शास्त्रीय समूह

For the book by Weyl, see The Classical Groups.

गणित में, शास्त्रीय समूहों को वास्तविकताओं पर विशेष रैखिक समूहों के रूप में परिभाषित किया जाता है R, सम्मिश्र संख्याएँ C और चतुर्भुज Hसाथ में विशेष द्विरेखीय रूप के स्वप्रतिरूपण समूह#सममित, तिरछा-सममित और प्रत्यावर्ती रूप या द्विरेखीय रूप#सममित, तिरछा-सममित और प्रत्यावर्ती रूप|तिरछा-सममित द्विरेखीय रूप और सेसक्विलिनियर फॉर्म#हर्मिटियन रूप या सेसक्विलिनियर रूप#तिरछा-हर्मिटियन रूप|तिरछा-हर्मिटियन वास्तविक, जटिल और चतुर्धातुक परिमित-आयामी वेक्टर स्थानों पर परिभाषित सेसक्विलिनियर रूप। इनमें से, जटिल शास्त्रीय झूठ समूह झूठ समूहों के चार अनंत परिवार हैं जो Simple_Lie_group#Exceptional_casess के साथ मिलकर सरल झूठ समूहों के वर्गीकरण को समाप्त करते हैं। सघन शास्त्रीय समूह जटिल शास्त्रीय समूहों के सघन वास्तविक रूप हैं। शास्त्रीय समूहों के परिमित अनुरूप लाई प्रकार के शास्त्रीय समूह हैं। क्लासिकल ग्रुप शब्द हरमन वेइल द्वारा गढ़ा गया था, यह उनके 1939 के मोनोग्राफ द क्लासिकल ग्रुप्स का शीर्षक था। शास्त्रीय समूह रैखिक झूठ समूहों के विषय का सबसे गहरा और सबसे उपयोगी हिस्सा बनाते हैं। अधिकांश प्रकार के शास्त्रीय समूह शास्त्रीय और आधुनिक भौतिकी में अनुप्रयोग पाते हैं। कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं. घूर्णन समूह SO(3) यूक्लिडियन अंतरिक्ष और भौतिकी के सभी मौलिक नियमों, लोरेंत्ज़ समूह की समरूपता है O(3,1) विशेष सापेक्षता के अंतरिक्ष समय का एक समरूपता समूह है। विशेष एकात्मक समूह SU(3) क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स का समरूपता समूह और सहानुभूति समूह है Sp(m) हैमिल्टनियन यांत्रिकी और इसके क्वांटम यांत्रिकी संस्करणों में आवेदन पाता है।

शास्त्रीय समूह

शास्त्रीय समूह वास्तव में सामान्य रैखिक समूह हैं R, C और H नीचे चर्चा की गई गैर-पतित रूपों के ऑटोमोर्फिज्म समूहों के साथ। ये समूह आम तौर पर अतिरिक्त रूप से उन उपसमूहों तक ही सीमित होते हैं जिनके तत्वों का निर्धारक 1 होता है, ताकि उनके केंद्र अलग-अलग हों। शास्त्रीय समूह, निर्धारक 1 शर्त के साथ, नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं। अगली कड़ी में, अधिक व्यापकता के हित में निर्धारक 1 स्थिति का लगातार उपयोग नहीं किया जाता है।

Name	Group	Field	Form	Maximal compact subgroup	Lie algebra	Root system
Special linear	[[Special linear group|SL(n, R)]]	R	—	SO(n)
Complex special linear	[[Special linear group|SL(n, C)]]	C	—	[[SU(n)|SU(n)]]	Complex	[[Root system#Explicit construction of the irreducible root systems|Am, n = m + 1]]
Quaternionic special linear	SL(n, H) = SU∗(2n)	H	—	Sp(n)
(Indefinite) special orthogonal	[[Indefinite orthogonal group|SO(p, q)]]	R	Symmetric	S(O(p) × O(q))
Complex special orthogonal	[[Special orthogonal group|SO(n, C)]]	C	Symmetric	[[SO(n)|SO(n)]]	Complex	$\color {Blue}{\begin{cases}B_{m},&n=2m+1\\D_{m},&n=2m\end{cases}}$
Symplectic	[[Symplectic group|Sp(n, R)]]	R	Skew-symmetric	U(n)
Complex symplectic	[[Symplectic group|Sp(n, C)]]	C	Skew-symmetric	[[Sp(n)|Sp(n)]]	Complex	[[Root system#Explicit construction of the irreducible root systems|Cm, n = 2m]]
(Indefinite) special unitary	[[Special unitary group|SU(p, q)]]	C	Hermitian	S(U(p) × U(q))
(Indefinite) quaternionic unitary	Sp(p, q)	H	Hermitian	Sp(p) × Sp(q)
Quaternionic orthogonal	SO∗(2n)	H	Skew-Hermitian	SO(2n)

जटिल शास्त्रीय समूह हैं SL(n, C), SO(n, C) और Sp(n, C). एक समूह इस आधार पर जटिल होता है कि उसका बीजगणित जटिल है या नहीं। वास्तविक शास्त्रीय समूह सभी शास्त्रीय समूहों को संदर्भित करता है क्योंकि कोई भी बीजगणित एक वास्तविक बीजगणित है। सघन शास्त्रीय समूह जटिल शास्त्रीय समूहों के सघन वास्तविक रूप हैं। ये, बदले में, हैं SU(n), SO(n) और Sp(n). सघन वास्तविक रूप का एक लक्षण वर्णन लाई बीजगणित के संदर्भ में है g. अगर g = u + iu, की जटिलता u, और यदि जुड़ा हुआ समूह K द्वारा उत्पन्न {exp(X): X ∈ u} तो कॉम्पैक्ट है K एक सघन वास्तविक रूप है। शास्त्रीय समूहों को वास्तविक रूपों का उपयोग करके समान रूप से अलग तरीके से चित्रित किया जा सकता है। शास्त्रीय समूह (यहां निर्धारक 1 शर्त के साथ, लेकिन यह आवश्यक नहीं है) निम्नलिखित हैं:

जटिल रैखिक बीजगणितीय समूह SL(n, C), SO(n, C), और Sp(n, C)साथ में उनके वास्तविक स्वरूप भी।

उदाहरण के लिए, SO^∗(2n) का वास्तविक रूप है SO(2n, C), SU(p, q) का वास्तविक रूप है SL(n, C), और SL(n, H) का वास्तविक रूप है SL(2n, C). निर्धारक 1 शर्त के बिना, विशेष रैखिक समूहों को लक्षण वर्णन में संबंधित सामान्य रैखिक समूहों से बदलें। विचाराधीन बीजगणितीय समूह लाई समूह हैं, लेकिन वास्तविक रूप की सही धारणा प्राप्त करने के लिए बीजगणितीय क्वालीफायर की आवश्यकता होती है।

द्विरेखीय और सेसक्विलिनियर रूप

Main articles: Bilinear form and Sesquilinear form

शास्त्रीय समूहों को परिभाषित रूपों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है Rⁿ, Cⁿ, और Hⁿ, कहाँ R और C वास्तविक संख्या और सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र (गणित) हैं। चतुर्भुज, H, किसी फ़ील्ड का गठन न करें क्योंकि गुणन से परिवर्तन नहीं होता है; वे एक विभाजन वलय या एक तिरछा क्षेत्र या गैर-कम्यूटेटिव क्षेत्र बनाते हैं। हालाँकि, मैट्रिक्स चतुर्धातुक समूहों को परिभाषित करना अभी भी संभव है। इस कारण से, एक सदिश समष्टि V को परिभाषित करने की अनुमति है R, C, साथ ही H नीचे। के मामले में H, V बाईं ओर से मैट्रिक्स गुणन के रूप में समूह क्रिया के प्रतिनिधित्व को संभव बनाने के लिए एक सही वेक्टर स्थान है R और C. एक प्रपत्र φ: V × V → F कुछ परिमित-आयामी दाएं वेक्टर स्थान पर F = R, C, या H द्विरेखीय रूप है यदि

$\varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.$ और अगर

$\varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.$

यदि इसे अर्ध-द्विरेखीय रूप कहा जाता है

$\varphi (x\alpha ,y\beta )={\bar {\alpha }}\varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.$ और अगर

$\varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.$

इन सम्मेलनों को इसलिए चुना गया है क्योंकि ये विचार किए गए सभी मामलों में काम करते हैं। का एक स्वप्रतिरूपण φ एक नक्शा है Α रैखिक ऑपरेटरों के सेट में V ऐसा है कि

$\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V.$

(1)

के सभी ऑटोमोर्फिज्म का सेट φ एक समूह बनाते हैं, इसे ऑटोमोर्फिज्म समूह कहा जाता है φ, निरूपित Aut(φ). इससे शास्त्रीय समूह की प्रारंभिक परिभाषा प्राप्त होती है:

एक शास्त्रीय समूह एक ऐसा समूह है जो परिमित-आयामी वेक्टर स्थानों पर एक द्विरेखीय या सेसक्विलिनियर रूप को संरक्षित करता है R, C या H.

इस परिभाषा में कुछ अतिरेक है. के मामले में F = R, बिलिनियर सेसक्विलिनियर के बराबर है। के मामले में F = H, कोई गैर-शून्य द्विरेखीय रूप नहीं हैं।

सममित, तिरछा-सममित, हर्मिटियन, और तिरछा-हर्मिटियन रूप

एक रूप सममित है यदि

$\varphi (x,y)=\varphi (y,x).$

यदि यह तिरछा-सममित है

$\varphi (x,y)=-\varphi (y,x).$

यह हर्मिटियन है अगर

$\varphi (x,y)={\overline {\varphi (y,x)}}$

अंततः, यह तिरछा-हर्मिटियन है यदि

$\varphi (x,y)=-{\overline {\varphi (y,x)}}.$

एक द्विरेखीय रूप φ विशिष्ट रूप से एक सममित रूप और एक तिरछा-सममित रूप का योग है। एक परिवर्तन संरक्षण φ दोनों भागों को अलग-अलग सुरक्षित रखता है। इस प्रकार सममित और तिरछा-सममित रूपों को संरक्षित करने वाले समूहों का अलग से अध्ययन किया जा सकता है। यही बात, यथोचित परिवर्तनों के साथ, हर्मिटियन और स्क्यू-हर्मिटियन रूपों पर भी लागू होती है। इस कारण से, वर्गीकरण के प्रयोजनों के लिए, केवल विशुद्ध रूप से सममित, तिरछा-सममित, हर्मिटियन, या तिरछा-हर्मिटियन रूपों पर विचार किया जाता है। प्रपत्रों के सामान्य रूप आधारों के विशिष्ट उपयुक्त विकल्पों के अनुरूप होते हैं। ये निर्देशांक में निम्नलिखित सामान्य रूप देने वाले आधार हैं:

${\begin{aligned}{\text{Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }\xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\pm \cdots \pm \xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {R} )\\{\text{Bilinear symmetric form in orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{2}\eta _{2}+\cdots +\xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {C} )\\{\text{Bilinear skew-symmetric in symplectic basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}+\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}\\&-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}-\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},&&(\mathbf {R} ,\mathbf {C} )\\{\text{Sesquilinear Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }{\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\pm \cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n},&&(\mathbf {C} ,\mathbf {H} )\\{\text{Sesquilinear skew-Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}+\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},&&(\mathbf {H} )\end{aligned}}$

j} तिरछा-हर्मिटियन रूप में आधार में तीसरा आधार तत्व है (1, i, j, k) के लिए H. इन आधारों के अस्तित्व का प्रमाण और सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम, धन और ऋण चिह्नों की संख्या की स्वतंत्रता, p और q, सममित और हर्मिटियन रूपों में, साथ ही प्रत्येक अभिव्यक्ति में फ़ील्ड की उपस्थिति या अनुपस्थिति, में पाई जा सकती है Rossmann (2002) या Goodman & Wallach (2009). जोड़ी (p, q), और कभी - कभी p − q, प्रपत्र का हस्ताक्षर कहलाता है।

