वैश्विक क्षेत्र

गणित में, एक वैश्विक क्षेत्र दो प्रकार के क्षेत्रों में से एक है (दूसरा एक स्थानीय क्षेत्र है) जो मूल्यांकन (बीजगणित) का उपयोग करते हुए विशेषता है। वैश्विक क्षेत्र (गणित) दो प्रकार के होते हैं:

• बीजगणितीय संख्या फ़ील्ड: का एक बीजगणितीय विस्तार $\mathbb {Q}$
• वैश्विक कार्य क्षेत्र: एक परिमित क्षेत्र पर एक बीजगणितीय वक्र के बीजगणितीय विविधता का कार्य क्षेत्र, समतुल्य, का एक परिमित विस्तार $\mathbb {F} _{q}(T)$परिमित क्षेत्र के साथ एक चर में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र $q=p^{n}$ तत्व।

1940 के दशक में एमिल आर्टिन और जॉर्ज व्हापल्स द्वारा मूल्यांकन (बीजगणित) के माध्यम से इन क्षेत्रों का एक स्वयंसिद्ध लक्षण वर्णन दिया गया था।

औपचारिक परिभाषाएँ

Main articles: Algebraic number field and Function field of an algebraic variety

एक वैश्विक क्षेत्र निम्न में से एक है:

एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र

एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र F परिमेय संख्याओं 'Q' के क्षेत्र (गणित) का परिमित (और इसलिए बीजगणितीय विस्तार) क्षेत्र विस्तार है। इस प्रकार F एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें 'Q' होता है और जब 'Q' पर सदिश स्थान के रूप में माना जाता है तो इसका परिमित हेमल आयाम होता है।

एक परिमित क्षेत्र पर एक बीजगणितीय वक्र का कार्य क्षेत्र

किसी किस्म का कार्य क्षेत्र उस विविधता पर सभी तर्कसंगत कार्यों का समूह है। एक परिमित क्षेत्र पर एक बीजगणितीय वक्र (अर्थात एक आयामी किस्म V) पर, हम कहते हैं कि एक खुले संबध उपसमुच्चय U पर एक परिमेय फलन, U की परिबद्ध किस्म में दो बहुपदों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, और यह कि एक परिमेय फलन सभी V में ऐसे स्थानीय डेटा होते हैं जो ओपन एफ़िन्स के चौराहों पर सहमत होते हैं। यह तकनीकी रूप से वी पर तर्कसंगत कार्यों को परिभाषित करता है, जो किसी भी खुले एफ़िन सबसेट के एफ़िन समन्वय रिंग के अंशों का क्षेत्र होता है, क्योंकि ऐसे सभी सबसेट घने होते हैं।

क्षेत्रों के दो वर्गों के बीच समानता

दो प्रकार के क्षेत्रों के बीच कई औपचारिक समानताएँ हैं। किसी भी प्रकार के एक क्षेत्र में यह गुण होता है कि इसके सभी पूर्ण स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट क्षेत्र होते हैं (स्थानीय क्षेत्र देखें)। किसी भी प्रकार के प्रत्येक क्षेत्र को डेडेकिंड डोमेन के अंशों के क्षेत्र के रूप में महसूस किया जा सकता है जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य आदर्श (रिंग थ्योरी) परिमित सूचकांक का है। प्रत्येक मामले में, गैर-शून्य तत्वों x के लिए उत्पाद सूत्र होता है:

$\prod _{v}|x|_{v}=1.\$

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में दो प्रकार के क्षेत्रों के बीच समानता एक मजबूत प्रेरक शक्ति रही है। संख्या क्षेत्रों और रीमैन सतह ों के बीच समानता का विचार उन्नीसवीं सदी में रिचर्ड डेडेकिंड और हेनरिक एम. वेबर तक जाता है। 'वैश्विक क्षेत्र' विचार द्वारा व्यक्त की गई अधिक सख्त सादृश्यता, जिसमें बीजगणितीय वक्र के रूप में एक रीमैन सतह के पहलू को एक परिमित क्षेत्र पर परिभाषित वक्रों के लिए मैप किया जाता है, 1930 के दशक के दौरान बनाया गया था, परिमित क्षेत्रों पर घटता के लिए रीमैन परिकल्पना में समापन हुआ। 1940 में आंद्रे वील द्वारा। शब्दावली वेइल के कारण हो सकती है, जिन्होंने समानता को काम करने के लिए अपना मूल संख्या सिद्धांत (1967) लिखा था।

