मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल

गणित में, मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल स्क्वायर मैट्रिक्स पर एक मैट्रिक्स समारोह है जो साधारण घातांक प्रकार्य के समान है। इसका उपयोग रैखिक अंतर समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है। लाई समूहों के सिद्धांत में, मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल एक मैट्रिक्स लाई बीजगणित और संबंधित लाई समूह के बीच घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) देता है।

होने देना X सेम n×n वास्तविक संख्या या जटिल संख्या मैट्रिक्स (गणित)। का घातांक X, द्वारा चिह्नित e^X या exp(X), है n×n शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया गया मैट्रिक्स

$$e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}$$

कहाँ $X^{0}$ पहचान मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है $I$ के समान आयामों के साथ $X$. उपरोक्त श्रृंखला हमेशा अभिसरण करती है, इसलिए का घातांक X सुपरिभाषित है। अगर X एक 1×1 मैट्रिक्स का मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल है X एक 1×1 मैट्रिक्स है जिसका एकल तत्व के एकल तत्व का साधारण घातीय फलन है X.

गुण

प्राथमिक गुण

होने देना X और Y होना n×n जटिल मैट्रिसेस और चलो a और b मनमाना जटिल संख्या हो। हम निरूपित करते हैं n×n पहचान मैट्रिक्स द्वारा I और शून्य मैट्रिक्स 0. मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है। हम उन गुणों से शुरू करते हैं जो एक शक्ति श्रृंखला के रूप में परिभाषा के तत्काल परिणाम हैं:

• e⁰ = I
• exp(X^T) = (exp X)^T, कहाँ X^T के स्थानान्तरण को दर्शाता है X.
• exp(X^∗) = (exp X)^∗, कहाँ X^∗ के संयुग्मी स्थानान्तरण को दर्शाता है X.
• अगर Y उलटा मैट्रिक्स है तो e^YXY−1 = Ye^XY⁻¹.

अगला मुख्य परिणाम यह है:

• अगर $XY=YX$ तब $e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}$.

इस पहचान का प्रमाण वास्तविक संख्याओं के घातांक के लिए संबंधित पहचान के लिए मानक शक्ति-श्रृंखला तर्क के समान है। यानी जब तक $X$ और $Y$ यात्रा, यह तर्क के लिए कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्या $X$ और $Y$ संख्याएँ या आव्यूह हैं। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह पहचान आम तौर पर अगर नहीं रखती है $X$ और $Y$ लघुकरण न करें (देखें #Hermitian matrices के घातांक के लिए असमानताएं|नीचे गोल्डन-थॉम्पसन असमानता)।

पूर्ववर्ती पहचान के परिणाम निम्नलिखित हैं:

• e^aXe^bX = e^{(a + b)X}
• e^Xe^−X = I

उपरोक्त परिणामों का उपयोग करके, हम निम्नलिखित दावों को आसानी से सत्यापित कर सकते हैं। अगर X तब सममित मैट्रिक्स है e^X सममित भी है, और यदि X तिरछा-सममित मैट्रिक्स है | तिरछा-सममित तब e^X ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। अगर X तब हर्मिटियन मैट्रिक्स है e^X हर्मिटियन भी है, और यदि X तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स है | तिरछा-हर्मिटियन तब e^X एकात्मक मैट्रिक्स है।

अंत में, मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल्स का एक लाप्लास रूपांतरण, विलायक औपचारिकता के बराबर होता है,

$$\int _{0}^{\infty }e^{-ts}e^{tX}\,dt=(sI-X)^{-1}$$

के सभी पर्याप्त बड़े सकारात्मक मूल्यों के लिए s.

रैखिक अंतर समीकरण प्रणाली

Main article: Matrix differential equation

मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल के महत्व के कारणों में से एक यह है कि इसका उपयोग रैखिक साधारण अंतर समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है। का समाधान

$${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0},$$

कहाँ A एक स्थिर मैट्रिक्स है, द्वारा दिया गया है

$$y(t)=e^{At}y_{0}.$$

मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल का उपयोग विषम समीकरण को हल करने के लिए भी किया जा सकता है

$${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}.$$

उदाहरण के लिए नीचे #अनुप्रयोगों पर अनुभाग देखें।

रूप के अवकल समीकरणों के लिए कोई बंद-रूप समाधान नहीं है

$${\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0},$$

कहाँ A स्थिर नहीं है, लेकिन मैग्नस श्रृंखला एक अनंत योग के रूप में समाधान देती है।

=== मैट्रिक्स घातीय === का निर्धारक जैकोबी के सूत्र द्वारा, किसी भी जटिल वर्ग मैट्रिक्स के लिए निम्न ट्रेस पहचान रखती है:

$\det \left(e^{A}\right)=e^{\operatorname {tr} (A)}~.$

कम्प्यूटेशनल टूल प्रदान करने के अलावा, यह सूत्र दर्शाता है कि एक मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल हमेशा एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स होता है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि उपरोक्त समीकरण का दाहिना हाथ हमेशा गैर-शून्य होता है, और इसी तरह det(e^A) ≠ 0, जिसका तात्पर्य है e^A उलटा होना चाहिए।

वास्तविक-मूल्यवान स्थिति में, सूत्र मानचित्र को भी प्रदर्शित करता है

$$\exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$$

पूर्वोक्त जटिल मामले के विपरीत, विशेषण कार्य नहीं होना। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि, वास्तविक-मूल्यवान आव्यूहों के लिए, सूत्र का दाहिना हाथ हमेशा धनात्मक होता है, जबकि एक ऋणात्मक निर्धारक के साथ व्युत्क्रमणीय आव्यूह मौजूद होते हैं।

