मोयल ब्रैकेट

भौतिकी में, मोयल ब्रैकेट चरण-अंतरिक्ष मोयल उत्पाद का उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत एंटीसिमेट्रिज़ेशन है।

मोयल ब्रैकेट का विकास लगभग 1940 में जोस एनरिक मोयल द्वारा किया गया था, लेकिन मोयल पॉल डिराक के साथ लंबे विवाद के बाद 1949 में ही अपना काम प्रकाशित करने में सफल रहे।^[1]^[2] इस बीच इस विचार को 1946 में हिलब्रांड जे. ग्रोएनवॉल्ड द्वारा स्वतंत्र रूप से पेश किया गया था।^[3]

अवलोकन

मोयल ब्रैकेट क्वांटम यांत्रिकी के चरण स्थान निर्माण में वेधशालाओं के कम्यूटेटर का वर्णन करने का एक तरीका है जब इन वेधशालाओं को चरण स्थान पर कार्यों के रूप में वर्णित किया जाता है। यह क्वांटम वेधशालाओं के साथ चरण स्थान पर कार्यों की पहचान करने के लिए योजनाओं पर निर्भर करता है, इन योजनाओं में सबसे प्रसिद्ध विग्नर-वेइल परिवर्तन है। यह चरण अंतरिक्ष सूत्रीकरण#समय विकास|मोयल के गतिशील समीकरण, हाइजेनबर्ग समीकरण के समतुल्य सूत्रीकरण|हाइजेनबर्ग की गति के क्वांटम समीकरण को रेखांकित करता है, जिससे हैमिल्टनियन यांत्रिकी|हैमिल्टन के समीकरणों का क्वांटम सामान्यीकरण प्रदान किया जाता है।

गणितीय रूप से, यह चरण-अंतरिक्ष पॉइसन ब्रैकेट (अनिवार्य रूप से इसका एक लाई बीजगणित विस्तार) का एक विरूपण सिद्धांत है, विरूपण पैरामीटर कम प्लैंक स्थिरांक है $ħ$ . इस प्रकार, इसका समूह संकुचन $ħ \to0$ पॉइसन ब्रैकेट लाई बीजगणित उत्पन्न करता है।

औपचारिक तुल्यता तक, मोयल ब्रैकेट पॉइसन ब्रैकेट का अद्वितीय एक-पैरामीटर लाई-बीजगणितीय विरूपण है। कम्यूटेटरों के बीजगणित के लिए इसकी बीजगणितीय समरूपता ग्रोनवॉल्ड-वैन होव प्रमेय के नकारात्मक परिणाम को दरकिनार कर देती है, जो पॉइसन ब्रैकेट के लिए इस तरह के समरूपता को रोकता है, एक प्रश्न जो डिराक ने अपने 1926 के डॉक्टरेट थीसिस में स्पष्ट रूप से उठाया था,^[4] परिमाणीकरण के लिए शास्त्रीय सादृश्य की विधि।^[5] उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी समतल चरण स्थान में, और विग्नर-वेइल ट्रांसफॉर्म | वेइल-मैप पत्राचार के लिए, मोयल ब्रैकेट पढ़ता है,

{\begin{aligned}\{\{f,g\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{i\hbar }}(f\star g-g\star f)\\&=\{f,g\}+O(\hbar ^{2}),\\\end{aligned}}

कहाँ ★ चरण स्थान (cf. मोयल उत्पाद) में स्टार-उत्पाद ऑपरेटर है, जबकि $f$ और $g$ अलग-अलग चरण-स्थान फ़ंक्शन हैं, और ${f, g}$ उनका पॉइसन ब्रैकेट है।^[6] अधिक विशेष रूप से, परिचालन कैलकुलस भाषा में, यह बराबर होता है

$\{\{f,g\}\}\ ={\frac {2}{\hbar }}~f(x,p)\ \sin \left({{\tfrac {\hbar }{2}}({\overleftarrow {\partial }}_{x}{\overrightarrow {\partial }}_{p}-{\overleftarrow {\partial }}_{p}{\overrightarrow {\partial }}_{x})}\right)\ g(x,p).$

आंशिक डेरिवेटिव पर बाएँ और दाएँ तीर बाएँ और दाएँ आंशिक डेरिवेटिव को दर्शाते हैं। कभी-कभी मोयल ब्रैकेट को साइन ब्रैकेट कहा जाता है।

इसके लिए एक लोकप्रिय (फूरियर) अभिन्न प्रतिनिधित्व, जॉर्ज बेकर द्वारा प्रस्तुत किया गया^[7] है

\{\{f,g\}\}(x,p)={2 \over \hbar ^{3}\pi ^{2}}\int dp'\,dp''\,dx'\,dx''f(x+x',p+p')g(x+x'',p+p'')\sin \left({\tfrac {2}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)~.

