हैमिल्टनियन यांत्रिकी

सर विलियम रोवन हैमिल्टन

1833 में लैग्रैन्जियन यांत्रिकी के सुधार के रूप में हैमिल्टनियन यांत्रिकी का उदय हुआ। सर विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा प्रस्तुत, हैमिल्टनियन यांत्रिकी (सामान्यीकृत) वेगों को प्रतिस्थापित करता है ${\dot {q}}^{i}$ Lagrangian यांत्रिकी में (सामान्यीकृत) गति के साथ प्रयोग किया जाता है। दोनों सिद्धांत शास्त्रीय यांत्रिकी की व्याख्या प्रदान करते हैं और एक ही भौतिक घटना का वर्णन करते हैं।

हैमिल्टनियन यांत्रिकी का ज्यामिति के साथ घनिष्ठ संबंध है (विशेषकर, सहानुभूति ज्यामिति और पॉइसन संरचनाएं) और शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी के बीच हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण के रूप में कार्य करता है।

अवलोकन

चरण अंतरिक्ष निर्देशांक (पी, क्यू) और हैमिल्टनियन एच

होने देना $(M,{\mathcal {L}})$ विन्यास स्थान (भौतिकी) के साथ एक लैग्रैन्जियन यांत्रिकी बनें $M$ और चिकनी लग्रांगियन ${\mathcal {L}}.$ एक मानक समन्वय प्रणाली का चयन करें $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ पर $M.$ मात्रा $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ क्षण कहलाते हैं। (इसके अलावा सामान्यीकृत क्षण, संयुग्म गति, और विहित क्षण)। एक पल के लिए $t,$ द लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्मेशन#लीजेंडर ट्रांसफॉर्मेशन ऑन मैनिफोल्ड्स ${\mathcal {L}}$ मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\to \left({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}\right)$ जिसे एक चिकनी उलटा माना जाता है $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).$ के साथ एक प्रणाली के लिए $n$ स्वतंत्रता की डिग्री, Lagrangian यांत्रिकी ऊर्जा समारोह को परिभाषित करता है

$$E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}.$$

लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म का विलोम ${\mathcal {L}}$ मोड़ों $E_{\mathcal {L}}$ एक समारोह में ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)$ के रूप में जाना Hamiltonian. हैमिल्टनियन संतुष्ट करता है

$${\mathcal {H}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}},{\boldsymbol {q}},t\right)=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$$

जिसका अर्थ है कि

$${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t),$$

जहां वेग ${\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})$ से पाए जाते हैं ($n$-आयामी) समीकरण $\textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ जो, धारणा से, विशिष्ट रूप से हल करने योग्य है ${\boldsymbol {\dot {q}}}.$ ($2n$-आयामी) जोड़ी $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})$ चरण अंतरिक्ष निर्देशांक कहा जाता है। (विहित निर्देशांक भी)।

यूलर-लैग्रेंज समीकरण से हैमिल्टन के समीकरणों तक

चरण अंतरिक्ष में निर्देशांक $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),$ ($n$-आयामी) यूलर-लैग्रेंज समीकरण

$${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}=0$$

में हैमिल्टन के समीकरण बन जाते हैं $2n$ आयाम

{{Equation box 1

|indent =: |equation = Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected [, ;!_#%$&], [a-zA-Z], or [{}|] but "आ" found.in 2:55"): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{q}}{\mathrm{d}t} = \frac{\आंशिक \mathcal H}{\आंशिक \boldsymbol{p}},\quad \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\partial \mathcal H}{\आंशिक \boldsymbol{q}}। </गणित> |सेलपैडिंग= 5 |बॉर्डर |बॉर्डर रंग = #0073CF |पृष्ठभूमि रंग=#F5FFFA}} === स्थिर क्रिया सिद्धांत से हैमिल्टन के समीकरणों तक === होने देना <math> \mathcal P(a,b,\boldsymbol x_a,\boldsymbol x_b)} सुगम पथों का समूह बनो ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M$ जिसके लिए ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ तथा ${\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.$ क्रिया (भौतिकी) ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ के माध्यम से परिभाषित किया गया है

$${\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)\,dt,$$

कहाँ पे ${\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t),$ तथा ${\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}$ (ऊपर देखो)। एक मार्ग ${\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ का एक लैग्रैंगियन यांत्रिकी है ${\mathcal {S}}$ (और इसलिए गति का समीकरण है) यदि और केवल यदि पथ $({\boldsymbol {p}}(t),{\boldsymbol {q}}(t))$ फेज स्पेस में निर्देशांक हैमिल्टन के समीकरणों का पालन करते हैं।