वास्तविक सममित मैट्रिक्स

वास्तविक सममित मैट्रिक्स का मैट्रिक्स घातांक सकारात्मक निश्चित है। होने देना $S$ सेम n×n वास्तविक सममित मैट्रिक्स और $x\in \mathbb {R} ^{n}$ एक स्तंभ वेक्टर। मैट्रिक्स घातीय और सममित मैट्रिसेस के प्राथमिक गुणों का उपयोग करके, हमारे पास है:

$$x^{T}e^{S}x=x^{T}e^{S/2}e^{S/2}x=x^{T}(e^{S/2})^{T}e^{S/2}x=(e^{S/2}x)^{T}e^{S/2}x=\lVert e^{S/2}x\rVert ^{2}\geq 0.$$

तब से $e^{S/2}$ उलटा है, समानता केवल के लिए है $x=0$, और हमारे पास है $x^{T}e^{S}x>0$ सभी गैर-शून्य के लिए $x$. इस तरह $e^{S}$ सकारात्मक निश्चित है।

रकम का घातांक

किसी भी वास्तविक संख्या (स्केलर) के लिए x और y हम जानते हैं कि चरघातांकी फलन संतुष्ट करता है e^x+y = e^x e^y. मैट्रिसेस आने के लिए भी यही सच है। यदि मेट्रिसेस X और Y आवागमन (अर्थात XY = YX), तब,

$$e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}.$$

हालांकि, उन मेट्रिसेस के लिए जो उपरोक्त समानता का रूपांतरण नहीं करते हैं, जरूरी नहीं है।

झूठ उत्पाद सूत्र

भले ही X और Y यात्रा मत करो, घातीय e^{X + Y} लाई उत्पाद सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है

$$e^{X+Y}=\lim _{n\to \infty }\left(e^{{\frac {1}{n}}X}e^{{\frac {1}{n}}Y}\right)^{n}.$$

एक बड़े परिमित का उपयोग करना n उपरोक्त का अनुमान लगाने के लिए सुजुकी-ट्रॉटर विस्तार का आधार है, जो अक्सर समय-विकसित ब्लॉक डिकिमेशन#The_Suzuki%E2%80%93ट्रॉटर विस्तार में उपयोग किया जाता है।

बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ फॉर्मूला

दूसरी दिशा में यदि X और Y पर्याप्त रूप से छोटे हैं (लेकिन जरूरी नहीं कि आने वाले) मेट्रिसेस, हमारे पास हैं

$$e^{X}e^{Y}=e^{Z},$$

कहाँ Z के कम्यूटेटर में एक श्रृंखला के रूप में गणना की जा सकती है X और Y बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र के माध्यम से:

$$Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,$$

जहां शेष शर्तें सभी पुनरावृत्त कम्यूटेटर शामिल हैं X और Y. अगर X और Y यात्रा, तो सभी कम्यूटेटर शून्य हैं और हमारे पास बस है Z = X + Y.

== हर्मिटियन मेट्रिसेस == के घातांक के लिए असमानताएँ

Main article: Golden–Thompson inequality

हर्मिटियन मैट्रिक्स के लिए मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल्स के मैट्रिक्स ट्रेस से संबंधित एक उल्लेखनीय प्रमेय है।

अगर A और B हर्मिटियन मैट्रिसेस हैं, फिर

$$\operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].$$

क्रमविनिमेयता की कोई आवश्यकता नहीं है। यह दिखाने के लिए प्रति उदाहरण हैं कि गोल्डन-थॉम्पसन असमानता को तीन आव्यूहों तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है - और, किसी भी घटना में, tr(exp(A)exp(B)exp(C)) हर्मिटियन के लिए वास्तविक होने की गारंटी नहीं है A, B, C. हालाँकि, इलियट एच। लिब साबित हुआ यदि हम अभिव्यक्ति को निम्नानुसार संशोधित करते हैं तो इसे तीन आव्यूहों में सामान्यीकृत किया जा सकता है

$$\operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].$$

घातीय मानचित्र

एक मैट्रिक्स का घातांक हमेशा एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स होता है। का उलटा मैट्रिक्स e^X द्वारा दिया गया है e^−X. यह इस तथ्य के अनुरूप है कि एक सम्मिश्र संख्या का घातांक सदैव शून्येतर होता है। मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल तब हमें एक नक्शा देता है

$$\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$$

सभी n×n आव्यूहों के स्थान से डिग्री के सामान्य रेखीय समूह तक n, यानी सभी n×n इन्वर्टिबल मैट्रिसेस का समूह (गणित)। वास्तव में, यह मानचित्र विशेषण है जिसका अर्थ है कि प्रत्येक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स को किसी अन्य मैट्रिक्स के घातांक के रूप में लिखा जा सकता है (इसके लिए, सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र C पर विचार करना आवश्यक है न कि R पर)।

किन्हीं दो मैट्रिसेस के लिए X और Y,

$$\left\|e^{X+Y}-e^{X}\right\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},$$

कहाँ ‖ · ‖ एक मनमाना मैट्रिक्स मानदंड दर्शाता है। यह निम्नानुसार है कि घातीय मानचित्र निरंतरता (गणित) है और लिप्सचिट्ज़ कॉम्पैक्ट सेट सबसेट पर निरंतर है M_n(C).

वो नक्शा

$$t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R}$$

एक सामान्य रैखिक समूह में एक चिकना कार्य # चिकनाई वक्र परिभाषित करता है जो पहचान तत्व के माध्यम से गुजरता है t = 0.