क्षेत्रों की घटना की व्याख्या R, C, H: ऊपर कोई गैर-तुच्छ द्विरेखीय रूप नहीं हैं H. सममित द्विरेखीय मामले में, केवल ऊपर बनता है R एक हस्ताक्षर है. दूसरे शब्दों में, हस्ताक्षर के साथ एक जटिल द्विरेखीय प्रपत्र (p, q), आधार में परिवर्तन करके, ऐसे रूप में लाया जा सकता है जहां सभी चिह्न हों+ उपरोक्त अभिव्यक्ति में, जबकि वास्तविक मामले में यह असंभव है p − q इस रूप में डालने पर आधार से स्वतंत्र होता है। हालाँकि, हर्मिटियन रूपों में जटिल और चतुर्धातुक दोनों मामलों में आधार-स्वतंत्र हस्ताक्षर होते हैं। (वास्तविक मामला सममित मामले में कम हो जाता है।) एक जटिल वेक्टर स्थान पर एक तिरछा-हर्मिटियन रूप को गुणा करके हर्मिटियन प्रस्तुत किया जाता है i, तो केवल इस मामले में H दिलचस्प है।

ऑटोमोर्फिज्म समूह

द क्लासिकल ग्रुप्स के लेखक हरमन वेइल। वेइल ने शास्त्रीय समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण योगदान दिया।

पहला खंड सामान्य रूपरेखा प्रस्तुत करता है। अन्य खंड गुणात्मक रूप से अलग-अलग मामलों को समाप्त करते हैं जो परिमित-आयामी वेक्टर स्थानों पर बिलिनियर और सेसक्विलिनियर रूपों के ऑटोमोर्फिज्म समूहों के रूप में उत्पन्न होते हैं। R, C और H.

ऑट(φ) - ऑटोमोर्फिज्म समूह

ये मान लीजिए φ एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान पर एक गैर-पतित रूप है V ऊपर R, C या H. ऑटोमोर्फिज्म समूह को स्थिति के आधार पर परिभाषित किया गया है (1), जैसा

$\mathrm {Aut} (\varphi )=\{A\in \mathrm {GL} (V):\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V\}.$

प्रत्येक A ∈ M_n(V) का एक जोड़ है A^φ इसके संबंध में φ द्वारा परिभाषित

$\varphi (Ax,y)=\varphi (x,A^{\varphi }y),\qquad x,y\in V.$

(2)

इस परिभाषा का उपयोग स्थिति में (1), ऑटोमोर्फिज्म समूह द्वारा दिया हुआ देखा जाता है

$\operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):A^{\varphi }A=1\}.$

(3)

के लिए एक आधार तय करें V. इस आधार पर, रखो

$\varphi (x,y)=\sum \xi _{i}\varphi _{ij}\eta _{j}$

कहाँ ξ_i, η_j के घटक हैं x, y. यह द्विरेखीय रूपों के लिए उपयुक्त है। सेसक्विलिनियर रूपों में समान अभिव्यक्तियाँ होती हैं और बाद में उनका अलग से इलाज किया जाता है। मैट्रिक्स नोटेशन में कोई पाता है

$\varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }\Phi y$

और

$A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi$

(4)

से (2) कहाँ Φ मैट्रिक्स है (φ_ij). गैर-विक्षोभ स्थिति का सटीक अर्थ यही है Φ उलटा है, इसलिए जोड़ हमेशा मौजूद रहता है। Aut(φ) इससे व्यक्त होता है

$\operatorname {Aut} (\varphi )=\left\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi A=1\right\}.$

झूठ बीजगणित aut(φ) ऑटोमोर्फिज्म समूहों को तुरंत लिखा जा सकता है। संक्षेप में, X ∈ aut(φ) अगर और केवल अगर

$(e^{tX})^{\varphi }e^{tX}=1$

सभी के लिए t, (में स्थिति के अनुरूप3) लाई बीजगणित के घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) के तहत, ताकि

${\mathfrak {aut}}(\varphi )=\left\{X\in M_{n}(V):X^{\varphi }=-X\right\},$

या एक आधार में

${\mathfrak {aut}}(\varphi )=\left\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{\mathrm {T} }\Phi =-X\right\}$

(5)

जैसा कि घातीय मानचित्रण की शक्ति श्रृंखला विस्तार और शामिल संचालन की रैखिकता का उपयोग करके देखा जाता है। इसके विपरीत, मान लीजिए X ∈ aut(φ). फिर, उपरोक्त परिणाम का उपयोग करते हुए, φ(Xx, y) = φ(x, X^φy) = −φ(x, Xy). इस प्रकार झूठ बीजगणित को किसी आधार या जोड़ के संदर्भ के बिना वर्णित किया जा सकता है

${\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\varphi (Xx,y)=-\varphi (x,Xy),\quad \forall x,y\in V\}.$

के लिए सामान्य रूप φ नीचे प्रत्येक शास्त्रीय समूह के लिए दिया जाएगा। उस सामान्य रूप से, मैट्रिक्स Φ सीधे पढ़ा जा सकता है। नतीजतन, सहायक और झूठ बीजगणित के लिए अभिव्यक्तियाँ सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती हैं (4) और (5). अधिकांश गैर-तुच्छ मामलों में इसे नीचे प्रदर्शित किया गया है।

द्विरेखीय मामला

जब रूप सममित हो, Aut(φ) कहा जाता है O(φ). जब यह तिरछा-सममित होता है Aut(φ) कहा जाता है Sp(φ). यह वास्तविक और जटिल मामलों पर लागू होता है। चतुर्धातुक मामला खाली है क्योंकि चतुर्धातुक वेक्टर स्थानों पर कोई गैर-शून्य द्विरेखीय रूप मौजूद नहीं है।

वास्तविक मामला

वास्तविक मामला दो मामलों में टूट जाता है, सममित और प्रतिसममित रूप जिन्हें अलग-अलग माना जाना चाहिए।

