स्पिनर बंडल

विभेदक ज्यामिति में, एक पर एक स्पिन संरचना दी गई है $n$-आयामी उन्मुख रीमैनियन मैनिफोल्ड $(M,g),\,$ एक स्पिनर बंडल को जटिल वेक्टर बंडल के रूप में परिभाषित करता है $\pi _{\mathbf {S} }\colon {\mathbf {S} }\to M\,$ संबंधित प्रमुख बंडल से संबद्ध $\pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,$ स्पिन फ्रेम के ऊपर $M$ और इसके स्पिन समूह का स्पिन प्रतिनिधित्व ${\mathrm {Spin} }(n)\,$ स्पिनरों की जगह पर $\Delta _{n}$.

स्पिनर बंडल का एक भाग ${\mathbf {S} }\,$ स्पिनर फ़ील्ड कहा जाता है.

औपचारिक परिभाषा

होने देना $({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })$ रीमैनियन मैनिफ़ोल्ड पर एक स्पिन संरचना बनें $(M,g),\,$वह है, ओरिएंटेड ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम बंडल का एक समतुल्य लिफ्ट $\mathrm {F} _{SO}(M)\to M$ दोहरे आवरण के संबंध में $\rho \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)$ स्पिन समूह द्वारा विशेष ऑर्थोगोनल समूह का।

स्पिनर बंडल ${\mathbf {S} }\,$ परिभाषित किया गया जटिल वेक्टर बंडल होना

$${\mathbf {S} }={\mathbf {P} }\times _{\kappa }\Delta _{n}\,$$

स्पिन संरचना से संबंधित ${\mathbf {P} }$ स्पिन प्रतिनिधित्व के माध्यम से $\kappa \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,$ कहाँ ${\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,$ हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करने वाले एकात्मक संचालकों के समूह (गणित) को दर्शाता है ${\mathbf {W} }.\,$ यह ध्यान देने योग्य है कि स्पिन प्रतिनिधित्व $\kappa$ समूह का एक वफादार और एकात्मक प्रतिनिधित्व है ${\mathrm {Spin} }(n).$

यह भी देखें

• क्लिफोर्ड बंडल
• क्लिफोर्ड मॉड्यूल बंडल
• ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम बंडल
• स्पिन ज्यामिति
• स्पिनर
• स्पिनर प्रतिनिधित्व

अग्रिम पठन

• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5.
• Friedrich, Thomas (2000), Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2055-1

|