पॉइसन ब्रैकेट

शिमोन डेनिस पॉइसन

गणित और शास्त्रीय यांत्रिकी में, पॉइसन ब्रैकेट हैमिल्टनियन यांत्रिकी में एक महत्वपूर्ण बाइनरी ऑपरेशन है, जो हैमिल्टन की गति के समीकरणों में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है, जो हैमिल्टनियन गतिशील प्रणाली के समय विकास को नियंत्रित करता है। पॉइसन ब्रैकेट समन्वय परिवर्तनों के एक निश्चित वर्ग को भी अलग करता है, जिसे विहित परिवर्तन कहा जाता है, जो कैनोनिकल निर्देशांक को कैनोनिकल समन्वय प्रणालियों में मैप करता है। एक विहित समन्वय प्रणाली में विहित स्थिति और संवेग चर होते हैं (नीचे इसके द्वारा दर्शाया गया है)। $q_{i}$ और $p_{i}$, क्रमशः) जो विहित पॉइसन ब्रैकेट संबंधों को संतुष्ट करते हैं। संभावित विहित परिवर्तनों का सेट हमेशा बहुत समृद्ध होता है। उदाहरण के लिए, अक्सर हैमिल्टनियन को ही चुनना संभव होता है $H=H(q,p,t)$ नए विहित संवेग निर्देशांकों में से एक के रूप में।

अधिक सामान्य अर्थ में, पॉइसन ब्रैकेट का उपयोग पॉइसन बीजगणित को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जिसमें से पॉइसन मैनिफ़ोल्ड पर कार्यों का बीजगणित एक विशेष मामला है। अन्य सामान्य उदाहरण भी हैं: यह लाई बीजगणित के सिद्धांत में होता है, जहां एक लाई बीजगणित का टेंसर बीजगणित एक पॉइसन बीजगणित बनाता है; यह कैसे होता है इसका एक विस्तृत निर्माण सार्वभौमिक आवरण बीजगणित लेख में दिया गया है। सार्वभौमिक आवरण बीजगणित की क्वांटम विकृतियाँ क्वांटम समूहों की धारणा को जन्म देती हैं।

इन सभी वस्तुओं का नाम शिमोन डेनिस पॉइसन के सम्मान में रखा गया है।

गुण

दो कार्य दिए गए f और g जो चरण स्थान और समय, उनके पॉइसन ब्रैकेट पर निर्भर करते हैं $\{f,g\}$ एक अन्य कार्य है जो चरण स्थान और समय पर निर्भर करता है। निम्नलिखित नियम किन्हीं तीन कार्यों के लिए मान्य हैं $f,\,g,\,h$ चरण स्थान और समय का:

प्रतिसंक्रामकता

$\{f,g\}=-\{g,f\}$

द्विरेखीयता

$\{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\quad \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R}$

उत्पाद नियम|लीबनिज़ का नियम

$\{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}$

जैकोबी पहचान

$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$

इसके अलावा, यदि कोई फ़ंक्शन $k$ चरण स्थान पर स्थिर है (लेकिन समय पर निर्भर हो सकता है)। $\{f,\,k\}=0$ किसी के लिए $f$.

विहित निर्देशांक में परिभाषा

विहित निर्देशांक में (डारबौक्स निर्देशांक के रूप में भी जाना जाता है) $(q_{i},\,p_{i})$ चरण स्थान पर, दो कार्य दिए गए हैं $f(p_{i},\,q_{i},t)$ और $g(p_{i},\,q_{i},t)$, पॉइसन ब्रैकेट रूप लेता है

$$\{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).$$

विहित निर्देशांक के पॉइसन कोष्ठक हैं

$${\begin{aligned}\{q_{i},q_{j}\}&=0\\\{p_{i},p_{j}\}&=0\\\{q_{i},p_{j}\}&=\delta _{ij}\end{aligned}}$$

