झूठ व्युत्पन्न

अंतर ज्यामिति में, लाइ डेरिवेटिव (/liː/ LEE), व्लाडिसलाव स्लेबोडज़िंस्की द्वारा सोफस झूठ के नाम पर रखा गया, एक अन्य सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित प्रवाह (गणित) के साथ एक टेन्सर क्षेत्र (स्केलर फ़ंक्शंस, वेक्टर क्षेत्र और एक-रूपों सहित) के परिवर्तन का मूल्यांकन करता है। यह परिवर्तन निर्देशांक अपरिवर्तनीय है और इसलिए लाई डेरिवेटिव को किसी भी अलग-अलग कई गुना पर परिभाषित किया गया है।

सदिश क्षेत्र के संबंध में कार्य, टेंसर क्षेत्र और रूपों को अलग किया जा सकता है। यदि T एक टेन्सर क्षेत्र है और X एक सदिश क्षेत्र है, तो X के संबंध में T का लाई डेरिवेटिव निरूपित किया जाता है ${\mathcal {L}}_{X}(T)$. अंतर ऑपरेटर $T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}(T)$ अंतर्निहित कई गुना के टेंसर क्षेत्रों के बीजगणित का व्युत्पन्न (अंतर बीजगणित) है।

लाई डेरिवेटिव टेन्सर संकुचन के साथ संचार करता है और विभेदक रूप पर बाहरी डेरिवेटिव।

यद्यपि विभेदक ज्यामिति में व्युत्पन्न लेने की कई अवधारणाएँ हैं, वे सभी सहमत हैं जब विभेदित किया जा रहा अभिव्यक्ति एक फ़ंक्शन या अदिश क्षेत्र है। इस प्रकार इस मामले में झूठ शब्द को हटा दिया गया है, और एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बारे में बात करता है।

एक अन्य सदिश क्षेत्र X के संबंध में एक सदिश क्षेत्र Y का लाई डेरिवेटिव, X और Y के सदिश क्षेत्रों के लाई ब्रैकेट के रूप में जाना जाता है, और इसे अक्सर इसके बजाय [X,Y] निरूपित किया जाता है ${\mathcal {L}}_{X}(Y)$. सदिश क्षेत्रों का स्थान इस लाई कोष्ठक के संबंध में एक लाई बीजगणित बनाता है। पहचान के कारण लाइ डेरिवेटिव इस झूठ बीजगणित के अनंत-आयामी झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व का गठन करता है

${\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T,$

किसी भी वेक्टर फ़ील्ड X और Y और किसी टेंसर फ़ील्ड T के लिए मान्य।

एम पर प्रवाह (गणित) (अर्थात् एक-आयामी समूह (गणित) ऑफ डिफियोमोर्फिज्म) के लाई बीजगणित के रूप में सदिश क्षेत्रों को ध्यान में रखते हुए, लाई डेरिवेटिव लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व है फ़ील्ड्स, लाइ बीजगणित प्रतिनिधित्व के रूप में लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व के अनुरूप # लाई समूह सिद्धांत में समूह प्रतिनिधित्व से जुड़े अनंततम लाई समूह प्रतिनिधित्व।

सामान्यीकरण spinor क्षेत्रों, कनेक्शन (गणित) के साथ फाइबर बंडलों और वेक्टर-मूल्यवान अंतर रूपों के लिए मौजूद हैं।

प्रेरणा

एक सदिश क्षेत्र के संबंध में एक टेन्सर क्षेत्र के व्युत्पन्न को परिभाषित करने का एक 'भोला' प्रयास टेन्सर # को टेन्सर क्षेत्र के बहुआयामी सरणियों के रूप में लेना होगा और सदिश क्षेत्र के संबंध में प्रत्येक घटक के दिशात्मक व्युत्पन्न को लेना होगा। हालाँकि, यह परिभाषा अवांछनीय है क्योंकि यह मैनिफोल्ड # ट्रांज़िशन मैप के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है, उदा। ध्रुवीय समन्वय प्रणाली या गोलाकार समन्वय प्रणाली में व्यक्त सहज व्युत्पन्न कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में घटकों के सरल व्युत्पन्न से भिन्न होता है। एक सार कई गुना पर ऐसी परिभाषा अर्थहीन और बीमार परिभाषित है। डिफरेंशियल ज्योमेट्री में, टेंसर फील्ड्स के विभेदीकरण की तीन मुख्य समन्वित स्वतंत्र धारणाएँ हैं: लाइ डेरिवेटिव, कनेक्शन (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) के संबंध में डेरिवेटिव, और पूरी तरह से एंटी सिमेट्रिक (कोवेरिएंट) टेंसर या डिफरेंशियल फॉर्म का बाहरी डेरिवेटिव। एक कनेक्शन के संबंध में लाई डेरिवेटिव और डेरिवेटिव के बीच मुख्य अंतर यह है कि स्पर्शरेखा स्थान के संबंध में टेंसर फील्ड का बाद वाला डेरिवेटिव अच्छी तरह से परिभाषित है, भले ही यह निर्दिष्ट न हो कि उस टेंगेंट वेक्टर को वेक्टर फील्ड में कैसे बढ़ाया जाए। . हालाँकि एक कनेक्शन के लिए एक अतिरिक्त ज्यामितीय संरचना (उदाहरण के लिए एक रीमैनियन कई गुना या सिर्फ एक अमूर्त कनेक्शन (डिफरेंशियल ज्योमेट्री)) की आवश्यकता होती है। इसके विपरीत, लाई डेरिवेटिव लेते समय, मैनिफोल्ड पर कोई अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन टेन्सर क्षेत्र के लाई डेरिवेटिव के बारे में बात करना असंभव है, क्योंकि टेन्सर के लाई डेरिवेटिव के मूल्य के बाद से एक टेंगेंट वेक्टर के संबंध में एक बिंदु पी पर वेक्टर फ़ील्ड एक्स के संबंध में क्षेत्र पी के पड़ोस में एक्स के मूल्य पर निर्भर करता है, न केवल पी पर। अंत में, विभेदक रूपों के बाहरी व्युत्पन्न को किसी भी अतिरिक्त विकल्प की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन केवल अंतर रूपों (कार्यों सहित) का एक अच्छी तरह से परिभाषित व्युत्पन्न है।