O(p, q) और O(n) - ऑर्थोगोनल समूह

Main articles: Orthogonal group and Indefinite orthogonal group

अगर φ सममित है और सदिश समष्टि वास्तविक है, इसलिए एक आधार चुना जा सकता है

$\varphi (x,y)=\pm \xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\cdots \pm \xi _{n}\eta _{n}.$

प्लस और माइनस चिह्नों की संख्या विशेष आधार से स्वतंत्र है। यदि V = Rⁿ एक लिखता है O(φ) = O(p, q) कहाँ p धन चिन्हों की संख्या है और q ऋण-चिह्नों की संख्या है, p + q = n. अगर q = 0 अंकन है O(n). गणित का सवाल Φ इस मामले में है

$\Phi =\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\equiv I_{p,q}$

यदि आवश्यक हो तो आधार को पुनः व्यवस्थित करने के बाद। सहायक ऑपरेशन (4) तो बन जाता है

$A^{\varphi }=\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A_{11}&\cdots \\\cdots &A_{nn}\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right),$

जो सामान्य स्थानान्तरण में कम हो जाता है जब p या q 0 है। झूठ बीजगणित समीकरण का उपयोग करके पाया जाता है (5) और एक उपयुक्त ansatz (यह के मामले के लिए विस्तृत है Sp(m, R) नीचे),

${\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Y_{p\times q}\\Y^{\mathrm {T} }&W_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad W^{\mathrm {T} }=-W\right\},$

और समूह के अनुसार (3) द्वारा दिया गया है

$\mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )|I_{p,q}^{-1}g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I\}.$

समूह O(p, q) और O(q, p) मानचित्र के माध्यम से समरूपी हैं

$\mathrm {O} (p,q)\rightarrow \mathrm {O} (q,p),\quad g\rightarrow \sigma g\sigma ^{-1},\quad \sigma =\left[{\begin{smallmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right].$

उदाहरण के लिए, लोरेंत्ज़ समूह के लाई बीजगणित को इस प्रकार लिखा जा सकता है

${\mathfrak {o}}(3,1)=\mathrm {span} \left\{\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right)\right\}.$

स्वाभाविक रूप से, इसे पुनर्व्यवस्थित करना संभव है ताकि q-ब्लॉक ऊपरी बाएँ (या कोई अन्य ब्लॉक) है। यहां समय घटक भौतिक व्याख्या में चौथे समन्वय के रूप में समाप्त होता है, न कि पहले के रूप में जो अधिक सामान्य हो सकता है।

एसपी(एम, आर) - वास्तविक सहानुभूति समूह

Main article: Symplectic group

अगर φ तिरछा-सममित है और सदिश समष्टि वास्तविक है, इसका एक आधार है

$\varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},$

कहाँ n = 2m. के लिए Aut(φ) एक लिखता है Sp(φ) = Sp(V) यदि V = Rⁿ = R^2m एक लिखता है Sp(m, R) या Sp(2m, R). सामान्य रूप से कोई पढ़ता है

$\Phi =\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=J_{m}.$

दृष्टिकोण बनाकर

$V=\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right),$

कहाँ X, Y, Z, W हैं m-आयामी मैट्रिक्स और विचार (5),

$\left({\begin{matrix}0_{m}&-I_{m}\\I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=-\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)$

किसी को लाई बीजगणित मिलता है Sp(m, R),

${\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},$

और समूह द्वारा दिया गया है

$\mathrm {Sp} (m,\mathbb {R} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {R} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.$

जटिल मामला

वास्तविक मामले की तरह, दो मामले हैं, सममित और एंटीसिमेट्रिक मामला, जिनमें से प्रत्येक शास्त्रीय समूहों का एक परिवार उत्पन्न करता है।

O(n, C) - जटिल ऑर्थोगोनल समूह

Main article: Complex orthogonal group

यदि मामला φ सममित है और सदिश समष्टि जटिल, एक आधार है

$\varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{1}\eta _{1}\cdots +\xi _{n}\eta _{n}$

केवल प्लस-चिह्नों के साथ उपयोग किया जा सकता है। ऑटोमोर्फिज्म समूह के मामले में है V = Cⁿ बुलाया O(n, C). झूठ बीजगणित बस इसके लिए एक विशेष मामला है o(p, q),

${\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X|X^{\mathrm {T} }=-X\},$

और समूह द्वारा दिया गया है

$\mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g|g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\}.$

रूट सिस्टम के संदर्भ में#डाइनकिन आरेख द्वारा रूट सिस्टम का वर्गीकरण so(n) को दो वर्गों में विभाजित किया गया है, वे वाले n जड़ प्रणाली के साथ विषम B_n और n रूट सिस्टम के साथ भी D_n.

Sp(m, C) - जटिल सहानुभूति समूह

Main article: Symplectic group

के लिए φ तिरछा-सममित और सदिश समष्टि संकुल, समान सूत्र,

$\varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},$

वास्तविक मामले की तरह ही लागू होता है। के लिए Aut(φ) एक लिखता है Sp(φ) = Sp(V). यदि $V=\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{2m}$ एक लिखता है Sp(m, $\mathbb {C}$) या Sp(2m, $\mathbb {C}$). लाई बीजगणित इसके समानांतर है sp(m, $\mathbb {R}$),

${\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},$

और समूह द्वारा दिया गया है

$\mathrm {Sp} (m,\mathbb {C} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {C} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.$

सेसक्विलिनियर केस

सेसक्विलिनियर मामले में, आधार के संदर्भ में फॉर्म के लिए थोड़ा अलग दृष्टिकोण अपनाया जाता है,

$\varphi (x,y)=\sum {\bar {\xi }}_{i}\varphi _{ij}\eta _{j}.$

अन्य अभिव्यक्तियाँ जो संशोधित हो जाती हैं वे हैं

$\varphi (x,y)=x^{*}\Phi y,\qquad A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{*}\Phi ,$

$\operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{*}\Phi A=1\},$

${\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{*}\Phi =-X\}.$

(6)

निस्संदेह, वास्तविक मामला कुछ भी नया नहीं प्रदान करता है। जटिल और चतुर्धातुक मामले पर नीचे विचार किया जाएगा।