कहाँ $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है।

हैमिल्टन की गति के समीकरण

हैमिल्टन के गति के समीकरणों की पॉइसन ब्रैकेट के संदर्भ में समतुल्य अभिव्यक्ति है। इसे स्पष्ट समन्वय फ्रेम में सबसे सीधे प्रदर्शित किया जा सकता है। लगता है कि $f(p,q,t)$ समाधान के प्रक्षेपवक्र-मैनिफोल्ड पर एक फ़ंक्शन है। फिर बहुपरिवर्तनीय श्रृंखला नियम से,

$${\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.$$

इसके अलावा, कोई भी ले सकता है $p=p(t)$ और $q=q(t)$ हैमिल्टन के समीकरणों का समाधान होना; वह है,

$${\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}$$

तब

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}$$

इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन का समय विकास $f$ एक सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड पर समय के साथ एक प्रवाह (गणित) के रूप में दिया जा सकता है | लक्षणरूपता का एक-पैरामीटर परिवार (यानी, विहित परिवर्तन, क्षेत्र-संरक्षण भिन्नताएं), $t$ पैरामीटर होने के नाते: हैमिल्टनियन गति हैमिल्टनियन द्वारा उत्पन्न एक विहित परिवर्तन है। अर्थात् इसमें पॉइसन कोष्ठक सुरक्षित रहते हैं, ताकि किसी भी समय $t$हैमिल्टन के समीकरणों के समाधान में,

$$q(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})p(0),$$

ब्रैकेट निर्देशांक के रूप में कार्य कर सकता है। पॉइसन कोष्ठक विहित परिवर्तन हैं।

निर्देशांक गिराना,

$${\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{H,\cdot \}\right)f.$$

व्युत्पन्न के संवहन भाग में संचालिका, $i{\hat {L}}=-\{H,\cdot \}$, को कभी-कभी लिउविलियन के रूप में जाना जाता है (देखें लिउविल का प्रमेय (हैमिल्टनियन))।

गति के स्थिरांक

एक एकीकृत गतिशील प्रणाली में ऊर्जा के अतिरिक्त गति के स्थिरांक भी होंगे। गति के ऐसे स्थिरांक पॉइसन ब्रैकेट के तहत हैमिल्टनियन के साथ परिवर्तित होंगे। मान लीजिए कोई फ़ंक्शन $f(p,q)$ गति का एक स्थिरांक है. इसका तात्पर्य यह है कि यदि $p(t),q(t)$ तो, हैमिल्टन की गति के समीकरणों का एक प्रक्षेप पथ या समाधान है

$$0={\frac {df}{dt}}$$

उस पथ के साथ. तब

$$0={\frac {d}{dt}}f(p,q)=\{f,H\}$$

जहां, ऊपर के अनुसार, गति के समीकरणों को लागू करके मध्यवर्ती चरण का पालन किया जाता है और हम इसे मानते हैं $f$ स्पष्टतः समय पर निर्भर नहीं है। इस समीकरण को लिउविल प्रमेय (हैमिल्टनियन)#लिउविल समीकरण के रूप में जाना जाता है। लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) की सामग्री | लिउविले के प्रमेय यह है कि एक वितरण फ़ंक्शन (भौतिकी) द्वारा दिए गए माप (गणित) का समय विकास $f$ उपरोक्त समीकरण द्वारा दिया गया है।

यदि पॉइसन ब्रैकेट का $f$ और $g$ गायब हो जाता है ($\{f,g\}=0$), तब $f$ और $g$ शामिल होने के लिए कहा जाता है। हैमिल्टनियन प्रणाली को पूरी तरह से एकीकृत बनाने के लिए, $n$ गति के स्वतंत्र स्थिरांक वितरण (अंतर ज्यामिति)#अनिवार्य वितरण में होने चाहिए, जहां $n$ स्वतंत्रता की कोटि की संख्या है.

इसके अलावा, पॉइसन के प्रमेय के अनुसार, यदि दो मात्राएँ हैं $A$ और $B$ स्पष्ट रूप से समय से स्वतंत्र हैं ($A(p,q),B(p,q)$) गति के स्थिरांक, उनका पॉइसन ब्रैकेट भी है $\{A,\,B\}$. हालाँकि, यह हमेशा उपयोगी परिणाम प्रदान नहीं करता है, क्योंकि गति के संभावित स्थिरांक की संख्या सीमित है ($2n-1$ एक सिस्टम के लिए $n$ स्वतंत्रता की डिग्री), और इसलिए परिणाम तुच्छ (एक स्थिर, या का एक कार्य) हो सकता है $A$ और $B$.)

