हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)

क्वांटम यांत्रिकी में, एक प्रणाली का हैमिल्टन एक ऑपरेटर (भौतिकी) है जो उस प्रणाली की कुल ऊर्जा के अनुरूप है, जिसमें गतिज ऊर्जा और संभावित ऊर्जा दोनों शामिल हैं। एक ऑपरेटर का इसका स्पेक्ट्रम, सिस्टम का एनर्जी स्पेक्ट्रम या इसके एनर्जी ईजेनवेल्यूज का सेट, सिस्टम की कुल ऊर्जा के माप से प्राप्त होने वाले संभावित परिणामों का सेट है। ऊर्जा स्पेक्ट्रम और समय-विकास संचालिका | प्रणाली के समय-विकास से इसके घनिष्ठ संबंध के कारण, यह क्वांटम यांत्रिकी के अधिकांश गणितीय सूत्रीकरण में मौलिक महत्व का है।

हैमिल्टनियन का नाम विलियम रोवन हैमिल्टन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने न्यूटनियन यांत्रिकी के एक क्रांतिकारी सुधार को विकसित किया, जिसे हैमिल्टनियन यांत्रिकी के रूप में जाना जाता है, जो क्वांटम भौतिकी के विकास के लिए ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण था। सदिश संकेतन के समान, इसे विशिष्ट रूप से निरूपित किया जाता है ${\hat {H}}$, जहां टोपी इंगित करती है कि यह एक संचालिका है। इसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है $H$ या ${\check {H}}$.

परिचय

Main article: Operator (physics) § Operators in quantum mechanics

सिस्टम का हैमिल्टन सिस्टम की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है; अर्थात्, सिस्टम से जुड़े सभी कणों की गतिज और संभावित ऊर्जाओं का योग। हैमिल्टनियन अलग-अलग रूप लेता है और कुछ मामलों में विश्लेषण के तहत प्रणाली की ठोस विशेषताओं को ध्यान में रखते हुए सरल किया जा सकता है, जैसे सिस्टम में एकल या कई कण, कणों के बीच बातचीत, संभावित ऊर्जा का प्रकार, समय की बदलती क्षमता या समय स्वतंत्र एक।

श्रोडिंगर हैमिल्टनियन

एक कण

शास्त्रीय यांत्रिकी के अनुरूप, हैमिल्टन को आमतौर पर गतिज ऊर्जा और एक प्रणाली की संभावित ऊर्जा ऊर्जा के अनुरूप हर्मिटियन संचालक के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है

$${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},$$

कहां

$${\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t),$$

संभावित ऊर्जा ऑपरेटर है और

$${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},$$

जिसमें गतिज ऊर्जा संचालिका है $m$ कण का द्रव्यमान है, डॉट वैक्टर के डॉट उत्पाद को दर्शाता है, और

$${\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,$$

संवेग संचालक है जहाँ a $\nabla$ डेल ऑपरेटर (गणित) है। का डॉट उत्पाद $\nabla$ स्वयं के साथ लाप्लासियन है $\nabla ^{2}$. कार्तीय निर्देशांक का उपयोग करते हुए तीन आयामों में लाप्लास संकारक है

$$\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}$$

हालांकि यह हैमिल्टनियन यांत्रिकी की तकनीकी परिभाषा नहीं है, यह वह रूप है जो इसे सबसे अधिक लेता है। इन पैदावारों के संयोजन से श्रोडिंगर समीकरण में प्रयुक्त परिचित रूप:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}$$

जो एक लहर समारोह द्वारा वर्णित प्रणालियों के लिए हैमिल्टन को लागू करने की अनुमति देता है $\Psi (\mathbf {r} ,t)$. श्रोडिंगर की तरंग यांत्रिकी की औपचारिकता का उपयोग करते हुए, यह आमतौर पर क्वांटम यांत्रिकी के परिचयात्मक उपचार में लिया जाने वाला दृष्टिकोण है।

विशिष्ट मामलों को फिट करने के लिए कुछ चरों के लिए प्रतिस्थापन भी कर सकते हैं, जैसे कि कुछ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र शामिल हैं।