वास्तव में, यह तब से सामान्य रैखिक समूह का एक-पैरामीटर उपसमूह देता है

$$e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}.$$

बिंदु t पर इस वक्र (या स्पर्शरेखा सदिश) का व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है

$${\frac {d}{dt}}e^{tX}=Xe^{tX}=e^{tX}X.$$

(1)

पर व्युत्पन्न t = 0 केवल मैट्रिक्स एक्स है, जिसका कहना है कि एक्स इस एक-पैरामीटर उपसमूह को उत्पन्न करता है।

आम तौर पर अधिक, एक सामान्य के लिए tनिर्भर प्रतिपादक, X(t),

${\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha ~.$

उपरोक्त अभिव्यक्ति लेना e^X(t) इंटीग्रल साइन के बाहर और बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ फॉर्मूला की मदद से इंटीग्रैंड का विस्तार करने से मैट्रिक्स एक्सपोनेंट के व्युत्पन्न के लिए निम्नलिखित उपयोगी अभिव्यक्ति प्राप्त हो सकती है,

$$\left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)e^{-X(t)}={\frac {d}{dt}}X(t)+{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]+\cdots$$

ऊपर दिए गए व्यंजक में गुणांक घातांक में दिखाई देने वाले गुणांक से भिन्न हैं। एक बंद रूप के लिए, घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न देखें।

=== हर्मिटियन मेट्रिसेस === तक सीमित होने पर दिशात्मक डेरिवेटिव

होने देना $X$ एक हो $n\times n$ अलग-अलग eigenvalues ​​​​के साथ हर्मिटियन मैट्रिक्स। होने देना $X=E{\textrm {diag}}(\Lambda )E^{*}$ इसका आइजन-अपघटन हो जहां $E$ एक एकात्मक मैट्रिक्स है जिसके स्तंभ आइजनवेक्टर हैं $X$, $E^{*}$ इसका संयुग्म स्थानान्तरण है, और $\Lambda =\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\right)$ इसी eigenvalues ​​​​के वेक्टर। फिर किसी के लिए $n\times n$ हर्मिटियन मैट्रिक्स $V$, की दिशात्मक व्युत्पन्न $\exp :X\to e^{X}$ पर $X$ दिशा में $V$ है

$$D\exp(X)[V]\triangleq \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon V}-e^{X}\right)=E(G\odot {\bar {V}})E^{*}$$

कहाँ ${\bar {V}}=E^{*}VE$, परिचालक $\odot$ हैडमार्ड उत्पाद को दर्शाता है, और, सभी के लिए $1\leq i,j\leq n$, गणित का सवाल $G$ परिभाषित किया जाता है

$$G_{i,j}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {e^{\lambda _{i}}-e^{\lambda _{j}}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&e^{\lambda _{i}}&{\text{ otherwise}}.\\\end{aligned}}\right.$$

इसके अलावा किसी के लिए $n\times n$ हर्मिटियन मैट्रिक्स $U$, दिशाओं में दूसरा दिशात्मक व्युत्पन्न $U$ और $V$ है

$$D^{2}\exp(X)[U,V]\triangleq \lim _{\epsilon _{u}\to 0}\lim _{\epsilon _{v}\to 0}{\frac {1}{4\epsilon _{u}\epsilon _{v}}}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X-\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X+\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}+e^{X-\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}\right)=EF(U,V)E^{*}$$

जहां मैट्रिक्स-मूल्यवान फ़ंक्शन $F$ परिभाषित किया गया है, सभी के लिए $1\leq i,j\leq n$, जैसा

$$F(U,V)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}\phi _{i,j,k}({\bar {U}}_{ik}{\bar {V}}_{jk}^{*}+{\bar {V}}_{ik}{\bar {U}}_{jk}^{*})$$

साथ

$$\phi _{i,j,k}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {G_{ik}-G_{jk}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&{\frac {G_{ii}-G_{ik}}{\lambda _{i}-\lambda _{k}}}&{\text{ if }}i=j{\text{ and }}k\neq i,\\&{\frac {G_{ii}}{2}}&{\text{ if }}i=j=k.\\\end{aligned}}\right.$$

मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल की गणना

मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल की गणना करने के लिए विश्वसनीय और सटीक तरीके खोजना मुश्किल है, और यह अभी भी गणित और संख्यात्मक विश्लेषण में काफी वर्तमान शोध का विषय है। Matlab, GNU Octave, और SciPy सभी Padé सन्निकटन का उपयोग करते हैं। इस खंड में, हम उन तरीकों पर चर्चा करते हैं जो सिद्धांत रूप में किसी भी मैट्रिक्स पर लागू होते हैं, और जिन्हें छोटे मैट्रिक्स के लिए स्पष्ट रूप से लागू किया जा सकता है। बाद के खंड बड़े आव्यूहों पर संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए उपयुक्त विधियों का वर्णन करते हैं।

तिरछे मामले

यदि एक मैट्रिक्स विकर्ण मैट्रिक्स है:

$$A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}},$$

तो इसका घातांक प्रत्येक प्रविष्टि को मुख्य विकर्ण पर घातांक बनाकर प्राप्त किया जा सकता है:

$$e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.$$

यह परिणाम किसी को विकर्णीय मैट्रिक्स को प्रतिपादित करने की अनुमति देता है। अगर

A = UDU⁻¹

और D विकर्ण है, तो

e^A = Ue^DU⁻¹.

