कम्यूटेटर

This article is about the mathematical concept. For the electrical component, see Commutator (electric). For the relation between canonical conjugate entities, see Canonical commutation relation. For other uses, see Commutation.

गणित में, कम्यूटेटर इस बात का संकेत देता है कि किस हद तक एक निश्चित बाइनरी ऑपरेशन क्रमविनिमेय होने में विफल रहता है। समूह सिद्धांत और अंगूठी सिद्धांत में उपयोग की जाने वाली विभिन्न परिभाषाएँ हैं।

समूह सिद्धांत

दो तत्वों का कम्यूटेटर, g और h, एक समूह का (गणित) G, तत्व है

[g, h] = g⁻¹h⁻¹gh.

यह तत्व समूह की पहचान के बराबर है अगर और केवल अगर g और h आवागमन (परिभाषा से gh = hg [g, h], प्राणी [g, h] पहचान के बराबर अगर और केवल अगर gh = hg).

एक समूह के सभी कम्यूटेटर का सेट समूह ऑपरेशन के तहत सामान्य रूप से बंद नहीं होता है, लेकिन सभी कम्यूटेटर द्वारा एक समूह के जी जनरेटिंग सेट का उपसमूह बंद होता है और इसे व्युत्पन्न समूह या जी के कम्यूटेटर उपसमूह कहा जाता है। कम्यूटेटर का उपयोग किया जाता है निलपोटेंट समूह और सॉल्व करने योग्य समूह समूहों और सबसे बड़े एबेलियन समूह भागफल समूह को परिभाषित करें।

उपरोक्त कम्यूटेटर की परिभाषा इस पूरे लेख में उपयोग की गई है, लेकिन कई अन्य समूह सिद्धांतकार कम्यूटेटर को परिभाषित करते हैं

[g, h] = ghg⁻¹h⁻¹.

पहचान (समूह सिद्धांत)

समूह सिद्धांत में कम्यूटेटर पहचान एक महत्वपूर्ण उपकरण है। भाव a^x संयुग्म (समूह सिद्धांत) # की परिभाषा को दर्शाता है a द्वारा x, के रूप में परिभाषित x⁻¹ax.

1. $x^{y}=x[x,y].$
2. $[y,x]=[x,y]^{-1}.$
3. $[x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}$ और $[xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].$
4. $\left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}$ और $\left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.$
5. $\left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1$ और $\left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.$

फिलिप हॉल और अर्नेस्ट विट के बाद पहचान (5) को हॉल-विट पहचान के रूप में भी जाना जाता है। यह रिंग-सैद्धांतिक कम्यूटेटर के लिए जैकोबी पहचान का एक समूह-सैद्धांतिक एनालॉग है (अगला खंड देखें)।

N.B., के संयुग्म की उपरोक्त परिभाषा a द्वारा x कुछ समूह सिद्धांतकारों द्वारा उपयोग किया जाता है। कई अन्य समूह सिद्धांतकार संयुग्म को परिभाषित करते हैं a द्वारा x जैसा xax⁻¹. यह अक्सर लिखा जाता है ${}^{x}a$. इन सम्मेलनों के लिए समान पहचान है।

कई सर्वसमिकाओं का उपयोग किया जाता है जो कुछ निश्चित उपसमूहों के सच्चे मॉड्यूल हैं। ये हल करने योग्य समूहों और निलपोटेंट समूहों के अध्ययन में विशेष रूप से उपयोगी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी समूह में, दूसरी शक्तियाँ अच्छा व्यवहार करती हैं:

$(xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].$

यदि व्युत्पन्न उपसमूह केंद्रीय है, तब

$(xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.$

रिंग थ्योरी

वलय (बीजगणित) अक्सर विभाजन का समर्थन नहीं करते। इस प्रकार, एक अंगूठी (या किसी सहयोगी बीजगणित) के दो तत्वों 'ए' और 'बी' के कम्यूटेटर को अलग-अलग परिभाषित किया जाता है

$[a,b]=ab-ba.$

कम्यूटेटर शून्य है अगर और केवल अगर ए और बी यात्रा करते हैं। रेखीय बीजगणित में, यदि किसी स्थान के दो एंडोमोर्फिज्म को एक आधार के संदर्भ में कम्यूटिंग मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया जाता है, तो उन्हें हर आधार के संदर्भ में दर्शाया जाता है। कम्यूटेटर को झूठ बीजगणित के रूप में उपयोग करके, प्रत्येक सहयोगी बीजगणित को झूठ बीजगणित में बदल दिया जा सकता है।

