सममित मैट्रिक्स

This article is about a matrix symmetric about its diagonal. For a matrix symmetric about its center, see Centrosymmetric matrix.

For matrices with symmetry over the complex number field, see Hermitian matrix.

5×5 मैट्रिक्स की समरूपता

रेखीय बीजगणित में, एक सममित मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जो इसके स्थानान्तरण के बराबर है। औपचारिक रूप से,

$A{\text{ is symmetric}}\iff A=A^{\textsf {T}}.$

क्योंकि समान आव्यूहों के समान आयाम होते हैं, केवल वर्ग आव्यूह ही सममित हो सकते हैं।

एक सममित मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ मुख्य विकर्ण के संबंध में सममित हैं। तो यदि $a_{ij}$ में प्रवेश दर्शाता है $i$वीं पंक्ति और $j$वें स्तंभ तब

$A{\text{ is symmetric}}\iff {\text{ for every }}i,j,\quad a_{ji}=a_{ij}$

सभी सूचकांकों के लिए $i$ और $j.$ प्रत्येक वर्ग विकर्ण मैट्रिक्स सममित है, क्योंकि सभी ऑफ-विकर्ण तत्व शून्य हैं। इसी तरह विशेषता (बीजगणित) में 2 से भिन्न, तिरछा-सममित मैट्रिक्स का प्रत्येक विकर्ण तत्व शून्य होना चाहिए, क्योंकि प्रत्येक का अपना नकारात्मक है।

रैखिक बीजगणित में, एक वास्तविक संख्या सममित मैट्रिक्स एक स्व-संलग्न ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है एक वास्तविक संख्या आंतरिक उत्पाद स्थान पर एक ऑर्थोनॉर्मल आधार पर प्रतिनिधित्व किया। एक जटिल संख्या आंतरिक उत्पाद स्थान के लिए संबंधित वस्तु जटिल-मूल्यवान प्रविष्टियों के साथ एक हर्मिटियन मैट्रिक्स है, जो इसके संयुग्मित स्थानान्तरण के बराबर है। इसलिए, जटिल संख्याओं पर रैखिक बीजगणित में, यह अक्सर माना जाता है कि एक सममित मैट्रिक्स एक को संदर्भित करता है जिसमें वास्तविक-मूल्यवान प्रविष्टियां होती हैं। सममित मैट्रिसेस विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में स्वाभाविक रूप से दिखाई देते हैं, और विशिष्ट संख्यात्मक रैखिक बीजगणित सॉफ्टवेयर उनके लिए विशेष स्थान बनाता है।

उदाहरण

निम्नलिखित $3\times 3$ मैट्रिक्स सममित है:

$$A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&1\end{bmatrix}}$$

गुण

मूल गुण

• दो सममित आव्यूहों का योग और अंतर सममित होता है।
• यह मैट्रिक्स गुणन के लिए हमेशा सही नहीं होता है: दिए गए सममित मैट्रिक्स $A$ और $B$, तब $AB$ सममित है अगर और केवल अगर $A$ और $B$ कम्यूटेटिविटी, यानी, अगर $AB=BA$.
• किसी भी पूर्णांक के लिए $n$, $A^{n}$ सममित है अगर $A$ सममित है।
• यदि $A^{-1}$ मौजूद है, यह सममित है अगर और केवल अगर $A$ सममित है।
• एक सममित मैट्रिक्स की रैंक $A$ के गैर-शून्य eigenvalues ​​​​की संख्या के बराबर है $A$.

=== सममित और तिरछा-सममित === में अपघटन किसी भी वर्ग मैट्रिक्स को विशिष्ट रूप से एक सममित और तिरछा-सममित मैट्रिक्स के योग के रूप में लिखा जा सकता है। इस अपघटन को टोप्लिट्ज अपघटन के रूप में जाना जाता है। होने देना ${\mbox{Mat}}_{n}$ के स्थान को निरूपित करें $n\times n$ मैट्रिक्स। यदि ${\mbox{Sym}}_{n}$ के स्थान को दर्शाता है $n\times n$ सममित matrices और ${\mbox{Skew}}_{n}$ का स्थान $n\times n$ तिरछा-सममित मैट्रिक्स तब ${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}$ और ${\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}$, अर्थात।

$${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},$$

कहां $\oplus$ मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग को दर्शाता है। होने देना $X\in {\mbox{Mat}}_{n}$ तब

$$X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right).$$

नोटिस जो ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$ और ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}$. यह हर वर्ग मैट्रिक्स के लिए सही है $X$ किसी भी क्षेत्र (गणित) की प्रविष्टियों के साथ जिसकी विशेषता (बीजगणित) 2 से भिन्न है।

