कठोर शरीर

[[File:Flight dynamics with text.png|right|thumb|एक कठोर शरीर की स्थिति द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति और उसके दृष्टिकोण (ज्यामिति) (कुल में कम से कम छह मापदंडों) द्वारा निर्धारित की जाती है।^[1]भौतिकी में, एक कठोर शरीर (जिसे एक कठोर वस्तु के रूप में भी जाना जाता है^[2]) एक ठोस भौतिक शरीर है जिसमें विरूपण (इंजीनियरिंग) शून्य या इतना छोटा है कि इसे उपेक्षित किया जा सकता है।एक कठोर शरीर पर किसी भी दो दिए गए बिंदु (ज्यामिति) के बीच की दूरी बाहरी बलों या पल (भौतिकी) की परवाह किए बिना समय में स्थिर रहती है।एक कठोर शरीर को आमतौर पर द्रव्यमान के निरंतर यांत्रिकी के रूप में माना जाता है।

विशेष सापेक्षता के अध्ययन में, एक पूरी तरह से कठोर शरीर मौजूद नहीं है;और वस्तुओं को केवल कठोर माना जा सकता है यदि वे प्रकाश की गति के पास नहीं जा रहे हैं।क्वांटम यांत्रिकी में, एक कठोर शरीर को आमतौर पर बिंदु कण के संग्रह के रूप में माना जाता है।उदाहरण के लिए, अणुओं (बिंदु द्रव्यमान से मिलकर: इलेक्ट्रॉनों और नाभिक) को अक्सर कठोर निकायों के रूप में देखा जाता है (घूर्णी व्यवहार के आधार पर अणुओं का घूर्णी स्पेक्ट्रोस्कोपी#वर्गीकरण देखें)।

किनेमेटिक्स

रैखिक और कोणीय स्थिति

एक कठोर शरीर की स्थिति समन्वय प्रणाली है#सभी कणों के उदाहरण जिनमें से यह रचित है। इस स्थिति के विवरण को सरल बनाने के लिए, हम उस संपत्ति का शोषण करते हैं जो शरीर कठोर है, अर्थात् इसके सभी कण एक दूसरे के सापेक्ष समान दूरी बनाए रखते हैं। यदि शरीर कठोर है, तो कम से कम तीन गैर-कोलीनियर कणों की स्थिति का वर्णन करना पर्याप्त है। यह अन्य सभी कणों की स्थिति को फिर से संगठित करना संभव बनाता है, बशर्ते कि तीन चयनित कणों के सापेक्ष उनकी समय-अपरिवर्तनीय स्थिति ज्ञात हो। हालांकि, आमतौर पर एक अलग, गणितीय रूप से अधिक सुविधाजनक, लेकिन समकक्ष दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है। पूरे शरीर की स्थिति का प्रतिनिधित्व किया जाता है:

शरीर की रैखिक स्थिति या स्थिति, अर्थात् शरीर के कणों में से एक की स्थिति, विशेष रूप से एक संदर्भ बिंदु के रूप में चुना गया (आमतौर पर शरीर के द्रव्यमान या केंद्र के केंद्र के साथ मेल खाता है), साथ में
शरीर के अभिविन्यास (ज्यामिति) (जिसे अभिविन्यास, या दृष्टिकोण के रूप में भी जाना जाता है)।

इस प्रकार, एक कठोर शरीर की स्थिति में दो घटक होते हैं: क्रमशः रैखिक और कोणीय।^[3] अन्य किनेमेटिक्स और डायनामिक्स (यांत्रिकी) मात्राओं के लिए समान है, जो एक कठोर शरीर की गति का वर्णन करता है, जैसे कि रैखिक और कोणीय वेग, त्वरण, गति, आवेग (भौतिकी), और गतिज ऊर्जा।^[4] रैखिक समन्वय प्रणाली#उदाहरणों को अंतरिक्ष#शास्त्रीय यांत्रिकी (एक चुने हुए समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति) में एक मनमाना संदर्भ बिंदु पर अपनी पूंछ के साथ एक स्थिति वेक्टर द्वारा दर्शाया जा सकता है और कठोर शरीर पर ब्याज के एक मनमाना बिंदु पर इसकी टिप, आमतौर पर, आमतौर पर द्रव्यमान या सेंट्रोइड के अपने केंद्र के साथ संयोग। यह संदर्भ बिंदु शरीर के लिए निर्धारित एक समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को परिभाषित कर सकता है।

