एबेलियन किस्म

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति, जटिल विश्लेषण और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, एक एबेलियन विविधता एक बीजगणितीय विविधता # प्रक्षेपी विविधता है जो एक बीजगणितीय समूह भी है, अर्थात, एक समूह कानून है जिसे नियमित कार्यों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। एबेलियन किस्में एक ही समय में बीजगणितीय ज्यामिति में सबसे अधिक अध्ययन की जाने वाली वस्तुओं में से हैं और बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत में अन्य विषयों पर अधिक शोध के लिए अपरिहार्य उपकरण हैं।

किसी भी क्षेत्र (गणित) में गुणांक वाले समीकरणों द्वारा एक एबेलियन किस्म को परिभाषित किया जा सकता है; इसके बाद विविधता को उस क्षेत्र में पर परिभाषित किया जाता है। ऐतिहासिक रूप से अध्ययन की जाने वाली पहली एबेलियन किस्मों को जटिल टोरस के क्षेत्र में परिभाषित किया गया था। इस तरह की एबेलियन किस्में वास्तव में उन जटिल आंकड़े के रूप में सामने आती हैं जिन्हें एक जटिल प्रक्षेपण स्थान में एम्बेड किया जा सकता है।

बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों पर परिभाषित एबेलियन किस्में एक विशेष मामला है, जो संख्या सिद्धांत के दृष्टिकोण से भी महत्वपूर्ण है। एक रिंग तकनीक का स्थानीयकरण स्वाभाविक रूप से संख्या क्षेत्रों में परिभाषित एबेलियन किस्मों से परिमित क्षेत्रों और विभिन्न स्थानीय क्षेत्रों में परिभाषित होता है। चूँकि संख्या फ़ील्ड डेडेकिंड डोमेन का अंश फ़ील्ड है, आपके डेडेकाइंड डोमेन के किसी भी शून्येतर अभाज्य के लिए, डेडेकाइंड डोमेन से प्राइम द्वारा डेडेकाइंड डोमेन के भागफल तक एक नक्शा है, जो सभी परिमित प्राइम्स के लिए एक परिमित क्षेत्र है। . यह अंश क्षेत्र से ऐसे किसी परिमित क्षेत्र में मानचित्र को प्रेरित करता है। संख्या क्षेत्र पर परिभाषित समीकरण के साथ एक वक्र को देखते हुए, हम इस मानचित्र को कुछ परिमित क्षेत्र पर परिभाषित वक्र प्राप्त करने के लिए गुणांकों पर लागू कर सकते हैं, जहां परिमित क्षेत्र के विकल्प संख्या क्षेत्र के परिमित प्राइम्स के अनुरूप होते हैं।

एबेलियन किस्में स्वाभाविक रूप से जैकोबियन किस्म (पिकार्ड किस्म में शून्य के जुड़े घटक) और अन्य बीजगणितीय किस्मों की अल्बनीज किस्म के रूप में दिखाई देती हैं। एक एबेलियन किस्म का समूह कानून आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय है और विविधता गैर-एकवचन है। एक अण्डाकार वक्र आयाम 1 की एबेलियन किस्म है। एबेलियन किस्मों में कोडायरा आयाम 0 है।

इतिहास और प्रेरणा

उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत में, दीर्घवृत्तीय कार्यों का सिद्धांत दीर्घवृत्तीय समाकलों के सिद्धांत के लिए एक आधार देने में सफल रहा, और इसने अनुसंधान का एक स्पष्ट अवसर खोल दिया। अण्डाकार समाकलों के मानक रूपों में घन बहुपद और चतुर्थक बहुपद के वर्गमूल शामिल हैं। जब उन्हें उच्च कोटि के बहुपदों से प्रतिस्थापित कर दिया जाए, जैसे कि क्विंटिक बहुपद, तो क्या होगा?