एक सममित $n\times n$ मैट्रिक्स द्वारा निर्धारित किया जाता है ${\tfrac {1}{2}}n(n+1)$ स्केलर्स (मुख्य विकर्ण पर या उसके ऊपर की प्रविष्टियों की संख्या)। इसी तरह, एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स द्वारा निर्धारित किया जाता है ${\tfrac {1}{2}}n(n-1)$ स्केलर्स (मुख्य विकर्ण के ऊपर प्रविष्टियों की संख्या)।

=== एक सममित मैट्रिक्स === के अनुरूप मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स के लिए कोई भी मैट्रिक्स मैट्रिक्स समरूपता फिर से सममित है: यदि $X$ एक सममित मैट्रिक्स है, तो ऐसा है $AXA^{\mathrm {T} }$ किसी भी मैट्रिक्स के लिए $A$.

=== समरूपता का तात्पर्य सामान्यता === से है ए (वास्तविक-मूल्यवान) सममित मैट्रिक्स आवश्यक रूप से एक सामान्य मैट्रिक्स है।

वास्तविक सममित मैट्रिक्स

द्वारा निरूपित करें $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ मानक आंतरिक उत्पाद पर $\mathbb {R} ^{n}$. असली $n\times n$ आव्यूह $A$ सममित है अगर और केवल अगर

$$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.$$

चूंकि यह परिभाषा आधार (रैखिक बीजगणित) की पसंद से स्वतंत्र है, समरूपता एक संपत्ति है जो केवल रैखिक ऑपरेटर ए और आंतरिक उत्पाद की पसंद पर निर्भर करती है। समरूपता का यह लक्षण वर्णन उपयोगी है, उदाहरण के लिए, विभेदक ज्यामिति में, प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान के लिए कई गुना एक आंतरिक उत्पाद के साथ संपन्न हो सकता है, जिसे रिमेंनियन मैनिफोल्ड कहा जाता है। एक अन्य क्षेत्र जहां इस फॉर्मूलेशन का उपयोग किया जाता है वह हिल्बर्ट रिक्त स्थान में है।

परिमित-आयामी वर्णक्रमीय प्रमेय कहता है कि कोई भी सममित मैट्रिक्स जिसकी प्रविष्टियाँ वास्तविक संख्या हैं, एक ओर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा विकर्ण मैट्रिक्स हो सकता है। अधिक स्पष्ट रूप से: प्रत्येक वास्तविक सममित मैट्रिक्स के लिए $A$ एक वास्तविक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स मौजूद है $Q$ ऐसा है कि $D=Q^{\mathrm {T} }AQ$ एक विकर्ण मैट्रिक्स है। प्रत्येक वास्तविक सममित मैट्रिक्स इस प्रकार, एक ऑर्थोनॉर्मल आधार, एक विकर्ण मैट्रिक्स की पसंद तक है।

यदि $A$ और $B$ हैं $n\times n$ वास्तविक सममित मेट्रिसेस जो यात्रा करते हैं, फिर उन्हें एक साथ विकर्ण किया जा सकता है: इसका एक आधार मौजूद है $\mathbb {R} ^{n}$ जैसे कि आधार का प्रत्येक तत्व दोनों के लिए एक ईजेनवेक्टर है $A$ और $B$.

हर वास्तविक सममित मैट्रिक्स हर्मिटियन मैट्रिक्स है, और इसलिए इसके सभी आइगेनवैल्यू वास्तविक हैं। (वास्तव में, eigenvalues ​​​​विकर्ण मैट्रिक्स में प्रविष्टियां हैं $D$ (ऊपर), और इसलिए $D$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है $A$ इसकी प्रविष्टियों के क्रम तक।) अनिवार्य रूप से, वास्तविक मैट्रिसेस के लिए सममित होने की संपत्ति जटिल मैट्रिसेस के लिए हर्मिटियन होने की संपत्ति से मेल खाती है।