कई कण

औपचारिकता को बढ़ाया जा सकता है $N$ कण:

$${\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}$$

कहां

$${\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t),$$

संभावित ऊर्जा कार्य है, अब सिस्टम और समय के स्थानिक विन्यास का एक कार्य (समय के किसी क्षण में स्थानिक स्थिति का एक विशेष सेट एक विन्यास को परिभाषित करता है) और

$${\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{n}}{2m_{n}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{n}}}\nabla _{n}^{2}$$

कण की गतिज ऊर्जा संचालिका है $n$, $\nabla _{n}$ कण के लिए ढाल है $n$, और $\nabla _{n}^{2}$ कण के लिए लाप्लासियन है n:

$$\nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}},$$

इन के संयोजन से श्रोडिंगर हैमिल्टनियन के लिए $N$-पार्टिकल केस:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}$$

हालाँकि, कई-शरीर की समस्या में जटिलताएँ उत्पन्न हो सकती हैं। चूंकि संभावित ऊर्जा कणों की स्थानिक व्यवस्था पर निर्भर करती है, गतिज ऊर्जा भी ऊर्जा के संरक्षण के लिए स्थानिक विन्यास पर निर्भर करेगी। किसी एक कण की वजह से गति प्रणाली में अन्य सभी कणों की गति के कारण अलग-अलग होगी। इस कारण हैमिल्टनियन में गतिशील ऊर्जा के लिए क्रॉस शब्द दिखाई दे सकते हैं; दो कणों के लिए ग्रेडिएंट्स का मिश्रण:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}$$

कहां $M$ इस अतिरिक्त गतिज ऊर्जा के परिणामस्वरूप कणों के संग्रह के द्रव्यमान को दर्शाता है। इस रूप की शर्तें द्रव्यमान ध्रुवीकरण शर्तों के रूप में जानी जाती हैं, और कई इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के हैमिल्टनियन में दिखाई देती हैं (नीचे देखें)।

के लिए $N$ परस्पर क्रिया करने वाले कण, यानी ऐसे कण जो परस्पर क्रिया करते हैं और कई-शरीर की स्थिति, संभावित ऊर्जा कार्य का गठन करते हैं $V$ केवल अलग-अलग संभावनाओं का योग नहीं है (और निश्चित रूप से उत्पाद नहीं है, क्योंकि यह आयामी रूप से गलत है)। संभावित ऊर्जा फलन को केवल ऊपर के रूप में लिखा जा सकता है: प्रत्येक कण की सभी स्थानिक स्थितियों का एक फलन।

गैर-अंतःक्रियात्मक कणों के लिए, यानी ऐसे कण जो पारस्परिक रूप से परस्पर क्रिया नहीं करते हैं और स्वतंत्र रूप से चलते हैं, सिस्टम की क्षमता प्रत्येक कण के लिए अलग-अलग संभावित ऊर्जा का योग है, वह है

$$V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)$$

इस मामले में हैमिल्टनियन का सामान्य रूप है:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}$$

जहां सभी कणों और उनकी संबंधित क्षमता का योग लिया जाता है; नतीजा यह है कि सिस्टम का हैमिल्टनियन प्रत्येक कण के लिए अलग-अलग हैमिल्टनियन का योग है। यह एक आदर्श स्थिति है - व्यवहार में कण लगभग हमेशा किसी क्षमता से प्रभावित होते हैं, और कई-शरीर की बातचीत होती है। दो-निकाय अंतःक्रिया का एक उदाहरण उदाहरण जहां यह प्रपत्र लागू नहीं होगा, आवेशित कणों के कारण इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता के लिए है, क्योंकि वे कूलम्ब इंटरैक्शन (इलेक्ट्रोस्टैटिक बल) द्वारा एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