नील्स एबेल और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी के काम में, उत्तर तैयार किया गया था: इसमें दो जटिल चर के कार्य शामिल होंगे, जिनमें चार स्वतंत्र अवधियाँ (अर्थात अवधि वैक्टर) होंगी। इसने आयाम 2 (एक 'एबेलियन सतह') की एक एबेलियन किस्म की पहली झलक दी: जिसे अब जीनस 2 के हाइपरेलिप्टिक वक्र का जैकोबियन कहा जाएगा।

एबेल और जैकोबी के बाद, एबेलियन कार्यों के सिद्धांत के कुछ सबसे महत्वपूर्ण योगदानकर्ताओं में बर्नहार्ड रीमैन, कार्ल वीयरस्ट्रास, फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस, हेनरी पोंकारे | पॉइनकेयर और चार्ल्स एमिल पिकार्ड थे। विषय उस समय बहुत लोकप्रिय था, पहले से ही एक बड़ा साहित्य था।

19वीं शताब्दी के अंत तक, गणितज्ञों ने एबेलियन कार्यों के अध्ययन में ज्यामितीय विधियों का उपयोग करना शुरू कर दिया था। आखिरकार, 1920 के दशक में, सोलोमन लेफशेट्ज़ ने जटिल तोरी के संदर्भ में एबेलियन कार्यों के अध्ययन का आधार रखा। वह एबेलियन किस्म के नाम का उपयोग करने वाला पहला व्यक्ति प्रतीत होता है। यह 1940 के दशक में आंद्रे वील थे जिन्होंने इस विषय को बीजगणितीय ज्यामिति की भाषा में इसकी आधुनिक नींव दी।

आज, एबेलियन किस्में संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण उपकरण बनाती हैं, गतिशील प्रणालियों में (अधिक विशेष रूप से हैमिल्टनियन प्रणालियों के अध्ययन में), और बीजगणितीय ज्यामिति (विशेष रूप से पिकार्ड किस्म और अल्बनीज किस्म) में।

विश्लेषणात्मक सिद्धांत

परिभाषा

आयाम g का एक जटिल टोरस्र्स वास्तविक आयाम 2g का एक टोरस है जो एक जटिल कई गुना की संरचना को वहन करता है। यह हमेशा रैंक 2 जी के जाली (समूह) द्वारा जी-आयामी जटिल वेक्टर अंतरिक्ष के भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। आयाम जी की एक जटिल एबेलियन विविधता आयाम जी का एक जटिल टोरस है जो कि जटिल संख्याओं के क्षेत्र में एक प्रोजेक्टिव बीजगणितीय विविधता भी है। कोडैरा एम्बेडिंग प्रमेय और चाउ के प्रमेय को लागू करके, आयाम जी के एक जटिल एबेलियन किस्म को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है जो कि आयाम जी का एक जटिल टोरस है जो एक सकारात्मक रेखा बंडल को स्वीकार करता है। चूंकि वे जटिल टोरी हैं, एबेलियन किस्में एक समूह (गणित) की संरचना को ले जाती हैं। एबेलियन किस्मों का एक रूपवाद अंतर्निहित बीजगणितीय किस्मों का एक रूपवाद है जो समूह संरचना के लिए पहचान तत्व को संरक्षित करता है। एक 'isogeny ' परिमित-से-एक रूपवाद है।

जब एक जटिल टोरस एक बीजगणितीय किस्म की संरचना को वहन करता है, तो यह संरचना अनिवार्य रूप से अद्वितीय होती है। जी = 1 के मामले में, एबेलियन किस्म की धारणा अण्डाकार वक्र के समान है, और प्रत्येक जटिल टोरस ऐसे वक्र को जन्म देता है; जी> 1 के लिए बर्नहार्ड रिमैन के बाद से यह जाना जाता है कि बीजगणितीय विविधता की स्थिति जटिल टोरस पर अतिरिक्त बाधाओं को लागू करती है।