बुनियादी भौतिक व्याख्या

हैमिल्टनियन यांत्रिकी की एक सरल व्याख्या द्रव्यमान के एक कण से मिलकर एक आयामी प्रणाली पर इसके अनुप्रयोग से आती है m. मूल्य $H(p,q)$ हैमिल्टनियन प्रणाली की कुल ऊर्जा है, यानी गतिज ऊर्जा और संभावित ऊर्जा का योग, पारंपरिक रूप से निरूपित T तथा V, क्रमश। यहां p गति है mv तथा q अंतरिक्ष समन्वय है। फिर

$${\mathcal {H}}=T+V\quad ,\quad T={\frac {p^{2}}{2m}}\quad ,\quad V=V(q)$$

T का एक कार्य है p अकेले, जबकि V का एक कार्य है q अकेले (यानी, T तथा V स्क्लेरोनोमिक हैं)।

इस उदाहरण में, का समय व्युत्पन्न q वेग है, और इसलिए पहले हैमिल्टन समीकरण का अर्थ है कि कण का वेग उसकी गति के संबंध में उसकी गतिज ऊर्जा के व्युत्पन्न के बराबर होता है। संवेग का समय व्युत्पन्न p न्यूटनियन बल के बराबर है, और इसलिए दूसरे हैमिल्टन समीकरण का अर्थ है कि बल स्थितिज ऊर्जा की ऋणात्मक प्रवणता के बराबर है।

उदाहरण

Main article: Spherical pendulum

एक गोलाकार लोलक में एक द्रव्यमान m होता है जो एक गोले की सतह पर बिना घर्षण के गतिमान होता है। द्रव्यमान पर कार्य करने वाले एकमात्र बल गोले और गुरुत्वाकर्षण से प्रतिक्रिया (भौतिकी) हैं। गोलाकार निर्देशांक का उपयोग (आर, , φ) के संदर्भ में द्रव्यमान की स्थिति का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जहां r निश्चित है, r = l.

300x300px: कोण और वेग।

इस प्रणाली के लिए लग्रांगियन है

$$L={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgl\cos \theta .$$

इस प्रकार हैमिल्टनियन है

$$H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L$$

कहाँ पे

$$P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}{\dot {\theta }}$$

तथा

$$P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}.$$

निर्देशांक और गति के संदर्भ में, हैमिल्टनियन पढ़ता है

$$H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mgl\cos \theta {\Big ]}} _{V}={\frac {P_{\theta }^{2}}{2ml^{2}}}+{\frac {P_{\phi }^{2}}{2ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta$$

हैमिल्टन के समीकरण चार प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों में निर्देशांक और संयुग्मी संवेग का समय विकास देते हैं,

$${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over ml^{2}}\\{\dot {\phi }}&={P_{\phi } \over ml^{2}\sin ^{2}\theta }\\{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\phi }^{2} \over ml^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mgl\sin \theta \\{\dot {P_{\phi }}}&=0.\end{aligned}}$$

गति $P_{\phi }$, जो कोणीय गति के ऊर्ध्वाधर घटक से मेल खाती है $L_{z}=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}$, गति का एक स्थिरांक है। यह ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर प्रणाली की घूर्णी समरूपता का परिणाम है। हैमिल्टनियन से अनुपस्थित होने के कारण, azimuth $\phi$ एक चक्रीय निर्देशांक है, जिसका तात्पर्य इसके संयुग्मी संवेग के संरक्षण से है।

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हैमिल्टन के समीकरणों को लैग्रेंजियन यांत्रिकी के साथ एक गणना द्वारा प्राप्त किया जा सकता है ${\mathcal {L}}$, सामान्यीकृत स्थिति qⁱ, और सामान्यीकृत वेग q̇ⁱ, कहाँ पे $i=1,\ldots ,n$. यहां हम शेल और ऑफ शेल पर काम करते हैं|ऑफ-शेल, अर्थ $q^{i},{\dot {q}}^{i},t$ चरण स्थान में स्वतंत्र निर्देशांक हैं, गति के किसी भी समीकरण का पालन करने के लिए बाध्य नहीं हैं (विशेष रूप से, ${\dot {q}}^{i}$ का व्युत्पन्न नहीं है $q^{i}$) लग्रांगियन का कुल अंतर है:

$$\mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\ .$$

सामान्यीकृत गति निर्देशांक के रूप में परिभाषित किया गया था $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}$, इसलिए हम समीकरण को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

$${\begin{array}{rcl}\mathrm {d} {\mathcal {L}}&=&\displaystyle \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\\&=&\displaystyle \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} (p_{i}{\dot {q}}^{i})-{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\,.\end{array}}$$

पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, एक प्राप्त होता है:

$$\mathrm {d} \!\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\ .$$

बाईं ओर कोष्ठक में शब्द केवल हैमिल्टनियन है ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$ इसलिए पहले परिभाषित किया गया है:

$$\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\ .$$

कोई भी हैमिल्टनियन के कुल अंतर की गणना कर सकता है ${\mathcal {H}}$ निर्देशांक के संबंध में $q^{i},p_{i},t$ के बजाय $q^{i},{\dot {q}}^{i},t$, उपज:

$$\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\ .$$

कोई अब इन दो भावों की बराबरी कर सकता है $d{\mathcal {H}}$, के संदर्भ में एक ${\mathcal {L}}$, दूसरे के संदर्भ में ${\mathcal {H}}$:

$$\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\ =\ \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\ .$$

चूंकि ये गणनाएं ऑफ-शेल हैं, इसलिए कोई भी के संबंधित गुणांकों की बराबरी कर सकता है $\mathrm {d} q^{i},\mathrm {d} p_{i},\mathrm {d} t$ दोनों पक्षों पर:

$${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\ .$$

ऑन-शेल, पैरामीट्रिक फ़ंक्शंस को प्रतिस्थापित करता है $q^{i}=q^{i}(t)$ जो वेग के साथ चरण अंतरिक्ष में एक प्रक्षेपवक्र को परिभाषित करता है ${\textstyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$, यूलर-लैग्रेंज समीकरण का पालन करना | लैग्रेंज के समीकरण:

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0\ .$$

ऑन-शेल के संदर्भ में पुनर्व्यवस्थित करना और लिखना $p_{i}=p_{i}(t)$ देता है:

$${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}\ .$$

इस प्रकार लैग्रेंज के समीकरण हैमिल्टन के समीकरणों के बराबर हैं:

$${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,.$$

समय-स्वतंत्र होने के मामले में ${\mathcal {H}}$ तथा ${\mathcal {L}}$, अर्थात। $\partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0$, हैमिल्टन के समीकरणों से मिलकर बनता है 2n प्रथम-क्रम अंतर समीकरण , जबकि लैग्रेंज के समीकरणों में शामिल हैं n दूसरे क्रम के समीकरण। हैमिल्टन के समीकरण आमतौर पर स्पष्ट समाधान खोजने की कठिनाई को कम नहीं करते हैं, लेकिन महत्वपूर्ण सैद्धांतिक परिणाम उनसे प्राप्त किए जा सकते हैं, क्योंकि निर्देशांक और गति लगभग सममित भूमिकाओं के साथ स्वतंत्र चर हैं।

लैग्रेंज के समीकरणों पर हैमिल्टन के समीकरणों का एक और फायदा है: यदि एक प्रणाली में एक समरूपता है, ताकि कुछ समन्वय हो $q_{i}$ हैमिल्टनियन (अर्थात एक चक्रीय निर्देशांक) में नहीं होता है, संबंधित संवेग निर्देशांक $p_{i}$ प्रत्येक प्रक्षेपवक्र के साथ संरक्षित है, और उस समन्वय को सेट के अन्य समीकरणों में एक स्थिरांक तक कम किया जा सकता है। यह समस्या को प्रभावी रूप से कम करता है n निर्देशांक करता है (n − 1) निर्देशांक: यह ज्यामिति में सहानुभूति में कमी का आधार है। लैग्रैन्जियन ढांचे में, संवेग का संरक्षण भी तुरंत अनुसरण करता है, हालांकि सभी सामान्यीकृत वेग ${\dot {q}}_{i}$ अभी भी लैग्रैन्जियन में होता है, और समीकरणों की एक प्रणाली में n निर्देशांक अभी भी हल किया जाना है। लैग्रेंजियन और हैमिल्टनियन दृष्टिकोण शास्त्रीय यांत्रिकी में गहन परिणामों के लिए आधारभूत कार्य प्रदान करते हैं, और क्वांटम यांत्रिकी में समान फॉर्मूलेशन का सुझाव देते हैं: पथ अभिन्न सूत्रीकरण और श्रोडिंगर समीकरण।