जटिल मामला

गुणात्मक दृष्टिकोण से, तिरछा-हर्मिटियन रूपों (आइसोमोर्फिज्म तक) पर विचार करने से कोई नया समूह नहीं मिलता है; से गुणा i एक तिरछा-हर्मिटियन रूप हर्मिटियन प्रस्तुत करता है, और इसके विपरीत। इस प्रकार केवल हर्मिटियन मामले पर विचार करने की आवश्यकता है।

यू(पी, क्यू) और यू(एन) - एकात्मक समूह

Main article: Unitary group

एक गैर पतित हर्मिटियन रूप का सामान्य रूप होता है

$\varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}.$

जैसा कि द्विरेखीय मामले में, हस्ताक्षर (पी, क्यू) आधार से स्वतंत्र है। ऑटोमोर्फिज्म समूह को दर्शाया गया है U(V), या, के मामले में V = Cⁿ, U(p, q). अगर q = 0 अंकन है U(n). इस मामले में, Φ रूप लेता है

$\Phi =\left({\begin{matrix}1_{p}&0\\0&-1_{q}\end{matrix}}\right)=I_{p,q},$

और झूठ बीजगणित द्वारा दिया गया है

${\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Z_{p\times q}\\{\overline {Z_{p\times q}}}^{\mathrm {T} }&Y_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|{\overline {X}}^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=-Y\right\}.$

समूह द्वारा दिया गया है

$\mathrm {U} (p,q)=\{g|I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I\}.$

जहाँ g एक सामान्य n x n जटिल मैट्रिक्स है और $g^{*}$ इसे g के संयुग्मी स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे भौतिक विज्ञानी कहते हैं $g^{\dagger }$.

तुलना के रूप में, एक एकात्मक मैट्रिक्स U(n) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\mathrm {U} (n)=\{g|g^{*}g=I\}.$ हमने ध्यान दिया कि $\mathrm {U} (n)$ वैसा ही है जैसा कि $\mathrm {U} (n,0)$

चतुष्कोणीय मामला

अंतरिक्ष Hⁿ को एक सही सदिश समष्टि माना जाता है H. इस तरह, A(vh) = (Av)h एक चतुर्भुज के लिए h, एक चतुर्भुज स्तंभ वेक्टर v और चतुर्भुज मैट्रिक्स A. अगर Hⁿ एक बायाँ सदिश स्थान था H, तो रैखिकता बनाए रखने के लिए पंक्ति वैक्टर पर दाईं ओर से मैट्रिक्स गुणन की आवश्यकता होगी। जब कोई आधार दिया जाता है, जो कॉलम वैक्टर पर बाईं ओर से मैट्रिक्स गुणन होता है, तो यह वेक्टर स्पेस पर किसी समूह के सामान्य रैखिक संचालन के अनुरूप नहीं होता है। इस प्रकार V अब से एक सही सदिश समष्टि है H. फिर भी, गैर-विनिमेय प्रकृति के कारण सावधानी बरतनी चाहिए H. (अधिकतर स्पष्ट) विवरण छोड़ दिए गए हैं क्योंकि जटिल अभ्यावेदन का उपयोग किया जाएगा।

चतुर्धातुक समूहों के साथ व्यवहार करते समय जटिल का उपयोग करके चतुर्धातुक समूहों का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक होता है 2×2-matrices,

$q=a\mathrm {1} +b\mathrm {i} +c\mathrm {j} +d\mathrm {k} =\alpha +j\beta \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=Q,\quad q\in \mathbb {H} ,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C} .$

(7)

इस प्रतिनिधित्व के साथ, चतुर्धातुक गुणन मैट्रिक्स गुणन बन जाता है और चतुर्धातुक संयुग्मन हर्मिटियन सहायक बन जाता है। इसके अलावा, यदि जटिल एन्कोडिंग के अनुसार एक चतुर्भुज q = x + jy को कॉलम वेक्टर के रूप में दिया गया है (x, y)^T, फिर चतुर्भुज के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व द्वारा बाईं ओर से गुणा करने पर सही चतुर्भुज का प्रतिनिधित्व करने वाला एक नया कॉलम वेक्टर उत्पन्न होता है। यह प्रतिनिधित्व क्वाटरनियन लेख में पाए जाने वाले अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व से थोड़ा अलग है। अधिक सामान्य परिपाटी एक ही चीज़ को प्राप्त करने के लिए पंक्ति मैट्रिक्स पर दाईं ओर से गुणन को बाध्य करेगी।

संयोगवश, उपरोक्त निरूपण से यह स्पष्ट हो जाता है कि इकाई चतुर्भुजों का समूह (αα + ββ = 1 = det Q) समरूपी है SU(2).

चतुर्धातुक n×n-मैट्रिसेस, स्पष्ट विस्तार द्वारा, द्वारा दर्शाया जा सकता है 2n×2nसम्मिश्र संख्याओं के ब्लॉक-मैट्रिसेस। यदि कोई चतुर्धातुक का प्रतिनिधित्व करने के लिए सहमत है n×1 कॉलम वेक्टर ए द्वारा 2n×1ऊपर की एन्कोडिंग के अनुसार जटिल संख्याओं वाला कॉलम वेक्टर, ऊपरी के साथ n संख्याएँ हैं α_i और निचला n द β_i, फिर एक चतुर्धातुक n×n-मैट्रिक्स एक कॉम्प्लेक्स बन जाता है 2n×2n-मैट्रिक्स बिल्कुल ऊपर दिए गए फॉर्म का, लेकिन अब α और β के साथ n×n-मैट्रिसेस. अधिक औपचारिक रूप से

$\left(Q\right)_{n\times n}=\left(X\right)_{n\times n}+\mathrm {j} \left(Y\right)_{n\times n}\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\bar {Y}}\\Y&{\bar {X}}\end{matrix}}\right)_{2n\times 2n}.$

(8)

एक मैट्रिक्स T ∈ GL(2n, C) में फॉर्म प्रदर्शित है (8) अगर और केवल अगर J_nT = TJ_n. इन पहचानों के साथ,

