हर्मिटियन मैट्रिक्स

For matrices with symmetry over the real number field, see Symmetric matrix.

गणित में, एक हर्मिटियन मैट्रिक्स (या स्व-संलग्न मैट्रिक्स) एक जटिल संख्या स्क्वायर मैट्रिक्स है जो अपने स्वयं के संयुग्मित पारगमन के बराबर है - अर्थात, तत्व में i-वीं पंक्ति और j-वाँ स्तंभ तत्व के जटिल संयुग्म के बराबर है j-वीं पंक्ति और i-वाँ स्तंभ, सभी सूचकांकों के लिए i और j:

$A{\text{ Hermitian}}\quad \iff \quad a_{ij}={\overline {{a}_{ji}}}$

या मैट्रिक्स रूप में:

$$A{\text{ Hermitian}}\quad \iff \quad A={\overline {A^{\mathsf {T}}}}.$$

हर्मिटियन मैट्रिक्स को वास्तविक सममित मैट्रिक्स के जटिल विस्तार के रूप में समझा जा सकता है।

यदि एक मैट्रिक्स का संयुग्म स्थानान्तरण $A$ द्वारा निरूपित किया जाता है $A^{\mathsf {H}}$, तब हर्मिटियन संपत्ति को संक्षेप में लिखा जा सकता है

$A{\text{ Hermitian}}\quad \iff \quad A=A^{\mathsf {H}}$

हर्मिटियन मेट्रिसेस का नाम चार्ल्स हर्मिट के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1855 में प्रदर्शित किया था कि इस फॉर्म के मैट्रिसेस हमेशा वास्तविक ईजेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर वाले वास्तविक सममित मैट्रिसेस के साथ एक संपत्ति साझा करते हैं। अन्य, सामान्य उपयोग में समान अंकन हैं $A^{\mathsf {H}}=A^{\dagger }=A^{\ast }$, हालांकि ध्यान दें कि क्वांटम यांत्रिकी में, $A^{\ast }$ आम तौर पर केवल जटिल संयुग्म का मतलब होता है, न कि संयुग्म संक्रमण।

वैकल्पिक लक्षण वर्णन

हर्मिटियन मैट्रिसेस को कई समान तरीकों से चित्रित किया जा सकता है, जिनमें से कुछ नीचे सूचीबद्ध हैं:

आसन्न के साथ समानता

एक वर्ग मैट्रिक्स $A$ हर्मिटियन है अगर और केवल अगर यह अपने हर्मिटियन आसन्न के बराबर है, अर्थात यह संतुष्ट करता है

$$\langle \mathbf {w} ,A\mathbf {v} \rangle =\langle A\mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle ,$$

वैक्टर की किसी भी जोड़ी के लिए $\mathbf {v} ,\mathbf {w}$, कहां $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ डॉट उत्पाद संचालन को दर्शाता है।

यह भी तरीका है कि स्व-संलग्न संकारक की अधिक सामान्य अवधारणा को परिभाषित किया गया है।

द्विघात रूपों की वास्तविकता

एक $n\times {}n$ आव्यूह $A$ हर्मिटियन है अगर और केवल अगर

$$\langle \mathbf {v} ,A\mathbf {v} \rangle \in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}.$$

स्पेक्ट्रल गुण

एक वर्ग मैट्रिक्स $A$ हर्मिटियन है अगर और केवल अगर यह वास्तविक ईजेनवैल्यूज़ और ईजेनवेक्टरों के साथ एकात्मक रूप से विकर्ण मैट्रिक्स है।

अनुप्रयोग

हर्मिटियन मेट्रिसेस क्वांटम यांत्रिकी के लिए मौलिक हैं क्योंकि वे आवश्यक रूप से वास्तविक eigenvalues ​​​​के साथ ऑपरेटरों का वर्णन करते हैं। एक आइगेनवैल्यू $a$ एक ऑपरेटर का ${\hat {A}}$ कुछ क्वांटम अवस्था पर $|\psi \rangle$ ऑपरेटर के संभावित माप परिणामों में से एक है, जो वास्तविक eigenvalues ​​​​के साथ ऑपरेटरों की आवश्यकता को पूरा करता है।

उदाहरण और समाधान

इस खंड में, मैट्रिक्स का संयुग्मी स्थानांतरण $A$ के रूप में दर्शाया गया है $A^{\mathsf {H}},$ मैट्रिक्स का स्थानांतरण $A$ के रूप में दर्शाया गया है $A^{\mathsf {T}}$ और मैट्रिक्स के संयुग्म $A$ के रूप में दर्शाया गया है ${\overline {A}}.$ निम्न उदाहरण देखें:

$${\begin{bmatrix}0&a-ib&c-id\\a+ib&1&m-in\\c+id&m+in&2\end{bmatrix}}$$

विकर्ण तत्व वास्तविक संख्या में होने चाहिए, क्योंकि वे अपने स्वयं के जटिल संयुग्म होने चाहिए।

