूह शामिल हैं $T$ और $V$ . परिमित रूप से प्रस्तुत टोरसन (बीजगणित) | टोरसन मुक्त अनंत सरल समूहों का निर्माण बर्गर और मोजेस द्वारा किया गया था।^[6]

वर्गीकरण

सामान्य (अनंत) सरल समूहों के लिए अभी तक कोई ज्ञात वर्गीकरण नहीं है, और ऐसा कोई वर्गीकरण अपेक्षित नहीं है।

परिमित सरल समूह

परिमित सरल समूहों की सूची महत्वपूर्ण है क्योंकि एक निश्चित अर्थ में वे सभी परिमित समूहों के मूल निर्माण खंड हैं, कुछ हद तक उसी तरह जैसे अभाज्य संख्याएँ पूर्णांकों के मूल निर्माण खंड हैं। इसे जॉर्डन-होल्डर प्रमेय द्वारा व्यक्त किया गया है जिसमें कहा गया है कि किसी दिए गए समूह की किन्हीं दो रचना श्रृंखलाओं की लंबाई समान है और क्रमपरिवर्तन और समरूपता तक समान कारक हैं। एक विशाल सहयोगात्मक प्रयास में, परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण को 1983 में डैनियल गोरेन्स्टीन द्वारा पूरा घोषित किया गया था, हालांकि कुछ समस्याएं सामने आईं (विशेष रूप से क्वासिथिन समूहों के वर्गीकरण में, जिन्हें 2004 में प्लग किया गया था)।

संक्षेप में, परिमित सरल समूहों को 18 परिवारों में से एक या 26 अपवादों में से एक के रूप में वर्गीकृत किया गया है:

$\mathbb {Z} _{p}$ - प्राइम ऑर्डर का चक्रीय समूह
$A_{n}$ - के लिए वैकल्पिक समूह $n\geq 5$
वैकल्पिक समूहों को एक तत्व के साथ क्षेत्र में लाई प्रकार के समूहों के रूप में माना जा सकता है, जो इस परिवार को अगले परिवार के साथ एकजुट करता है, और इस प्रकार गैर-एबेलियन परिमित सरल समूहों के सभी परिवारों को लाई प्रकार का माना जा सकता है।
लाई प्रकार के समूहों के 16 परिवारों में से एक
स्तन समूह को आम तौर पर इस रूप में माना जाता है, हालांकि सख्ती से कहें तो यह झूठ प्रकार का नहीं है, बल्कि झूठ प्रकार के समूह में सूचकांक 2 है।
26 अपवादों में से एक, छिटपुट समूह, जिनमें से 20 राक्षस समूह के उपसमूह या उपसमूह हैं और उन्हें खुशहाल परिवार के रूप में जाना जाता है, जबकि शेष 6 को पारिया समूह के रूप में जाना जाता है।

परिमित सरल समूहों की संरचना

वाल्टर फीट और जॉन जी थॉम्पसन के प्रसिद्ध फीट-थॉम्पसन प्रमेय में कहा गया है कि विषम क्रम का प्रत्येक समूह हल करने योग्य समूह है। इसलिए, प्रत्येक परिमित सरल समूह में सम क्रम होता है जब तक कि वह अभाज्य क्रम का चक्रीय न हो।

श्रेयर अनुमान का दावा है कि प्रत्येक परिमित सरल समूह के बाहरी स्वचालितता का समूह हल करने योग्य है। इसे वर्गीकरण प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

परिमित सरल समूहों के लिए इतिहास

परिमित सरल समूहों के इतिहास में दो सूत्र हैं - विशिष्ट सरल समूहों और परिवारों की खोज और निर्माण, जो 1820 के दशक में गैलोज़ के काम से लेकर 1981 में मॉन्स्टर के निर्माण तक हुआ; और इस बात का सबूत है कि यह सूची पूरी हो गई थी, जो 19वीं शताब्दी में शुरू हुई थी, सबसे महत्वपूर्ण रूप से 1955 से 1983 तक (जब शुरुआत में जीत की घोषणा की गई थी), लेकिन आम तौर पर इसे 2004 में समाप्त करने पर सहमति व्यक्त की गई थी। As of 2010^[update], प्रमाणों और समझ को बेहतर बनाने का काम जारी है; देखना (Silvestri 1979)सरल समूहों के 19वीं सदी के इतिहास के लिए।