एक कठोर शरीर के अभिविन्यास (ज्यामिति) का संख्यात्मक रूप से वर्णन करने के कई तरीके हैं, जिसमें तीन यूलर कोणों का एक सेट, एक चतुर्भुज, या एक दिशा कोसाइन्स#कार्टेशियन निर्देशांक (रोटेशन मैट्रिक्स के रूप में भी संदर्भित) शामिल हैं। ये सभी विधियां वास्तव में एक आधार (रैखिक बीजगणित) (या समन्वय प्रणाली) के अभिविन्यास को परिभाषित करती हैं, जिसमें शरीर के सापेक्ष एक निश्चित अभिविन्यास होता है (यानी शरीर के साथ एक साथ घूमता है), एक और आधार सेट (या समन्वय प्रणाली) के सापेक्ष कठोर शरीर की गति देखी जाती है। उदाहरण के लिए, एक हवाई जहाज के सापेक्ष निश्चित अभिविन्यास के साथ एक आधार सेट को तीन ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर बी के एक सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है₁, बी₂, बी₃, जैसे कि बी₁ विंग की कॉर्ड लाइन के समानांतर है और आगे निर्देशित, बी₂ समरूपता के विमान के लिए सामान्य है और सही निर्देशित है, और बी₃ क्रॉस उत्पाद द्वारा दिया गया है $b_{3}=b_{1}\times b_{2}$ ।

सामान्य तौर पर, जब एक कठोर शरीर चलता है, तो इसकी स्थिति और अभिविन्यास दोनों समय के साथ भिन्न होते हैं।कीनेमेटिक अर्थ में, इन परिवर्तनों को क्रमशः अनुवाद (भौतिकी) और रोटेशन के रूप में संदर्भित किया जाता है।वास्तव में, एक कठोर शरीर की स्थिति को एक परिकल्पना अनुवाद और रोटेशन (रोटो-अनुवाद) के रूप में देखा जा सकता है, जो एक परिकल्पना संदर्भ स्थिति से शुरू होता है (जरूरी नहीं कि वास्तव में शरीर द्वारा अपनी गति के दौरान ली गई स्थिति के साथ मेल खाती हो)।

रैखिक और कोणीय वेग

वेग (जिसे रैखिक वेग भी कहा जाता है) और कोणीय वेग को संदर्भ के एक फ्रेम के संबंध में मापा जाता है।

एक कठोर शरीर का रैखिक वेग एक वेक्टर (ज्यामिति) मात्रा है, जो इसकी रैखिक स्थिति के समय व्युत्पन्न के बराबर है। इस प्रकार, यह शरीर के लिए तय एक संदर्भ बिंदु का वेग है। विशुद्ध रूप से अनुवादात्मक गति (बिना रोटेशन के गति) के दौरान, एक कठोर शरीर पर सभी बिंदु एक ही वेग के साथ चलते हैं। हालांकि, जब गति (भौतिकी) में रोटेशन शामिल होता है, तो शरीर पर किसी भी दो बिंदुओं का तात्कालिक वेग आम तौर पर समान नहीं होगा। एक घूर्णन शरीर के दो बिंदुओं में तभी एक ही तात्कालिक वेग होगा जब वे रोटेशन के तात्कालिक अक्ष के समानांतर एक अक्ष पर झूठ बोलते हैं।