हर्मिटियन मैट्रिसेस के प्रसिद्ध परिवारों में पॉल मैट्रिसेस , गेल-मैन मैट्रिसेस और उनके सामान्यीकरण शामिल हैं। सैद्धांतिक भौतिकी में ऐसे हर्मिटियन आव्यूहों को अक्सर काल्पनिक संख्या गुणांकों से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स | तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स होता है।

यहां, हम एक सार उदाहरण का उपयोग करके एक और उपयोगी हर्मिटियन मैट्रिक्स प्रदान करते हैं। यदि एक वर्ग मैट्रिक्स $A$ मैट्रिक्स गुणन और उसके संयुग्मी स्थानांतरण के बराबर है, अर्थात $A=BB^{\mathsf {H}},$ तब $A$ एक हर्मिटियन सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स है। इसके अलावा, अगर $B$ पंक्ति पूर्ण-रैंक है, फिर $A$ सकारात्मक निश्चित है।

गुण

मुख्य विकर्ण मान वास्तविक हैं

किसी भी हर्मिटियन मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण (ऊपर बाएं से नीचे दाएं) पर प्रविष्टियां वास्तविक संख्या हैं।

Proof

By definition of the Hermitian matrix

$$H_{ij}={\overline {H}}_{ji}$$

so for i = j the above follows.

केवल मुख्य विकर्ण प्रविष्टियाँ आवश्यक रूप से वास्तविक हैं; जब तक तिरछे-विपरीत प्रविष्टियाँ जटिल संयुग्म होती हैं, तब तक हर्मिटियन मेट्रिसेस में उनके ऑफ-डायगोनल तत्वों में मनमाने ढंग से जटिल-मूल्यवान प्रविष्टियाँ हो सकती हैं।

सममित

एक मैट्रिक्स जिसमें केवल वास्तविक प्रविष्टियाँ हैं, सममित मैट्रिक्स है यदि और केवल अगर यह हर्मिटियन मैट्रिक्स है। एक वास्तविक और सममित मैट्रिक्स केवल हर्मिटियन मैट्रिक्स का एक विशेष मामला है।

Proof

$H_{ij}={\overline {H}}_{ji}$ by definition. Thus $H_{ij}=H_{ji}$ (matrix symmetry) if and only if $H_{ij}={\overline {H}}_{ij}$ ($H_{ij}$ is real).

इसलिए, यदि एक वास्तविक विरोधी सममित मैट्रिक्स को काल्पनिक इकाई के गुणक से गुणा किया जाता है $i,$ तो यह हर्मिटियन बन जाता है।

सामान्य

प्रत्येक हर्मिटियन मैट्रिक्स एक सामान्य मैट्रिक्स है। यानी, $AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A.$

Proof

$A=A^{\mathsf {H}}$, so $AA^{\mathsf {H}}=AA=A^{\mathsf {H}}A.$

विकर्ण करने योग्य

परिमित-आयामी वर्णक्रमीय प्रमेय का कहना है कि कोई भी हर्मिटियन मैट्रिक्स एक एकात्मक मैट्रिक्स द्वारा विकर्ण मैट्रिक्स हो सकता है, और परिणामी विकर्ण मैट्रिक्स में केवल वास्तविक प्रविष्टियाँ होती हैं। इसका तात्पर्य है कि हर्मिटियन मैट्रिक्स के सभी egenvectors A आयाम के साथ n वास्तविक हैं, और वह A है n रैखिक रूप से स्वतंत्र आइजन्वेक्टर । इसके अलावा, एक हर्मिटियन मैट्रिक्स में अलग-अलग ईजेनवैल्यू के लिए ओर्थोगोनल ईजेनवेक्टर होते हैं। यहां तक ​​कि अगर पतित ईगेनवैल्यू हैं, तो इसका एक ऑर्थोगोनल आधार खोजना हमेशा संभव है Cⁿ को मिलाकर n के ईजेनवेक्टर A.

हर्मिटियन मैट्रिक्स का योग

किसी भी दो हर्मिटियन मैट्रिक्स का योग हर्मिटियन है।

Proof

$$(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}={\overline {A}}_{ji}+{\overline {B}}_{ji}={\overline {(A+B)}}_{ji},$$

as claimed.