हैमिल्टनियन एच के गुण

• हैमिल्टनियन का मूल्य ${\mathcal {H}}$ प्रणाली की कुल ऊर्जा है यदि और केवल यदि ऊर्जा कार्य करती है $E_{\mathcal {L}}$ एक ही संपत्ति है। (की परिभाषा देखें ${\mathcal {H}}).$
• ${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ जब $\mathbf {p} (t),\mathbf {q} (t)$ हैमिल्टन के समीकरणों का हल बनाते हैं।
  वास्तव में, ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$ और सब कुछ लेकिन अंतिम कार्यकाल रद्द हो जाता है।
• ${\mathcal {H}}$ बिंदु परिवर्तन के तहत नहीं बदलता है, अर्थात। सहज परिवर्तन ${\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}$ अंतरिक्ष निर्देशांक के। (ऊर्जा फ़ंक्शन के अपरिवर्तन से अनुसरण करता है $E_{\mathcal {L}}$ बिंदु परिवर्तन के तहत। का अपरिवर्तन $E_{\mathcal {L}}$ सीधे स्थापित किया जा सकता है)।
• ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.$ (देखें हैमिल्टन के समीकरण व्युत्पन्न करना)।
• $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}.$ (हैमिल्टन और यूलर-लैग्रेंज समीकरणों की तुलना करें या व्युत्पन्न हैमिल्टन के समीकरण देखें)।
• ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0$ अगर और केवल अगर ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0.$
  एक निर्देशांक जिसके लिए अंतिम समीकरण धारण करता है उसे चक्रीय (या अनदेखा करने योग्य) कहा जाता है। प्रत्येक चक्रीय निर्देशांक $q^{i}$ स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को कम करता है $1,$ संगत गति का कारण बनता है $p_{i}$ संरक्षित करने के लिए, और हैमिल्टन के समीकरणों को हल करने के लिए रूथियन यांत्रिकी बनाता है।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कण का हैमिल्टनियन

हैमिल्टनियन यांत्रिकी का एक पर्याप्त उदाहरण एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में एक आवेशित कण के हैमिल्टन द्वारा दिया गया है। कार्टेशियन में लैग्रेंजियन यांत्रिकी का समन्वय करता है# एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में एक गैर-सापेक्ष शास्त्रीय कण का विद्युत चुंबकत्व है (एसआई इकाइयों में):

$${\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi$$

कहाँ पे q कण का विद्युत आवेश है, φ विद्युत क्षमता है, और A_i चुंबकीय वेक्टर क्षमता के घटक हैं जो सभी पर स्पष्ट रूप से निर्भर हो सकते हैं $x_{i}$ तथा $t$.

यूलर-लैग्रेंज समीकरण के साथ संयुक्त यह लैग्रेंजियन, लोरेंत्ज़ बल कानून का उत्पादन करता है

$$m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,$$

और न्यूनतम युग्मन कहा जाता है।

ध्यान दें कि स्केलर क्षमता और वेक्टर क्षमता के मान गेज फिक्सिंग के दौरान बदल जाएंगे, और Lagrangian स्वयं अतिरिक्त शर्तें भी लेगा; लेकिन Lagrangian में अतिरिक्त शब्द एक अदिश फलन के कुल समय व्युत्पन्न को जोड़ते हैं, और इसलिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण को नहीं बदलेगा।

विहित क्षण इसके द्वारा दिए गए हैं:

$$p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}$$

ध्यान दें कि कैनोनिकल मोमेंटा गेज इनवेरिएंस नहीं हैं, और शारीरिक रूप से मापने योग्य नहीं हैं। हालांकि, गतिज गति :

$$P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}$$

गेज अपरिवर्तनीय और शारीरिक रूप से मापने योग्य है।

हैमिल्टनियन, लैग्रैन्जियन के लीजेंड्रे परिवर्तन के रूप में, इसलिए है:

$${\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi$$

यह समीकरण अक्सर क्वांटम यांत्रिकी में प्रयोग किया जाता है।

गेज परिवर्तन के तहत:

$$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,$$

कहाँ पे f(r, t) अंतरिक्ष और समय का कोई भी अदिश कार्य है, उपरोक्त लैग्रैन्जियन, कैनोनिकल मोमेंटा, और हैमिल्टनियन रूपांतरण जैसे:

$$L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,$$

जो अभी भी वही हैमिल्टन समीकरण उत्पन्न करता है:

$${\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}$$

क्वांटम यांत्रिकी में, तरंग फ़ंक्शन एक टोपोलॉजिकल समूह U(1) समूह परिवर्तन से भी गुजरेगा गेज परिवर्तन के दौरान, जिसका अर्थ है कि सभी भौतिक परिणाम स्थानीय यू (1) परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय होने चाहिए।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में सापेक्षिक आवेशित कण

एक कण के लिए सापेक्षवादी लग्रांगियन यांत्रिकी (अपरिवर्तनीय द्रव्यमान $m$ और इलेक्ट्रिक चार्ज $q$) द्वारा दिया गया है:

$${\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)$$

इस प्रकार कण का विहित संवेग है

$$\mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A}$$

अर्थात् गतिज संवेग और स्थितिज संवेग का योग।

वेग के लिए हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$${\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}$$