कोणीय वेग एक वेक्टर (ज्यामिति) मात्रा है जो कोणीय गति का वर्णन करता है जिस पर कठोर शरीर का उन्मुखीकरण बदल रहा है और रोटेशन की तात्कालिक अक्ष जिसके बारे में यह घूम रहा है (इस तात्कालिक अक्ष का अस्तित्व यूलर के रोटेशन प्रमेय द्वारा गारंटी है) । एक कठोर शरीर पर सभी बिंदु हर समय एक ही कोणीय वेग का अनुभव करते हैं। विशुद्ध रूप से घूर्णी गति के दौरान, शरीर पर सभी बिंदु बदल जाते हैं, जो रोटेशन के तात्कालिक अक्ष पर झूठ बोलने वाले लोगों को छोड़कर। अभिविन्यास और कोणीय वेग के बीच संबंध स्थिति और वेग के बीच संबंध के अनुरूप नहीं है। कोणीय वेग अभिविन्यास का समय व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि एक अभिविन्यास वेक्टर के रूप में ऐसी कोई अवधारणा नहीं है जो कोणीय वेग प्राप्त करने के लिए व्युत्पन्न हो सकता है।

कीनेमेटिकल समीकरण

कोणीय वेग के लिए प्रमेय

एक संदर्भ फ्रेम n में एक कठोर शरीर b का कोणीय वेग n में एक कठोर शरीर d के कोणीय वेग के योग के बराबर है और d के संबंध में B के कोणीय वेग:^[5]

{}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }={}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {D} }+{}^{\mathrm {D} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }.

इस मामले में, कठोर निकाय और संदर्भ फ़्रेम अप्रभेद्य और पूरी तरह से विनिमेय हैं।

इसके अलावा स्थिति के लिए प्रमेय

तीन अंक P, Q, और R के किसी भी सेट के लिए, P से R से स्थिति वेक्टर P से P से Q और Q से r से स्थिति वेक्टर की स्थिति वेक्टर का योग है:

\mathbf {r} ^{\mathrm {PR} }=\mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }+\mathbf {r} ^{\mathrm {QR} }.

वेग की गणितीय परिभाषा

संदर्भ फ्रेम n में बिंदु P के वेग को O से P से स्थिति वेक्टर के n में समय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:^[6]

{}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }={\frac {{}^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {OP} })

जहां ओ संदर्भ फ्रेम एन में तय किया गया कोई मनमाना बिंदु है, और डी/डीटी ऑपरेटर के बाईं ओर एन इंगित करता है कि व्युत्पन्न को संदर्भ फ्रेम एन में लिया गया है। परिणाम ओ के चयन से स्वतंत्र है जब तक कि ओ तय नहीं हैसराय।

त्वरण की गणितीय परिभाषा

संदर्भ फ्रेम n में बिंदु P के त्वरण को इसके वेग के n में समय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:^[6]

{}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }={\frac {^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }).

एक कठोर शरीर पर तय दो बिंदुओं का वेग

दो बिंदुओं के लिए P और Q जो एक कठोर शरीर B पर तय किए जाते हैं, जहां B का एक कोणीय वेग होता है $\scriptstyle {^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}$ संदर्भ फ्रेम n में, n में q के वेग को n में p के वेग के एक समारोह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:^[7]

{}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\!\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }.

कहाँ पे $\mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }$ P से Q तक स्थिति वेक्टर है।^[7]

एक कठोर शरीर पर तय दो बिंदुओं का त्वरण

समय के संबंध में एन में एक कठोर शरीर पर तय दो बिंदुओं के वेग के लिए समीकरण को अलग करके, एक कठोर शरीर बी पर तय एक बिंदु क्यू के संदर्भ फ्रेम एन में त्वरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

{}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \left({}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }\right)+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }

कहाँ पे $\scriptstyle {{}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }}$ संदर्भ फ्रेम एन में बी का कोणीय त्वरण है।^[7]

