वेक्टर क्षमता

This article is about the general concept in the mathematical theory of vector fields. For the vector potential in electromagnetism, see Magnetic vector potential. For the vector potential in fluid mechanics, see Stream function.

सदिश कलन में, सदिश विभव एक सदिश क्षेत्र होता है जिसका कर्ल (गणित) एक दिया हुआ सदिश क्षेत्र होता है। यह एक 'अदिश क्षमता' के अनुरूप है, जो एक अदिश क्षेत्र है जिसका ढाल एक दिया गया सदिश क्षेत्र है।

औपचारिक रूप से, एक सदिश क्षेत्र v दिए जाने पर, एक वेक्टर विभव a होता है $C^{2}$ सदिश क्षेत्र ए ऐसा कि

$$\mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .$$

परिणाम

यदि एक सदिश क्षेत्र v एक सदिश विभव A को स्वीकार करता है, तो समानता से

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$$

(कर्ल (गणित) का विचलन शून्य है) एक प्राप्त करता है

$$\nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,$$

जिसका अर्थ है कि v एक परिनालिका सदिश क्षेत्र होना चाहिए।

प्रमेय

होने देना

$$\mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$$

एक सोलनॉइडल वेक्टर फ़ील्ड बनें जो दो बार सुचारू कार्य करता है। ये मान लीजिए v(x) कम से कम उतनी ही तेजी से घटता है $1/\|\mathbf {x} \|$ के लिए $\|\mathbf {x} \|\to \infty$. परिभाषित करना

$$\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .$$

फिर, ए के लिए एक सदिश क्षमता है v, वह है,

$$\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .$$

यहाँ, $\nabla _{y}\times$ वेरिएबल y के लिए कर्ल है। मंद क्षमता के वर्तमान घनत्व j के लिए कर्ल [v] को प्रतिस्थापित करते हुए, आपको यह सूत्र मिलेगा। दूसरे शब्दों में, वी एच क्षेत्र से मेल खाता है।

आप अभिन्न डोमेन को किसी भी एकल-जुड़े क्षेत्र Ω तक सीमित कर सकते हैं। अर्थात्, नीचे A' भी v की सदिश क्षमता है;

$$\mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .$$

इस प्रमेय का एक सामान्यीकरण हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन है जो बताता है कि किसी भी सदिश क्षेत्र को सोलेनोइडल सदिश क्षेत्र और एक अघूर्णी सदिश क्षेत्र के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है।

बायोट-सावर्ट के नियम के अनुरूप, निम्नलिखित ${\boldsymbol {A''}}({\textbf {x}})$ v के लिए वेक्टर क्षमता के रूप में भी योग्य है।

${\boldsymbol {A''}}({\textbf {x}})=\int _{\Omega }{\frac {{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {y}})\times ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}{4\pi |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}|^{3}}}d^{3}{\boldsymbol {y}}$

वी के लिए जे (वर्तमान घनत्व) और ए के लिए एच (एच-फील्ड) को प्रतिस्थापित करें, हम बायो-सावर्ट कानून पाएंगे।

होने देना ${\textbf {p}}\in \mathbb {R}$ और Ω को p पर केन्द्रित एक स्टार डोमेन होने दें, सदिश क्षेत्रों की दुनिया में विभेदक रूपों के लिए पोंकारे की लेम्मा का अनुवाद, अनुवर्ती ${\boldsymbol {A'''}}({\boldsymbol {x}})$ के लिए एक वेक्टर क्षमता भी है ${\boldsymbol {v}}$

${\boldsymbol {A'''}}({\boldsymbol {x}})=\int _{0}^{1}s(({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {p}})\times ({\boldsymbol {v}}(s{\boldsymbol {x}}+(1-s){\boldsymbol {p}}))\ ds$

गैर-विशिष्टता

परिनालिका क्षेत्र द्वारा स्वीकृत सदिश विभव अद्वितीय नहीं है। अगर A के लिए एक सदिश क्षमता है v, तो ऐसा ही है

$$\mathbf {A} +\nabla f,$$

कहाँ $f$ कोई भी सतत अवकलनीय अदिश फलन है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि ग्रेडिएंट का कर्ल शून्य है।

यह गैर-विशिष्टता इलेक्ट्रोडायनामिक्स, या गेज स्वतंत्रता के निर्माण में स्वतंत्रता की एक डिग्री की ओर ले जाती है, और गेज फिक्सिंग की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

• वेक्टर कलन का मौलिक प्रमेय
• चुंबकीय वेक्टर क्षमता
• solenoid
• बंद और सटीक अंतर रूप # इलेक्ट्रोडायनामिक्स में अनुप्रयोग

संदर्भ

• Fundamentals of Engineering Electromagnetics by David K. Cheng, Addison-Wesley, 1993.