परिभाषा

लाइ डेरिवेटिव को कई समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। चीजों को सरल रखने के लिए, हम सामान्य टेन्सर की परिभाषा पर आगे बढ़ने से पहले, स्केलर फ़ंक्शंस और वेक्टर फ़ील्ड्स पर लाई डेरिवेटिव अभिनय को परिभाषित करके शुरू करते हैं।

एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न (झूठ)

एक समारोह के व्युत्पन्न को परिभाषित करना $f\colon M\to {\mathbb {R} }$ कई गुना पर समस्याग्रस्त है क्योंकि अंतर भागफल $\textstyle (f(x+h)-f(x))/h$ विस्थापन के दौरान निर्धारित नहीं किया जा सकता है $x+h$ अपरिभाषित है।

किसी फ़ंक्शन का लाइ डेरिवेटिव $f\colon M\to {\mathbb {R} }$ एक वेक्टर क्षेत्र के संबंध में $X$ एक बिंदु पर $p\in M$ कार्य है

$({\mathcal {L}}_{X}f)(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(P(t,p))-f(p)}{t}}\colon M\to {\mathbb {R} },$

कहाँ $P(t,p)$ वह बिंदु है जिस तक प्रवाह (गणित) वेक्टर क्षेत्र द्वारा परिभाषित किया गया है $X$ बिंदु को मैप करता है $p$ समय पर तुरंत $t.$ आसपास के क्षेत्र में $t=0,$ $P(t,p)$ प्रणाली का अनूठा समाधान है

${\frac {d}{dt}}P(t,p)=X(P(t,p))$

स्पर्शरेखा स्थान में प्रथम-क्रम स्वायत्त (यानी समय-स्वतंत्र) अंतर समीकरण $T_{P(t,p)}M$, साथ $P(0,p)=p.$ कई गुना # चार्ट के लिए $(U,\varphi )$ कई गुना पर $M,$ और $x\in U,$ होने देना $d\varphi _{x}\colon T_{x}U\to T_{\varphi (x)}{\mathbb {R} }^{n}\cong {\mathbb {R} }^{n}$ स्पर्शरेखा रैखिक मानचित्र बनें। अंतर समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली एक प्रणाली के रूप में अधिक स्पष्ट रूप से लिखी गई है

${\frac {d}{dt}}\varphi (P(t,p))=d\varphi _{P(t,p)}X(P(t,p))$

में ${\mathbb {R} }^{n},$ प्रारंभिक स्थिति होने के साथ $\varphi (P(0,p))=\varphi (p).$ यह आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि समाधान $P(t,p)$ समन्वय चार्ट की पसंद से स्वतंत्र है।

सेटिंग ${\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f$ किसी फलन के लाई व्युत्पन्न को दिशात्मक व्युत्पन्न के साथ पहचानता है।

सदिश क्षेत्र का लाइ डेरिवेटिव

यदि X और Y दोनों सदिश क्षेत्र हैं, तो X के संबंध में Y का लाई व्युत्पन्न X और Y के सदिश क्षेत्रों के लाई कोष्ठक के रूप में भी जाना जाता है, और कभी-कभी इसे निरूपित किया जाता है $[X,Y]$. लाई ब्रैकेट को परिभाषित करने के लिए कई दृष्टिकोण हैं, जिनमें से सभी समतुल्य हैं। हम यहां दो परिभाषाओं को सूचीबद्ध करते हैं, जो ऊपर दी गई सदिश क्षेत्र की दो परिभाषाओं के अनुरूप हैं:

• The Lie bracket of X and Y at p is given in local coordinates by the formula

  ${\mathcal {L}}_{X}Y(p)=[X,Y](p)=\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p),$

  where $\partial _{X}$ and $\partial _{Y}$ denote the operations of taking the directional derivatives with respect to X and Y, respectively. Here we are treating a vector in n-dimensional space as an n-tuple, so that its directional derivative is simply the tuple consisting of the directional derivatives of its coordinates. Although the final expression $\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p)$ appearing in this definition does not depend on the choice of local coordinates, the individual terms $\partial _{X}Y(p)$ and $\partial _{Y}X(p)$ do depend on the choice of coordinates.
• If X and Y are vector fields on a manifold M according to the second definition, then the operator ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$ defined by the formula

  $[X,Y]:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)$

  $[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))$

  is a derivation of order zero of the algebra of smooth functions of M, i.e. this operator is a vector field according to the second definition.

टेन्सर फील्ड का लाइ डेरिवेटिव

प्रवाह के संदर्भ में परिभाषा

लाइ डेरिवेटिव वह गति है जिसके साथ प्रवाह के कारण होने वाले अंतरिक्ष विरूपण के तहत टेंसर क्षेत्र बदलता है।

औपचारिक रूप से, एक अवकलनीय (समय-स्वतंत्र) सदिश क्षेत्र दिया गया है $X$ एक चिकने मैनिफोल्ड पर $M,$ होने देना $\Gamma _{X}^{t}:M\to M$ संबंधित स्थानीय प्रवाह हो और $\Gamma _{X}^{0}$ पहचान मानचित्र। तब से $\Gamma _{X}^{t}$ प्रत्येक के लिए एक स्थानीय भिन्नता है $t$ और $p\in M,$ उलटा

$\left(d_{p}\Gamma _{X}^{t}\right)^{-1}:T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}M\to T_{p}M$

पुशफॉरवर्ड (अंतर) का $\left(d_{p}\Gamma _{X}^{t}\right)$ विशिष्ट रूप से समरूपता तक फैली हुई है

$h_{p}^{t}:T\left(T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}M\right)\to T(T_{p}M)$

स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के टेंसर बीजगणित के बीच $T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}M$ और $T_{p}M.$ इसी तरह, पुलबैक (अंतर ज्यामिति)

$\left(\Gamma _{X}^{t}\right)_{p}^{*}:T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}^{*}M\to T_{p}^{*}M$

एक अद्वितीय टेन्सर बीजगणित समरूपता के लिए लिफ्ट करता है

$h_{p}^{t}:T\left(T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}^{*}M\right)\to T(T_{p}^{*}M).$

हरएक के लिए $t,$ नतीजतन, एक टेंसर क्षेत्र है $h_{p}^{t}Y$ समान वैलेंस का $Y$'एस।

अगर $Y$ एक $(r,0)$- या $(0,s)$-टाइप टेंसर फील्ड, फिर लाइ डेरिवेटिव ${\cal {L}}_{X}Y$ का $Y$ एक वेक्टर क्षेत्र के साथ $X$ बिंदु पर परिभाषित किया गया है $p\in M$ होना

${\cal {L}}_{X}Y(p)={\frac {d}{dt}}{\Biggl |}_{t=0}\left(h_{p}^{t}\left[Y\left(\Gamma _{X}^{t}(p)\right)\right]\right)=\lim _{t\to 0}{\frac {h_{p}^{t}\left[Y\left(\Gamma _{X}^{t}(p)\right)\right]-Y(p)}{t}}.$

परिणामी टेंसर फ़ील्ड ${\cal {L}}_{X}Y$ के समान संयोजकता है $Y$'एस।

बीजगणितीय परिभाषा

अब हम एक बीजगणितीय परिभाषा देते हैं। टेंसर क्षेत्र के लाई डेरिवेटिव के लिए बीजगणितीय परिभाषा निम्नलिखित चार स्वयंसिद्धों से होती है:

अभिगृहीत 1. किसी फलन का झूठ व्युत्पन्न फलन के दिशात्मक अवकलज के बराबर होता है। यह तथ्य प्रायः सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

${\mathcal {L}}_{Y}f=Y(f)$

अभिगृहीत 2। लाई डेरिवेटिव लीबनिज के नियम के निम्नलिखित संस्करण का पालन करता है: किसी भी टेन्सर फ़ील्ड S और T के लिए, हमारे पास है

${\mathcal {L}}_{Y}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{Y}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{Y}T).$

अभिगृहीत 3. लाइ डेरिवेटिव टेन्सर संकुचन के संबंध में लीबनिज नियम का पालन करता है:

${\mathcal {L}}_{X}(T(Y_{1},\ldots ,Y_{n}))=({\mathcal {L}}_{X}T)(Y_{1},\ldots ,Y_{n})+T(({\mathcal {L}}_{X}Y_{1}),\ldots ,Y_{n})+\cdots +T(Y_{1},\ldots ,({\mathcal {L}}_{X}Y_{n}))$

अभिगृहीत 4. लाइ डेरिवेटिव कार्यों पर बाहरी डेरिवेटिव के साथ आवागमन करता है:

$[{\mathcal {L}}_{X},d]=0$

यदि ये स्वयंसिद्ध धारण करते हैं, तो लाई डेरिवेटिव को लागू करना ${\mathcal {L}}_{X}$ संबंध के लिए $df(Y)=Y(f)$ पता चलता है कि

${\mathcal {L}}_{X}Y(f)=X(Y(f))-Y(X(f)),$

जो सदिश क्षेत्रों के लाइ ब्रैकेट के लिए मानक परिभाषाओं में से एक है।

एक विभेदक रूप पर काम करने वाला लाई डेरिवेटिव बाहरी उत्पाद के साथ आंतरिक उत्पाद का कम्यूटेटर # रिंग सिद्धांत है। तो अगर α एक अंतर रूप है,

${\mathcal {L}}_{Y}\alpha =i_{Y}d\alpha +di_{Y}\alpha .$

यह आसानी से जाँच कर पता चलता है कि अभिव्यक्ति बाहरी व्युत्पन्न के साथ चलती है, एक व्युत्पत्ति है (श्रेणीबद्ध व्युत्पत्तियों का एक एंटीकोम्यूटेटर होने के नाते) और कार्यों पर सही काम करता है।

स्पष्ट रूप से, T को प्रकार का एक टेन्सर क्षेत्र होने दें (p, q). T को चिकने फंक्शन अनुभाग (फाइबर बंडल) α का एक अलग-अलग बहुरेखीय नक्शा माना जाता है^{1</सुप>, ए2</सुप>, ..., एp कोटैंजेंट बंडल T का∗M और सेक्शन X का₁, एक्स₂, ..., एक्स_q स्पर्शरेखा बंडल TM का, लिखा हुआ T(α1</सुप>, ए2, ..., एक्स₁, एक्स₂, ...) R में। सूत्र द्वारा Y के साथ T के लाई डेरिवेटिव को परिभाषित करें}

$({\mathcal {L}}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )=Y(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots ))$

$-T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-\ldots$

$-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\ldots$

विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय परिभाषाओं को पुशफॉरवर्ड के गुणों और भेदभाव के लिए सामान्य लीबनिज़ नियम का उपयोग करके समकक्ष साबित किया जा सकता है। लाई डेरिवेटिव संकुचन के साथ आवागमन करता है।

एक अंतर रूप का झूठ व्युत्पन्न

See also: Interior product

टेंसर क्षेत्रों का एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण वर्ग विभेदक रूपों का वर्ग है। विभेदक रूपों के स्थान पर लाई डेरिवेटिव का प्रतिबंध बाहरी डेरिवेटिव से निकटता से संबंधित है। लाई व्युत्पन्न और बाहरी व्युत्पन्न दोनों अलग-अलग तरीकों से व्युत्पन्न के विचार को पकड़ने का प्रयास करते हैं। एक आंतरिक उत्पाद के विचार को पेश करके इन अंतरों को पाटा जा सकता है, जिसके बाद संबंध एक पहचान के रूप में सामने आते हैं जिसे कार्टन के सूत्र के रूप में जाना जाता है। कार्टन के सूत्र का उपयोग अंतर रूपों के स्थान पर लाई डेरिवेटिव की परिभाषा के रूप में भी किया जा सकता है।

बता दें कि एम कई गुना है और एम पर एक्स एक सदिश क्षेत्र है। होने देना $\omega \in \Lambda ^{k+1}(M)$ एक हो (k + 1)-विभेदक रूप, अर्थात प्रत्येक के लिए $p\in M$, $\omega (p)$ से एक वैकल्पिक रूप बहुरेखीय मानचित्र है $(T_{p}M)^{k+1}$ वास्तविक संख्या के लिए। X और ω का आंतरिक उत्पाद k- रूप है $i_{X}\omega$ के रूप में परिभाषित

$(i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,$

विभेदक रूप $i_{X}\omega$ को X के साथ ω का संकुचन भी कहा जाता है, और

$i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\rightarrow \Lambda ^{k}(M)$

एक बाह्य बीजगणित है | $\wedge$-व्युत्पत्ति (सार बीजगणित) जहां बाहरी बीजगणित |$\wedge$बाहरी बीजगणित है। वह है, $i_{X}$ आर-रैखिक है, और

$i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )$

के लिए $\omega \in \Lambda ^{k}(M)$ और η एक और अंतर रूप। वो भी एक समारोह के लिए $f\in \Lambda ^{0}(M)$, यानी, एम पर एक वास्तविक- या जटिल-मूल्यवान कार्य, एक है

$i_{fX}\omega =f\,i_{X}\omega$

कहाँ $fX$ एफ और एक्स के उत्पाद को दर्शाता है। बाहरी डेरिवेटिव्स और लाई डेरिवेटिव्स के बीच संबंध को संक्षेप में निम्नानुसार किया जा सकता है। सबसे पहले, चूंकि एक सदिश क्षेत्र X के संबंध में एक फ़ंक्शन f का लाई डेरिवेटिव दिशात्मक डेरिवेटिव X(f) के समान है, यह डिफरेंशियल फॉर्म के समान भी है # एक्स के साथ f के बाहरी डेरिवेटिव के रूपों पर संचालन :