=== व्युत्क्रम हर्मिटियन === है व्युत्क्रमणीय हर्मिटियन मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स हर्मिटियन भी है।

Proof

If $A^{-1}A=I$, then $I=I^{\mathsf {H}}=\left(A^{-1}A\right)^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}=A\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}$, so $A^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}$ as claimed.

हर्मिटियन मैट्रिक्स का सहयोगी उत्पाद

दो हर्मिटियन मैट्रिसेस का मैट्रिक्स गुणन A और B हर्मिटियन है अगर और केवल अगर AB = BA.

Proof

Note that

$$(AB)^{\mathsf {H}}={\overline {(AB)^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}}}\ {\overline {A^{\mathsf {T}}}}=B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=BA.$$

इस प्रकार गणित>(एबी)^\mathsf{एच} = एबी</math> अगर और केवल अगर गणित> एबी = बीए। </ गणित>

इस प्रकार Aⁿ हर्मिटियन है अगर A हर्मिटियन है और n एक पूर्णांक है।

एबीए हर्मिटियन

यदि A और B हर्मिटियन हैं, तो ABA भी हर्मिटियन है।

Proof

$$(ABA)^{\mathsf {H}}=(A(BA))^{\mathsf {H}}=(BA)^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=ABA$$

v^HAv जटिल के लिए वास्तविक है v

एक मनमानी जटिल मूल्यवान वेक्टर के लिए v उत्पाद $\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v}$ के कारण वास्तविक है $\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} =\left(\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {H}}.$ यह क्वांटम भौतिकी में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जहां हर्मिटियन मैट्रिसेस ऑपरेटर हैं जो सिस्टम के गुणों को मापते हैं उदा। कुल घुमाव (भौतिकी) जो वास्तविक होना चाहिए।

कॉम्प्लेक्स हर्मिटियन वेक्टर स्पेस ओवर बनाता है R

द हर्मिटियन कॉम्प्लेक्स n-द्वारा-n मैट्रिसेस जटिल संख्याओं पर सदिश स्थान नहीं बनाते हैं, Cपहचान मैट्रिक्स के बाद से I_n हर्मिटियन है, लेकिन i I_n नहीं है। हालाँकि जटिल हर्मिटियन मैट्रिसेस वास्तविक संख्याओं पर एक सदिश स्थान बनाते हैं R. में 2n²जटिल के वेक्टर अंतरिक्ष वेक्टर अंतरिक्ष का -आयाम n × n मैट्रिसेस खत्म R, जटिल हर्मिटियन मैट्रिसेस आयाम का एक उपसमूह बनाते हैं n². यदि E_jk दर्शाता है n-द्वारा-n ए के साथ मैट्रिक्स 1 में j,k स्थिति और शून्य कहीं और, एक आधार (फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद के संबंध में असामान्य) को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

$$E_{jj}{\text{ for }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ matrices}})$$

फॉर्म के मैट्रिसेस के सेट के साथ

$${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)$$

और मैट्रिसेस

$${\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)$$

कहां $i$ काल्पनिक इकाई को दर्शाता है, $i={\sqrt {-1}}~.$ एक उदाहरण यह है कि चार पाउली मेट्रिसेस सभी जटिल 2-बाई-2 हर्मिटियन मैट्रिसेस के वेक्टर स्पेस के लिए एक पूर्ण आधार बनाते हैं R.

खुद का अपघटन

यदि n ऑर्थोनॉर्मल ईजेनवेक्टर $\mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}$ एक हर्मिटियन मैट्रिक्स का चयन किया जाता है और मैट्रिक्स के कॉलम के रूप में लिखा जाता है U, फिर एक मैट्रिक्स का एक Eigedecomposition A है $A=U\Lambda U^{\mathsf {H}}$ कहां $UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}}U$ और इसीलिए

$$A=\sum _{j}\lambda _{j}\mathbf {u} _{j}\mathbf {u} _{j}^{\mathsf {H}},$$

कहां $\lambda _{j}$ विकर्ण मैट्रिक्स के विकर्ण पर eigenvalues ​​​​हैं $\Lambda .$

वास्तविक निर्धारक

हर्मिटियन मैट्रिक्स का निर्धारक वास्तविक है:

Proof

$\det(A)=\det \left(A^{\mathsf {T}}\right)\quad \Rightarrow \quad \det \left(A^{\mathsf {H}}\right)={\overline {\det(A)}}$ Therefore if $A=A^{\mathsf {H}}\quad \Rightarrow \quad \det(A)={\overline {\det(A)}}$.

