हल करने योग्य समूह

गणित में, अधिक विशेष रूप से समूह सिद्धांत के क्षेत्र में, एक हल करने योग्य समूह या घुलनशील समूह एक समूह (गणित) है जिसे समूह विस्तार का उपयोग करके एबेलियन समूहों से बनाया जा सकता है। समतुल्य रूप से, एक सॉल्व करने योग्य समूह एक ऐसा समूह है जिसकी व्युत्पन्न श्रृंखला तुच्छ उपसमूह में समाप्त होती है।

प्रेरणा

ऐतिहासिक रूप से, सॉल्वेबल शब्द गाल्वा सिद्धांत और क्विंटिक समीकरण की सामान्य अघुलनशीलता के गणितीय प्रमाण से उत्पन्न हुआ है। विशेष रूप से, एक बहुपद समीकरण एनवें मूल में हल करने योग्य है यदि और केवल यदि संबंधित गैलोज़ समूह हल करने योग्य है (ध्यान दें कि यह प्रमेय केवल एक क्षेत्र 0 की विशेषता में है)। इसका मतलब बहुपद से जुड़ा है $f\in F[x]$ फील्ड एक्सटेंशन का एक टॉवर है <ब्लॉककोट>$F=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K$ऐसे कि

1. $F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]$ कहाँ $\alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}$, इसलिए $\alpha _{i}$ समीकरण का हल है $x^{m_{i}}-a$ कहाँ $a\in F_{i-1}$
2. $F_{m}$ के लिए एक विभाजन क्षेत्र शामिल है $f(x)$

उदाहरण

उदाहरण के लिए, का सबसे छोटा गैल्वा क्षेत्र विस्तार $\mathbb {Q}$ तत्व युक्त

$a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}$

एक हल करने योग्य समूह देता है। इसमें संबद्ध फ़ील्ड एक्सटेंशन <ब्लॉककोट> हैं$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2\pi i/5}{\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}\right)$ युक्त एक हल करने योग्य समूह दे रहा है $\mathbb {Z} /5$ (पर अभिनय $e^{2\pi i/5}$) और $\mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2$ (अभिनय कर रहे ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$).

परिभाषा

एक समूह G को 'सुलझाने योग्य' कहा जाता है यदि इसकी एक उपसामान्य श्रृंखला है जिसके कारक समूह (गुणांक समूह) सभी एबेलियन समूह हैं, अर्थात, यदि उपसमूह 1 = G हैं₀ < जी₁ < ⋅⋅⋅ < जी_k= जी ऐसा है कि जी_j−1 जी में सामान्य उपसमूह है_j, और जी_j/जी_j−1 j = 1, 2, ..., k के लिए एक एबेलियन समूह है।

या समकक्ष, यदि इसकी व्युत्पन्न श्रृंखला, अवरोही सामान्य श्रृंखला

$G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,$

जहां हर उपसमूह पिछले एक का कम्यूटेटर उपसमूह है, अंततः जी के तुच्छ उपसमूह तक पहुंचता है। ये दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं, क्योंकि प्रत्येक समूह एच और एच के प्रत्येक सामान्य उपसमूह एन के लिए, भागफल एच / एन एबेलियन है अगर और केवल अगर एन में एच के कम्यूटेटर उपसमूह शामिल हैं। कम से कम एन ऐसा है कि जी⁽ⁿ⁾ = 1 को हल करने योग्य समूह G की 'व्युत्पन्न लंबाई' कहा जाता है।

परिमित समूहों के लिए, एक समतुल्य परिभाषा यह है कि एक सॉल्व करने योग्य समूह एक रचना श्रृंखला वाला एक समूह है, जिसके सभी कारक अभाज्य संख्या क्रम (समूह सिद्धांत) के चक्रीय समूह हैं। यह समतुल्य है क्योंकि एक परिमित समूह की परिमित रचना लंबाई होती है, और प्रत्येक सरल समूह एबेलियन समूह प्रधान क्रम का चक्रीय होता है। जॉर्डन-होल्डर प्रमेय गारंटी देता है कि यदि एक रचना श्रृंखला में यह संपत्ति है, तो सभी रचना श्रृंखलाओं में भी यह संपत्ति होगी। एक बहुपद के गैलोज़ समूह के लिए, ये चक्रीय समूह किसी क्षेत्र (गणित) पर nवें मूल (कट्टरपंथी) के अनुरूप हैं। तुल्यता आवश्यक रूप से अनंत समूहों के लिए नहीं है: उदाहरण के लिए, चूंकि पूर्णांक के समूह 'Z' का प्रत्येक गैर-उपसमूह इसके अलावा 'Z' के लिए समूह समरूपता है, इसकी कोई रचना श्रृंखला नहीं है, लेकिन सामान्य श्रृंखला {0, ' Z'}, अपने एकमात्र कारक समूह के साथ 'Z' के लिए आइसोमोर्फिक है, यह साबित करता है कि यह वास्तव में हल करने योग्य है।