${\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}\,df$

एक सामान्य अंतर रूप के लिए, लाइ डेरिवेटिव इसी तरह एक संकुचन है, एक्स में भिन्नता को ध्यान में रखते हुए:

${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega ).$

इस पहचान को कार्टन सूत्र, कार्टन समरूपता सूत्र या कार्टन के जादुई सूत्र के रूप में जाना जाता है। विवरण के लिए आंतरिक उत्पाद देखें। कार्टन सूत्र का उपयोग विभेदक रूप के लाई डेरिवेटिव की परिभाषा के रूप में किया जा सकता है। कार्टन का सूत्र विशेष रूप से दर्शाता है कि

$d{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(d\omega ).$

लाई डेरिवेटिव भी संबंध को संतुष्ट करता है

${\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega .$

समन्वय भाव

Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below.

स्थानीय समन्वय संकेतन में, एक प्रकार के लिए (r, s) टेंसर फ़ील्ड $T$, झूठ डेरिवेटिव साथ $X$ है

${\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&{}-{}(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}$

यहाँ, अंकन $\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$ का अर्थ समन्वय के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेना है $x^{a}$. वैकल्पिक रूप से, यदि हम मरोड़ (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) | मरोड़ मुक्त कनेक्शन (गणित) (जैसे, लाइट सिटी कनेक्शन ) का उपयोग कर रहे हैं, तो आंशिक व्युत्पन्न $\partial _{a}$ सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसका अर्थ है प्रतिस्थापित करना $\partial _{a}X^{b}$ के साथ (संकेतन के दुरुपयोग द्वारा) $\nabla _{a}X^{b}=X_{;a}^{b}:=(\nabla X)_{a}^{\ b}=\partial _{a}X^{b}+\Gamma _{ac}^{b}X^{c}$ जहां $\Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}$ क्रिस्टोफेल गुणांक हैं।

एक टेन्सर का लाई डेरिवेटिव उसी प्रकार का एक और टेन्सर है, यानी, भले ही अभिव्यक्ति में अलग-अलग शब्द समन्वय प्रणाली की पसंद पर निर्भर करते हैं, एक पूरे के रूप में अभिव्यक्ति एक टेंसर में परिणाम देती है

$({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{r}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{b_{s}}$

जो किसी भी समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है और उसी प्रकार का है $T$.

परिभाषा को आगे टेन्सर घनत्वों तक बढ़ाया जा सकता है। यदि टी कुछ वास्तविक संख्या मूल्यवान वजन डब्ल्यू (उदाहरण के लिए वजन 1 की मात्रा घनत्व) का टेंसर घनत्व है, तो इसका लाई डेरिवेटिव उसी प्रकार और वजन का एक टेंसर घनत्व है।

${\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}+w(\partial _{c}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\end{aligned}}$

अभिव्यक्ति के अंत में नए शब्द पर ध्यान दें।

Affine कनेक्शन के लिए $\Gamma =(\Gamma _{bc}^{a})$, झूठ डेरिवेटिव साथ $X$ है

$({\mathcal {L}}_{X}\Gamma )_{bc}^{a}=X^{d}\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\partial _{b}\partial _{c}X^{a}-\Gamma _{bc}^{d}\partial _{d}X^{a}+\Gamma _{dc}^{a}\partial _{b}X^{d}+\Gamma _{bd}^{a}\partial _{c}X^{d}$

उदाहरण

स्पष्टता के लिए अब हम निम्नलिखित उदाहरण स्थानीय समन्वय संकेतन में दिखाते हैं।

एक अदिश क्षेत्र के लिए $\phi (x^{c})\in {\mathcal {F}}(M)$ अपने पास:

$({\mathcal {L}}_{X}\phi )=X(\phi )=X^{a}\partial _{a}\phi$.

इसलिए अदिश क्षेत्र के लिए $\phi (x,y)=x^{2}-\sin(y)$ और वेक्टर क्षेत्र $X=\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}$ संबंधित लाई डेरिवेटिव बन जाता है

$${\begin{alignedat}{3}{\mathcal {L}}_{X}\phi &=(\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x})(x^{2}-\sin(y))\\&=\sin(x)\partial _{y}(x^{2}-\sin(y))-y^{2}\partial _{x}(x^{2}-\sin(y))\\&=-\sin(x)\cos(y)-2xy^{2}\\\end{alignedat}}$$

उच्च रैंक डिफरेंशियल फॉर्म के उदाहरण के लिए, 2-फॉर्म पर विचार करें $\omega =(x^{2}+y^{2})dx\wedge dz$ और वेक्टर क्षेत्र $X$ पिछले उदाहरण से। तब,

$${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}\omega &=d(i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(d((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))\\&=d(-y^{2}(x^{2}+y^{2})dz)+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(2ydy\wedge dx\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}dx+(-2yx^{2}-4y^{3})dy\right)\wedge dz+(2y\sin(x)dx\wedge dz+2y^{3}dy\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}+2y\sin(x)\right)dx\wedge dz+(-2yx^{2}-2y^{3})dy\wedge dz\end{aligned}}$$

कुछ और अमूर्त उदाहरण।

${\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=di_{X}(dx^{b})=dX^{b}=\partial _{a}X^{b}dx^{a}$.