कोणीय वेग और एक कठोर शरीर पर तय दो बिंदुओं का त्वरण

जैसा कि उल्लेख किया गया है कि कठोर शरीर#रैखिक और कोणीय वेग, एक कठोर शरीर बी पर सभी बिंदुओं में एक ही कोणीय वेग होता है ${}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }$ एक निश्चित संदर्भ फ्रेम n में, और इस प्रकार एक ही कोणीय त्वरण ${}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }.$

एक बिंदु पर एक बिंदु का वेग एक कठोर शरीर पर चल रहा है

यदि बिंदु R कठोर शरीर में आगे बढ़ रहा है, जबकि B संदर्भ फ्रेम n में चलता है, तो n में R का वेग है

{}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }

जहां क्यू बी में तय बिंदु है जो कि तुरंत ब्याज के तुरंत बाद आर के साथ संयोग है।^[8] इस संबंध को अक्सर एक कठोर शरीर पर तय दो बिंदुओं के वेग के संबंध के साथ जोड़ा जाता है।

एक कठोर शरीर पर एक बिंदु का त्वरण

पॉइंट आर के संदर्भ फ्रेम एन में त्वरण बॉडी बी में चल रहा है जबकि बी फ्रेम एन में आगे बढ़ रहा है

{}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }+2{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times {}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }

जहां क्यू बी में तय बिंदु है जो तुरंत रुचि के तत्काल आर के साथ संयोग से संयोग करता है।^[8] यह समीकरण अक्सर एक कठोर शरीर पर तय दो बिंदुओं के त्वरण के साथ संयुक्त होता है।

अन्य मात्रा

यदि C एक स्थानीय समन्वय प्रणाली L की उत्पत्ति है, जो शरीर से जुड़ा हुआ है,

एक कठोर शरीर के 'स्थानिक' या 'स्क्रू थ्योरी#ट्विस्ट' 'त्वरण' को सी के स्थानिक त्वरण के रूप में परिभाषित किया गया है (जैसा कि ऊपर सामग्री त्वरण के विपरीत);

{\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})-{\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})={\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)+{\boldsymbol {\alpha }}(t)\times A(t)\mathbf {r} _{0}

कहाँ पे

$\mathbf {r} _{0}$ स्थानीय समन्वय प्रणाली एल के संदर्भ में शरीर के संदर्भ बिंदु के संबंध में बिंदु/कण की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है (शरीर की कठोरता का मतलब है कि यह समय पर निर्भर नहीं करता है)
$A(t)\,$ ओरिएंटेशन (कठोर शरीर) मैट्रिक्स, निर्धारक 1 के साथ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, जो स्थानीय समन्वय प्रणाली एल के अभिविन्यास (कठोर शरीर) (कोणीय स्थिति) का प्रतिनिधित्व करता है, एक अन्य समन्वय प्रणाली जी के मनमाना संदर्भ अभिविन्यास के संबंध में। इस बारे में सोचेंतीन ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर के रूप में मैट्रिक्स, प्रत्येक कॉलम में से एक, जो जी के संबंध में एल के अक्षों के उन्मुखीकरण को परिभाषित करता है।
${\boldsymbol {\omega }}(t)$ कठोर शरीर के कोणीय वेग का प्रतिनिधित्व करता है
$\mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})$ बिंदु/कण के कुल वेग का प्रतिनिधित्व करता है
$\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})$ बिंदु/कण के कुल त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है
${\boldsymbol {\alpha }}(t)$ कठोर शरीर के कोणीय त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है
${\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})$ बिंदु/कण के स्थानिक त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है
${\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)$ कठोर शरीर के स्थानिक त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है (यानी एल की उत्पत्ति का स्थानिक त्वरण)।

2 डी में, कोणीय वेग एक स्केलर है, और मैट्रिक्स ए (टी) बस एक कोण द्वारा एक्सवाई-प्लेन में एक रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है जो समय के साथ कोणीय वेग का अभिन्न अंग है।