$\mathbb {H} ^{n}\approx \mathbb {C} ^{2n},M_{n}(\mathbb {H} )\approx \left\{\left.T\in M_{2n}(\mathbb {C} )\right|J_{n}T={\overline {T}}J_{n},\quad J_{n}=\left({\begin{matrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{matrix}}\right)\right\}.$

अंतरिक्ष M_n(H) ⊂ M_2n(C) एक वास्तविक बीजगणित है, लेकिन यह इसका जटिल उपसमष्टि नहीं है M_2n(C). गुणा (बाएं से) द्वारा i में M_n(H) प्रविष्टि-वार चतुर्धातुक गुणन का उपयोग करना और फिर छवि में मैप करना M_2n(C) से प्रविष्टि-वार गुणा करने की तुलना में भिन्न परिणाम प्राप्त होता है i सीधे अंदर M_2n(C). चतुष्कोणीय गुणन नियम देते हैं i(X + jY) = (iX) + j(−iY) जहां नया X और Y कोष्ठक के अंदर हैं।

चतुर्धातुक सदिशों पर चतुर्धातुक आव्यूहों की क्रिया को अब जटिल मात्राओं द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन अन्यथा यह सामान्य आव्यूहों और सदिशों के समान ही है। चतुर्धातुक समूह इस प्रकार अंतर्निहित हैं M_2n(C) कहाँ nचतुर्धातुक आव्यूहों का आयाम है।

इस प्रतिनिधित्व में एक चतुर्धातुक मैट्रिक्स के निर्धारक को उसके प्रतिनिधि मैट्रिक्स के सामान्य जटिल निर्धारक के रूप में परिभाषित किया गया है। चतुर्धातुक गुणन की गैर-क्रमविनिमेय प्रकृति, आव्यूहों के चतुर्धातुक निरूपण में, अस्पष्ट होगी। रास्ता M_n(H) में अंतर्निहित है M_2n(C) अद्वितीय नहीं है, लेकिन ऐसे सभी एम्बेडिंग इसके माध्यम से संबंधित हैं g ↦ AgA⁻¹, g ∈ GL(2n, C) के लिए A ∈ O(2n, C), निर्धारक को अप्रभावित छोड़ते हुए। का नाम SL(n, H)इस जटिल आड़ में है SU^∗(2n).

के मामले में इसके विपरीत C, हर्मिटियन और स्क्यू-हर्मिटियन दोनों मामले जब कुछ नया लाते हैं H पर विचार किया जाता है, इसलिए इन मामलों पर अलग से विचार किया जाता है।

जीएल(एन, एच) और एसएल(एन, एच)

उपरोक्त पहचान के तहत,

$\mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|Jg={\overline {g}}J,\mathrm {det} \quad g\neq 0\}\equiv \mathrm {U} ^{*}(2n).$

यह झूठ बीजगणित है gl(n, H) मैपिंग की छवि में सभी मैट्रिक्स का सेट है M_n(H) ↔ M_2n(C) उपरोक्त में से,

${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X,Y\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\right\}\equiv {\mathfrak {u}}^{*}(2n).$

चतुष्कोणीय विशेष रैखिक समूह द्वारा दिया गया है

$\mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|\mathrm {det} \ g=1\}\equiv \mathrm {SU} ^{*}(2n),$

जहां निर्धारक को आव्यूहों पर लिया जाता है C²ⁿ. वैकल्पिक रूप से, कोई इसे डियूडोने निर्धारक के कर्नेल के रूप में परिभाषित कर सकता है $\mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\rightarrow \mathbb {H} ^{*}/[\mathbb {H} ^{*},\mathbb {H} ^{*}]\simeq \mathbb {R} _{>0}^{*}$. झूठ बीजगणित है

${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|Re(\operatorname {Tr} X)=0\right\}\equiv {\mathfrak {su}}^{*}(2n).$

Sp(p, q) - चतुष्कोणीय एकात्मक समूह

जैसा कि जटिल मामले में ऊपर बताया गया है, सामान्य रूप है

$\varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}$

और धन चिह्नों की संख्या आधार से स्वतंत्र है। कब V = Hⁿ इस फॉर्म के साथ, Sp(φ) = Sp(p, q). नोटेशन का कारण यह है कि उपरोक्त नुस्खे का उपयोग करके समूह को उपसमूह के रूप में दर्शाया जा सकता है Sp(n, C)हस्ताक्षर के एक जटिल-हर्मिटियन रूप को संरक्षित करना (2p, 2q) अगर p या q = 0 समूह को दर्शाया गया है U(n, H). इसे कभी-कभी हाइपरयूनिटरी समूह भी कहा जाता है।

चतुर्धातुक संकेतन में,

$\Phi ={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}=I_{p,q}$

जिसका अर्थ है कि प्रपत्र के चतुर्धातुक आव्यूह

${\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\mathcal {X}}_{p\times p}&{\mathcal {Z}}_{p\times q}\\{\mathcal {Z}}^{*}&{\mathcal {Y}}_{q\times q}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {X}}^{*}=-{\mathcal {X}},\quad {\mathcal {Y}}^{*}=-{\mathcal {Y}}$

(9)

संतुष्ट करेंगे

$\Phi ^{-1}{\mathcal {Q}}^{*}\Phi =-{\mathcal {Q}},$

के बारे में अनुभाग देखें u(p, q). चतुर्धातुक मैट्रिक्स गुणन से निपटने के दौरान सावधानी बरतने की जरूरत है, लेकिन केवल यहां I और -I शामिल हैं और ये प्रत्येक चतुर्भुज मैट्रिक्स के साथ आवागमन करते हैं। अब नुस्खे लागू करें (8) प्रत्येक ब्लॉक के लिए,

${\mathcal {X}}={\begin{pmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Y}}={\begin{pmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Z}}={\begin{pmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{pmatrix}},$

और (में संबंध)9) संतुष्ट होंगे यदि

$X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}.$

झूठ बीजगणित बन जाता है

${\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}^{*}&{\begin{bmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{bmatrix}}\end{pmatrix}}\right|X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}\right\}.$