तो हैमिल्टनियन है

$${\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi$$

इसका परिणाम बल समीकरण में होता है (यूलर-लैग्रेंज समीकरण के बराबर)

$${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi$$

जिससे कोई प्राप्त कर सकता है

$${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}$$

उपरोक्त व्युत्पत्ति वेक्टर कैलकुलस पहचान # डॉट उत्पाद नियम का उपयोग करती है:

$${\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} ).$$

सापेक्षतावादी (गतिज) गति के कार्य के रूप में हैमिल्टनियन के लिए एक समान अभिव्यक्ति, $\mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A}$, है

$${\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V$$

इसका यह लाभ है कि गतिज संवेग $\mathbf {P}$ प्रयोगात्मक रूप से मापा जा सकता है जबकि विहित गति $\mathbf {p}$ नही सकता। ध्यान दें कि हैमिल्टनियन (कुल ऊर्जा ) को गतिज ऊर्जा के योग के रूप में देखा जा सकता है#कठोर पिंडों की सापेक्ष गतिज ऊर्जा|सापेक्ष ऊर्जा (गतिज + आराम), $E=\gamma mc^{2}$, साथ ही संभावित ऊर्जा, $V=q\varphi$.

सहानुभूति ज्यामिति से हैमिल्टन के समीकरणों तक

हैमिल्टनियन प्रणालियों की ज्यामिति

हैमिल्टनियन एक चिकनी मैनिफोल्ड पर एक सहानुभूति संरचना को प्रेरित कर सकता है | चिकनी सम-आयामी मैनिफोल्ड M²ⁿ कई समकक्ष तरीकों से, सबसे अच्छा ज्ञात निम्नलिखित है: एक बंद विभेदक रूप के रूप में नॉनडीजेनरेट फॉर्म सहानुभूतिपूर्ण रूप 2-प्रपत्र । डारबौक्स के प्रमेय के अनुसार, किसी भी बिंदु के आसपास एक छोटे से पड़ोस में M उपयुक्त स्थानीय निर्देशांक मौजूद हैं $p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}$ (विहित निर्देशांक या सहानुभूति निर्देशांक) जिसमें सहानुभूति रूप बन जाता है:

$$\omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}\,.$$

फार्म $\omega$ [[ स्पर्शरेखा स्थान ]] के साथ स्पर्शरेखा स्थान के एक प्राकृतिक समरूपता को प्रेरित करता है: $T_{x}M\cong T_{x}^{*}M.$ यह एक वेक्टर का मानचित्रण करके किया जाता है $\xi \in T_{x}M$ 1-फॉर्म के लिए $\omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,$ कहाँ पे $\omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi )$ सभी के लिए $\eta \in T_{x}M.$ के द्विरेखीय रूप और गैर-अपक्षयी होने के कारण $\omega ,$ और तथ्य यह है कि $\dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M,$ मानचित्रण $\xi \to \omega _{\xi }$ वास्तव में एक रैखिक समरूपता है। यह समरूपता इस मायने में स्वाभाविक है कि यह निर्देशांक के परिवर्तन के साथ नहीं बदलता है $M.$ सब पर दोहराना $x\in M,$ हम एक समरूपता के साथ समाप्त होते हैं $J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)$ चिकने सदिश क्षेत्रों के अनंत-आयामी स्थान और चिकने 1-रूपों के बीच। हरएक के लिए $f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ तथा $\xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),$

$$J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).$$

(बीजगणितीय शब्दों में, कोई यह कहेगा कि $C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$-मॉड्यूल ${\text{Vect}}(M)$ तथा $\Omega ^{1}(M)$ आइसोमॉर्फिक हैं)। यदि $H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),$ फिर, हर निश्चित . के लिए $t\in \mathbb {R} _{t},$ $dH\in \Omega ^{1}(M),$ तथा $J(dH)\in {\text{Vect}}(M).$ $J(dH)$ हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। पर संबंधित अंतर समीकरण $M$

$${\dot {x}}=J(dH)(x)$$

कहा जाता है Hamilton's equation. यहां $x=x(t)$ तथा $J(dH)(x)\in T_{x}M$ सदिश क्षेत्र का (समय-निर्भर) मान है $J(dH)$ पर $x\in M.$ हैमिल्टनियन प्रणाली को फाइबर बंडल के रूप में समझा जा सकता है E अधिक समय तक R, स्तर सेट के साथ E_t समय पर स्थिति स्थान होने के नाते t ∈ R. लैग्रेंजियन इस प्रकार जेट बंडल पर एक फलन है J ऊपर E; लैग्रेंजियन के फाइबरवाइज लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म को लेने से समय के साथ दोहरे बंडल पर एक फ़ंक्शन उत्पन्न होता है जिसका फाइबर t कोटैंजेंट स्पेस है T^∗E_t, जो एक प्राकृतिक सहानुभूति रूप से सुसज्जित है, और यह बाद वाला कार्य हैमिल्टनियन है। लैग्रैन्जियन और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के बीच पत्राचार को टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म के साथ हासिल किया जाता है।