जटिल सममित मैट्रिक्स

एकात्मक मैट्रिक्स का उपयोग करके एक जटिल सममित मैट्रिक्स को 'विकर्ण' किया जा सकता है: इस प्रकार यदि $A$ एक जटिल सममित मैट्रिक्स है, एक एकात्मक मैट्रिक्स है $U$ ऐसा है कि $UAU^{\mathrm {T} }$ गैर-नकारात्मक प्रविष्टियों वाला एक वास्तविक विकर्ण मैट्रिक्स है। इस परिणाम को Autonne-Takagi गुणनखंड कहा जाता है। यह मूल रूप से लियोन ऑटोन (1915) और तीजी ताकगी (1925) द्वारा सिद्ध किया गया था और कई अन्य गणितज्ञों द्वारा अलग-अलग प्रमाणों के साथ फिर से खोजा गया था। वास्तव में, मैट्रिक्स $B=A^{\dagger }A$ एक मैट्रिक्स की हर्मिटियन और निश्चितता है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित, इसलिए एक एकात्मक मैट्रिक्स है $V$ ऐसा है कि $V^{\dagger }BV$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक प्रविष्टियों के साथ विकर्ण है। इस प्रकार $C=V^{\mathrm {T} }AV$ के साथ जटिल सममित है $C^{\dagger }C$ वास्तविक। लिखना $C=X+iY$ साथ $X$ और $Y$ वास्तविक सममित मैट्रिसेस, $C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)$. इस प्रकार $XY=YX$. तब से $X$ और $Y$ यात्रा, एक वास्तविक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है $W$ ऐसा कि दोनों $WXW^{\mathrm {T} }$ और $WYW^{\mathrm {T} }$ विकर्ण हैं। स्थापना $U=WV^{\mathrm {T} }$ (एकात्मक मैट्रिक्स), मैट्रिक्स $UAU^{\mathrm {T} }$ जटिल विकर्ण है। पूर्व गुणन $U$ एक उपयुक्त विकर्ण एकात्मक मैट्रिक्स द्वारा (जो एकता को बरकरार रखता है $U$), की विकर्ण प्रविष्टियाँ $UAU^{\mathrm {T} }$ वांछित के रूप में वास्तविक और गैर-नकारात्मक बनाया जा सकता है। इस मैट्रिक्स का निर्माण करने के लिए, हम विकर्ण मैट्रिक्स को व्यक्त करते हैं $UAU^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})$. हम जिस मैट्रिक्स की तलाश कर रहे हैं, वह बस द्वारा दी गई है $D=\operatorname {diag} (e^{-i\theta _{1}/2},e^{-i\theta _{2}/2},\dots ,e^{-i\theta _{n}/2})$. स्पष्ट रूप से $DUAU^{\mathrm {T} }D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})$ इच्छानुसार, इसलिए हम संशोधन करते हैं $U'=DU$. चूंकि उनके वर्ग के eigenvalues ​​​​हैं $A^{\dagger }A$, वे के विलक्षण मूल्यों के साथ मेल खाते हैं $A$. (ध्यान दें, एक जटिल सममित मैट्रिक्स के ईजन-अपघटन के बारे में $A$, जॉर्डन का सामान्य रूप $A$ विकर्ण नहीं हो सकता है, इसलिए $A$ किसी भी समानता परिवर्तन द्वारा विकर्ण नहीं किया जा सकता है।)

अपघटन

जॉर्डन सामान्य रूप का उपयोग करके, कोई यह साबित कर सकता है कि प्रत्येक वर्ग वास्तविक मैट्रिक्स को दो वास्तविक सममित मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, और प्रत्येक वर्ग जटिल मैट्रिक्स को दो जटिल सममित मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्येक वास्तविक गैर-एकवचन मैट्रिक्स को ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स और एक सममित सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से कारक बनाया जा सकता है, जिसे ध्रुवीय अपघटन कहा जाता है। एकवचन आव्यूहों का गुणनखंडन भी किया जा सकता है, लेकिन विशिष्ट रूप से नहीं।

Cholesky अपघटन बताता है कि प्रत्येक वास्तविक सकारात्मक-निश्चित सममित मैट्रिक्स $A$ निम्न-त्रिकोणीय मैट्रिक्स का एक उत्पाद है $L$ और इसका स्थानान्तरण,

$$A=LL^{\textsf {T}}.$$

यदि मैट्रिक्स सममित अनिश्चित है, तो इसे अभी भी विघटित किया जा सकता है $PAP^{\textsf {T}}=LDL^{\textsf {T}}$ कहां $P$ एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है (पिवट तत्व की आवश्यकता से उत्पन्न), $L$ एक निचली इकाई त्रिकोणीय मैट्रिक्स, और $D$ सममित का प्रत्यक्ष योग है $1\times 1$ और $2\times 2$ ब्लॉक, जिसे बंच-कॉफ़मैन अपघटन कहा जाता है एक सामान्य (जटिल) सममित मैट्रिक्स दोषपूर्ण मैट्रिक्स हो सकता है और इस प्रकार विकर्ण नहीं हो सकता है। यदि $A$ विकर्णीय है इसे इस रूप में विघटित किया जा सकता है