श्रोडिंगर समीकरण

Main article: Schrödinger equation

हैमिल्टनियन क्वांटम राज्यों के समय के विकास को उत्पन्न करता है। यदि $\left|\psi (t)\right\rangle$ समय पर प्रणाली की स्थिति है $t$, तब

$$H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .$$

यह समीकरण श्रोडिंगर समीकरण है। यह हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण के समान रूप लेता है, जो कि एक कारण है $H$ हैमिल्टनियन भी कहा जाता है। कुछ प्रारंभिक समय में राज्य को देखते हुए ($t=0$), हम बाद में किसी भी समय स्थिति प्राप्त करने के लिए इसे हल कर सकते हैं। विशेष रूप से, अगर $H$ तो समय से स्वतंत्र है

$$\left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .$$

श्रोडिंगर समीकरण के दाहिने हाथ की ओर मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल ऑपरेटर आमतौर पर संबंधित एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन # औपचारिक परिभाषा द्वारा परिभाषित किया जाता है $H$. कोई यह नोटिस कर सकता है कि बहुपद या असीमित ऑपरेटरों की शक्ति श्रृंखला लेना जो हर जगह परिभाषित नहीं हैं, गणितीय समझ में नहीं आ सकते हैं। कठोर रूप से, असीमित ऑपरेटरों के कार्यों को लेने के लिए, एक कार्यात्मक कलन की आवश्यकता होती है। एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के मामले में, निरंतर कार्यात्मक कैलकुलेशन, या केवल होलोमोर्फिक कार्यात्मक कैलकुस पर्याप्त होता है। हालाँकि, हम फिर से ध्यान देते हैं कि सामान्य गणनाओं के लिए भौतिकविदों का सूत्रीकरण काफी पर्याप्त है।

क्रियात्मक कैलकुलस के *समरूपता गुण द्वारा संकारक

$$U=e^{-iHt/\hbar }$$

एकात्मक संचालिका है। यह एक बंद क्वांटम प्रणाली का समय विकास संचालक या प्रसारक है। यदि हैमिल्टनियन समय-स्वतंत्र है, $\{U(t)\}$ एक-पैरामीटर एकात्मक समूहों (एक C0 अर्धसमूह से अधिक) पर स्टोन का प्रमेय बनाएं; यह विस्तृत संतुलन के भौतिक सिद्धांत को जन्म देता है।

डायराक औपचारिकता

हालांकि, पॉल डिराक के ब्रा-केट नोटेशन में, हैमिल्टनियन को आमतौर पर निम्नलिखित तरीके से हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर एक ऑपरेटर के रूप में लागू किया जाता है:

के eigenkets (eigenvectors)। $H$, निरूपित $\left|a\right\rangle$, हिल्बर्ट स्थान के लिए एक अलौकिक आधार प्रदान करें। सिस्टम के अनुमत ऊर्जा स्तरों का स्पेक्ट्रम ईगेनवैल्यू के सेट द्वारा दिया जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है $\{E_{a}\}$, समीकरण को हल करना:

$$H\left|a\right\rangle =E_{a}\left|a\right\rangle .$$

तब से $H$ एक हर्मिटियन ऑपरेटर है, ऊर्जा हमेशा एक वास्तविक संख्या होती है।

गणितीय रूप से कठोर दृष्टिकोण से, उपरोक्त मान्यताओं का ध्यान रखा जाना चाहिए। असीमित-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर ऑपरेटरों के पास ईजेनवेल्यूज़ की आवश्यकता नहीं है (आइगेनवैल्यू का सेट एक ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम के साथ जरूरी नहीं है)। हालांकि, भौतिक सूत्रीकरण का उपयोग करके सभी नियमित क्वांटम यांत्रिक गणना की जा सकती है।

== हैमिल्टनियन == के लिए भाव

निम्नलिखित कई स्थितियों में हैमिल्टनियन के लिए भाव हैं। अभिव्यक्तियों को वर्गीकृत करने के विशिष्ट तरीके कणों की संख्या, आयामों की संख्या, और संभावित ऊर्जा कार्य की प्रकृति-महत्वपूर्ण स्थान और समय निर्भरता हैं। जनता द्वारा निरूपित किया जाता है $m$, और शुल्क द्वारा $q$.