उदाहरण

एबेलियन समूह

हल करने योग्य समूहों का मूल उदाहरण एबेलियन समूह हैं। वे तुच्छ रूप से हल करने योग्य हैं क्योंकि एक असामान्य श्रृंखला केवल समूह और तुच्छ समूह द्वारा ही बनाई जाती है। लेकिन गैर-अबेलियन समूह हल करने योग्य हो भी सकते हैं और नहीं भी।

निलपोटेंट समूह

अधिक आम तौर पर, सभी नीलपोटेंट समूह हल करने योग्य होते हैं। विशेष रूप से, परिमित पी-समूह | पी-समूह हल करने योग्य हैं, क्योंकि सभी परिमित पी-समूह | पी-समूह शून्य हैं।

चतुष्कोण समूह

विशेष रूप से, चतुर्धातुक समूह समूह विस्तार

द्वारा दिया गया एक हल करने योग्य समूह है$1\to \mathbb {Z} /2\to Q\to \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\to 1$

जहां कर्नेल $\mathbb {Z} /2$ द्वारा उत्पन्न उपसमूह है $-1$.

समूह एक्सटेंशन

समूह एक्सटेंशन हल करने योग्य समूहों के प्रोटोटाइपिकल उदाहरण बनाते हैं। यानी अगर $G$ और $G'$ हल करने योग्य समूह हैं, तो कोई एक्सटेंशन <ब्लॉककोट>$1\to G\to G''\to G'\to 1$एक हल करने योग्य समूह को परिभाषित करता है $G''$. वास्तव में, ऐसे समूह विस्तार से सभी हल करने योग्य समूह बनाए जा सकते हैं।

=== गैर-नाबेलियन समूह जो गैर-शून्य === है एक हल करने योग्य, गैर-शून्य समूह का एक छोटा सा उदाहरण सममित समूह एस है₃. वास्तव में, सबसे छोटा साधारण गैर-आबेली समूह A है₅, (डिग्री 5 का वैकल्पिक समूह) यह इस प्रकार है कि 60 से कम क्रम वाले प्रत्येक समूह को हल किया जा सकता है।

विषम क्रम के परिमित समूह

फीट-थॉम्पसन प्रमेय कहता है कि विषम क्रम का प्रत्येक परिमित समूह हल करने योग्य है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य यह है कि यदि एक परिमित समूह सरल है, तो यह या तो एक प्रधान चक्रीय या सम क्रम का है।

गैर उदाहरण

समूह एस₅ हल करने योग्य नहीं है - इसकी एक रचना श्रृंखला है {ई, ए₅, एस₅} (और जॉर्डन-होल्डर प्रमेय में कहा गया है कि हर दूसरी रचना श्रृंखला उसी के बराबर है), कारक समूहों को ए के लिए आइसोमोर्फिक दे रही है₅ और सी₂; और ए₅ एबेलियन नहीं है। इस तर्क को सामान्य करते हुए, इस तथ्य के साथ कि ए_n एस का एक सामान्य, अधिकतम, गैर-अबेलियन सरल उपसमूह है_n n > 4 के लिए, हम देखते हैं कि S_n n > 4 के लिए हल करने योग्य नहीं है। यह सबूत में एक महत्वपूर्ण कदम है कि प्रत्येक n > 4 के लिए डिग्री n के बहुपद हैं जो करणी (एबेल-रफिनी प्रमेय) द्वारा हल नहीं किए जा सकते हैं। इस संपत्ति का उपयोग एनसी (जटिलता) के सबूत में जटिलता सिद्धांत में भी किया जाता है | बैरिंगटन के प्रमेय।

जीएल के उपसमूह₂

उपसमूहों <ब्लॉककोट> पर विचार करें$B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}$ का $GL_{2}(\mathbb {F} )$किसी क्षेत्र के लिए $\mathbb {F}$. फिर, समूह भागफल $B/U$ मनमानी तत्वों को ले कर पाया जा सकता है $B,U$, उन्हें एक साथ गुणा करना, और पता लगाना कि यह क्या संरचना देता है। तो <ब्लॉककोट>${\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}$ निर्धारक स्थिति पर ध्यान दें $GL_{2}$ तात्पर्य $ac\neq 0$, इस तरह $\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B$ एक उपसमूह है (जो मैट्रिक्स हैं जहां $b=0$). निश्चित के लिए $a,b$, रैखिक समीकरण $ad+b=0$ तात्पर्य $d=-b/a$, जो एक मनमाना तत्व है $\mathbb {F}$ तब से $b\in \mathbb {F}$. चूँकि हम कोई भी आव्यूह ले सकते हैं $B$ और इसे मैट्रिक्स <ब्लॉककोट> से गुणा करें${\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}$के साथ $d=-b/a$, हम एक विकर्ण मैट्रिक्स प्राप्त कर सकते हैं $B$. यह भागफल समूह को दर्शाता है $B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$.