आमतौर पर फंक्शन फील्ड केस में काम करना आसान होता है और फिर नंबर फील्ड साइड पर समानांतर तकनीकों को विकसित करने की कोशिश करें। अराकेलोव सिद्धांत का विकास और गर्ड फाल्टिंग्स द्वारा मोर्डेल अनुमान के अपने प्रमाण में इसका शोषण एक नाटकीय उदाहरण है। सादृश्य इवासावा सिद्धांत के विकास और इवासावा सिद्धांत के मुख्य अनुमान में भी प्रभावशाली था। लैंगलैंड्स कार्यक्रम में लैंगलैंड्स और शेलस्टैड के मौलिक लेम्मा के प्रमाण ने भी उन तकनीकों का उपयोग किया जो संख्या फ़ील्ड केस को फ़ंक्शन फ़ील्ड केस में घटा देती हैं।

प्रमेय

हस्से-मिन्कोव्स्की प्रमेय

Main article: Hasse–Minkowski theorem

हस्से-मिन्कोव्स्की प्रमेय संख्या सिद्धांत में एक मौलिक परिणाम है जो बताता है कि एक वैश्विक क्षेत्र पर दो द्विघात रूप समान हैं यदि और केवल यदि वे स्थानीय रूप से सभी स्थानों पर समान हैं, अर्थात क्षेत्र के प्रत्येक समापन (रिंग सिद्धांत) के बराबर हैं।

आर्टिन पारस्परिकता कानून

Main article: Artin reciprocity law

आर्टिन के पारस्परिकता कानून का अर्थ वैश्विक क्षेत्र के पूर्ण गैलोज समूह के कम्यूटेटर उपसमूह का वर्णन है जो हस्से सिद्धांत पर आधारित है। स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत। इसे कोहोलॉजी के संदर्भ में निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

चलो एल_v⁄K_v गैलोज़ समूह जी के साथ स्थानीय क्षेत्रों का गैलोज़ विस्तार हो। 'स्थानीय पारस्परिकता कानून' एक कैनोनिकल समरूपता का वर्णन करता है

$\theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text{ab}},$

स्थानीय आर्टिन प्रतीक, स्थानीय पारस्परिकता मानचित्र या आदर्श अवशेष प्रतीक कहा जाता है। मान लें कि L⁄K वैश्विक क्षेत्रों का गैल्वा विस्तार है और C_L एडेलिक बीजगणितीय समूह | आइडेल वर्ग समूह के लिए खड़ा है एल के नक्शे θ_v अलग-अलग स्थानों के लिए K के v को एक 'वैश्विक प्रतीक मानचित्र' में एक आइडल वर्ग के स्थानीय घटकों को गुणा करके इकट्ठा किया जा सकता है। 'आर्टिन पारस्परिकता कानून' के बयानों में से एक यह है कि इसका परिणाम एक विहित समरूपता में होता है।

संदर्भ

• Artin, Emil; Whaples, George (1945), "Axiomatic characterization of fields by the product formula for valuations", Bull. Amer. Math. Soc., 51: 469–492, doi:10.1090/S0002-9904-1945-08383-9, MR 0013145
• Artin, Emil; Whaples, George (1946), "A note on axiomatic characterization of fields", Bull. Amer. Math. Soc., 52: 245–247, doi:10.1090/S0002-9904-1946-08549-3, MR 0015382
• J.W.S. Cassels, "Global fields", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (eds), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.II, pp. 45–84.
• J.W.S. Cassels, "Local fields", Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-31525-5. P.56.
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Vol. 322. Translated by Schappacher, Norbert. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre, Local Fields, Springer Science & Business Media, ISBN 978-1-4757-5673-9