वाहन, चलने वाले लोग, आदि, आमतौर पर वेग की दिशा में परिवर्तन के अनुसार घूमते हैं: वे अपने स्वयं के अभिविन्यास के संबंध में आगे बढ़ते हैं।फिर, यदि शरीर एक विमान में एक बंद कक्षा का अनुसरण करता है, तो कोणीय वेग एक समय अंतराल पर एकीकृत होता है जिसमें कक्षा एक बार पूरी होती है, एक पूर्णांक 360 ° है।यह पूर्णांक वेग की उत्पत्ति के संबंध में घुमावदार संख्या है।बहुभुज#कोणों की तुलना करें।

काइनेटिक्स

कोई भी बिंदु जो शरीर से कठोर रूप से जुड़ा हुआ है, उसे शरीर की रैखिक गति (रैखिक स्थिति, वेग और त्वरण वैक्टर पसंद पर निर्भर) का वर्णन करने के लिए संदर्भ बिंदु (समन्वय प्रणाली एल की उत्पत्ति) के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

हालांकि, आवेदन के आधार पर, एक सुविधाजनक विकल्प हो सकता है:

पूरे सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र, जिसमें आम तौर पर अंतरिक्ष में स्वतंत्र रूप से चलने वाले शरीर के लिए सबसे सरल गति होती है;
एक बिंदु जैसे कि अनुवादात्मक गति शून्य या सरलीकृत है, उदा। एक धुरा या काज पर, एक गेंद और सॉकेट संयुक्त के केंद्र में, आदि।

जब द्रव्यमान के केंद्र का उपयोग संदर्भ बिंदु के रूप में किया जाता है:

(रैखिक) गति घूर्णी गति से स्वतंत्र है। किसी भी समय यह कठोर शरीर के कुल द्रव्यमान के बराबर होता है जो अनुवादात्मक वेग के समय होता है।
द्रव्यमान के केंद्र के संबंध में कोणीय गति अनुवाद के बिना समान है: किसी भी समय यह जड़ता के क्षण के बराबर होता है जो कोणीय वेग के समय होता है। जब कोणीय वेग को एक समन्वय प्रणाली के संबंध में व्यक्त किया जाता है, जो शरीर के जड़ता#जड़ता के क्षण के साथ मेल खाता है, तो कोणीय गति का प्रत्येक घटक जड़ता के एक क्षण का एक उत्पाद होता है (जड़ता टेंसर का एक प्रमुख मूल्य) बार कोणीय वेग के संगत घटक; टोक़ जड़ता टेन्सर बार कोणीय त्वरण है।
बाहरी बलों की अनुपस्थिति में संभावित गतियों में निरंतर वेग के साथ अनुवाद, एक निश्चित प्रिंसिपल अक्ष के बारे में स्थिर रोटेशन है, और टॉर्क-फ्री प्रीसेशन भी है।
कठोर निकाय पर शुद्ध बाहरी बल हमेशा कुल द्रव्यमान समय के बराबर होता है, अनुवादात्मक त्वरण (यानी, न्यूटन के प्रस्ताव के नियम। न्यूटन का दूसरा कानून अनुवादात्मक गति के लिए होता है, तब भी जब शुद्ध बाहरी टोक़ नॉनज़ेरो, और/या द शरीर घूमता है)।
कुल गतिज ऊर्जा केवल अनुवाद और घूर्णी ऊर्जा का योग है।

ज्यामिति

दो कठोर निकायों को समानता (वस्तुएं) (प्रतियां नहीं) कहा जाता है यदि एक से दूसरे में कोई उचित रोटेशन नहीं है। एक कठोर शरीर को चिरलिटी (गणित) कहा जाता है यदि इसकी दर्पण छवि उस अर्थ में भिन्न होती है, यानी, अगर इसमें या तो कोई समरूपता नहीं है या इसके समरूपता समूह में केवल उचित घुमाव शामिल हैं।विपरीत मामले में एक वस्तु को अचिरल कहा जाता है: दर्पण छवि एक प्रति है, न कि एक अलग वस्तु।इस तरह की वस्तु में एक समरूपता विमान हो सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि: इस संबंध के साथ प्रतिबिंब का एक विमान भी हो सकता है जिसके लिए वस्तु की छवि एक घुमाया गया संस्करण है।उत्तरार्द्ध तीन आयामों में बिंदु समूहों के लिए लागू होता है | s_2n, जिसमें मामला n = 1 उलटा समरूपता है।