(वैकल्पिक रूप से, निर्धारक मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​का उत्पाद है, और जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, हर्मिटियन मैट्रिक्स के eigenvalues ​​वास्तविक हैं।)

हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस में अपघटन

हर्मिटियन मैट्रिक्स से संबंधित अतिरिक्त तथ्यों में शामिल हैं:

• एक वर्ग मैट्रिक्स और उसके संयुग्म संक्रमण का योग $\left(A+A^{\mathsf {H}}\right)$ हर्मिटियन है।
• एक वर्ग मैट्रिक्स और उसके संयुग्म संक्रमण का अंतर $\left(A-A^{\mathsf {H}}\right)$ तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स है | तिरछा-हर्मिटियन (एंटीहर्मिटियन भी कहा जाता है)। इसका तात्पर्य है कि दो हर्मिटियन मैट्रिसेस का कम्यूटेटर तिरछा-हर्मिटियन है।
• एक मनमाना वर्ग मैट्रिक्स C हर्मिटियन मैट्रिक्स के योग के रूप में लिखा जा सकता है A और एक तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स B. इसे Toeplitz के अपघटन के रूप में जाना जाता है C.
  $$C=A+B\quad {\text{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\text{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)$$

रेले भागफल

Main article: Rayleigh quotient

गणित में, दिए गए जटिल हर्मिटियन मैट्रिक्स के लिए M और अशून्य वेक्टर x, रेले भागफल $R(M,\mathbf {x} )$, की तरह परिभाषित किया गया है:

$$R(M,\mathbf {x} ):={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}M\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}\mathbf {x} }}.$$

वास्तविक मैट्रिसेस और वैक्टर के लिए, हर्मिटियन होने की स्थिति सममित होने और संयुग्मित होने की स्थिति को कम करती है $\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}$ सामान्य स्थानान्तरण के लिए $\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}$. ध्यान दें कि $R(M,c\mathbf {x} )=R(M,\mathbf {x} )$ किसी भी अशून्य वास्तविक अदिश के लिए $c$. साथ ही, याद रखें कि एक हर्मिटियन (या वास्तविक सममित) मैट्रिक्स में वास्तविक eigenvalues ​​​​होते हैं।

इसे दिखाया जा सकता है कि, किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए, रेले भागफल अपने न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है $\lambda _{\min }$ (M का सबसे छोटा eigenvalue) कब $\mathbf {x}$ है $\mathbf {v} _{\min }$ (संबंधित ईजेनवेक्टर)। इसी प्रकार, $R(M,\mathbf {x} )\leq \lambda _{\max }$ और $R(M,\mathbf {v} _{\max })=\lambda _{\max }.$ रेले भागफल का उपयोग न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय में किया जाता है ताकि सभी ईजेनवैल्यू के सटीक मान प्राप्त किए जा सकें। ईजेनवेक्टर सन्निकटन से ईजेनवेल्यू सन्निकटन प्राप्त करने के लिए इसका उपयोग ईजेनवैल्यू एल्गोरिदम में भी किया जाता है। विशेष रूप से, यह रेले भागफल पुनरावृत्ति का आधार है।

रेले भागफल की सीमा (मैट्रिक्स के लिए जो जरूरी नहीं कि हर्मिटियन हो) को एक संख्यात्मक सीमा (या कार्यात्मक विश्लेषण में स्पेक्ट्रम) कहा जाता है। जब मैट्रिक्स हर्मिटियन होता है, तो संख्यात्मक सीमा वर्णक्रमीय मानदंड के बराबर होती है। अभी भी कार्यात्मक विश्लेषण में, $\lambda _{\max }$ वर्णक्रमीय त्रिज्या के रूप में जाना जाता है। C*-algebras या बीजगणितीय क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में, जो कार्य करता है M रेले भागफल को संबद्ध करता है R(M, x) एक निश्चित के लिए x और M बीजगणित के माध्यम से भिन्न होने को बीजगणित की सदिश अवस्था कहा जाएगा।

यह भी देखें

• जटिल सममित मैट्रिक्स
• सदिश स्थल
• तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स (एंटी-हर्मिटियन मैट्रिक्स)
• हेन्सवर्थ जड़ता योगात्मकता सूत्र
• हर्मिटियन रूप
• स्वयं संलग्न संचालिका
• एकात्मक मैट्रिक्स
• सामान्य मैट्रिक्स

बाहरी कड़ियाँ

• "Hermitian matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo, by Chao-Kuei Hung from Chaoyang University, gives a more geometric explanation.
• "Hermitian Matrices". MathPages.com.