समूह द्वारा दिया गया है

$\mathrm {Sp} (p,q)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I_{p+q}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid K_{p,q}^{-1}g^{*}K_{p,q}g=I_{2(p+q)},\quad K=\operatorname {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)\right\}.$

के सामान्य स्वरूप में लौटना φ(w, z) के लिए Sp(p, q), प्रतिस्थापन करें w → u + jv और z → x + jy साथ u, v, x, y ∈ Cⁿ. तब

$\varphi (w,z)={\begin{bmatrix}u^{*}&v^{*}\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+j{\begin{bmatrix}u&-v\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}}=\varphi _{1}(w,z)+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z),\quad K_{p,q}=\mathrm {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)$

के रूप में देखा गया H-वैल्यू फॉर्म पर C²ⁿ. इस प्रकार के तत्व Sp(p, q), के रैखिक परिवर्तनों के रूप में देखा जाता है C²ⁿ, हस्ताक्षर के हर्मिटियन रूप दोनों को सुरक्षित रखें (2p, 2q) और एक गैर-पतित तिरछा-सममित रूप। दोनों रूप विशुद्ध रूप से जटिल मान लेते हैं और पूर्वकारक के कारण होते हैं j दूसरे रूप में, उन्हें अलग से संरक्षित किया जाता है। इस का मतलब है कि

$\mathrm {Sp} (p,q)=\mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right)\cap \mathrm {Sp} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{2}\right)$

और यह समूह के नाम और संकेतन दोनों की व्याख्या करता है।

ओ^∗(2n) = O(n, H)- चतुर्धातुक ऑर्थोगोनल समूह

तिरछा-हर्मिटियन रूप के लिए सामान्य रूप दिया गया है

$\varphi (x,y)={\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},$

कहाँ j क्रमबद्ध सूची में तीसरा आधार चतुर्भुज है (1, i, j, k). इस मामले में, Aut(φ) = O^∗(2n) को उपसमूह के रूप में, उपरोक्त जटिल मैट्रिक्स एन्कोडिंग का उपयोग करके महसूस किया जा सकता है O(2n, C) जो हस्ताक्षर के एक गैर-अपक्षयी जटिल तिरछा-हर्मिटियन रूप को संरक्षित करता है (n, n). सामान्य रूप से कोई इसे चतुर्धातुक संकेतन में देखता है

$\Phi =\left({\begin{smallmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&\mathbf {j} \end{smallmatrix}}\right)\equiv \mathrm {j} _{n}$

और से (6) उसका अनुसरण करता है

$-\Phi V^{*}\Phi =-V\Leftrightarrow V^{*}=\mathrm {j} _{n}V\mathrm {j} _{n}.$

(9)

के लिए V ∈ o(2n). अब डालो

$V=X+\mathbf {j} Y\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)$

नुस्खे के अनुसार (8). वही नुस्खे से परिणाम मिलता है Φ,

$\Phi \leftrightarrow \left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\equiv J_{n}.$

अब आखिरी शर्त (9) जटिल संकेतन में पढ़ता है

$\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)^{*}=\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y.$

झूठ बीजगणित बन जाता है

${\mathfrak {o}}^{*}(2n)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y\right\},$

और समूह द्वारा दिया गया है

$\mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid \mathrm {j} _{n}^{-1}g^{*}\mathrm {j} _{n}g=I_{n}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid J_{n}^{-1}g^{*}J_{n}g=I_{2n}\right\}.$

समूह SO^∗(2n) के रूप में वर्णित किया जा सकता है

$\mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta \left({\overline {g}}\right)=g\right\},$

नक्शा कहाँ है θ: GL(2n, C) → GL(2n, C) द्वारा परिभाषित किया गया है g ↦ −J_2ngJ_2n.

साथ ही, समूह का निर्धारण करने वाले प्रपत्र को इस रूप में देखा जा सकता है H-वैल्यू फॉर्म पर C²ⁿ. प्रतिस्थापन करें x → w₁ + iw₂ और y → z₁ + iz₂ प्रपत्र के लिए अभिव्यक्ति में। तब

$\varphi (x,y)={\overline {w}}_{2}I_{n}z_{1}-{\overline {w}}_{1}I_{n}z_{2}+\mathbf {j} (w_{1}I_{n}z_{1}+w_{2}I_{n}z_{2})={\overline {\varphi _{1}(w,z)}}+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z).$ फार्म φ₁ हस्ताक्षर का हर्मिटियन है (जबकि बाईं ओर का पहला रूप तिरछा-हर्मिटियन है) (n, n). आधार परिवर्तन से हस्ताक्षर स्पष्ट हो जाता है (e, f) को ((e + if)/√2, (e − if)/√2) कहाँ e, f प्रथम और अंतिम हैं n आधार वैक्टर क्रमशः। दूसरा रूप, φ₂ सममित सकारात्मक निश्चित है. इस प्रकार, कारक के कारण j, O^∗(2n) दोनों को अलग-अलग संरक्षित करता है और यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है

$\mathrm {O} ^{*}(2n)=\mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\cap \mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right),$

और संकेतन O की व्याख्या की गई है।

सामान्य क्षेत्रों या बीजगणित पर शास्त्रीय समूह

शास्त्रीय समूह, जिन्हें बीजगणित में अधिक व्यापक रूप से माना जाता है, विशेष रूप से दिलचस्प मैट्रिक्स समूह प्रदान करते हैं। जब मैट्रिक्स समूह के गुणांकों का क्षेत्र (गणित) एफ या तो वास्तविक संख्या या जटिल संख्या है, तो ये समूह केवल शास्त्रीय झूठ समूह हैं। जब जमीनी क्षेत्र एक सीमित क्षेत्र होता है, तो शास्त्रीय समूह लाई प्रकार के समूह होते हैं। ये समूह परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। इसके अलावा, कोई व्यक्ति एफ के ऊपर इकाई संबंधी बीजगणित आर पर शास्त्रीय समूहों पर विचार कर सकता है; जहां R = quatermion|'H' (वास्तविकता पर एक बीजगणित) एक महत्वपूर्ण मामले का प्रतिनिधित्व करता है। व्यापकता के लिए लेख आर से ऊपर के समूहों को संदर्भित करेगा, जहां आर ग्राउंड फ़ील्ड एफ ही हो सकता है।