टिप्पणी

ध्यान दें कि यह विवरण का अपघटन देता है $B$ जैसा $\mathbb {F} \rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })$ कहाँ $(a,c)$ पर कार्य करता है $b$ द्वारा $(a,c)(b)=ab$. यह संकेत करता है $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$. साथ ही, फॉर्म का एक मैट्रिक्स

${\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}$

तत्व से मेल खाता है $(b)\times (a,c)$ समूह में।

बोरेल उपसमूह

एक रेखीय बीजगणितीय समूह के लिए $G$ इसके बोरेल उपसमूह को एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया गया है जो बंद, जुड़ा हुआ और हल करने योग्य है $G$, और यह इन गुणों के साथ अधिकतम संभव उपसमूह है (ध्यान दें कि दूसरे दो सामयिक गुण हैं)। उदाहरण के लिए, में $GL_{n}$ और $SL_{n}$ ऊपरी-त्रिकोणीय, या निचले-त्रिकोणीय आव्यूहों का समूह बोरेल उपसमूहों में से दो हैं। ऊपर दिया गया उदाहरण, उपसमूह $B$ में $GL_{2}$ बोरेल उपसमूह है।

जीएल में बोरेल उपसमूह₃

में $GL_{3}$ उपसमूह <ब्लॉककोट> हैं$B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}U_{1}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*\\0&1&*\\0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$सूचना $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$, इसलिए बोरेल समूह का रूप

है$U\rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })$</ब्लॉककोट>

साधारण रेखीय बीजगणितीय समूहों के गुणनफल में बोरेल उपसमूह

उत्पाद समूह में $GL_{n}\times GL_{m}$ बोरेल उपसमूह को <ब्लॉकक्वोट> फॉर्म के मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया जा सकता है${\begin{bmatrix}T&0\\0&S\end{bmatrix}}$

कहाँ $T$ एक $n\times n$ ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स और $S$ एक है $m\times m$ ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स।

जेड-समूह

कोई भी परिमित समूह जिसका साइलो समूह | पी-साइलो उपसमूह चक्रीय हैं, दो चक्रीय समूहों का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है, विशेष रूप से हल करने योग्य। ऐसे समूहों को जेड-समूह कहा जाता है।

OEIS मान

क्रम n के साथ हल करने योग्य समूहों की संख्या है (n = 0 से प्रारंभ करें)

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15 , 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2 , 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... (sequence A201733 in the OEIS)

अघुलनशील समूहों के आदेश हैं

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092 , 1140 , 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ... (sequence A056866 in the OEIS)

गुण

सॉल्वेबिलिटी कई ऑपरेशनों के तहत बंद है।

• यदि G हल करने योग्य है, और H, G का एक उपसमूह है, तो H हल करने योग्य है।
• यदि G हल करने योग्य है, और G आक्षेप H से एक समूह समरूपता है, तो H हल करने योग्य है; समकक्ष रूप से (आइसोमोर्फिज्म प्रमेय#फर्स्ट आइसोमोर्फिज्म प्रमेय द्वारा), यदि जी हल करने योग्य है, और एन जी का एक सामान्य उपसमूह है, तो जी/एन हल करने योग्य है।
• पिछली संपत्तियों को दो संपत्तियों की कीमत के लिए निम्नलिखित तीन में विस्तारित किया जा सकता है: G हल करने योग्य है यदि और केवल यदि N और G/N दोनों हल करने योग्य हैं।
• विशेष रूप से, यदि जी और एच हल करने योग्य हैं, तो समूह जी × एच का प्रत्यक्ष उत्पाद हल करने योग्य है।

सॉल्वेबिलिटी ग्रुप एक्सटेंशन के तहत बंद है:

• यदि एच और जी/एच हल करने योग्य हैं, तो जी भी है; विशेष रूप से, यदि एन और एच सॉल्व करने योग्य हैं, तो उनका सेमीडायरेक्ट उत्पाद भी सॉल्व करने योग्य है।

यह पुष्पांजलि उत्पाद के तहत भी बंद है:

• यदि जी और एच सॉल्व करने योग्य हैं, और एक्स एक जी-सेट है, तो एक्स के संबंध में जी और एच का पुष्पांजलि उत्पाद भी सॉल्व करने योग्य है।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए, अधिकांश N पर व्युत्पन्न लंबाई के हल करने योग्य समूह विभिन्न प्रकार के समूहों की एक विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाते हैं, क्योंकि वे समरूपता छवियों, सबलजेब्रस और समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के तहत बंद होते हैं। (प्रत्यक्ष) उत्पादों। असंबद्ध व्युत्पन्न लंबाई के साथ हल करने योग्य समूहों के अनुक्रम का प्रत्यक्ष उत्पाद हल करने योग्य नहीं है, इसलिए सभी हल करने योग्य समूहों का वर्ग विविधता नहीं है।

बर्नसाइड प्रमेय

Main article: Burnside's theorem

बर्नसाइड के प्रमेय में कहा गया है कि यदि जी ऑर्डर (समूह सिद्धांत) पी का एक परिमित समूह है^एक्यू^b जहाँ p और q अभाज्य संख्याएँ हैं, और a और b ऋणात्मक और धनात्मक संख्याएँ हैं | गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, तो G हल करने योग्य है।

संबंधित अवधारणाएं

सुपरसोल्वेबल समूह

Main article: supersolvable group

विलेयता के सुदृढ़ीकरण के रूप में, एक समूह G को 'सुपरसॉल्वेबल' (या 'सुपरसॉल्वबल') कहा जाता है, यदि इसमें एक अपरिवर्तनीय सामान्य श्रृंखला होती है जिसके कारक सभी चक्रीय होते हैं। चूँकि एक सामान्य श्रृंखला की परिभाषा के अनुसार परिमित लंबाई होती है, बेशुमार समूह सुपरसॉल्वेबल नहीं होते हैं। वास्तव में, सभी सुपरसॉल्वेबल समूह अंतिम रूप से उत्पन्न समूह हैं, और एक एबेलियन समूह सुपरसॉल्वेबल है अगर और केवल अगर यह अंतिम रूप से उत्पन्न होता है। वैकल्पिक समूह ए₄ एक परिमित हल करने योग्य समूह का एक उदाहरण है जो सुपरसॉल्वेबल नहीं है।

यदि हम अपने आप को अंतिम रूप से उत्पन्न समूहों तक सीमित रखते हैं, तो हम समूहों के वर्गों की निम्नलिखित व्यवस्था पर विचार कर सकते हैं:

चक्रीय समूह <एबेलियन समूह <शून्यक्षम समूह <सुपरसॉल्वेबल समूह <पॉलीसाइक्लिक समूह <विलय करने योग्य <परिमित रूप से उत्पन्न समूह।

वस्तुतः हल करने योग्य समूह

एक समूह G को 'वस्तुतः हल करने योग्य' कहा जाता है यदि उसके पास परिमित सूचकांक का एक हल करने योग्य उपसमूह है। यह वस्तुतः एबेलियन के समान है। स्पष्ट रूप से सभी सॉल्व करने योग्य समूह वास्तव में सॉल्व करने योग्य हैं, क्योंकि कोई केवल समूह को ही चुन सकता है, जिसका इंडेक्स 1 है।

हाइपोबेलियन

एक सॉल्व करने योग्य समूह वह है जिसकी व्युत्पन्न श्रृंखला एक परिमित अवस्था में तुच्छ उपसमूह तक पहुँचती है। एक अनंत समूह के लिए, परिमित व्युत्पन्न श्रृंखला स्थिर नहीं हो सकती है, लेकिन ट्रांसफिनिट व्युत्पन्न श्रृंखला हमेशा स्थिर होती है। एक समूह जिसकी ट्रांसफ़िनेटेड व्युत्पन्न श्रृंखला तुच्छ समूह तक पहुँचती है, उसे 'पूर्ण कोर' कहा जाता है, और प्रत्येक सॉल्व करने योग्य समूह एक हाइपोबेलियन समूह होता है। पहला क्रमिक α ऐसा है कि जी^{(ए) </सुप> = जी(α+1) को समूह G की व्युत्पन्न लंबाई कहा जाता है, और यह दिखाया गया है कि प्रत्येक क्रमसूचक किसी समूह की व्युत्पन्न लंबाई है (Malcev 1949).}

यह भी देखें

• हल करने योग्य समूह
• परवलयिक उपसमूह

संदर्भ

• Malcev, A. I. (1949), "Generalized nilpotent algebras and their associated groups", Mat. Sbornik, New Series, 25 (67): 347–366, MR 0032644
• Rotman, Joseph J. (1995), An Introduction to the Theory of Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 148 (4 ed.), Springer, ISBN 978-0-387-94285-8

बाहरी संबंध

• OEIS sequence A056866 (Orders of non-solvable groups)
• Solvable groups as iterated extensions