समन्वय-मुक्त भाषा में पॉइसन ब्रैकेट

होने देना $M$ एक सिंपलेक्टिक कई गुना हो, यानी, एक सरलीकृत रूप से सुसज्जित मैनिफोल्ड: एक विभेदक रूप |2-फॉर्म $\omega$ जो दोनों बंद है (अर्थात, इसका बाहरी व्युत्पन्न $d\omega$ लुप्त हो जाता है) और गैर-पतित। उदाहरण के लिए उपरोक्त उपचार में लीजिए $M$ होना $\mathbb {R} ^{2n}$ और ले लो

$$\omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}.$$

अगर $\iota _{v}\omega$ आंतरिक उत्पाद या टेन्सर संकुचन ऑपरेशन द्वारा परिभाषित है $(\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)$, तो गैर-पतन हर एक-रूप के लिए ऐसा कहने के बराबर है $\alpha$ एक अद्वितीय सदिश क्षेत्र है $\Omega _{\alpha }$ ऐसा है कि $\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha$. वैकल्पिक रूप से, $\Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)$. तो अगर $H$ पर एक सुचारू कार्य है $M$, हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड $X_{H}$ होने के लिए परिभाषित किया जा सकता है $\Omega _{dH}$. यह देखना आसान है

$${\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}$$

पॉइसन ब्रैकेट $\ \{\cdot ,\,\cdot \}$ पर (M, ω) भिन्न-भिन्न कार्यों पर एक द्विरेखीय मानचित्र है, जिसे परिभाषित किया गया है $\{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})$; दो कार्यों के पॉइसन ब्रैकेट पर M अपने आप में एक फ़ंक्शन है M. पॉइसन ब्रैकेट एंटीसिमेट्रिक है क्योंकि:

$$\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.$$

आगे,

$${\begin{aligned}\{f,g\}&=\omega (X_{f},X_{g})=\omega (\Omega _{df},X_{g})\\&=(\iota _{\Omega _{df}}\omega )(X_{g})=df(X_{g})\\&=X_{g}f={\mathcal {L}}_{X_{g}}f.\end{aligned}}$$

(1)

यहाँ X_gf सदिश क्षेत्र को दर्शाता है X_g फ़ंक्शन पर लागू किया गया f एक दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में, और ${\mathcal {L}}_{X_{g}}f$ फ़ंक्शन के (पूरी तरह से समतुल्य) झूठ व्युत्पन्न को दर्शाता है f.

अगर α एक मनमाना एक-रूप है M, वेक्टर फ़ील्ड Ω_α (कम से कम स्थानीय स्तर पर) एक प्रवाह उत्पन्न करता है (गणित) $\phi _{x}(t)$ सीमा शर्त को पूरा करना $\phi _{x}(0)=x$ और प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण

$${\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.$$

$\phi _{x}(t)$ h> प्रत्येक के लिए सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म (विहित परिवर्तन) होगा t के एक कार्य के रूप में x अगर और केवल अगर ${\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0$; जब यह सच है, Ωα को सिंपलेक्टिक वेक्टर फ़ील्ड कहा जाता है। कार्टन की पहचान को याद करते हुए ${\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega$ और dω = 0, यह इस प्रकार है कि ${\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha$. इसलिए, Ωα एक सिम्प्लेक्टिक वेक्टर फ़ील्ड है यदि और केवल यदि α एक बंद और सटीक अंतर रूप है। तब से $d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0$, यह इस प्रकार है कि प्रत्येक हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड Xf एक सहानुभूति सदिश क्षेत्र है, और हैमिल्टनियन प्रवाह में विहित परिवर्तन शामिल हैं। से (1) ऊपर, हैमिल्टनियन प्रवाह के नीचे XH,

$${\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{H}f=\{f,H\}.$$

यह हैमिल्टनियन यांत्रिकी में एक मौलिक परिणाम है, जो चरण स्थान पर परिभाषित कार्यों के समय विकास को नियंत्रित करता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, कब {f,H} = 0, f सिस्टम की गति का एक स्थिरांक है। इसके अलावा, विहित निर्देशांक में (के साथ $\{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0$ और $\{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}$), सिस्टम के समय विकास के लिए हैमिल्टन के समीकरण इस सूत्र से तुरंत अनुसरण करते हैं।