मुक्त कण

कण किसी भी संभावित ऊर्जा से बंधा नहीं है, इसलिए क्षमता शून्य है और यह हैमिल्टनियन सबसे सरल है। एक आयाम के लिए:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$$

और उच्च आयामों में:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$$

निरंतर-संभावित अच्छी तरह से

निरंतर क्षमता वाले क्षेत्र में एक कण के लिए $V=V_{0}$ (अंतरिक्ष या समय पर कोई निर्भरता नहीं), एक आयाम में, हैमिल्टनियन है:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}$$

तीन आयामों में

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}$$

यह एक बॉक्स समस्या में प्राथमिक कण और चरण क्षमता पर लागू होता है।

सरल हार्मोनिक ऑसीलेटर

एक आयाम में एक सरल हार्मोनिक थरथरानवाला के लिए, स्थिति के अनुसार क्षमता भिन्न होती है (लेकिन समय नहीं), इसके अनुसार:

$$V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}$$

जहां कोणीय आवृत्ति $\omega$, प्रभावी वसंत स्थिरांक $k$, और द्रव्यमान $m$ थरथरानवाला संतुष्ट:

$$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$$

तो हैमिल्टनियन है:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}$$

तीन आयामों के लिए, यह बन जाता है

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}$$

जहां त्रि-आयामी स्थिति वेक्टर $\mathbf {r}$ कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करना है $(x,y,z)$, इसका परिमाण है

$$r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$$

हैमिल्टनियन को पूर्ण रूप से लिखने से पता चलता है कि यह प्रत्येक दिशा में एक आयामी हैमिल्टनियन का योग है:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\[6pt]&=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned}}$$

कठोर रोटर

एक कठोर रोटर के लिए - यानी, कणों की प्रणाली जो किसी भी अक्ष के बारे में स्वतंत्र रूप से घूम सकती है, किसी भी क्षमता में बंधी नहीं है (जैसे मुक्त अणुओं के साथ नगण्य कंपन स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान), डबल बॉन्ड या ट्रिपल बंधन रासायनिक बांड के कारण ), हैमिल्टनियन है:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{\hat {J}}_{x}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{\hat {J}}_{y}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{\hat {J}}_{z}^{2}$$

कहां $I_{xx}$, $I_{yy}$, और $I_{zz}$ जड़ता के क्षण घटक हैं (तकनीकी रूप से जड़ता के क्षण के विकर्ण तत्व # जड़ता के क्षण का टेंसर), और ${\hat {J}}_{x}$, ${\hat {J}}_{y}$, और ${\hat {J}}_{z}$ कुल कोणीय संवेग संचालक (घटक) हैं, के बारे में $x$, $y$, और $z$ क्रमशः कुल्हाड़ियों।

इलेक्ट्रोस्टैटिक या कूलम्ब क्षमता

दो बिन्दु आवेशों के लिए कूलम्ब स्थितिज ऊर्जा $q_{1}$ और $q_{2}$ (अर्थात्, जिनकी स्वतंत्र रूप से कोई स्थानिक सीमा नहीं है), तीन आयामों में, (एसआई इकाइयों में - गाऊसी इकाइयों के बजाय जो अक्सर विद्युत चुंबकत्व में उपयोग की जाती हैं):

$$V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}$$

हालाँकि, यह केवल एक पॉइंट चार्ज के लिए दूसरे के कारण संभावित है। यदि कई आवेशित कण हैं, तो प्रत्येक आवेश में प्रत्येक बिंदु आवेश (स्वयं को छोड़कर) के कारण एक संभावित ऊर्जा होती है। के लिए $N$ आवेश, आवेश की स्थितिज ऊर्जा $q_{j}$ अन्य सभी शुल्कों के कारण है (विद्युत संभावित ऊर्जा भी देखें#विद्युतस्थैतिक संभावित ऊर्जा बिंदु आवेशों की एक प्रणाली में संग्रहीत):

$$V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}$$

कहां $\phi (\mathbf {r} _{i})$ चार्ज की इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता है $q_{j}$ पर $\mathbf {r} _{i}$. तब सिस्टम की कुल क्षमता समाप्त हो जाती है $j$:

$$V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}$$

तो हैमिल्टनियन है:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&=\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}$$

विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव

एक विद्युत द्विध्रुवीय क्षण के लिए $\mathbf {d}$ परिमाण के आरोपों का गठन $q$, एक समान, इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में (समय-स्वतंत्र) $\mathbf {E}$, एक स्थान पर स्थित, संभावित है:

$$V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E}$$

द्विध्रुवीय क्षण ही संकारक है

$$\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}}$$

चूँकि कण स्थिर है, द्विध्रुव की कोई अनुवादिक गतिज ऊर्जा नहीं है, इसलिए द्विध्रुवीय का हैमिल्टन केवल संभावित ऊर्जा है:

$${\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E}$$

चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव

एक चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण के लिए ${\boldsymbol {\mu }}$ एक समान, मैग्नेटोस्टैटिक क्षेत्र (समय-स्वतंत्र) में $\mathbf {B}$, एक स्थान पर स्थित, संभावित है:

$$V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B}$$

चूँकि कण स्थिर है, द्विध्रुव की कोई अनुवादिक गतिज ऊर्जा नहीं है, इसलिए द्विध्रुवीय का हैमिल्टन केवल संभावित ऊर्जा है:

$${\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B}$$

एक स्पिन के लिए-1/2|स्पिन-1⁄2कण, संबंधित स्पिन चुंबकीय क्षण है:

$${\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S}$$

कहां $g_{s}$ स्पिन जी-फैक्टर (भौतिकी) है | जी-फैक्टर (जाइरोमैग्नेटिक अनुपात के साथ भ्रमित नहीं होना), $e$ इलेक्ट्रॉन आवेश है, $\mathbf {S}$ स्पिन (भौतिकी) #पॉल मैट्रिसेस और स्पिन ऑपरेटर वेक्टर है, जिसके घटक पाउली मैट्रिसेस हैं, इसलिए

$${\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B}$$

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कण

द्रव्यमान वाले कण के लिए $m$ और चार्ज करें $q$ स्केलर क्षमता द्वारा वर्णित एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में $\phi$ और वेक्टर क्षमता $\mathbf {A}$, हैमिल्टनियन के स्थानापन्न करने के लिए दो भाग हैं।विहित गति ऑपरेटर $\mathbf {\hat {\Pi }}$, जिसमें से योगदान शामिल है $\mathbf {A}$ फ़ील्ड और विहित रूपान्तरण संबंध को पूरा करता है, इसे परिमाणित किया जाना चाहिए;

$$\mathbf {\hat {\Pi }} =\mathbf {\hat {P}} +q\mathbf {A} ,$$

कहां $\mathbf {\hat {P}}$ गतिज संवेग संचालक है। परिमाणीकरण नुस्खा पढ़ता है

$$\mathbf {\hat {\Pi }} =-i\hbar \nabla ,$$

तो इसी गतिज ऊर्जा ऑपरेटर है

$${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {P}} \cdot \mathbf {\hat {P}} }{2m}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\hat {\Pi }} -q\mathbf {A} \right)^{2}$$

और संभावित ऊर्जा, जो की वजह से है $\phi$ क्षेत्र द्वारा दिया गया है

$${\hat {V}}=q\phi .$$

इन सभी को हैमिल्टनियन देता है

$${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi .$$

एनर्जी ईजेनकेट डिजेनरेसी, समरूपता, और संरक्षण कानून

कई प्रणालियों में, दो या दो से अधिक ऊर्जा eigenstates में समान ऊर्जा होती है। इसका एक सरल उदाहरण एक मुक्त कण है, जिसकी ऊर्जा eigenstates में वेवफंक्शन हैं जो समतल तरंगों का प्रसार कर रहे हैं। इन समतल तरंगों में से प्रत्येक की ऊर्जा इसके तरंग दैर्ध्य के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है। में एक लहर फैल रही है $x$ दिशा में प्रचार करने वाले से एक अलग स्थिति है $y$ दिशा, लेकिन अगर उनके पास समान तरंग दैर्ध्य है, तो उनकी ऊर्जा समान होगी। जब ऐसा होता है तो राज्यों को पतित कहा जाता है।