निर्माण

सरल समूहों का अध्ययन कम से कम प्रारंभिक गैलोज़ सिद्धांत के बाद से किया गया है, जहां एवरिस्ट गैलोज़ ने महसूस किया कि तथ्य यह है कि पांच या अधिक बिंदुओं पर वैकल्पिक समूह सरल हैं (और इसलिए हल करने योग्य नहीं हैं), जिसे उन्होंने 1831 में साबित किया था, यही कारण था कि कोई भी ऐसा नहीं कर सका। क्विंटिक को रेडिकल में हल करें। गैलोज़ ने एक प्रमुख परिमित क्षेत्र पर एक विमान के प्रक्षेप्य विशेष रैखिक समूह का भी निर्माण किया, PSL(2,p), और टिप्पणी की कि वे 2 या 3 के लिए नहीं बल्कि पी के लिए सरल थे। यह शेवेलियर को लिखे उनके अंतिम पत्र में शामिल है,^[7] और परिमित सरल समूहों का अगला उदाहरण हैं।^[8] अगली खोज 1870 में केमिली जॉर्डन द्वारा की गई।^[9] जॉर्डन ने प्राइम ऑर्डर के सीमित क्षेत्रों में सरल मैट्रिक्स समूहों के 4 परिवारों को पाया था, जिन्हें अब शास्त्रीय समूहों के रूप में जाना जाता है।

लगभग उसी समय, यह दिखाया गया कि पाँच समूहों का एक परिवार, जिसे मैथ्यू समूह कहा जाता है और जिसका वर्णन सबसे पहले एमिल लियोनार्ड मैथ्यू ने 1861 और 1873 में किया था, भी सरल थे। चूँकि इन पाँच समूहों का निर्माण उन तरीकों से किया गया था जिनसे असीमित संभावनाएँ नहीं मिलती थीं, इसलिए विलियम बर्नसाइड ने अपनी 1897 की पाठ्यपुस्तक में इन्हें छिटपुट समूह कहा था।

बाद में विल्हेम हत्या द्वारा जटिल सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के बाद, शास्त्रीय समूहों पर जॉर्डन के परिणामों को लियोनार्ड डिक्सन द्वारा मनमाने ढंग से सीमित क्षेत्रों में सामान्यीकृत किया गया। डिक्सन ने जी प्रकार के अपवाद समूहों का भी निर्माण किया₂ और E6 (गणित)|ई₆भी, लेकिन प्रकार एफ का नहीं₄, और₇, या ई₈ (Wilson 2009, p. 2). 1950 के दशक में लाई प्रकार के समूहों पर काम जारी रखा गया, क्लॉड शेवेल्ली ने 1955 के पेपर में शास्त्रीय समूहों और असाधारण प्रकार के समूहों का एक समान निर्माण दिया। इससे कुछ ज्ञात समूह (प्रोजेक्टिव एकात्मक समूह) छूट गए, जो शेवेल्ली निर्माण को मोड़कर प्राप्त किए गए थे। लाई प्रकार के शेष समूहों का निर्माण स्टाइनबर्ग, टिट्स और हर्ज़िग (जिन्होंने किया था) द्वारा किया गया था ³डी₄(क्यू) और ²ई₆(क्यू)) और सुजुकी और री (सुजुकी-री समूह) द्वारा।

इन समूहों (झूठ प्रकार के समूह, चक्रीय समूहों, वैकल्पिक समूहों और पांच असाधारण मैथ्यू समूहों के साथ) को एक पूरी सूची माना जाता था, लेकिन मैथ्यू के काम के बाद से लगभग एक सदी की शांति के बाद, 1964 में पहले जंको समूह की खोज की गई थी, और शेष 20 छिटपुट समूहों की खोज या अनुमान 1965-1975 में लगाया गया था, जिसकी परिणति 1981 में हुई, जब रॉबर्ट ग्रिएस ने घोषणा की कि उन्होंने बर्न्ड फिशर (गणितज्ञ) के मॉन्स्टर समूह का निर्माण किया है। द मॉन्स्टर 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 का क्रम वाला सबसे बड़ा छिटपुट सरल समूह है। मॉन्स्टर का 196,884-आयामी ग्रिज़ बीजगणित में 196,883-आयामी प्रतिनिधित्व है, जिसका अर्थ है कि मॉन्स्टर के प्रत्येक तत्व को 196,883 गुणा 196,883 मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

वर्गीकरण

पूर्ण वर्गीकरण को आम तौर पर 1962-63 के फीट-थॉम्पसन प्रमेय से शुरू होने के रूप में स्वीकार किया जाता है, जो बड़े पैमाने पर 1983 तक चला, लेकिन केवल 2004 में समाप्त हुआ।

1981 में मॉन्स्टर के निर्माण के तुरंत बाद, कुल 10,000 से अधिक पृष्ठों का एक प्रमाण प्रदान किया गया था कि समूह सिद्धांतकारों ने सफलतापूर्वक परिमित सरल समूहों की सूची बनाई थी, जिसकी जीत 1983 में डैनियल गोरेनस्टीन द्वारा घोषित की गई थी। यह समयपूर्व था - कुछ अंतराल बाद में खोजे गए, विशेष रूप से क्वासिथिन समूहों के वर्गीकरण में, जिन्हें अंततः 2004 में क्वासिथिन समूहों के 1,300 पेज के वर्गीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया गया, जिसे अब आम तौर पर पूर्ण के रूप में स्वीकार किया जाता है।