सिल्वेस्टर के सूत्र के प्रयोग से समान परिणाम प्राप्त होता है। (इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि विकर्ण मैट्रिसेस का जोड़ और गुणन, इसलिए घातांक भी तत्व-वार जोड़ और गुणन के बराबर है, और इसलिए घातांक; विशेष रूप से, विकर्ण मामले के लिए एक-आयामी घातांक को तत्व-वार महसूस किया जाता है। )

उदाहरण: विकर्ण

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स

$$A={\begin{bmatrix}1&4\\1&1\\\end{bmatrix}}$$

के रूप में विकर्ण किया जा सकता है

$${\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}.$$

इस प्रकार,

$$e^{A}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{e}}&0\\0&e^{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {e^{4}+1}{2e}}&{\frac {e^{4}-1}{e}}\\{\frac {e^{4}-1}{4e}}&{\frac {e^{4}+1}{2e}}\\\end{bmatrix}}.$$

निलपोटेंट केस

एक मैट्रिक्स N निलपोटेंट मैट्रिक्स है अगर N^q = 0 किसी पूर्णांक q के लिए। इस मामले में, मैट्रिक्स घातांक e^N श्रृंखला विस्तार से सीधे गणना की जा सकती है, क्योंकि श्रृंखला शब्दों की सीमित संख्या के बाद समाप्त हो जाती है:

$$e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}~.$$

चूंकि श्रृंखला में चरणों की एक सीमित संख्या है, यह एक मैट्रिक्स बहुपद है, जो बहुपद मूल्यांकन # मैट्रिक्स बहुपद हो सकता है।

सामान्य मामला

जॉर्डन-शेवेली अपघटन का उपयोग करना

जॉर्डन-शेवेली अपघटन द्वारा, कोई भी $n\times n$ मैट्रिक्स एक्स जटिल प्रविष्टियों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$X=A+N$$

कहाँ

• A विकर्णीय है
• एन शून्य है
• एन के साथ एक क्रमविनिमेयता

इसका मतलब यह है कि हम एक्स के घातांक की गणना पिछले दो मामलों में घटाकर कर सकते हैं:

$$e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}.$$

ध्यान दें कि कार्य करने के अंतिम चरण के लिए हमें A और N की क्रमविनिमेयता की आवश्यकता है।

जॉर्डन विहित रूप का उपयोग करना

जॉर्डन के रूप के साथ काम करने के लिए, एक निकट से संबंधित विधि है, यदि क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है X. लगता है कि X = PJP⁻¹ कहाँ J का जॉर्डन रूप है X. तब

$$e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.$$

इसके अलावा, चूंकि

$${\begin{aligned}J&=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),\\e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}.\end{aligned}}$$

इसलिए, हमें केवल यह जानने की जरूरत है कि जॉर्डन ब्लॉक के मैट्रिक्स घातांक की गणना कैसे करें। लेकिन जॉर्डन का हर ब्लॉक फॉर्म का है

$${\begin{aligned}&&J_{a}(\lambda )&=\lambda I+N\\&\Rightarrow &e^{J_{a}(\lambda )}&=e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}.\end{aligned}}$$

कहाँ N एक विशेष नीलपोटेंट मैट्रिक्स है। का मैट्रिक्स घातांक J इसके बाद दिया जाता है

$$e^{J}=e^{\lambda _{1}}e^{N_{a_{1}}}\oplus e^{\lambda _{2}}e^{N_{a_{2}}}\oplus \cdots \oplus e^{\lambda _{n}}e^{N_{a_{n}}}$$

प्रोजेक्शन केस

अगर P एक प्रक्षेपण मैट्रिक्स है (यानी बेवकूफ है: P² = P), इसका मैट्रिक्स घातीय है:

e^P = I + (e − 1)P.

घातीय फलन के विस्तार द्वारा इसे प्राप्त करना, की प्रत्येक शक्ति P कम कर देता है P जो योग का एक सामान्य कारक बन जाता है:

$$e^{P}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P^{k}}{k!}}=I+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\right)P=I+(e-1)P~.$$

रोटेशन का मामला

एक साधारण घुमाव के लिए जिसमें लंबवत इकाई वैक्टर a और b एक विमान निर्दिष्ट करें, रोटेशन मैट्रिक्स # घातीय मानचित्र R यूलर के रोटेशन प्रमेय#रोटेशन के जेनरेटर को शामिल करते हुए एक समान घातीय फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है G और कोण θ.

$${\begin{aligned}G&=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}&P&=-G^{2}=\mathbf {aa} ^{\mathsf {T}}+\mathbf {bb} ^{\mathsf {T}}\\P^{2}&=P&PG&=G=GP~,\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}R\left(\theta \right)=e^{G\theta }&=I+G\sin(\theta )+G^{2}(1-\cos(\theta ))\\&=I-P+P\cos(\theta )+G\sin(\theta )~.\\\end{aligned}}$$

की शक्तियों को कम करने से घातीय परिणामों के लिए सूत्र G श्रृंखला विस्तार में और संबंधित श्रृंखला गुणांक की पहचान करना G² और G साथ −cos(θ) और sin(θ) क्रमश। दूसरी अभिव्यक्ति यहाँ के लिए e^Gθ के लिए अभिव्यक्ति के समान है R(θ) यूलर के रोटेशन प्रमेय की व्युत्पत्ति वाले लेख में#घूर्णन के जनरेटर, R(θ) = e^Gθ.

दो आयामों में, यदि $a=\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]$ और $b=\left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]$, तब $G=\left[{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]$, $G^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]$, और

$$R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}=I\cos(\theta )+G\sin(\theta )$$

समतल घुमाव के लिए मानक मैट्रिक्स को कम करता है।

गणित का सवाल P = −G² प्रोजेक्शन (रैखिक बीजगणित) पर एक वेक्टर ab-प्लेन और रोटेशन केवल वेक्टर के इस हिस्से को प्रभावित करता है। इसे दर्शाने वाला एक उदाहरण का घूर्णन है 30° = π/6 द्वारा फैलाए गए विमान में a और b,

$${\begin{aligned}\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}&\mathbf {b} &={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}0\\1\\2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}G={\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\begin{bmatrix}0&-1&-2\\1&0&0\\2&0&0\\\end{bmatrix}}&P=-G^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}5&0&0\\0&1&2\\0&2&4\\\end{bmatrix}}\\P{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}&{\begin{bmatrix}5\\8\\16\\\end{bmatrix}}=\mathbf {a} +{\frac {8}{\sqrt {5}}}\mathbf {b} &R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}5{\sqrt {3}}&-{\sqrt {5}}&-2{\sqrt {5}}\\{\sqrt {5}}&8+{\sqrt {3}}&-4+2{\sqrt {3}}\\2{\sqrt {5}}&-4+2{\sqrt {3}}&2+4{\sqrt {3}}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$$