कोई भी सुचारू कार्य वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन H एक सहानुभूति कई गुना पर एक हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। कार्यक्रम H हैमिल्टनियन या ऊर्जा कार्य के रूप में जाना जाता है। सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड को तब फेज स्पेस कहा जाता है। हैमिल्टनियन सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड पर एक विशेष सहानुभूति वेक्टर क्षेत्र को प्रेरित करता है, जिसे हैमिल्टनियन वेक्टर फील्ड के रूप में जाना जाता है।

हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र कई गुना पर हैमिल्टनियन प्रवाह को प्रेरित करता है। यह कई गुना के परिवर्तनों का एक-पैरामीटर परिवार है (वक्रों के पैरामीटर को आमतौर पर समय कहा जाता है); दूसरे शब्दों में, एक समरूपता#समरूपता का समस्थानिक, पहचान से शुरू होता है। लिउविल के प्रमेय (हैमिल्टनियन) | लिउविल के प्रमेय द्वारा, प्रत्येक सिम्प्लेक्सोमोर्फिज्म चरण स्थान पर वॉल्यूम फॉर्म को संरक्षित करता है। हैमिल्टनियन प्रवाह द्वारा प्रेरित सिम्पलेक्टोमोर्फिज्म के संग्रह को आमतौर पर हैमिल्टनियन प्रणाली के हैमिल्टनियन यांत्रिकी कहा जाता है।

सहानुभूति संरचना एक पॉइज़न ब्रैकेट को प्रेरित करती है। पोइसन ब्रैकेट एक झूठ बीजगणित की संरचना में कई गुना कार्यों की जगह देता है।

यदि F तथा G सुचारू कार्य कर रहे हैं M फिर सुचारू कार्य ω²(IdG, IdF) ठीक से परिभाषित किया गया है; इसे कार्यों का पॉइसन ब्रैकेट कहा जाता है F तथा G और निरूपित है {F, G}. पोइसन ब्रैकेट में निम्नलिखित गुण हैं:

1. द्विरेखीयता
2. एंटीसिमेट्री
3. प्रॉडक्ट नियम : $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$
4. जैकोबी पहचान : $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$
5. गैर-अपमानजनक: यदि बिंदु x पर M के लिए महत्वपूर्ण नहीं है F फिर एक सुचारू कार्य G मौजूद है कि $\{F,G\}(x)\neq 0$.

एक समारोह दिया f

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},$$

यदि कोई संभाव्यता वितरण है ρ, तब (चरण अंतरिक्ष वेग के बाद से $({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})$ शून्य विचलन है और संभावना संरक्षित है) इसके संवहनी व्युत्पन्न को शून्य दिखाया जा सकता है और इसलिए

$${\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}$$

इसे लिउविल का प्रमेय (हैमिल्टनियन) | लिउविल का प्रमेय कहा जाता है। हर सुचारू कार्य G सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड से अधिक सिम्पलेक्टोमोर्फिज्म का एक-पैरामीटर परिवार उत्पन्न होता है और यदि {G, H} = 0, फिर G संरक्षित है और symplectomorphisms समरूपता परिवर्तन हैं।

एक हैमिल्टनियन में कई संरक्षित मात्राएँ हो सकती हैं G_i. यदि सहानुभूति मैनिफोल्ड का आयाम है 2n और वहाँ है n कार्यात्मक रूप से स्वतंत्र संरक्षित मात्रा G_i जो शामिल हैं (अर्थात, {G_i, G_j} = 0), तो हैमिल्टनियन लिउविल इंटीग्रेबिलिटी है। लिउविल-अर्नोल्ड प्रमेय का कहना है कि, स्थानीय रूप से, किसी भी लिउविल इंटीग्रेबल हैमिल्टनियन को सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के माध्यम से संरक्षित मात्रा के साथ एक नए हैमिल्टनियन में परिवर्तित किया जा सकता है। G_i निर्देशांक के रूप में; नए निर्देशांक क्रिया-कोण निर्देशांक कहलाते हैं। रूपांतरित हैमिल्टनियन केवल पर निर्भर करता है G_i, और इसलिए गति के समीकरणों का सरल रूप होता है

$${\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)$$

किसी समारोह के लिए F. KAM प्रमेय द्वारा शासित इंटीग्रेबल सिस्टम से छोटे विचलन पर ध्यान केंद्रित करने वाला एक संपूर्ण क्षेत्र है।

हैमिल्टन के सदिश क्षेत्रों की समाकलनीयता एक खुला प्रश्न है। सामान्य तौर पर, हैमिल्टनियन सिस्टम अराजकता सिद्धांत हैं; माप, पूर्णता, अभिन्नता और स्थिरता की अवधारणाओं को खराब रूप से परिभाषित किया गया है।