इसलिए एक रूप के लिए, यानी, एक अंतर रूप, $A=A_{a}(x^{b})dx^{a}$ अपने पास:

${\mathcal {L}}_{X}A=X(A_{a})dx^{a}+A_{b}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=(X^{b}\partial _{b}A_{a}+A_{b}\partial _{a}(X^{b}))dx^{a}$

अंतिम अभिव्यक्ति का गुणांक लाई डेरिवेटिव की स्थानीय समन्वय अभिव्यक्ति है।

एक सहसंयोजक रैंक 2 टेंसर क्षेत्र के लिए $T=T_{ab}(x^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}$ अपने पास:

$${\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)&=({\mathcal {L}}_{X}T)_{ab}dx^{a}\otimes dx^{b}\\&=X(T_{ab})dx^{a}\otimes dx^{b}+T_{cb}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\otimes dx^{b}+T_{ac}dx^{a}\otimes {\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\\&=(X^{c}\partial _{c}T_{ab}+T_{cb}\partial _{a}X^{c}+T_{ac}\partial _{b}X^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}\\\end{aligned}}$$

अगर $T=g$ सममित मीट्रिक टेन्सर है, यह लेवी-Civita कनेक्शन (उर्फ सहसंयोजक व्युत्पन्न) के संबंध में समानांतर है, और यह कनेक्शन का उपयोग करने के लिए उपयोगी हो जाता है। यह सभी डेरिवेटिव को सहसंयोजक डेरिवेटिव के साथ बदलने का प्रभाव देता है

$({\mathcal {L}}_{X}g)=(X^{c}g_{ab;c}+g_{cb}X_{;a}^{c}+g_{ac}X_{;b}^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}=(X_{b;a}+X_{a;b})dx^{a}\otimes dx^{b}$

गुण

लाइ डेरिवेटिव में कई गुण होते हैं। होने देना ${\mathcal {F}}(M)$ कई गुना एम पर परिभाषित कार्यों के एक क्षेत्र पर बीजगणित हो। फिर

${\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow {\mathcal {F}}(M)$

बीजगणित पर एक व्युत्पत्ति (सार बीजगणित) है ${\mathcal {F}}(M)$. वह है, ${\mathcal {L}}_{X}$ आर-रैखिक है और

${\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g.$

इसी प्रकार, यह एक व्युत्पत्ति है ${\mathcal {F}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)$ कहाँ ${\mathcal {X}}(M)$ M पर सदिश क्षेत्रों का सेट है (cf. लेख से प्रमेय 6: निकिता, FF एकीकरण सिद्धांत: नए परिणाम और उदाहरण। Axioms 2019, 8, 60):

${\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y$

जिसे समतुल्य अंकन में भी लिखा जा सकता है

${\mathcal {L}}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}}_{X}f)\otimes Y+f\otimes {\mathcal {L}}_{X}Y$

जहां टेन्सर उत्पाद प्रतीक $\otimes$ इस तथ्य पर जोर देने के लिए उपयोग किया जाता है कि एक सदिश क्षेत्र के फलन समय का गुणनफल पूरे कई गुना पर ले जाया जा रहा है।

अतिरिक्त गुण सदिश क्षेत्रों के लाइ ब्रैकेट के अनुरूप हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक सदिश क्षेत्र पर एक व्युत्पत्ति के रूप में माना जाता है,

${\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]$

उपरोक्त को केवल जैकोबी पहचान के रूप में पाता है। इस प्रकार, एक का महत्वपूर्ण परिणाम है कि M पर सदिश क्षेत्रों का स्थान, जो लाई ब्रैकेट से सुसज्जित है, एक लाई बीजगणित बनाता है।

विभेदक रूपों पर कार्य करते समय लाई डेरिवेटिव में भी महत्वपूर्ण गुण होते हैं। चलो α और β एम पर दो अलग-अलग रूप हैं, और एक्स और वाई को दो वेक्टर फ़ील्ड होने दें। तब

• ${\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )$
• $[{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha$
• $[{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha ,$ जहां मैं ऊपर परिभाषित आंतरिक उत्पाद को दर्शाता हूं और यह स्पष्ट है कि क्या [·,·] कम्यूटेटर या सदिश क्षेत्रों के लाइ ब्रैकेट को दर्शाता है।

सामान्यीकरण

लाइ डेरिवेटिव के विभिन्न सामान्यीकरण अंतर ज्यामिति में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