होने देना N = I - P, इसलिए N² = N और इसके उत्पादों के साथ P और G शून्य हैं। यह हमें की शक्तियों का मूल्यांकन करने की अनुमति देगा R.

$${\begin{aligned}R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&=N+P{\frac {\sqrt {3}}{2}}+G{\frac {1}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{2}&=N+P{\frac {1}{2}}+G{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{3}&=N+G\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{6}&=N-P\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{12}&=N+P=I\\\end{aligned}}$$

Further information: Rodrigues' rotation formula and Axis–angle representation § Exponential map from so(3) to SO(3)

लॉरेंट श्रृंखला द्वारा मूल्यांकन

केली-हैमिल्टन प्रमेय के आधार पर मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल ऑर्डर के बहुपद के रूप में अभिव्यक्त होता है n-1।

अगर P और Q_t एक चर में शून्येतर बहुपद हैं, जैसे कि P(A) = 0, और यदि मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन

$$f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}$$

संपूर्ण कार्य है, तब

$$e^{tA}=Q_{t}(A).$$

इसे सिद्ध करने के लिए, ऊपर दी गई दो समानताओं में से पहली को गुणा करें P(z) और बदलें z द्वारा A.

ऐसा बहुपद Q_t(z) निम्नानुसार पाया जा सकता है - सिल्वेस्टर का सूत्र देखें। दे a की जड़ हो P, Q_a,t(z) के उत्पाद से हल किया जाता है P लॉरेंट श्रृंखला द्वारा # लॉरेंट श्रृंखला का प्रमुख भाग f पर a: यह संबंधित फ्रोबेनियस सहपरिवर्ती के समानुपाती होता है। फिर राशि S_tक्यू की_a,t, कहाँ a की सभी जड़ों पर चलता है P, एक विशेष के रूप में लिया जा सकता है Q_t. अन्य सभी क्यू_tका गुणज जोड़ने पर प्राप्त होगा P को S_t(z). विशेष रूप से, S_t(z), सिल्वेस्टर का सूत्र | लैग्रेंज-सिल्वेस्टर बहुपद, एकमात्र है Q_t जिसकी डिग्री उससे कम हो P.

उदाहरण: एक मनमाना 2×2 मैट्रिक्स के मामले पर विचार करें,

$$A:={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.$$

घातीय मैट्रिक्स e^tA, केली-हैमिल्टन प्रमेय के आधार पर, रूप का होना चाहिए

$$e^{tA}=s_{0}(t)\,I+s_{1}(t)\,A.$$

(किसी भी जटिल संख्या के लिए z और कोई सी-बीजगणित B, हम फिर से निरूपित करते हैं z का उत्पाद z की इकाई द्वारा B.)

होने देना α और β की विशेषता बहुपद की जड़ें बनें A,

$$P(z)=z^{2}-(a+d)\ z+ad-bc=(z-\alpha )(z-\beta )~.$$

तो हमारे पास हैं

$$S_{t}(z)=e^{\alpha t}{\frac {z-\beta }{\alpha -\beta }}+e^{\beta t}{\frac {z-\alpha }{\beta -\alpha }}~,$$

इस तरह

$${\begin{aligned}s_{0}(t)&={\frac {\alpha \,e^{\beta t}-\beta \,e^{\alpha t}}{\alpha -\beta }},&s_{1}(t)&={\frac {e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }}\end{aligned}}$$

अगर α ≠ β; जबकि, अगर α = β,

$$S_{t}(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha ))~,$$

ताकि

$${\begin{aligned}s_{0}(t)&=(1-\alpha \,t)\,e^{\alpha t},&s_{1}(t)&=t\,e^{\alpha t}~.\end{aligned}}$$

परिभाषित

$${\begin{aligned}s&\equiv {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\operatorname {tr} A}{2}}~,&q&\equiv {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\pm {\sqrt {-\det \left(A-sI\right)}},\end{aligned}}$$

अपने पास

$${\begin{aligned}s_{0}(t)&=e^{st}\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right),&s_{1}(t)&=e^{st}{\frac {\sinh(qt)}{q}},\end{aligned}}$$

कहाँ sin(qt)/q 0 है अगर t = 0, और t अगर q = 0.

इस प्रकार,

$e^{tA}=e^{st}\left(\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right)~I~+{\frac {\sinh(qt)}{q}}A\right)~.$

इस प्रकार, जैसा कि ऊपर बताया गया है, मैट्रिक्स A दो पारस्परिक रूप से आने वाले टुकड़ों, ट्रेसफुल टुकड़ा और ट्रेसलेस टुकड़े के योग में विघटित होने के बाद,

$$A=sI+(A-sI)~,$$

मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल दो संबंधित टुकड़ों के एक्सपोनेंशियल के एक सादे उत्पाद को कम करता है। यह अक्सर भौतिकी में उपयोग किया जाने वाला सूत्र है, क्योंकि यह पाउली स्पिन मैट्रिसेस के लिए यूलर के सूत्र के अनुरूप है # पाउली वेक्टर की घातीय, जो कि समूह एसयू (2) के दोहरे प्रतिनिधित्व का घुमाव है।