यह पता चला है कि जब भी एक गैर-तुच्छ एकात्मक मैट्रिक्स होता है, तो ऊर्जा का स्तर कम हो जाता है $U$ हैमिल्टनियन के साथ रूपान्तरण संबंध। इसे देखने के लिए, मान लीजिए $|a\rangle$ एक ऊर्जा ईजेनकेट है। फिर $U|a\rangle$ एक ही eigenvalue के साथ एक ऊर्जा eigenket है, क्योंकि

$$UH|a\rangle =UE_{a}|a\rangle =E_{a}(U|a\rangle )=H\;(U|a\rangle ).$$

तब से $U$ गैर-तुच्छ है, कम से कम एक जोड़ी $|a\rangle$ और $U|a\rangle$ अलग-अलग राज्यों का प्रतिनिधित्व करना चाहिए। इसलिए, $H$ कम से कम एक जोड़ी पतित ऊर्जा ईजेनकेट है। मुक्त कण के मामले में, समरूपता पैदा करने वाला एकात्मक ऑपरेटर रोटेशन ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी) है, जो अन्यथा उनके आकार को संरक्षित करते हुए तरंगों को कुछ कोण से घुमाता है।

एक समरूपता ऑपरेटर के अस्तित्व का तात्पर्य एक संरक्षण कानून (भौतिकी) के अस्तित्व से है। होने देना $G$ के हर्मिटियन जनरेटर बनें $U$:

$$U=I-i\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})$$

यह दिखाना सीधा है कि अगर $U$ साथ आवागमन करता है $H$, तो ऐसा होता है $G$:

$$[H,G]=0$$

इसलिए,

$${\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi (t)|G|\psi (t)\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi (t)|[G,H]|\psi (t)\rangle =0.$$

इस परिणाम को प्राप्त करने में, हमने श्रोडिंगर समीकरण का उपयोग किया है, साथ ही इसके ब्रा-केट संकेतन,

$$\langle \psi (t)|H=-i\hbar {\partial \over \partial t}\langle \psi (t)|.$$

इस प्रकार, अवलोकन योग्य का अपेक्षित मूल्य $G$ सिस्टम के किसी भी राज्य के लिए संरक्षित है। मुक्त कण के मामले में, संरक्षित मात्रा कोणीय संवेग है।

हैमिल्टन के समीकरण

शास्त्रीय हैमिल्टनियन यांत्रिकी में विलियम रोवन हैमिल्टन के समीकरणों का क्वांटम यांत्रिकी में सीधा सादृश्य है। मान लीजिए कि हमारे पास आधार राज्यों का एक सेट है $\left\{\left|n\right\rangle \right\}$, जो जरूरी नहीं कि ऊर्जा के स्वदेशी हों। सरलता के लिए, हम मानते हैं कि वे असतत हैं, और वे अलौकिक हैं, अर्थात,

$$\langle n'|n\rangle =\delta _{nn'}$$

ध्यान दें कि इन आधार राज्यों को समय से स्वतंत्र माना जाता है। हम मानेंगे कि हैमिल्टन भी समय से स्वतंत्र है।

समय पर प्रणाली की तात्कालिक स्थिति $t$, $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$, इन आधार राज्यों के संदर्भ में विस्तारित किया जा सकता है:

$$|\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle$$

कहां

$$a_{n}(t)=\langle n|\psi (t)\rangle .$$

गुणांक $a_{n}(t)$ जटिल संख्या चर हैं। हम उन्हें निर्देशांक के रूप में मान सकते हैं जो सिस्टम की स्थिति को निर्दिष्ट करते हैं, जैसे स्थिति और संवेग निर्देशांक जो शास्त्रीय प्रणाली को निर्दिष्ट करते हैं। शास्त्रीय निर्देशांक की तरह, वे आम तौर पर समय में स्थिर नहीं होते हैं, और उनकी समय निर्भरता पूरे सिस्टम की समय निर्भरता को जन्म देती है।