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स

एक महत्वपूर्ण विशेष मामले में वे हैमिल्टनियन शामिल होते हैं जो द्विघात रूप होते हैं, अर्थात हैमिल्टनियन जिन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है

$${\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}$$

कहाँ पे ⟨ , ⟩_q फाइबर बंडल पर एक सुचारू रूप से भिन्न आंतरिक उत्पाद है T^∗
_qQ, बिंदु को स्पर्शरेखा स्थान q कॉन्फ़िगरेशन स्पेस (भौतिकी) में, जिसे कभी-कभी कॉमेट्रिक कहा जाता है। यह हैमिल्टनियन पूरी तरह से गतिज शब्द से बना है।

यदि कोई रिमेंनियन मैनिफोल्ड या [[ छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड ]] पर विचार करता है, तो मीट्रिक टेंसर स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट बंडलों के बीच एक रैखिक समरूपता को प्रेरित करता है। (संगीत समरूपता देखें)। इस समरूपता का उपयोग करके, कोई एक हास्य को परिभाषित कर सकता है। (निर्देशांक में, मैट्रिक्स को परिभाषित करने वाला मैट्रिक्स मीट्रिक को परिभाषित करने वाले मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है।) इस हैमिल्टन के लिए हैमिल्टन-जैकोबी समीकरणों के समाधान तब कई गुना पर भूगणित ्स के समान होते हैं। विशेष रूप से, इस मामले में हैमिल्टनियन प्रवाह भूगर्भीय प्रवाह के समान ही है। इस तरह के समाधानों के अस्तित्व और समाधानों के सेट की पूर्णता पर, भूगर्भ विज्ञान पर लेख में विस्तार से चर्चा की गई है। जिओडेसिक्स को हैमिल्टनियन प्रवाह के रूप में भी देखें।

उप-रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स

जब कॉमेट्रिक पतित होता है, तो यह उलटा नहीं होता है। इस मामले में, किसी के पास रीमैनियन मैनिफोल्ड नहीं है, क्योंकि किसी के पास मीट्रिक नहीं है। हालांकि, हैमिल्टनियन अभी भी मौजूद है। मामले में जहां हास्य हर बिंदु पर पतित है q विन्यास स्थान के कई गुना Q, ताकि हास्य की रैंक (रैखिक बीजगणित) मैनिफोल्ड के आयाम से कम हो Q, एक उप-रिमेंनियन मैनिफोल्ड है।

इस मामले में हैमिल्टनियन को उप-रिमैनियन हैमिल्टनियन के रूप में जाना जाता है। ऐसा हर हैमिल्टन विशिष्ट रूप से हास्य निर्धारित करता है, और इसके विपरीत। इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक उप-रिमेंनियन मैनिफोल्ड अपने उप-रिमेंनियन हैमिल्टनियन द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, और यह कि विलोम सत्य है: प्रत्येक उप-रिमेंनियन मैनिफोल्ड में एक अद्वितीय उप-रिमैनियन हैमिल्टनियन होता है। उप-रिमेंनियन जियोडेसिक्स का अस्तित्व चाउ-राशेव्स्की प्रमेय द्वारा दिया गया है।

निरंतर, वास्तविक-मूल्यवान हाइजेनबर्ग समूह उप-रिमेंनियन मैनिफोल्ड का एक सरल उदाहरण प्रदान करता है। हाइजेनबर्ग समूह के लिए, हैमिल्टनियन द्वारा दिया गया है

$${\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right).$$

p_z हैमिल्टन में शामिल नहीं है।

पॉसों बीजगणित

हैमिल्टनियन प्रणालियों को विभिन्न तरीकों से सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक सहानुभूति मैनिफोल्ड पर चिकनी कार्यों के सहयोगी बीजगणित को देखने के बजाय, हैमिल्टनियन यांत्रिकी को सामान्य विनिमेय यूनिटल बीजगणित वास्तविक संख्या पॉइसन अल्जेब्रा पर तैयार किया जा सकता है। एक राज्य (कार्यात्मक विश्लेषण) पॉइसन बीजगणित (कुछ उपयुक्त टोपोलॉजिकल स्पेस से लैस) पर एक निरंतरता (टोपोलॉजी) रैखिक कार्यात्मक है जैसे कि किसी भी तत्व के लिए A बीजगणित का, A² एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या के लिए मानचित्र।

एक और सामान्यीकरण नंबू गतिकी द्वारा दिया गया है।

पोइसन ब्रैकेट के माध्यम से क्वांटम यांत्रिकी का सामान्यीकरण

ऊपर दिए गए हैमिल्टन के समीकरण शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए अच्छी तरह से काम करते हैं, लेकिन क्वांटम यांत्रिकी के लिए नहीं, क्योंकि चर्चा किए गए अंतर समीकरण यह मानते हैं कि कोई भी समय में किसी भी समय कण की सटीक स्थिति और गति को एक साथ निर्दिष्ट कर सकता है। हालाँकि, समीकरणों को और अधिक सामान्यीकृत किया जा सकता है, ताकि पोइसन बीजगणित के विरूपण के माध्यम से क्वांटम यांत्रिकी के साथ-साथ शास्त्रीय यांत्रिकी पर भी लागू किया जा सके। p तथा q Moyal कोष्ठक के बीजगणित के लिए।