बहुपद S_t निम्नलिखित प्रक्षेप लक्षण वर्णन भी दिया जा सकता है। परिभाषित करना e_t(z) ≡ e^tz, और n ≡ deg P. तब S_t(z) अद्वितीय उपाधि है < n बहुपद जो संतुष्ट करता है S_t^(k)(a) = e_t^(k)(a) जब कभी भी k की बहुलता से कम है a की जड़ के रूप में P. हम मानते हैं, जैसा कि हम स्पष्ट रूप से कर सकते हैं P का न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) है A. हम आगे मानते हैं A एक विकर्ण मैट्रिक्स है। विशेष रूप से, की जड़ें P सरल हैं, और प्रक्षेप लक्षण वर्णन इंगित करता है S_t लैग्रेंज प्रक्षेप सूत्र द्वारा दिया गया है, इसलिए यह सिल्वेस्टर का सूत्र है | लैग्रेंज-सिल्वेस्टर बहुपद।

दूसरे छोर पर अगर P = (z - a)ⁿ, तब

$$S_{t}=e^{at}\ \sum _{k=0}^{n-1}\ {\frac {t^{k}}{k!}}\ (z-a)^{k}~.$$

उपरोक्त अवलोकनों द्वारा कवर नहीं किया जाने वाला सबसे सरल मामला कब है $P=(z-a)^{2}\,(z-b)$ साथ a ≠ b, कौन सी पैदावार

$$S_{t}=e^{at}\ {\frac {z-b}{a-b}}\ \left(1+\left(t+{\frac {1}{b-a}}\right)(z-a)\right)+e^{bt}\ {\frac {(z-a)^{2}}{(b-a)^{2}}}.$$

सिल्वेस्टर के सूत्र के कार्यान्वयन द्वारा मूल्यांकन

उपरोक्त की एक व्यावहारिक, त्वरित गणना निम्न तीव्र चरणों में कम हो जाती है। ऊपर से याद करें कि एक n×n मैट्रिक्स exp(tA) पहले के एक रैखिक संयोजन के बराबर है n-1 की शक्तियां A केली-हैमिल्टन प्रमेय द्वारा। विकर्ण मैट्रिक्स मैट्रिसेस के लिए, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, उदा। 2×2 मामले में, सिलवेस्टर के सूत्र से प्राप्त होता है exp(tA) = B_α exp(tα) + B_β exp(tβ), जहां Bs के फ्रोबेनियस सहसंयोजक हैं A.

हालांकि, इनके लिए बस हल करना सबसे आसान है Bसीधे, इस अभिव्यक्ति और इसके पहले व्युत्पन्न का मूल्यांकन करके t = 0, के अनुसार A और I, उपरोक्त के समान उत्तर खोजने के लिए।

लेकिन यह सरल प्रक्रिया दोषपूर्ण मैट्रिक्स मेट्रिसेस के लिए भी काम करती है, बुखिम के कारण एक सामान्यीकरण में। यह एक मैट्रिक्स के 4 × 4 उदाहरण के लिए यहां चित्रित किया गया है जो विकर्ण नहीं है, और Bs प्रोजेक्शन मेट्रिसेस नहीं हैं।

विचार करना

$$A={\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}~,$$

आइगेनवैल्यू के साथ λ₁ = 3/4 और λ₂ = 1, प्रत्येक दो की बहुलता के साथ।

द्वारा गुणा किए गए प्रत्येक eigenvalue के घातांक पर विचार करें t, exp(λ_it). संबंधित अनिर्धारित गुणांक मैट्रिक्स द्वारा प्रत्येक घातांक आइगेनवेल्यू को गुणा करें B_i. यदि eigenvalues ​​​​में 1 से अधिक बीजगणितीय बहुलता है, तो प्रक्रिया को दोहराएं, लेकिन अब एक अतिरिक्त कारक से गुणा करें t प्रत्येक पुनरावृत्ति के लिए, रैखिक स्वतंत्रता सुनिश्चित करने के लिए।

(यदि एक eigenvalue में तीन की बहुलता होती है, तो तीन पद होंगे: $B_{i_{1}}e^{\lambda _{i}t},~B_{i_{2}}te^{\lambda _{i}t},~B_{i_{3}}t^{2}e^{\lambda _{i}t}$. इसके विपरीत, जब सभी eigenvalues ​​​​अलग होते हैं, तो Bs केवल फ्रोबेनियस सहसंयोजक हैं, और उनके लिए हल करना इन 4 eigenvalues ​​के वैंडरमोंड मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के बराबर है।)

ऐसे सभी शब्दों का योग करें, यहाँ चार ऐसे,

$${\begin{aligned}e^{At}&=B_{1_{1}}e^{\lambda _{1}t}+B_{1_{2}}te^{\lambda _{1}t}+B_{2_{1}}e^{\lambda _{2}t}+B_{2_{2}}te^{\lambda _{2}t},\\e^{At}&=B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{1_{2}}te^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+B_{2_{2}}te^{1t}~.\end{aligned}}$$

सभी अज्ञात आव्यूहों को हल करने के लिए B की पहली तीन शक्तियों के संदर्भ में A और पहचान, किसी को चार समीकरणों की आवश्यकता होती है, ऊपर वाला एक ऐसा प्रदान करता है t = 0. इसके अलावा, इसके संबंध में अंतर करें t,

$$Ae^{At}={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left({\frac {3}{4}}t+1\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+1B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1t+1\right)B_{2_{2}}e^{1t}~,$$

और फिर,

$${\begin{aligned}A^{2}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+\left({\frac {3}{4}}+1\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{2}t+(1+1\cdot 1)\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+{\frac {3}{2}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{t}+\left(t+2\right)B_{2_{2}}e^{t}~,\end{aligned}}$$

और एक बार फिर,

$${\begin{aligned}A^{3}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{3}t+(1+2)\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t\!+{\frac {27}{16}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+B_{2_{1}}e^{t}\!+\left(t+3\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{t}~.\end{aligned}}$$

(सामान्य मामले में, n-1 डेरिवेटिव लेने की जरूरत है।)