$$A=Q\Lambda Q^{\textsf {T}}$$

कहां $Q$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है $QQ^{\textsf {T}}=I$, और $\Lambda$ के eigenvalues ​​​​का एक विकर्ण मैट्रिक्स है $A$. विशेष मामले में कि $A$ वास्तविक सममित है, तब $Q$ और $\Lambda$ वास्तविक भी हैं। रूढ़िवादिता देखने के लिए, मान लीजिए $\mathbf {x}$ और $\mathbf {y}$ अलग-अलग eigenvalues ​​​​के अनुरूप eigenvectors हैं $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$. फिर

$$\lambda _{1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\lambda _{2}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .$$

तब से $\lambda _{1}$ और $\lambda _{2}$ विशिष्ट हैं, हमारे पास है $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0$.

हेसियन

सममित $n\times n$ वास्तविक फलन के आव्यूह दो अवकलनीय फलन के हेस्सियन आव्यूह के रूप में प्रकट होते हैं $n$ वास्तविक चर (दूसरे व्युत्पन्न की निरंतरता की आवश्यकता नहीं है, इसके विपरीत आम धारणा के बावजूद).

प्रत्येक द्विघात रूप $q$ पर $\mathbb {R} ^{n}$ रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है $q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x}$ एक सममित के साथ $n\times n$ आव्यूह $A$. उपरोक्त वर्णक्रमीय प्रमेय के कारण, तब कोई यह कह सकता है कि प्रत्येक द्विघात रूप, ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद तक $\mathbb {R} ^{n}$, की तरह लगता है

$$q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}$$

वास्तविक संख्या के साथ $\lambda _{i}$. यह द्विघात रूपों के अध्ययन के साथ-साथ स्तर सेट के अध्ययन को काफी सरल करता है $\left\{\mathbf {x} :q(\mathbf {x} )=1\right\}$ जो शंकु वर्गों के सामान्यीकरण हैं।

यह आंशिक रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि प्रत्येक सुचारू बहु-चर फ़ंक्शन के दूसरे क्रम के व्यवहार को फ़ंक्शन के हेस्सियन से संबंधित द्विघात रूप द्वारा वर्णित किया गया है; यह टेलर के प्रमेय का परिणाम है।

सममित मैट्रिक्स

एक $n\times n$ आव्यूह $A$ सममित कहा जाता है यदि कोई व्युत्क्रमणीय विकर्ण मैट्रिक्स मौजूद है $D$ और सममित मैट्रिक्स $S$ ऐसा है कि $A=DS.$ एक सममित मैट्रिक्स का स्थानान्तरण सममित है, क्योंकि $A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)$ और $DSD$ सममित है। एक मैट्रिक्स $A=(a_{ij})$ सममित है अगर और केवल अगर निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

1. $a_{ij}=0$ तात्पर्य $a_{ji}=0$ सबके लिए $1\leq i\leq j\leq n.$
2. $a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}$ किसी भी परिमित क्रम के लिए $\left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).$

यह भी देखें

स्क्वायर मैट्रिसेस में अन्य प्रकार की समरूपता या पैटर्न के विशेष नाम हैं; उदाहरण के लिए देखें:

• तिरछा-सममित मैट्रिक्स (जिसे एंटीसिमेट्रिक या एंटीमेट्रिक भी कहा जाता है)
• सेंट्रोसिमेट्रिक मैट्रिक्स
• सर्कुलेंट मैट्रिक्स
• सहप्रसरण आव्यूह
• कॉक्सेटर मैट्रिक्स
• जीसीडी मैट्रिक्स
• हैंकेल मैट्रिक्स
• हिल्बर्ट मैट्रिक्स
• पर्सिमेट्रिक मैट्रिक्स
• सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम
• टोप्लिट्ज मैट्रिक्स
• ट्रांसपोजिशन मैट्रिक्स

गणित में समरूपता भी देखें।

संदर्भ

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

बाहरी कड़ियाँ

• "Symmetric matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix
• How to implement a Symmetric Matrix in C++