इस राज्य के हैमिल्टनियन का अपेक्षित मूल्य, जो औसत ऊर्जा भी है, है

$$\langle H(t)\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle \psi (t)|H|\psi (t)\rangle =\sum _{nn'}a_{n'}^{*}a_{n}\langle n'|H|n\rangle$$

जहां विस्तार करके अंतिम चरण प्राप्त किया गया था $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$ आधार राज्यों के संदर्भ में।

प्रत्येक $a_{n}(t)$ वास्तव में स्वतंत्रता की दो स्वतंत्र डिग्री से मेल खाती है, क्योंकि चर का एक वास्तविक भाग और एक काल्पनिक भाग होता है। अब हम निम्नलिखित युक्ति करते हैं: वास्तविक और काल्पनिक भागों को स्वतंत्र चर के रूप में उपयोग करने के बजाय, हम उपयोग करते हैं $a_{n}(t)$ और इसका जटिल संयुग्म $a_{n}^{*}(t)$. स्वतंत्र चर के इस विकल्प के साथ, हम आंशिक व्युत्पन्न की गणना कर सकते हैं

$${\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=\sum _{n}a_{n}\langle n'|H|n\rangle =\langle n'|H|\psi \rangle$$

श्रोडिंगर के समीकरण को लागू करने और आधार राज्यों की ऑर्थोनॉर्मलिटी का उपयोग करने से, यह और कम हो जाता है

$${\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=i\hbar {\frac {\partial a_{n'}}{\partial t}}$$

इसी तरह, कोई दिखा सकता है

$${\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-i\hbar {\frac {\partial a_{n}^{*}}{\partial t}}$$

यदि हम संयुग्म गति चर को परिभाषित करते हैं $\pi _{n}$ द्वारा

$$\pi _{n}(t)=i\hbar a_{n}^{*}(t)$$

तब उपरोक्त समीकरण बन जाते हैं

$${\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial \pi _{n}}}={\frac {\partial a_{n}}{\partial t}},\quad {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-{\frac {\partial \pi _{n}}{\partial t}}$$

जो ठीक हैमिल्टन के समीकरणों का रूप है, के साथ $a_{n}$सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में, s $\pi _{n}$संयुग्म संवेग के रूप में s, और $\langle H\rangle$ शास्त्रीय हैमिल्टनियन की जगह ले रहा है।

यह भी देखें

• हैमिल्टनियन यांत्रिकी
• दो-राज्य क्वांटम प्रणाली
• संचालक (भौतिकी)
• ब्रा-केट संकेतन
• जितना राज्य
• लीनियर अलजेब्रा
• ऊर्जा संरक्षण
• संभावित सिद्धांत
• कई-शरीर की समस्या
• इलेक्ट्रोस्टाटिक्स
• विद्युत क्षेत्र
• चुंबकीय क्षेत्र
• लिब-थिरिंग असमानता

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• एक ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम
• वेक्टर अंकन
• समय-विकास संचालक
• क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण
• न्यूटोनियन यांत्रिकी
• पल ऑपरेटर
• तरंग क्रिया
• होलोमॉर्फिक फंक्शनल कैलकुलस
• कार्यात्मक गणना
• निरंतर कार्यात्मक गणना
• प्रचारक
• एकात्मक संचालक
• ऑर्थोनॉर्मल बेसिस
• एक बॉक्स में कण
• वसंत निरंतर
• डबल बंधन
• रासायनिक बंध
• निष्क्रियता के पल
• कोनेदार गति
• कूलम्ब संभावित ऊर्जा
• एसआई जूनियर
• गॉसियन इकाइयां
• जी-कारक (भौतिकी)
• अदिश क्षमता
• गतिज गति
• ऊर्जा के स्तर को कम करना
• जटिल सन्युग्म

बाहरी कड़ियाँ

• Quotations related to हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) at Wikiquote