यह भी अनुसरण करता है (1) कि पॉइसन ब्रैकेट एक व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) है; अर्थात्, यह लीबनिज़ के उत्पाद नियम के एक गैर-अनुविनियामक संस्करण को संतुष्ट करता है:

$$\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\},$$ and $$\{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}.$$

(2)

पॉइसन ब्रैकेट हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड के वेक्टर फ़ील्ड के लाई ब्रैकेट से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है। चूँकि लाई व्युत्पन्न एक व्युत्पत्ति है,

$${\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}w}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,w]}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega .$$

इस प्रकार यदि v और w सिंपलेक्टिक हैं, उपयोग कर रहे हैं ${\mathcal {L}}_{v}\omega \;=\;0$, कार्टन की पहचान, और तथ्य यह है कि $\iota _{w}\omega$ एक बंद रूप है,

$$\iota _{[v,w]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{w}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )=d(\omega (w,v)).$$

यह इस प्रकार है कि $[v,w]=X_{\omega (w,v)}$, ताकि

$$[X_{f},X_{g}]=X_{\omega (X_{g},X_{f})}=-X_{\omega (X_{f},X_{g})}=-X_{\{f,g\}}.$$

(3)

इस प्रकार, फ़ंक्शंस पर पॉइसन ब्रैकेट संबंधित हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड के लाई ब्रैकेट से मेल खाता है। हमने यह भी दिखाया है कि दो सिंपलेक्टिक वेक्टर फ़ील्ड का ले ब्रैकेट एक हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड है और इसलिए सिंपलेक्टिक भी है। अमूर्त बीजगणित की भाषा में, सहानुभूतिपूर्ण सदिश क्षेत्र चिकने सदिश क्षेत्रों के लाई बीजगणित का एक उपबीजगणित बनाते हैं। M, और हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड इस उपबीजगणित का बीजगणितीय आदर्श बनाते हैं। सिम्पलेक्टिक वेक्टर फ़ील्ड (अनंत-आयामी) सिम्पलेक्टोमोर्फिज्म के झूठ समूह के झूठ बीजगणित हैं M.

यह व्यापक रूप से दावा किया गया है कि पॉइसन ब्रैकेट के लिए जैकोबी पहचान,

$$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$$

वेक्टर फ़ील्ड के लाई ब्रैकेट के लिए संबंधित पहचान का अनुसरण करता है, लेकिन यह केवल स्थानीय रूप से स्थिर फ़ंक्शन तक ही सत्य है। हालाँकि, पॉइसन ब्रैकेट के लिए जैकोबी पहचान साबित करने के लिए, यह जैकोबी पहचान#उदाहरण है जो यह दर्शाता है:

$$\operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]$$

जहां ऑपरेटर $\operatorname {ad} _{g}$ सुचारू कार्यों पर M द्वारा परिभाषित किया गया है $\operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}$ और दाहिनी ओर का ब्रैकेट ऑपरेटरों का कम्यूटेटर है, $[\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A}$. द्वारा (1), परिचालक $\operatorname {ad} _{g}$ ऑपरेटर के बराबर है X_g. जैकोबी की पहचान का प्रमाण इस प्रकार है (3) क्योंकि, -1 के कारक तक, वेक्टर फ़ील्ड का लाई ब्रैकेट अंतर ऑपरेटरों के रूप में उनका कम्यूटेटर है।