चरण स्थान से हिल्बर्ट स्थान तक प्रत्येक पत्राचार मानचित्र एक विशिष्ट मोयल ब्रैकेट को प्रेरित करता है (जैसे कि वेइल मानचित्र के लिए यहां चित्रित किया गया है)। एक व्यवस्थित सिद्धांत के अनुसार, ऐसे सभी मोयल कोष्ठक औपचारिक रूप से आपस में समतुल्य हैं।^[8] मोयल ब्रैकेट नामांकित अनंत-आयामी को निर्दिष्ट करता है झूठ बीजगणित-यह अपने तर्कों में असिमेट्रिक है $f$ और $g$ , और जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है। संगत अमूर्त झूठ बीजगणित द्वारा साकार किया जाता है $T f \equiv f$ ★, ताकि

[T_{f}~,T_{g}]=T_{i\hbar \{\{f,g\}\}}.

2-टोरस चरण स्थान पर, $T 2$ , आवधिक के साथ COORDINATES $x$ और $p$ , प्रत्येक में $[0,2 π]$ , और पूर्णांक मोड सूचकांक $m i$ , आधार कार्यों के लिए $exp(i (m 1 x + m 2 p))$ , यह झूठ बीजगणित पढ़ता है,^[9]

[T_{m_{1},m_{2}}~,T_{n_{1},n_{2}}]=2i\sin \left({\tfrac {\hbar }{2}}(n_{1}m_{2}-n_{2}m_{1})\right)~T_{m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2}},~

जो पूर्णांक के लिए SU(N) तक कम हो जाता है $N \equiv 4 π/ħ$ . SU(N) तब SU(∞) के विरूपण के रूप में उभरता है, विरूपण पैरामीटर 1/N के साथ।

द्वितीय श्रेणी की बाधाओं के साथ क्वांटम सिस्टम के लिए मोयल ब्रैकेट का सामान्यीकरण | द्वितीय श्रेणी की बाधाओं में चरण स्थान में कार्यों के समतुल्य वर्गों पर एक ऑपरेशन शामिल है,^[10] जिसे डिराक ब्रैकेट का विरूपण सिद्धांत माना जा सकता है।

साइन ब्रैकेट और कोसाइन ब्रैकेट

चर्चा किए गए साइन ब्रैकेट के आगे, ग्रोएनवॉल्ड ने आगे परिचय दिया^[3]कोसाइन ब्रैकेट, बेकर द्वारा विस्तृत,^[7]^[11]

{\begin{aligned}\{\{\{f,g\}\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\tfrac {1}{2}}(f\star g+g\star f)=fg+O(\hbar ^{2}).\\\end{aligned}}

यहां फिर से, ★ चरण स्थान में स्टार-उत्पाद ऑपरेटर है, $f$ और $g$ अलग-अलग चरण-स्थान फ़ंक्शन हैं, और $f g$ साधारण उत्पाद है.

साइन और कोसाइन कोष्ठक, क्रमशः, स्टार उत्पाद को एंटीसिमेट्रिज़िंग और सिमेट्रिज़िंग के परिणाम हैं। इस प्रकार, चूंकि साइन ब्रैकेट कम्यूटेटर का विग्नर-वेइल रूपांतरण है, कोसाइन ब्रैकेट मानक क्वांटम यांत्रिकी में एंटीकम्यूटेटर की विग्नर छवि है। इसी प्रकार, जैसे मोयल ब्रैकेट उच्च क्रम तक पॉइसन ब्रैकेट के बराबर होता है $ħ$ , कोसाइन ब्रैकेट सामान्य उत्पाद के उच्च ऑर्डर तक के बराबर होता है $ħ$ . शास्त्रीय सीमा में, मोयल ब्रैकेट लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन)#पॉइसन ब्रैकेट|लिउविले समीकरण (पॉइसन ब्रैकेट के संदर्भ में तैयार) को कम करने में मदद करता है, क्योंकि कोसाइन ब्रैकेट शास्त्रीय हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण की ओर जाता है।^[12] साइन और कोसाइन ब्रैकेट क्वांटम यांत्रिकी के छाया मैनिफोल्ड्स में बेसिल हिली#प्रोजेक्शन के समीकरणों के संबंध में भी खड़े हैं।^[12]^[13]

संदर्भ

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[4] P. A. M. Dirac (1926) Cambridge University Thesis "Quantum Mechanics"

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[6] Conversely, the Poisson bracket is formally expressible in terms of the star product, $iħ {f, g}$ = 2 $f (log ★) g$ .

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संदर्भ

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