रीमैन की स्थिति

रीमैन द्वारा निम्नलिखित मानदंड यह तय करता है कि दी गई जटिल टोरस एक एबेलियन किस्म है या नहीं, यानी यह एक प्रोजेक्टिव स्पेस में एम्बेड किया जा सकता है या नहीं। एक्स को एक्स = वी / एल के रूप में दिए गए जी-आयामी टोरस होने दें जहां वी आयाम जी का एक जटिल वेक्टर स्थान है और एल वी में एक जाली है। फिर एक्स एक एबेलियन किस्म है अगर और केवल एक सकारात्मक निश्चित बिलिनियर फॉर्म मौजूद है वी पर हर्मिटियन रूप जिसका काल्पनिक हिस्सा एल × एल पर पूर्णांक मान लेता है। एक्स पर इस तरह के एक फॉर्म को आमतौर पर (गैर-पतित) रीमैन फॉर्म कहा जाता है। वी और एल के लिए एक आधार का चयन करके, इस स्थिति को और अधिक स्पष्ट किया जा सकता है। इसके कई समतुल्य योग हैं; उन सभी को रीमैन स्थितियों के रूप में जाना जाता है।

एक बीजगणितीय वक्र का जैकोबियन

जीनस (गणित) g ≥ 1 का प्रत्येक बीजगणितीय वक्र C, आयाम g की एक एबेलियन किस्म J के साथ जुड़ा हुआ है, C में J के विश्लेषणात्मक मानचित्र के माध्यम से। एक टोरस के रूप में, J में एक क्रमविनिमेय समूह (गणित) संरचना होती है, और C की छवि J को एक समूह के रूप में उत्पन्न करती है। अधिक सटीक रूप से, J, C द्वारा कवर किया गया है^जी:^[1] जे में कोई भी बिंदु सी में बिंदुओं के जी-ट्यूपल से आता है। सी पर अंतर रूपों का अध्ययन, जो एबेलियन अभिन्न को जन्म देता है जिसके साथ सिद्धांत शुरू हुआ, अंतर के सरल, अनुवाद-अपरिवर्तनीय सिद्धांत से प्राप्त किया जा सकता है जे। एबेलियन किस्म जे को जटिल संख्याओं पर किसी भी गैर-एकवचन वक्र सी के लिए सी की 'जेकोबियन किस्म' कहा जाता है। बिरेशनल ज्यामिति के दृष्टिकोण से, बीजगणितीय विविधता का इसका कार्य क्षेत्र सी के कार्य क्षेत्र पर कार्य करने वाले जी अक्षरों पर सममित समूह का निश्चित क्षेत्र है।^जी.

एबेलियन फ़ंक्शंस

एक एबेलियन फ़ंक्शन एक एबेलियन किस्म पर एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, जिसे n जटिल चर के आवधिक फ़ंक्शन के रूप में माना जा सकता है, जिसमें 2 n स्वतंत्र अवधि होती है; समतुल्य रूप से, यह एक एबेलियन किस्म के कार्य क्षेत्र में एक कार्य है। उदाहरण के लिए, उन्नीसवीं सदी में हाइपरेलिप्टिक इंटीग्रल में बहुत रुचि थी जिसे एलिप्टिक इंटीग्रल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह पूछने के लिए नीचे आता है कि 'जे' अण्डाकार वक्रों का एक उत्पाद है, एक समजनन तक।

महत्वपूर्ण प्रमेय

एबेलियन किस्मों का एक महत्वपूर्ण संरचना प्रमेय मत्सुसाका का प्रमेय है। इसमें कहा गया है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में हर एबेलियन किस्म $A$ किसी वक्र के जैकबियन का भागफल है; अर्थात्, एबेलियन किस्मों का कुछ अनुमान है $J\to A$ कहाँ $J$ जैकबियन है। यदि जमीनी क्षेत्र अनंत है तो यह प्रमेय सही रहता है।^[2]