एक (कठोर) आयताकार पारदर्शी शीट के लिए, उलटा समरूपता एक तरफ एक छवि के बिना घूर्णी समरूपता के बिना एक छवि से मेल खाती है और दूसरी तरफ एक छवि जैसे कि जो चमकती है वह शीर्ष तरफ छवि है, उल्टा। हम दो मामलों को अलग कर सकते हैं:

छवि के साथ चादर की सतह सममित नहीं है - इस मामले में दोनों पक्ष अलग -अलग हैं, लेकिन वस्तु की दर्पण छवि समान है, 180 ° द्वारा मिरर प्लेन के लंबवत के बारे में 180 ° तक रोटेशन के बाद।
छवि के साथ चादर की सतह में एक समरूपता अक्ष होता है - इस मामले में दोनों पक्ष समान होते हैं, और ऑब्जेक्ट की दर्पण छवि भी समान होती है, फिर से 180 ° से रोटेशन के बाद मिरर प्लेन के अक्षीय अक्ष के बारे में।

एक के माध्यम से और छवि के माध्यम से एक शीट अचिरल है। हम फिर से दो मामलों को अलग कर सकते हैं:

छवि के साथ चादर की सतह में कोई समरूपता अक्ष नहीं है - दोनों पक्ष अलग हैं
छवि के साथ चादर की सतह में एक समरूपता अक्ष है - दोनों पक्ष समान हैं

कॉन्फ़िगरेशन स्पेस

एक बिंदु तय (यानी, शून्य अनुवादात्मक गति के साथ एक शरीर) के साथ एक कठोर शरीर का कॉन्फ़िगरेशन स्थान (भौतिकी) रोटेशन समूह के अंतर्निहित कई गुना द्वारा दिया जाता है (3)।एक नॉनफिक्सेड (गैर-शून्य अनुवादात्मक गति के साथ) कठोर शरीर का कॉन्फ़िगरेशन स्थान Euclidean समूह#प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष आइसोमेट्रीज़ है। ई।⁺ (3), यूक्लिडियन समूह का उपसमूह#तीन आयामों (अनुवाद (ज्यामिति) और रोटेशन के संयोजन) में यूक्लिडियन समूह के प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष आइसोमेट्रीज।

यह भी देखें

कोणीय गति
कुल्हाड़ियों पर सम्मेलन
कठोर शरीर की गतिशीलता
तिरछी-सममित मैट्रिक्स#infinitesimal घुमाव
यूलर के समीकरण (कठोर शरीर की गतिशीलता)
यूलर के कानून
जन्म कठोरता
कठोर रोटर
कठोर परिवर्तन
ज्यामितीय यांत्रिकी
क्लासिकल मैकेनिक्स (गोल्डस्टीन बुक) | क्लासिकल मैकेनिक्स (गोल्डस्टीन)