एक स्पिनर फ़ील्ड का लाइ डेरिवेटिव

जेनेरिक स्पेसटाइम वेक्टर फ़ील्ड्स के साथ स्पिनरों के लाइ डेरिवेटिव्स के लिए एक परिभाषा, एक सामान्य (छद्म) रीमैनियन मैनिफोल्ड पर आवश्यक रूप से हत्या वेक्टर क्षेत्र की परिभाषा पहले से ही 1971 में यवेटे कोस्मान-श्वार्जबैक द्वारा प्रस्तावित की गई थी। बाद में, इसे एक ज्यामितीय ढांचा प्रदान किया गया जो फाइबर बंडलों पर लाई डेरिवेटिव्स के सामान्य ढांचे के भीतर उसके तदर्थ नुस्खे को सही ठहराता है। गेज प्राकृतिक बंडलों के स्पष्ट संदर्भ में जो क्षेत्र सिद्धांतों (गेज-सहसंयोजक) के लिए सबसे उपयुक्त क्षेत्र बन जाते हैं। किसी दिए गए स्पिन कई गुना में, जो कि रिमेंनियन मैनिफोल्ड में है $(M,g)$ एक स्पिन संरचना को स्वीकार करते हुए, एक स्पिनर फील्ड (गणित) के लाइ डेरिवेटिव $\psi$ 1963 में दिए गए आंद्रे लिचनरोविक्ज़ की स्थानीय अभिव्यक्ति के माध्यम से पहले इसे असीम आइसोमेट्रीज़ (किलिंग वेक्टर फ़ील्ड्स) के संबंध में परिभाषित करके परिभाषित किया जा सकता है:

${\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{4}}\nabla _{a}X_{b}\gamma ^{a}\gamma ^{b}\psi \,,$

कहाँ $\nabla _{a}X_{b}=\nabla _{[a}X_{b]}$, जैसा $X=X^{a}\partial _{a}$ एक हत्यारा सदिश क्षेत्र माना जाता है, और $\gamma ^{a}$ डिराक मेट्रिसेस हैं।

एक सामान्य सदिश क्षेत्र के लिए लिचनरोविज़ की स्थानीय अभिव्यक्ति को बनाए रखते हुए लिचनरोविज़ की परिभाषा को सभी सदिश क्षेत्रों (जेनेरिक इनफिनिटसिमल ट्रांसफॉर्मेशन) तक विस्तारित करना संभव है $X$, लेकिन स्पष्ट रूप से एंटीसिमेट्रिक भाग ले रहा है $\nabla _{a}X_{b}$ केवल।अधिक स्पष्ट रूप से, 1972 में दी गई कोसमैन की स्थानीय अभिव्यक्ति है:

${\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{8}}\nabla _{[a}X_{b]}[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]\psi \,=\nabla _{X}\psi -{\frac {1}{4}}(dX^{\flat })\cdot \psi \,,$

कहाँ $[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]=\gamma ^{a}\gamma ^{b}-\gamma ^{b}\gamma ^{a}$ कम्यूटेटर है, $d$ बाहरी व्युत्पन्न है, $X^{\flat }=g(X,-)$ के अनुरूप दोहरा 1 रूप है $X$ मीट्रिक के तहत (यानी कम सूचकांकों के साथ) और $\cdot$ क्लिफोर्ड गुणन है।

यह ध्यान देने योग्य है कि स्पिनर लाई व्युत्पन्न मीट्रिक से स्वतंत्र है, और इसलिए कनेक्शन (अंतर ज्यामिति) का भी। यह कोस्मान की स्थानीय अभिव्यक्ति के दाहिने हाथ की ओर से स्पष्ट नहीं है, क्योंकि दाएं हाथ की ओर स्पिन कनेक्शन (सहसंयोजक व्युत्पन्न) के माध्यम से मीट्रिक पर निर्भर करता है, वेक्टर क्षेत्रों का दोहरीकरण (सूचकांकों को कम करना) और क्लिफर्ड स्पिनर बंडल पर गुणन। ऐसा मामला नहीं है: कोस्मान की स्थानीय अभिव्यक्ति के दाईं ओर की मात्राएं गठबंधन करती हैं ताकि सभी मीट्रिक और कनेक्शन निर्भर शर्तों को रद्द कर दिया जा सके।

स्पिनोर फ़ील्ड्स के ली डेरिवेटिव की लंबी बहस वाली अवधारणा की बेहतर समझ हासिल करने के लिए मूल लेख का उल्लेख किया जा सकता है, जहां स्पिनर क्षेत्रों के लाइ डेरिवेटिव की परिभाषा को फाइबर बंडलों के अनुभागों के लाइ डेरिवेटिव के सिद्धांत के अधिक सामान्य ढांचे में रखा गया है और वाई। कोसमैन द्वारा स्पिनर केस के लिए प्रत्यक्ष दृष्टिकोण को प्राकृतिक बंडलों के रूप में गेज करने के लिए सामान्यीकृत किया गया है। कोसमैन लिफ्ट नामक एक नई ज्यामितीय अवधारणा।