बीजगणितीय परिभाषा

एक सामान्य क्षेत्र k पर एबेलियन किस्म की दो समकक्ष परिभाषाएँ आमतौर पर उपयोग में हैं:

k पर एक जुड़ा हुआ स्थान और पूर्ण विविधता बीजगणितीय समूह
k पर एक कनेक्टेड स्पेस और अनुमानित किस्म बीजगणितीय समूह।

जब आधार जटिल संख्याओं का क्षेत्र होता है, तो ये धारणाएँ पिछली परिभाषा के साथ मेल खाती हैं। सभी आधारों पर, अण्डाकार वक्र आयाम 1 की एबेलियन किस्में हैं।

1940 के दशक की शुरुआत में, वील ने पहली परिभाषा (एक मनमाना आधार क्षेत्र पर) का इस्तेमाल किया, लेकिन पहली बार में यह साबित नहीं कर सका कि यह दूसरे को निहित करता है। केवल 1948 में उन्होंने सिद्ध किया कि पूर्ण बीजगणितीय समूहों को प्रक्षेप्य स्थान में एम्बेड किया जा सकता है। इस बीच, परिमित क्षेत्रों पर बीजगणितीय वक्र के लिए सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का प्रमाण बनाने के लिए, जिसे उन्होंने 1940 के काम में घोषित किया था, उन्हें एक अमूर्त विविधता की धारणा का परिचय देना था और बिना किस्मों के साथ काम करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति की नींव को फिर से लिखना था। प्रक्षेपी एम्बेडिंग (बीजगणितीय ज्यामिति लेख में इतिहास अनुभाग भी देखें)।

बिन्दुओं के समूह की संरचना

परिभाषाओं के अनुसार, एक एबेलियन किस्म एक समूह किस्म है। इसके बिन्दुओं का समूह आबेली समूह सिद्ध किया जा सकता है।

सी के लिए, और इसलिए विशेषता (बीजगणित) शून्य के प्रत्येक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के लिए लेफ्शेत्ज़ सिद्धांत द्वारा, एक एबेलियन किस्म के आयाम जी का मरोड़ समूह (क्यू/जेड) के लिए समरूप है।^2जी. इसलिए, इसका n-मरोड़ वाला हिस्सा ('Z'/n'Z') के लिए आइसोमोर्फिक है^2g, यानी क्रम n के चक्रीय समूह की 2g प्रतियों का गुणनफल।

जब आधार क्षेत्र अभिलाक्षणिक p का बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र होता है, तब भी n-मरोड़ ('Z'/n'Z') के लिए समरूपी होता है।^2g जब n और p सहअभाज्य हों। जब n और p सहअभाज्य नहीं होते हैं, तो वही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है, बशर्ते कोई इसे यह कहते हुए व्याख्या करे कि n-मरोड़ रैंक 2g की एक परिमित फ्लैट समूह योजना को परिभाषित करता है। यदि एन-टोरसन पर पूर्ण योजना संरचना को देखने के बजाय, कोई केवल ज्यामितीय बिंदुओं पर विचार करता है, तो विशेषता पी में किस्मों के लिए एक नया अपरिवर्तनीय प्राप्त होता है (तथाकथित पी-रैंक जब एन = पी)।

परिमेय बिंदु का समूह | वैश्विक क्षेत्र k के लिए k-तर्कसंगत बिंदु Mordell-Weil प्रमेय द्वारा परिमित रूप से उत्पन्न समूह है। इसलिए, संरचना प्रमेय द्वारा अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों के लिए, यह एक मुक्त एबेलियन समूह 'जेड' के उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है।^r और कुछ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक r के लिए परिमित क्रमविनिमेय समूह को एबेलियन किस्म का 'रैंक' कहा जाता है। फ़ील्ड k के कुछ अन्य वर्गों के लिए भी इसी तरह के परिणाम हैं।