दो तत्वों का 'एंटीकोम्यूटेटर' a और b एक अंगूठी या साहचर्य बीजगणित के द्वारा परिभाषित किया गया है

$\{a,b\}=ab+ba.$

कभी-कभी $[a,b]_{+}$ एंटीकम्यूटेटर को निरूपित करने के लिए प्रयोग किया जाता है, जबकि $[a,b]_{-}$ फिर कम्यूटेटर के लिए प्रयोग किया जाता है। एंटीकोमुटेटर का उपयोग कम बार किया जाता है, लेकिन क्लिफर्ड बीजगणित और जॉर्डन बीजगणित को परिभाषित करने और कण भौतिकी में डायराक समीकरण की व्युत्पत्ति में इस्तेमाल किया जा सकता है।

हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर कार्यरत दो ऑपरेटरों का कम्यूटेटर क्वांटम यांत्रिकी में एक केंद्रीय अवधारणा है, क्योंकि यह मात्रा निर्धारित करता है कि इन ऑपरेटरों द्वारा वर्णित दो अवलोकनों को एक साथ मापा जा सकता है। अनिश्चितता सिद्धांत अंततः ऐसे कम्यूटेटर के बारे में एक प्रमेय है, अनिश्चितता संबंध | रॉबर्टसन-श्रोडिंगर संबंध के आधार पर। चरण स्थान में, फ़ंक्शन मोयल उत्पाद के समकक्ष कम्यूटेटर | स्टार-उत्पादों को मोयल ब्रैकेट कहा जाता है और हिल्बर्ट स्पेस कम्यूटेटर संरचनाओं के लिए पूरी तरह से आइसोमोर्फिक हैं।

पहचान (रिंग सिद्धांत)

कम्यूटेटर में निम्नलिखित गुण होते हैं:

झूठ-बीजगणित की सर्वसमिकाएं

1. $[A+B,C]=[A,C]+[B,C]$
2. $[A,A]=0$
3. $[A,B]=-[B,A]$
4. $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$

रिलेशन (3) को anticommutativity कहा जाता है, जबकि (4) जैकोबी पहचान है।

अतिरिक्त पहचान

1. $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$
2. $[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
3. $[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
4. $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
5. $[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
6. $[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
7. $[A,B+C]=[A,B]+[A,C]$
8. $[A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]$
9. $[AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B$
10. $[[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]$

यदि A रिंग आर का एक निश्चित तत्व है, पहचान (1) को मानचित्र के उत्पाद नियम के रूप में व्याख्या किया जा सकता है $\operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R$ के द्वारा दिया गया $\operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]$. दूसरे शब्दों में, नक्शा विज्ञापन_A रिंग आर पर एक व्युत्पत्ति (सार बीजगणित) को परिभाषित करता है। पहचान (2), (3) दो से अधिक कारकों के लिए लीबनिज़ नियमों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और किसी भी व्युत्पत्ति के लिए मान्य हैं। सर्वसमिकाओं (4)-(6) की व्याख्या लीबनिज नियमों के रूप में भी की जा सकती है। सर्वसमिकाएँ (7), (8) एक्सप्रेस 'Z'- द्विरेखीय नक्शा।

उपरोक्त कुछ पहचानों को उपरोक्त ± सबस्क्रिप्ट नोटेशन का उपयोग करके एंटीकोम्यूटेटर तक बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

1. $[AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B$
2. $[AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B$
3. $[[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]$
4. $\left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0$
5. $[A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }$
6. $[A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }$

घातीय सर्वसमिका

एक अंगूठी या बीजगणित पर विचार करें जिसमें घातीय कार्य $e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots$ सार्थक रूप से परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि बनच बीजगणित या औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी।

इस तरह की अंगूठी में, नेस्टेड कम्यूटेटर्स पर लागू हैडमार्ड की लेम्मा देता है: ${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$ (अंतिम अभिव्यक्ति के लिए, नीचे संलग्न व्युत्पत्ति देखें।) यह सूत्र बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र # एक महत्वपूर्ण लेम्मा | बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ विस्तार लॉग (एक्सप (ए) एक्सप (बी)) का आधार है।

एक समान विस्तार अभिव्यक्ति के समूह कम्यूटेटर को व्यक्त करता है $e^{A}$ (झूठ समूह के तत्वों के अनुरूप) नेस्टेड कम्यूटेटर (झूठे कोष्ठक) की एक श्रृंखला के संदर्भ में,

$$e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).$$

वर्गीकृत छल्ले और बीजगणित

ग्रेडेड बीजगणित से निपटने के दौरान, कम्यूटेटर को आमतौर पर ग्रेडेड कम्यूटेटर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसे सजातीय घटकों में परिभाषित किया जाता है