विशेष रूप से, हैमिल्टन के समीकरण का अधिक सामान्य रूप पढ़ता है

$${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}$$

कहाँ पे f का कुछ कार्य है p तथा q, तथा H हैमिल्टनियन है। अवकल समीकरणों का सहारा लिए बिना पॉइसन कोष्ठक के मूल्यांकन के नियमों को जानने के लिए, लाई अलजेब्रा देखें; पॉसों बीजगणित में लाई ब्रैकेट के लिए एक पॉइसन ब्रैकेट नाम है। इन पोइसन कोष्ठकों को तब एक असमान लाई बीजगणित के अनुरूप मोयल कोष्ठक तक बढ़ाया जा सकता है, जैसा कि हिलब्रांड जे। ग्रोएनवॉल्ड द्वारा सिद्ध किया गया है, और इस तरह चरण स्थान में क्वांटम यांत्रिक प्रसार का वर्णन करता है (चरण स्थान निर्माण और विग्नर-वेइल ट्रांसफ़ॉर्म देखें)। यह अधिक बीजगणितीय दृष्टिकोण न केवल विग्नर अर्ध-संभाव्यता वितरण के लिए चरण स्थान में संभाव्यता वितरण को विस्तारित करने की अनुमति देता है, बल्कि, केवल पॉइसन ब्रैकेट शास्त्रीय सेटिंग में, सिस्टम में प्रासंगिक संरक्षित मात्रा का विश्लेषण करने में मदद करने में अधिक शक्ति प्रदान करता है।

यह भी देखें

• विहित परिवर्तन
• शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत
• हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत
• सहसंयोजक हैमिल्टनियन क्षेत्र सिद्धांत
• शास्त्रीय यांत्रिकी
• गतिशील प्रणाली सिद्धांत
• हैमिल्टनियन प्रणाली
• हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण
• हैमिल्टन-जैकोबी-आइंस्टीन समीकरण
• लग्रांगियन यांत्रिकी
• मैक्सवेल के समीकरण
• हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)
• क्वांटम विशेषताओं की विधि | क्वांटम हैमिल्टन के समीकरण
• क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
• हैमिल्टनियन प्रकाशिकी
• डी डोंडर-वेयल सिद्धांत
• ज्यामितीय यांत्रिकी
• रूथियन यांत्रिकी
• नम्बू यांत्रिकी
• हैमिल्टनियन द्रव यांत्रिकी
• हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र

अग्रिम पठन

• Landau, Lev Davidovich; Lifshitz, Evgenii Mikhailovich (1976). Mechanics. Course of Theoretical Physics. Vol. 1. Sykes, J. B. (John Bradbury), Bell, J. S. (3rd ed.). Oxford. ISBN 0-08-021022-8. OCLC 2591126.
• Abraham, R.; Marsden, J.E. (1978). Foundations of mechanics (2d ed., rev., enl., and reset ed.). Reading, Mass.: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-0102-X. OCLC 3516353.
• Arnol'd, V. I.; Kozlov, V. V.; Neĩshtadt, A. I. (1988). "Mathematical aspects of classical and celestial mechanics". Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Dynamical Systems III. Vol. 3. Anosov, D. V. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-17002-2. OCLC 16404140.
• Arnol'd, V. I. (1989). Mathematical methods of classical mechanics (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. OCLC 18681352.
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles P. Jr.; Safko, John L. (2002). Classical mechanics (3rd ed.). San Francisco: Addison Wesley. ISBN 0-201-31611-0. OCLC 47056311.
• Vinogradov, A. M.; Kupershmidt, B A (1977-08-31). "The structure of Hamiltonian mechanics". Russian Mathematical Surveys. 32 (4): 177–243. Bibcode:1977RuMaS..32..177V. doi:10.1070/RM1977v032n04ABEH001642. ISSN 0036-0279. S2CID 250805957.

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• एकात्मक बीजगणित
• साहचर्य बीजगणित
• मोयल ब्रैकेट
• चरण अंतरिक्ष सूत्रीकरण
• संख्या यांत्रिकी

बाहरी संबंध

• Binney, James J., Classical Mechanics (lecture notes) (PDF), University of Oxford, retrieved 27 October 2010
• Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes), University of Cambridge, retrieved 27 October 2010
• Hamilton, William Rowan, On a General Method in Dynamics, Trinity College Dublin