उत्पाद

आयाम एम की एक एबेलियन किस्म ए का उत्पाद, और एक ही क्षेत्र में आयाम एन की एक एबेलियन किस्म बी, आयाम एम + एन की एक एबेलियन किस्म है। एक एबेलियन किस्म 'सरल' है यदि यह निम्न आयाम की एबेलियन किस्मों के उत्पाद के लिए आइसोजिनी नहीं है। कोई भी एबेलियन किस्म सरल एबेलियन किस्मों के उत्पाद के लिए आइसोजेनस है।

ध्रुवीकरण और दोहरी एबेलियन किस्म

दोहरी एबेलियन किस्म

एबेलियन किस्म ए के लिए एक क्षेत्र के ऊपर, एक 'दोहरी एबेलियन किस्म' ए को संबद्ध करता है^v (उसी क्षेत्र में), जो निम्नलिखित मॉडुलि समस्या का समाधान है। डिग्री 0 लाइन बंडलों के एक परिवार को के-किस्म टी द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जाता है, जिसे लाइन बंडल एल के रूप में परिभाषित किया जाता है ए × टी ऐसा है कि

टी में सभी टी के लिए, एल से ए × {टी} का प्रतिबंध एक डिग्री 0 लाइन बंडल है,
L से {0}×T का प्रतिबंध एक तुच्छ रेखा बंडल है (यहाँ 0 A की पहचान है)।

फिर एक किस्म ए है^v और डिग्री 0 लाइन बंडल P का परिवार, Poincare बंडल, A द्वारा पैरामीट्रिज्ड^v जैसे कि T पर एक परिवार L एक अद्वितीय आकारिकी f: T → A से जुड़ा है^v ताकि L आकारिकी 1 के साथ P के पुलबैक के लिए समरूप हो_A×f: A×T → A×A^वी. इसे उस स्थिति में लागू करने पर जब T एक बिंदु है, हम देखते हैं कि A के बिंदु^v A पर डिग्री 0 के लाइन बंडल के अनुरूप है, इसलिए A पर एक प्राकृतिक समूह संचालन होता है^v लाइन बंडलों के टेंसर उत्पाद द्वारा दिया जाता है, जो इसे एबेलियन किस्म में बनाता है।

यह जुड़ाव इस अर्थ में एक द्वैत है कि दोहरे द्वैत A के बीच एक प्राकृतिक समरूपता है^vv और A (Poincare बंडल द्वारा परिभाषित) और यह कि यह प्रतिपरिवर्ती क्रियात्मक है, अर्थात यह सभी morphisms f: A → B द्वैत morphisms f से संबद्ध है^वी: बी^वी → ए^v संगत तरीके से। एक एबेलियन किस्म का n-torsion और इसके दोहरे का n-torsion एक दूसरे के लिए पोंट्रीगिन द्वैत है जब n आधार की विशेषता के लिए सह-अभाज्य है। सामान्य तौर पर - सभी एन के लिए - दोहरी एबेलियन किस्मों की एन-टोरसन समूह योजनाएं एक दूसरे के कार्टियर दोहरी हैं। यह अण्डाकार वक्रों के लिए वील पेयरिंग का सामान्यीकरण करता है।

ध्रुवीकरण

एक एबेलियन किस्म का ध्रुवीकरण एक एबेलियन किस्म से उसके दोहरे के लिए एक आइसोजेनी है जो एबेलियन किस्मों के लिए डबल-द्वैत के संबंध में सममित है और जिसके लिए संबंधित ग्राफ आकारिकी के साथ पॉइनकेयर बंडल का पुलबैक पर्याप्त है (इसलिए यह सकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप के अनुरूप है)। ध्रुवीकृत एबेलियन किस्मों में परिमित ऑटोमोर्फिज्म समूह होते हैं। एक प्रमुख ध्रुवीकरण एक ध्रुवीकरण है जो एक समरूपता है। कर्व्स के जैकबियन स्वाभाविक रूप से एक प्रमुख ध्रुवीकरण से सुसज्जित होते हैं जैसे ही कोई वक्र पर एक मनमाना तर्कसंगत आधार बिंदु चुनता है, और वक्र को इसके ध्रुवीकृत जैकबियन से फिर से बनाया जा सकता है जब जीनस> 1 है। सभी मुख्य रूप से ध्रुवीकृत एबेलियन किस्में जैकोबियन नहीं हैं। वक्र; स्कॉटकी समस्या देखें। एक ध्रुवीकरण एंडोमोर्फिज्म रिंग पर रोसाटी इनवोल्यूशन को प्रेरित करता है $\mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q}$ ए का