उनके अमूर्त समूह सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, कई रैखिक समूहों में एक 'विशेष' उपसमूह होता है, जिसमें आमतौर पर जमीनी क्षेत्र के ऊपर निर्धारक 1 के तत्व शामिल होते हैं, और उनमें से अधिकांश में 'प्रक्षेप्य' भागफल जुड़े होते हैं, जो समूह के केंद्र द्वारा भागफल होते हैं। . विशेषता 2 में ऑर्थोगोनल समूहों के लिए S का एक अलग अर्थ है।

किसी समूह के नाम के आगे 'सामान्य' शब्द का आम तौर पर मतलब यह होता है कि समूह को किसी प्रकार के रूप को स्थिर छोड़ने के बजाय उसे किसी स्थिरांक से गुणा करने की अनुमति है। सबस्क्रिप्ट n आमतौर पर मॉड्यूल (बीजगणित) के आयाम को इंगित करता है जिस पर समूह कार्य कर रहा है; यदि R==F है तो यह एक सदिश समष्टि है। चेतावनी: यह अंकन कुछ हद तक डायनकिन आरेखों के n से टकराता है, जो कि रैंक है।

सामान्य और विशेष रैखिक समूह

सामान्य रैखिक समूह जी.एल_n(आर) आर के सभी आर-रैखिक ऑटोमोर्फिज्म का समूह हैⁿ. एक उपसमूह है: विशेष रैखिक समूह एसएल_n(आर), और उनके भागफल: प्रक्षेप्य सामान्य रैखिक समूह पीजीएल_n(र) = गल_n(आर)/जेड(जीएल)_n(आर)) और प्रक्षेप्य विशेष रैखिक समूह पीएसएल_n(आर) = एसएल_n(आर)/जेड(एसएल)_n(आर))। प्रक्षेप्य विशेष रैखिक समूह पीएसएल_n(एफ) फ़ील्ड एफ पर एन ≥ 2 के लिए सरल है, दो मामलों को छोड़कर जब एन = 2 और फ़ील्ड में ऑर्डर है 2 या 3.

एकात्मक समूह

एकात्मक समूह यू_n(आर) एक मॉड्यूल पर सेसक्विलिनियर फॉर्म को संरक्षित करने वाला एक समूह है। एक उपसमूह है, विशेष एकात्मक समूह एसयू_n(आर) और उनके भागफल प्रक्षेप्य एकात्मक समूह पीयू_n(आर) = यू_n(आर)/जेड(यू_n(आर)) और प्रक्षेप्य विशेष एकात्मक समूह पीएसयू_n(आर) = उसका_n(आर)/जेड(एसयू)_n(आर))

सिम्प्लेक्टिक समूह

सहानुभूति समूह एस.पी_2n(आर) एक मॉड्यूल पर एक तिरछा सममित रूप बरकरार रखता है। इसका एक भागफल है, प्रक्षेप्य सहानुभूति समूह पीएसपी_2n(आर)। सामान्य सहानुभूति समूह जीएसपी_2n(आर) में एक मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज्म शामिल होते हैं जो एक तिरछे सममित रूप को कुछ उलटे स्केलर से गुणा करते हैं। प्रोजेक्टिव सिंपलेक्टिक ग्रुप पीएसपी_2n(एफ_q) पीएसपी के मामलों को छोड़कर, एक परिमित क्षेत्र पर n ≥ 1 के लिए सरल है₂ दो और तीन तत्वों के क्षेत्र पर।

ऑर्थोगोनल समूह

ऑर्थोगोनल समूह O_n(आर) एक मॉड्यूल पर एक गैर-पतित द्विघात रूप को संरक्षित करता है। एक उपसमूह है, विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO_n(आर) और भागफल, प्रक्षेप्य ऑर्थोगोनल समूह पीओ_n(आर), और प्रक्षेप्य विशेष ऑर्थोगोनल समूह पीएसओ_n(आर)। विशेषता 2 में निर्धारक हमेशा 1 होता है, इसलिए विशेष ऑर्थोगोनल समूह को अक्सर ऑर्थोगोनल समूह 1 के तत्वों के उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एक अनाम समूह है जिसे अक्सर Ω द्वारा दर्शाया जाता है_n(आर) संबंधित उपसमूह और भागफल समूहों SΩ के साथ, स्पिनर मानदंड 1 के तत्वों के ऑर्थोगोनल समूह के तत्वों से मिलकर बनता है_n(आर), पीΩ_n(आर), पीएसΩ_n(आर)। (वास्तविकताओं पर सकारात्मक निश्चित द्विघात रूपों के लिए, समूह Ω ऑर्थोगोनल समूह के समान होता है, लेकिन सामान्य तौर पर यह छोटा होता है।) Ω का दोहरा आवरण भी होता है_n(आर), जिसे पिन समूह पिन कहा जाता है_n(आर), और इसका एक उपसमूह है जिसे स्पिन समूह स्पिन कहा जाता है_n(आर)। सामान्य ऑर्थोगोनल समूह GO_n(आर) में कुछ व्युत्क्रमणीय अदिश द्वारा द्विघात रूप को गुणा करने वाले मॉड्यूल की ऑटोमोर्फिज्म शामिल है।

नोटेशनल कन्वेंशन

Further information: Group of Lie type § Notation issues

असाधारण झूठ समूहों के साथ तुलना करें

शास्त्रीय लाई समूहों के विपरीत असाधारण लाई समूह हैं, जी₂, एफ₄, और₆, और₇, और₈, जो अपने अमूर्त गुणों को साझा करते हैं, लेकिन अपनी परिचितता को नहीं। इन्हें केवल 1890 के आसपास विल्हेम हत्या और एली कार्टन द्वारा जटिल संख्याओं पर सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण में खोजा गया था।

संदर्भ

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