↑ Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano (2000). "§2.4.2 Roll-pitch-yaw angles". Modelling and control of robot manipulators (2nd ed.). Springer. p. 32. ISBN 1-85233-221-2.
↑ Andy Ruina and Rudra Pratap (2015). Introduction to Statics and Dynamics. Oxford University Press. (link: [1])
↑ In general, the position of a point or particle is also known, in physics, as linear position, as opposed to the angular position of a line, or line segment (e.g., in circular motion, the "radius" joining the rotating point with the center of rotation), or basis set, or coordinate system.
↑
In kinematics, linear means "along a straight or curved line" (the path of the particle in space). In mathematics, however, linear has a different meaning. In both contexts, the word "linear" is related to the word "line". In mathematics, a line is often defined as a straight curve. For those who adopt this definition, a curve can be straight, and curved lines are not supposed to exist. In kinematics, the term line is used as a synonym of the term trajectory, or path (namely, it has the same non-restricted meaning as that given, in mathematics, to the word curve). In short, both straight and curved lines are supposed to exist. In kinematics and dynamics, the following words refer to the same non-restricted meaning of the term "line":
- "linear" (= along a straight or curved line),
- "rectilinear" (= along a straight line, from Latin rectus = straight, and linere = spread),
- "curvilinear" (=along a curved line, from Latin curvus = curved, and linere = spread).
In topology and meteorology, the term "line" has the same meaning; namely, a contour line is a curve.
↑ Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "2-4 Auxiliary Reference Frames". Dynamics Online. Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.
↑ ^6.0 ^6.1 Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "2-6 Velocity and Acceleration". Dynamics Online. Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.
↑ ^7.0 ^7.1 ^7.2 Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "2-7 Two Points Fixed on a Rigid Body". Dynamics Online. Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.
↑ ^8.0 ^8.1 Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "2-8 One Point Moving on a Rigid Body". Dynamics Online. Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.

संदर्भ

Roy Featherstone (1987). Robot Dynamics Algorithms. Springer. ISBN 0-89838-230-0. This reference effectively combines screw theory with rigid body dynamics for robotic applications. The author also chooses to use spatial accelerations extensively in place of material accelerations as they simplify the equations and allow for compact notation.
JPL DARTS page has a section on spatial operator algebra (link: [2]) as well as an extensive list of references (link: [3]).
Andy Ruina and Rudra Pratap (2015). Introduction to Statics and Dynamics. Oxford University Press. (link: [4]).

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बाहरी संबंध

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[Sciavicco-1] Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano (2000). "§2.4.2 Roll-pitch-yaw angles". Modelling and control of robot manipulators (2nd ed.). Springer. p. 32. ISBN 1-85233-221-2.

[2] Andy Ruina and Rudra Pratap (2015). Introduction to Statics and Dynamics. Oxford University Press. (link: [1])

[3] In general, the position of a point or particle is also known, in physics, as linear position, as opposed to the angular position of a line, or line segment (e.g., in circular motion, the "radius" joining the rotating point with the center of rotation), or basis set, or coordinate system.

[4] In kinematics, linear means "along a straight or curved line" (the path of the particle in space). In mathematics, however, linear has a different meaning. In both contexts, the word "linear" is related to the word "line". In mathematics, a line is often defined as a straight curve. For those who adopt this definition, a curve can be straight, and curved lines are not supposed to exist. In kinematics, the term line is used as a synonym of the term trajectory, or path (namely, it has the same non-restricted meaning as that given, in mathematics, to the word curve). In short, both straight and curved lines are supposed to exist. In kinematics and dynamics, the following words refer to the same non-restricted meaning of the term "line":
"linear" (= along a straight or curved line),

"rectilinear" (= along a straight line, from Latin rectus = straight, and linere = spread),

"curvilinear" (=along a curved line, from Latin curvus = curved, and linere = spread).
In topology and meteorology, the term "line" has the same meaning; namely, a contour line is a curve.

[5] "linear" (= along a straight or curved line),

[6] "rectilinear" (= along a straight line, from Latin rectus = straight, and linere = spread),

[7] "curvilinear" (=along a curved line, from Latin curvus = curved, and linere = spread).

[5] Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "2-4 Auxiliary Reference Frames". Dynamics Online. Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.

[od26-6] 6.0 ^6.1 Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "2-6 Velocity and Acceleration". Dynamics Online. Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.

[od27-7] 7.0 ^7.1 ^7.2 Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "2-7 Two Points Fixed on a Rigid Body". Dynamics Online. Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.

[od28-8] 8.0 ^8.1 Kane, Thomas; Levinson, David (1996). "2-8 One Point Moving on a Rigid Body". Dynamics Online. Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.

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