सेटिंग t = 0 इन चार समीकरणों में, चार गुणांक आव्यूह Bरों अब के लिए हल किया जा सकता है,

$${\begin{aligned}I&=B_{1_{1}}+B_{2_{1}}\\A&={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}+B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+B_{2_{2}}\\A^{2}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}+{\frac {3}{2}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+2B_{2_{2}}\\A^{3}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}+{\frac {27}{16}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+3B_{2_{2}}~,\end{aligned}}$$

उपज

$${\begin{aligned}B_{1_{1}}&=128A^{3}-366A^{2}+288A-80I\\B_{1_{2}}&=16A^{3}-44A^{2}+40A-12I\\B_{2_{1}}&=-128A^{3}+366A^{2}-288A+80I\\B_{2_{2}}&=16A^{3}-40A^{2}+33A-9I~.\end{aligned}}$$

के मान के साथ प्रतिस्थापित करना A गुणांक मेट्रिसेस देता है

$${\begin{aligned}B_{1_{1}}&={\begin{bmatrix}0&0&48&-16\\0&0&-8&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\\B_{1_{2}}&={\begin{bmatrix}0&0&4&-2\\0&0&-1&{\frac {1}{2}}\\0&0&{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}\\B_{2_{1}}&={\begin{bmatrix}1&0&-48&16\\0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\\B_{2_{2}}&={\begin{bmatrix}0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$

तो अंतिम उत्तर है

$$e^{tA}={\begin{bmatrix}e^{t}&te^{t}&\left(8t-48\right)e^{t}\!+\left(4t+48\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&\left(16-2\,t\right)e^{t}\!+\left(-2t-16\right)e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&e^{t}&8e^{t}\!+\left(-t-8\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&-2e^{t}+{\frac {t+4}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t+4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t}{8}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t-4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}~.\end{bmatrix}}$$

यह प्रक्रिया मैट्रिक्स डिफरेंशियल इक्वेशन #Putzer Algorithm कंप्यूटिंग के लिए बहुत कम है eAt|Putzer's एल्गोरिथ्म कभी-कभी ऐसे मामलों में उपयोग किया जाता है।

See also: Derivative of the exponential map

चित्रण

मान लीजिए कि हम के घातांक की गणना करना चाहते हैं

$$B={\begin{bmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{bmatrix}}.$$

इसका जार्डन सामान्य रूप है

$$J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{bmatrix}},$$

जहां मैट्रिक्स पी द्वारा दिया जाता है

$$P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{bmatrix}}.$$

आइए पहले एक्सप (जे) की गणना करें। अपने पास

$$J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)$$

1×1 मैट्रिक्स का घातांक केवल मैट्रिक्स की एक प्रविष्टि का घातांक है, इसलिए exp(J₁(4)) = [e⁴]. जे का घातांक₂(16) सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है e^{(λI + N)} = e^λ e^N उपर्युक्त; यह प्रदान करता है

$${\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$$

इसलिए, मूल मैट्रिक्स का घातांक B है

$${\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$$

अनुप्रयोग

रेखीय अंतर समीकरण

मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल में रैखिक अंतर समीकरणों की प्रणालियों के लिए अनुप्रयोग हैं। (मैट्रिक्स अंतर समीकरण भी देखें।) इस लेख में पहले से याद करें कि फॉर्म का एक सजातीय डिफरेंशियल इक्वेशन

$$\mathbf {y} '=A\mathbf {y}$$

समाधान है e^At y(0).

यदि हम वेक्टर पर विचार करें

$$\mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}~,$$

हम अमानवीय युग्मित रेखीय अंतर समीकरणों की एक प्रणाली को व्यक्त कर सकते हैं

$$\mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t).$$

के एक एकीकृत कारक का उपयोग करने के लिए ansatz बनाना e^−At और भर में गुणा, पैदावार

$${\begin{aligned}&&e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &{\frac {d}{dt}}\left(e^{-At}\mathbf {y} \right)&=e^{-At}\mathbf {b} ~.\end{aligned}}$$

दूसरा चरण इस तथ्य के कारण संभव है कि, यदि AB = BA, तब e^AtB = Be^At. तो, गणना e^At के संबंध में केवल तीसरे चरण को एकीकृत करके, प्रणाली के समाधान की ओर ले जाता है t.

इसका समाधान एकीकृत और गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है $e^{{\textbf {A}}t}$ एलएचएस में एक्सपोनेंट को खत्म करने के लिए। ध्यान दें कि जबकि $e^{{\textbf {A}}t}$ एक मैट्रिक्स है, यह देखते हुए कि यह एक मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल है, हम ऐसा कह सकते हैं $e^{{\textbf {A}}t}e^{-{\textbf {A}}t}=I$. दूसरे शब्दों में, $\exp {{\textbf {A}}t}=\exp {{(-{\textbf {A}}t)}^{-1}}$.

उदाहरण (सजातीय)

व्यवस्था पर विचार करें

$${\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}~.$$

संबंधित दोषपूर्ण मैट्रिक्स है

$$A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.$$

मैट्रिक्स घातीय है

$$e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)&-2te^{2t}&e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)&2te^{2t}&e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,$$

ताकि सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान हो

$${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,$$

की राशि

$${\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}$$

उदाहरण (असमान)

अब अमानवीय व्यवस्था पर विचार करें

$${\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}~.$$

हमारे पास फिर से है

$$A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,$$

और

$$\mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}.$$

पहले से, हमारे पास पहले से ही सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान है। चूँकि सजातीय और विशेष समाधानों का योग विषम समस्या का सामान्य समाधान देता है, अब हमें केवल विशेष समाधान खोजने की आवश्यकता है।

हमारे पास, ऊपर से,

$${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}$$

जिसे पैरामीटरों की भिन्नता के माध्यम से निर्धारित अपेक्षित विशेष समाधान प्राप्त करने के लिए और सरल बनाया जा सकता है। नोट सी = वाई_p(0)। अधिक कठोरता के लिए, निम्नलिखित सामान्यीकरण देखें।