गैरसरलता के लिए परीक्षण

सिलो प्रमेय#उदाहरण अनुप्रयोग|सिलो का परीक्षण: मान लीजिए कि n एक धनात्मक पूर्णांक है जो अभाज्य नहीं है, और मान लीजिए कि p, n का अभाज्य भाजक है। यदि 1 n का एकमात्र भाजक है जो 1 modulo p के सर्वांगसम है, तो क्रम n का कोई सरल समूह मौजूद नहीं है।

प्रमाण: यदि n एक प्रधान-शक्ति है, तो क्रम n के एक समूह में एक गैर-तुच्छ केंद्र होता है (समूह सिद्धांत)^[10] और, इसलिए, सरल नहीं है. यदि n एक अभाज्य शक्ति नहीं है, तो प्रत्येक सिलो उपसमूह उचित है, और, सिलो प्रमेय द्वारा | सिलो का तीसरा प्रमेय, हम जानते हैं कि क्रम n के एक समूह के सिलो पी-उपसमूहों की संख्या 1 मॉड्यूल पी के बराबर है और एन को विभाजित करती है . चूँकि 1 ही ऐसी एकमात्र संख्या है, सिलो पी-उपसमूह अद्वितीय है, और इसलिए यह सामान्य है। चूँकि यह एक उचित, गैर-पहचान वाला उपसमूह है, इसलिए यह समूह सरल नहीं है।

बर्नसाइड: एक गैर-एबेलियन परिमित सरल समूह का क्रम कम से कम तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होता है। यह बर्नसाइड के प्रमेय से अनुसरण करता है।

यह भी देखें

लगभग सरल समूह
चारित्रिक रूप से सरल समूह
[[अर्धसरल समूह]]
अर्धसरल समूह
परिमित सरल समूहों की सूची

संदर्भ

↑ Knapp (2006), p. 170
↑ Rotman (1995), p. 226
↑ Rotman (1995), p. 281
↑ Smith & Tabachnikova (2000), p. 144
↑ Higman, Graham (1951), "A finitely generated infinite simple group", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 26 (1): 61–64, doi:10.1112/jlms/s1-26.1.59, ISSN 0024-6107, MR 0038348
↑ Burger, M.; Mozes, S. (2000). "पेड़ों के उत्पाद में जाली". Publ. Math. IHÉS. 92: 151–194. doi:10.1007/bf02698916.
↑ Galois, Évariste (1846), "Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, XI: 408–415, retrieved 2009-02-04, PSL(2,p) and simplicity discussed on p. 411; exceptional action on 5, 7, or 11 points discussed on pp. 411–412; GL(ν,p) discussed on p. 410{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
↑ Wilson, Robert (October 31, 2006), "Chapter 1: Introduction", The finite simple groups
↑ Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques
↑ See the proof in p-group, for instance.

पाठ्यपुस्तकें

Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, vol. 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012, 2007 preprint. {{citation}}: External link in |postscript= (help)CS1 maint: postscript (link)
Burnside, William (1897), Theory of groups of finite order, Cambridge University Press

Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
Rotman, Joseph J. (1995), An introduction to the theory of groups, Graduate texts in mathematics, vol. 148, Springer, ISBN 978-0-387-94285-8
Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga (2000), Topics in group theory, Springer undergraduate mathematics series (2 ed.), Springer, ISBN 978-1-85233-235-8

कागजात

Silvestri, R. (September 1979), "Simple groups of finite order in the nineteenth century", Archive for History of Exact Sciences, 20 (3–4): 313–356, doi:10.1007/BF00327738

श्रेणी:समूहों के गुण

[1] Knapp (2006), p. 170

[2] Rotman (1995), p. 226

[3] Rotman (1995), p. 281

[4] Smith & Tabachnikova (2000), p. 144

[5] Higman, Graham (1951), "A finitely generated infinite simple group", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 26 (1): 61–64, doi:10.1112/jlms/s1-26.1.59, ISSN 0024-6107, MR 0038348

[6] Burger, M.; Mozes, S. (2000). "पेड़ों के उत्पाद में जाली". Publ. Math. IHÉS. 92: 151–194. doi:10.1007/bf02698916.

[chevalier-letter-7] Galois, Évariste (1846), "Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, XI: 408–415, retrieved 2009-02-04, PSL(2,p) and simplicity discussed on p. 411; exceptional action on 5, 7, or 11 points discussed on pp. 411–412; GL(ν,p) discussed on p. 410{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)

[raw-8] Wilson, Robert (October 31, 2006), "Chapter 1: Introduction", The finite simple groups

[9] Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques

[10] See the proof in p-group, for instance.

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सरल समूह

Contents

उदाहरण

परिमित सरल समूह

अनंत सरल समूह

वर्गीकरण

परिमित सरल समूह

परिमित सरल समूहों की संरचना

परिमित सरल समूहों के लिए इतिहास

निर्माण

वर्गीकरण

गैरसरलता के लिए परीक्षण

यह भी देखें

संदर्भ

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