एम पर सुचारु कार्यों के क्षेत्र पर बीजगणित, पॉइसन ब्रैकेट के साथ मिलकर एक पॉइसन बीजगणित बनाता है, क्योंकि यह पॉइसन ब्रैकेट के तहत एक लाई बीजगणित है, जो अतिरिक्त रूप से लीबनिज के नियम को संतुष्ट करता है। (2). हमने दिखाया है कि प्रत्येक सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड एक पॉइसन मैनिफोल्ड है, जो कि सुचारु कार्यों पर घुंघराले-ब्रैकेट ऑपरेटर के साथ एक मैनिफोल्ड है, जैसे कि सुचारु कार्य एक पॉइसन बीजगणित बनाते हैं। हालाँकि, प्रत्येक पॉइसन मैनिफोल्ड इस तरह से उत्पन्न नहीं होता है, क्योंकि पॉइसन मैनिफोल्ड पतन की अनुमति देता है जो सहानुभूतिपूर्ण मामले में उत्पन्न नहीं हो सकता है।

संयुग्मित संवेग पर एक परिणाम

एक सहज सदिश क्षेत्र दिया गया है $X$ कॉन्फ़िगरेशन स्थान पर, चलो $P_{X}$ इसका संयुग्मी संवेग हो। संयुग्मित संवेग मानचित्रण वेक्टर फ़ील्ड के लाई ब्रैकेट से पॉइसन ब्रैकेट तक एक लाई बीजगणित विरोधी समरूपता है:

$$\{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.$$

यह महत्वपूर्ण परिणाम एक संक्षिप्त प्रमाण के लायक है। एक वेक्टर फ़ील्ड लिखें $X$ बिंदु पर $q$ कॉन्फ़िगरेशन स्थान (भौतिकी) में जैसे

$$X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$$

कहाँ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$ स्थानीय समन्वय फ़्रेम है. से संयुग्मित संवेग $X$ अभिव्यक्ति है

$$P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}$$

जहां $p_{i}$ निर्देशांक से संयुग्मित संवेग फलन हैं। तो एक बिंदु के लिए, एक के पास है $(q,p)$ चरण स्थान में,

$${\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}$$

उपरोक्त सभी के लिए मान्य है $(q,p)$, वांछित परिणाम दे रहा है।

परिमाणीकरण

पोइसन ने वेइल परिमाणीकरण पर मोयल कोष्ठक में विरूपण सिद्धांत को कोष्ठक दिया, अर्थात, वे एक अलग लाई बीजगणित, मोयल कोष्ठक, या, हिल्बर्ट अंतरिक्ष में समकक्ष, क्वांटम कम्यूटेटर को सामान्यीकृत करते हैं। इनमें से विग्नर-इनोनु समूह का संकुचन (शास्त्रीय सीमा, ħ → 0) उपरोक्त लाई बीजगणित उत्पन्न करता है।

इसे और अधिक स्पष्ट रूप से और सटीक रूप से बताने के लिए, हेइज़ेनबर्ग बीजगणित का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित वेइल बीजगणित है (संबंधित मापांक कि केंद्र इकाई है)। मोयल उत्पाद तब प्रतीकों के बीजगणित पर स्टार उत्पाद का एक विशेष मामला है। प्रतीकों के बीजगणित और स्टार उत्पाद की एक स्पष्ट परिभाषा सार्वभौमिक आवरण बीजगणित पर लेख में दी गई है।

यह भी देखें

• कम्यूटेटर
• डिराक ब्रैकेट
• लैग्रेंज ब्रैकेट
• मोयल ब्रैकेट
• पीयरल्स ब्रैकेट
• चरण स्थान
• पॉइसन बीजगणित
• पॉइसन रिंग
• पॉइसन सुपरबीजगणित
• पॉइसन सुपरब्रैकेट

संदर्भ

• Arnold, Vladimir I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.
• Landau, Lev D.; Lifshitz, Evegeny M. (1982). Mechanics. Course of Theoretical Physics. Vol. 1 (3rd ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2896-9.
• Karasëv, Mikhail V.; Maslov, Victor P. (1993). Nonlinear Poisson brackets, Geometry and Quantization. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 119. Translated by Sossinsky, Alexey; Shishkova, M.A. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0821887967. MR 1214142.
• Moretti, Valter (2023). Analytical Mechanics,Classical, Lagrangian and Hamiltonian Mechanics, Stability Theory, Special Relativity. UNITEXT. Vol. 150. Springer. ISBN 978-3-031-27612-5.

बाहरी संबंध

• "Poisson brackets", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Eric W. Weisstein. "Poisson bracket". MathWorld.