$[\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .$

आसन्न व्युत्पत्ति

विशेष रूप से यदि एक रिंग R में कई कम्यूटेटर के साथ व्यवहार करता है, तो दूसरा अंकन उपयोगी साबित होता है। एक तत्व के लिए $x\in R$, हम एक झूठ बीजगणित मानचित्रण के आसन्न प्रतिनिधित्व को परिभाषित करते हैं $\mathrm {ad} _{x}:R\to R$ द्वारा:

$\operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.$

यह मानचित्रण रिंग R पर एक व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित) है:

$\mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).$

जैकोबी पहचान से, यह कम्यूटेशन ऑपरेशन पर भी एक व्युत्पत्ति है:

$\mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].$

इस तरह के मैपिंग की रचना करते हुए, हम उदाहरण के लिए प्राप्त करते हैं $\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]$ और

$$\operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].$$

हम विचार कर सकते हैं $\mathrm {ad}$ मानचित्रण के रूप में ही, $\mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)$, कहां $\mathrm {End} (R)$ गुणा ऑपरेशन के रूप में संरचना के साथ आर से ही मैपिंग की अंगूठी है। फिर $\mathrm {ad}$ कम्यूटेटर को संरक्षित करने वाला झूठ बीजगणित समरूपता है:

$\operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].$

इसके विपरीत, यह हमेशा एक रिंग समरूपता नहीं है: आमतौर पर $\operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}$.

सामान्य लीबनिज नियम

सामान्य लीबनिज़ नियम, एक उत्पाद के दोहराए गए डेरिवेटिव का विस्तार करते हुए, आसन्न प्रतिनिधित्व का उपयोग करके संक्षेप में लिखा जा सकता है:

$x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.$

विभेदन संचालक द्वारा x की जगह $\partial$, और y गुणा ऑपरेटर द्वारा $m_{f}:g\mapsto fg$, हम पाते हैं $\operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}$, और दोनों पक्षों को एक फ़ंक्शन g पर लागू करने से, n-वें व्युत्पन्न के लिए पहचान सामान्य लाइबनिज़ नियम बन जाती है $\partial ^{n}\!(fg)$.

यह भी देखें

• एंटीकम्यूटेटिविटी
• सहयोगी
• बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र
• कैनोनिकल कम्यूटेशन रिलेशन
• केंद्रक a.k.a. कम्यूटेंट
• व्युत्पत्ति (सार बीजगणित)
• मोयल ब्रैकेट
• पिंचरले व्युत्पन्न
• पॉइसन ब्रैकेट
• त्रिगुट कम्यूटेटर
• तीन उपसमूह लेम्मा

संदर्भ

• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X
• Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra (2nd ed.), Wiley, ISBN 0471010901
• Lavrov, P.M. (2014), "Jacobi -type identities in algebras and superalgebras", Theoretical and Mathematical Physics, 179 (2): 550–558, arXiv:1304.5050, Bibcode:2014TMP...179..550L, doi:10.1007/s11232-014-0161-2, S2CID 119175276
• Liboff, Richard L. (2003), Introductory Quantum Mechanics (4th ed.), Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8714-5
• McKay, Susan (2000), Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes, vol. 18, University of London, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994
• McMahon, D. (2008), Quantum Field Theory, McGraw Hill, ISBN 978-0-07-154382-8

आगे की पढाई

• McKenzie, R.; Snow, J. (2005), "Congruence modular varieties: commutator theory", in Kudryavtsev, V. B.; Rosenberg, I. G. (eds.), Structural Theory of Automata, Semigroups, and Universal Algebra, NATO Science Series II, vol. 207, Springer, pp. 273–329, doi:10.1007/1-4020-3817-8_11, ISBN 9781402038174

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• समूह (गणित)
• एक समूह का सेट बनाना
• हल करने योग्य समूह
• साहचर्य बीजगणित
• अंगूठी (बीजगणित)
• लीनियर अलजेब्रा
• अनिश्चित सिद्धांत
• नमूदार
• प्रॉडक्ट नियम
• घातांक प्रकार्य
• वर्गीकृत बीजगणित
• झूठ बीजगणित का आसन्न प्रतिनिधित्व
• टर्नरी कम्यूटेटर

बाहरी कड़ियाँ

• "Commutator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]