जटिल संख्याओं पर ध्रुवीकरण

जटिल संख्याओं पर, एक ध्रुवीकृत एबेलियन किस्म को एक एबेलियन किस्म ए के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, साथ में रीमैन फॉर्म एच के विकल्प के साथ। दो रीमैन फॉर्म एच₁ और वह₂ तुल्यता संबंध कहलाते हैं यदि धनात्मक पूर्णांक n और m ऐसे हों कि nH₁= एमएच₂. ए पर रीमैन रूपों के एक समकक्ष वर्ग की पसंद को ए का 'ध्रुवीकरण' कहा जाता है। ध्रुवीकृत एबेलियन किस्मों का एक रूपवाद एबेलियन किस्मों का एक आकारिकी ए → बी है, जैसे कि बी पर रीमैन फॉर्म का पुलबैक (अंतर ज्यामिति) A, A पर दिए गए फॉर्म के बराबर है।

एबेलियन स्कीम

कोई एबेलियन किस्मों की योजना (गणित) को भी परिभाषित कर सकता है-सैद्धांतिक रूप से और आधार के सापेक्ष। यह घटनाओं के एक समान उपचार की अनुमति देता है जैसे कि एबेलियन किस्मों की कमी मॉड पी (एबेलियन किस्मों के अंकगणित देखें), और एबेलियन किस्मों के पैरामीटर-परिवार। सापेक्ष आयाम जी की आधार योजना एस पर एक 'एबेलियन स्कीम' एक उचित आकारिकी, एस पर चिकनी आकारिकी समूह योजना है, जिसके ज्यामितीय तंतु जुड़े हुए स्थान और आयाम जी हैं। एबेलियन योजना के तंतु एबेलियन किस्में हैं, इसलिए एस के ऊपर एक एबेलियन योजना के बारे में सोच सकते हैं कि एबेलियन किस्मों का एक परिवार एस द्वारा पैरामीट्रिज किया गया है।

एबेलियन योजना ए / एस के लिए, एन-टोरसन बिंदुओं का समूह एक सीमित फ्लैट समूह योजना बनाता है। पी का संघⁿ-मोड़ बिंदु, सभी n के लिए, एक p-विभाज्य समूह बनाता है। एबेलियन योजनाओं का विरूपण सिद्धांत, सेरे-टेट प्रमेय के अनुसार, संबद्ध पी-विभाज्य समूहों के विरूपण गुणों द्वारा शासित होता है।

उदाहरण

होने देना $A,B\in \mathbb {Z}$ ऐसा हो कि $x^{3}+Ax+B$ कोई दोहराया जटिल जड़ नहीं है। फिर विवेचक $\Delta =-16(4A^{3}+27B^{2})$ अशून्य है। होने देना $R=\mathbb {Z} [1/\Delta ]$ , इसलिए $\operatorname {Spec} R$ की एक खुली उपयोजना है $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ . तब $\operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}z-x^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})$ एक एबेलियन योजना खत्म हो गई है $\operatorname {Spec} R$ . इसे एक नेरॉन मॉडल तक बढ़ाया जा सकता है $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ , जो एक सहज समूह योजना है $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ , लेकिन नेरॉन मॉडल उचित नहीं है और इसलिए एक एबेलियन योजना खत्म नहीं हुई है $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ .

गैर-अस्तित्व

वी ए अब्रास्किन^[3] और जीन-मार्क फॉनटेन^[4] स्वतंत्र रूप से साबित हुआ कि सभी प्राइम्स में अच्छी कमी के साथ क्यू के ऊपर कोई नॉनजीरो एबेलियन किस्में नहीं हैं। समान रूप से, Spec Z पर शून्येतर एबेलियन योजनाएँ नहीं हैं। प्रमाण में यह दिखाना शामिल है कि p के निर्देशांकⁿ-मरोड़ बिंदु बहुत कम शाखा वाले संख्या क्षेत्र उत्पन्न करते हैं और इसलिए छोटे विभेदक होते हैं, जबकि, दूसरी ओर, संख्या क्षेत्रों के विवेचकों की निचली सीमाएं होती हैं।^[5]

सेमीबेलियन किस्म

एक सेमिआबेलियन किस्म एक क्रमविनिमेय समूह किस्म है जो एक बीजगणितीय टोरस द्वारा एक एबेलियन किस्म का विस्तार है।

यह भी देखें

जटिल टोरस
मकसद (बीजगणितीय ज्यामिति)एस
एबेलियन किस्मों की समयरेखा
एबेलियन किस्मों के मोडुली
एबेलियन किस्मों को परिभाषित करने वाले समीकरण
हॉरॉक्स-ममफोर्ड बंडल

संदर्भ

↑ Bruin, N. "हाइपरेलिप्टिक कर्व्स के एन-कवर" (PDF). Math Department Oxford University. Retrieved 14 January 2015. J is covered by C^g:
↑ Milne, J.S., Jacobian varieties, in Arithmetic Geometry, eds Cornell and Silverman, Springer-Verlag, 1986
↑ "V. A. Abrashkin, "Group schemes of period $p$ over the ring of Witt vectors", Dokl. Akad. Nauk SSSR, 283:6 (1985), 1289–1294". www.mathnet.ru. Retrieved 2020-08-23.
↑ Fontaine, Jean-Marc. Il n'y a pas de variété abélienne sur Z. OCLC 946402079.
↑ "Z के ऊपर कोई एबेलियन स्कीम नहीं है" (PDF). Archived (PDF) from the original on 23 Aug 2020.

स्रोत

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Dolgachev, I.V. (2001) [1994], "Abelian scheme", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Faltings, Gerd; Chai, Ching-Li (1990), Degeneration of Abelian Varieties, Springer Verlag, ISBN 3-540-52015-5
Milne, James, Abelian Varieties, retrieved 6 October 2016. ऑनलाइन कोर्स नोट्स।
Mumford, David (2008) [1970], Abelian varieties, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, vol. 5, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-81-85931-86-9, MR 0282985, OCLC 138290
Venkov, B.B.; Parshin, A.N. (2001) [1994], "Abelian_variety", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Bruin, N; Flynn, E.V., N-COVERS OF HYPERELLIPTIC CURVES (PDF), Oxford: Mathematical Institute, University of Oxford. कवरिंग कर्व्स के जैकबियन का विवरण

श्रेणी:एबेलियन किस्में|* श्रेणी:बीजगणितीय वक्र श्रेणी:भाजकों की ज्यामिति श्रेणी:बीजगणितीय सतहें श्रेणी:नील्स हेनरिक एबेल

[1] Bruin, N. "हाइपरेलिप्टिक कर्व्स के एन-कवर" (PDF). Math Department Oxford University. Retrieved 14 January 2015. J is covered by C^g:

[2] Milne, J.S., Jacobian varieties, in Arithmetic Geometry, eds Cornell and Silverman, Springer-Verlag, 1986

[3] "V. A. Abrashkin, "Group schemes of period $p$ over the ring of Witt vectors", Dokl. Akad. Nauk SSSR, 283:6 (1985), 1289–1294". www.mathnet.ru. Retrieved 2020-08-23.

[4] Fontaine, Jean-Marc. Il n'y a pas de variété abélienne sur Z. OCLC 946402079.

[5] "Z के ऊपर कोई एबेलियन स्कीम नहीं है" (PDF). Archived (PDF) from the original on 23 Aug 2020.

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