गुणक समूह

गणित और समूह सिद्धांत में, गुणक समूह शब्द निम्नलिखित अवधारणाओं में से एक को संदर्भित करता है:

• समूह (गणित) एक क्षेत्र (गणित) के उलटे तत्वों के गुणन के तहत, रिंग (गणित), या अन्य संरचना जिसके लिए इसके किसी एक ऑपरेशन को गुणन कहा जाता है। फ़ील्ड F के मामले में, समूह है (F ∖ {0}, •), जहां 0 एफ के शून्य तत्व को संदर्भित करता है और बाइनरी ऑपरेशन • क्षेत्र गुणन है,
• बीजगणितीय टोरस जीएल (1)।.

उदाहरण

• पूर्णांक मॉड्यूलो n का गुणक समूह वह समूह है जिसके व्युत्क्रमणीय तत्वों का गुणन होता है $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$. जब n अभाज्य नहीं होता है, तो शून्य के अलावा अन्य तत्व होते हैं जो व्युत्क्रमणीय नहीं होते हैं।
• धनात्मक वास्तविक संख्याओं का गुणक समूह $\mathbb {R} ^{+}$ एक एबेलियन समूह है जिसका पहचान तत्व 1 है। लघुगणक वास्तविक संख्याओं के योज्य समूह के लिए इस समूह का एक समूह समरूपता है, $\mathbb {R}$.
• एक क्षेत्र का गुणक समूह $F$ सभी अशून्य तत्वों का समुच्चय है: $F^{\times }=F-\{0\}$, गुणा ऑपरेशन के तहत। यदि $F$ क्रम q का परिमित क्षेत्र है (उदाहरण के लिए q = p एक अभाज्य, और $F=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$), तो परिमित क्षेत्र#Multiplicative_structure चक्रीय है: $F^{\times }\cong C_{q-1}$.

एकता की जड़ों की समूह योजना

एकता की 'एन'-थ जड़ों की समूह योजना परिभाषा के अनुसार गुणक समूह जीएल (1) पर 'एन'-पावर मैप का कर्नेल है, जिसे समूह योजना के रूप में माना जाता है। अर्थात्, किसी भी पूर्णांक n > 1 के लिए हम गुणक समूह पर रूपवाद पर विचार कर सकते हैं जो n-वें घात लेता है, और आकृतिवाद e के साथ योजनाओं का एक उपयुक्त फाइबर उत्पाद लेता है। जो पहचान का काम करता है।

परिणामी समूह योजना μ लिखी गई है_n (या $\mu \!\!\mu _{n}$). यह एक घटी हुई योजना को जन्म देता है, जब हम इसे एक क्षेत्र K पर ले जाते हैं, यदि और केवल यदि K की विशेषता (क्षेत्र) n को विभाजित नहीं करता है। यह इसे गैर-कम योजनाओं के कुछ प्रमुख उदाहरणों का स्रोत बनाता है (उनकी संरचना शीफ ​​में नीलपोटेंट तत्वों के साथ योजनाएं); उदाहरण के लिए μ_p किसी भी अभाज्य संख्या p के लिए p तत्वों वाले परिमित क्षेत्र में।

बीजगणितीय ज्यामिति की शास्त्रीय भाषा में इस घटना को आसानी से व्यक्त नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, विशेषता p (पियरे कार्टियर (गणितज्ञ) का सिद्धांत) में एबेलियन किस्मों के द्वैत सिद्धांत को व्यक्त करने में इसका बड़ा महत्व है। इस समूह योजना का गाल्वा कोहोलॉजी कुमेर सिद्धांत को व्यक्त करने का एक तरीका है।

संदर्भ

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0

यह भी देखें

• पूर्णांक मॉड्यूलो n का गुणक समूह
• योज्य समूह

श्रेणी:बीजगणितीय संरचनाएं श्रेणी:समूह सिद्धांत श्रेणी:क्षेत्र (गणित)