सहपरिवर्ती झूठ व्युत्पन्न

यदि हमारे पास संरचना समूह के रूप में G के साथ कई गुना M पर एक प्रमुख बंडल है, और हम X को मुख्य बंडल के स्पर्शरेखा स्थान के खंड के रूप में एक सहसंयोजक सदिश क्षेत्र के रूप में चुनते हैं (अर्थात इसमें क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक हैं), तो सहसंयोजक मुख्य बंडल पर X के संबंध में लाई डेरिवेटिव सिर्फ लाई डेरिवेटिव है।

अब, अगर हमें M के ऊपर एक वेक्टर फ़ील्ड Y दिया गया है (लेकिन प्रिंसिपल बंडल नहीं) लेकिन हमारे पास प्रिंसिपल बंडल के ऊपर एक कनेक्शन (गणित) भी है, तो हम एक वेक्टर फ़ील्ड X को प्रिंसिपल बंडल के ऊपर परिभाषित कर सकते हैं जैसे कि इसका क्षैतिज घटक वाई से मेल खाता है और इसका लंबवत घटक कनेक्शन से सहमत है। यह सहपरिवर्ती लाई डेरिवेटिव है।

अधिक विवरण के लिए कनेक्शन प्रपत्र देखें।

निजेनहुइस-लाइ व्युत्पन्न

एक अन्य सामान्यीकरण, अल्बर्ट न्येनहुइस के कारण, बंडल Ω के किसी भी खंड के साथ एक विभेदक रूप के लाइ डेरिवेटिव को परिभाषित करने की अनुमति देता है।^k(M, TM) स्पर्शरेखा बंडल में मानों के साथ अवकलन रूपों का। अगर के ∈ Ω^k(M, TM) और α एक विभेदक p-रूप है, तो आंतरिक उत्पाद i को परिभाषित करना संभव है_Kके और α का α। Nijenhuis-Lie डेरिवेटिव तब आंतरिक उत्पाद और बाहरी डेरिवेटिव का एंटीकोम्यूटेटर है:

${\mathcal {L}}_{K}\alpha =[d,i_{K}]\alpha =di_{K}\alpha -(-1)^{k-1}i_{K}\,d\alpha .$

इतिहास

1931 में, व्लाडिसलाव Ślebodziński ने एक नया डिफरेंशियल ऑपरेटर पेश किया, जिसे बाद में डेविड वैन डेंजिग ने लाइ व्युत्पत्ति का नाम दिया, जिसे स्केलर, वैक्टर, टेन्सर और एफाइन कनेक्शन पर लागू किया जा सकता है और जो ऑटोमोर्फिज़्म के समूहों के अध्ययन में एक शक्तिशाली उपकरण साबित हुआ। .

सामान्य ज्यामितीय वस्तुओं (अर्थात्, प्राकृतिक बंडलों के वर्ग) के लाई डेरिवेटिव का अध्ययन अल्बर्ट निजेनहुइस|ए द्वारा किया गया था। निजेनहुइस, वाई. ताशिरो और केंटारो यानो (गणितज्ञ)|के. हा नहीं।

काफी लंबे समय से, गणितज्ञों के काम के संदर्भ के बिना, भौतिक विज्ञानी लाई डेरिवेटिव का उपयोग कर रहे थे। 1940 में, लियोन रोसेनफेल्ड—और उससे पहले (1921 में) वोल्फगैंग पाउली- पेश किया जिसे उन्होंने 'स्थानीय भिन्नता' कहा $\delta ^{\ast }A$ एक ज्यामितीय वस्तु का $A\,$ एक सदिश क्षेत्र द्वारा उत्पन्न निर्देशांकों के एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन से प्रेरित $X\,$. कोई आसानी से साबित कर सकता है कि उसका $\delta ^{\ast }A$ है $-{\mathcal {L}}_{X}(A)\,$.

यह भी देखें

• सहपरिवर्ती व्युत्पन्न
• कनेक्शन (गणित)
• फ्रोलिचर-निजेनहुइस ब्रैकेट
• जियोडेसिक
• हत्या वेक्टर क्षेत्र
• घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न

संदर्भ

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. See section 2.2.
• Bleecker, David (1981). Gauge Theory and Variational Principles. Addison-Wesley. ISBN 0-201-10096-7. See Chapter 0.
• Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer. ISBN 3-540-42627-2. See section 1.6.
• Kolář, I.; Michor, P.; Slovák, J. (1993). Natural operations in differential geometry. Springer-Verlag. ISBN 9783662029503. Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives.
• Lang, S. (1995). Differential and Riemannian manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94338-1. For generalizations to infinite dimensions.
• Lang, S. (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98593-0. For generalizations to infinite dimensions.
• Yano, K. (1957). The Theory of Lie Derivatives and its Applications. North-Holland. ISBN 978-0-7204-2104-0. Classical approach using coordinates.

बाहरी संबंध

• "Lie derivative", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]