अमानवीय मामला सामान्यीकरण: मापदंडों की भिन्नता

विषम मामले के लिए, हम एकीकृत कारकों (मापदंडों की भिन्नता के समान एक विधि) का उपयोग कर सकते हैं। हम फॉर्म का एक विशेष समाधान चाहते हैं y_p(t) = exp(tA) z(t),

$${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}$$

के लिए y_p समाधान होना,

$${\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}$$

इस प्रकार,

$${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} ~,\end{aligned}}$$

कहाँ c समस्या की प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होता है।

अधिक सटीक रूप से, समीकरण पर विचार करें

$$Y'-A\ Y=F(t)$$

प्रारंभिक स्थिति के साथ Y(t₀) = Y₀, कहाँ

• A एक n द्वारा n जटिल मैट्रिक्स,
• F कुछ खुले अंतराल से एक सतत कार्य है I ℂ को^एन,
• $t_{0}$ का एक बिन्दु है I, और
• $Y_{0}$ का सदिश है Cⁿ.

उपरोक्त प्रदर्शित समानता को वाम-गुणा करके e^−tA पैदावार

$$Y(t)=e^{(t-t_{0})A}\ Y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{(t-x)A}\ F(x)\ dx~.$$

हम दावा करते हैं कि समीकरण का समाधान

$$P(d/dt)\ y=f(t)$$

प्रारंभिक शर्तों के साथ $y^{(k)}(t_{0})=y_{k}$ के लिए 0 ≤ k < n है

$$y(t)=\sum _{k=0}^{n-1}\ y_{k}\ s_{k}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{n-1}(t-x)\ f(x)\ dx~,$$

जहां अंकन इस प्रकार है:

• $P\in \mathbb {C} [X]$ डिग्री का एक मोनिक बहुपद है n > 0,
• f कुछ खुले अंतराल पर परिभाषित एक निरंतर जटिल मान फलन है I,
• $t_{0}$ का एक बिन्दु है I,
• $y_{k}$ एक जटिल संख्या है, और

s_k(t) का गुणांक है $X^{k}$ द्वारा निरूपित बहुपद में $S_{t}\in \mathbb {C} [X]$ सबसेक्शन मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल # उपरोक्त लॉरेंट श्रृंखला द्वारा मूल्यांकन।

इस दावे को न्यायोचित ठहराने के लिए, हम अपने आदेश को बदलते हैं n सामान्य साधारण अंतर समीकरण द्वारा एक सदिश समीकरण को एक क्रम में स्केलर समीकरण # प्रथम-क्रम प्रणाली में कमी। हमारा वेक्टर समीकरण रूप लेता है

$${\frac {dY}{dt}}-A\ Y=F(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0},$$

कहाँ A का ट्रांसपोज़ साथी मैट्रिक्स है P. ऊपर बताए अनुसार हम इस समीकरण को हल करते हैं, उपखंड मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल में किए गए अवलोकन द्वारा मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल की गणना करते हैं#सिल्वेस्टर के फॉर्मूले के कार्यान्वयन द्वारा मूल्यांकन|उपरोक्त सिल्वेस्टर के फॉर्मूले के कार्यान्वयन द्वारा मूल्यांकन।

यदि n = 2 हमें निम्नलिखित कथन प्राप्त होता है। का समाधान

$$y''-(\alpha +\beta )\ y'+\alpha \,\beta \ y=f(t),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=y_{1}$$

है

$$y(t)=y_{0}\ s_{0}(t-t_{0})+y_{1}\ s_{1}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{1}(t-x)\,f(x)\ dx,$$

जहां कार्य करता है s₀ और s₁ उपखंड मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल # उपरोक्त लॉरेंट श्रृंखला द्वारा मूल्यांकन के रूप में हैं।

मैट्रिक्स-मैट्रिक्स घातांक

किसी अन्य मैट्रिक्स का मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल (मैट्रिक्स-मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल), परिभाषित किया जाता है

$$X^{Y}=e^{\log(X)\cdot Y}$$

$$^{Y}\!X=e^{Y\cdot \log(X)}$$

किसी भी सामान्य मैट्रिक्स और गैर-एकवचन के लिए n×n आव्यूह X, और कोई जटिल n×n आव्यूह Y.

मैट्रिक्स-मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल्स के लिए, बाएं एक्सपोनेंशियल के बीच एक अंतर है ^YX और सही घातांक X^Y, क्योंकि मैट्रिक्स-टू-मैट्रिक्स के लिए गुणन ऑपरेटर क्रमविनिमेय नहीं है। इसके अतिरिक्त,

• अगर X तब सामान्य और गैर-एकवचन है X^Y और ^YX eigenvalues ​​​​का एक ही सेट है।
• अगर X सामान्य और गैर-एकवचन है, Y सामान्य है, और XY = YX, तब X^Y = ^YX.
• अगर X सामान्य और गैर-एकवचन है, और X, Y, Z फिर एक दूसरे के साथ यात्रा करें X^Y+Z = X^Y·X^Z और ^Y+ZX = ^YX·^ZX.

यह भी देखें

• मैट्रिक्स समारोह
• मैट्रिक्स लघुगणक
• सी0-सेमीग्रुप|सी₀-अर्धसमूह
• घातांक प्रकार्य
• घातीय नक्शा (झूठ सिद्धांत)
• मैग्नस विस्तार
• घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न
• वेक्टर प्रवाह
• गोल्डन-थॉम्पसन असमानता
• चरण-प्रकार वितरण
• झूठ उत्पाद सूत्र
• बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र
• फ्रोबेनियस सहसंयोजक
• सिल्वेस्टर का सूत्र
• मैट्रिसेस के त्रिकोणमितीय कार्य

संदर्भ

• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
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बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Matrix Exponential". MathWorld.