डायडिक्स

गणित में, विशेष रूप से बहुरेखीय बीजगणित में, एक डायडिक या डायडिक टेन्सर एक दूसरा टेन्सर (आंतरिक परिभाषा) है # वेक्टर स्पेस टेन्सर के टेन्सर उत्पादों के माध्यम से परिभाषा, एक नोटेशन में लिखा गया है जो वेक्टर बीजगणित के साथ फिट बैठता है।

दो यूक्लिडियन सदिशों को गुणा करने के कई तरीके हैं। डॉट उत्पाद दो वैक्टर लेता है और एक अदिश (भौतिकी) लौटाता है, जबकि क्रॉस उत्पाद एक छद्मवेक्टर लौटाता है। इन दोनों की विभिन्न महत्वपूर्ण ज्यामितीय व्याख्याएँ हैं और इनका गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। डायडिक उत्पाद दो वैक्टर लेता है और एक दूसरे क्रम का टेंसर लौटाता है जिसे इस संदर्भ में डायडिक कहा जाता है। डायडिक का उपयोग भौतिक या ज्यामितीय जानकारी को शामिल करने के लिए किया जा सकता है, हालांकि सामान्य तौर पर इसकी ज्यामितीय व्याख्या करने का कोई सीधा तरीका नहीं है।

डायडिक उत्पाद वेक्टर जोड़ पर वितरणात्मक गुण है, और अदिश गुणन के साथ सहयोगी है। इसलिए, डायडिक उत्पाद अपने दोनों ऑपरेंड में रैखिक है। सामान्य तौर पर, एक और डायडिक प्राप्त करने के लिए दो डायडिक्स को जोड़ा जा सकता है, और डायडिक को स्केल करने के लिए संख्याओं द्वारा अदिश गुणन किया जा सकता है। हालाँकि, उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है; सदिशों का क्रम बदलने से भिन्न डायडिक बनता है।

डायडिक बीजगणित की औपचारिकता वेक्टर बीजगणित का एक विस्तार है जिसमें वैक्टर के डायडिक उत्पाद को शामिल किया जाता है। डायडिक उत्पाद अन्य वैक्टरों के साथ डॉट और क्रॉस उत्पादों के साथ भी सहयोगी है, जो अन्य स्केलर, वैक्टर या डायडिक्स प्राप्त करने के लिए डॉट, क्रॉस और डायडिक उत्पादों को संयोजित करने की अनुमति देता है।

इसमें मैट्रिक्स बीजगणित के कुछ पहलू भी हैं, क्योंकि वैक्टर के संख्यात्मक घटकों को पंक्ति और स्तंभ वैक्टर में व्यवस्थित किया जा सकता है, और दूसरे क्रम के टेंसर को वर्ग मैट्रिक्स में व्यवस्थित किया जा सकता है। साथ ही, डॉट, क्रॉस और डायडिक उत्पाद सभी को मैट्रिक्स रूप में व्यक्त किया जा सकता है। डायडिक अभिव्यक्तियाँ मैट्रिक्स समकक्षों से काफी मिलती-जुलती हो सकती हैं।

एक वेक्टर के साथ डायडिक का डॉट उत्पाद एक और वेक्टर देता है, और इस परिणाम का डॉट उत्पाद लेने पर डायडिक से प्राप्त एक स्केलर मिलता है। किसी दिए गए डायडिक का अन्य वैक्टर पर जो प्रभाव पड़ता है वह अप्रत्यक्ष भौतिक या ज्यामितीय व्याख्याएं प्रदान कर सकता है।

डायडिक नोटेशन पहली बार 1884 में जोशिया विलार्ड गिब्स द्वारा स्थापित किया गया था। नोटेशन और शब्दावली आज अपेक्षाकृत अप्रचलित हैं। भौतिकी में इसके उपयोग में सातत्य यांत्रिकी और विद्युत चुंबकत्व शामिल हैं।

इस लेख में, अपर-केस बोल्ड वेरिएबल्स डायडिक्स (डायड्स सहित) को दर्शाते हैं जबकि लोअर-केस बोल्ड वेरिएबल्स वैक्टर को दर्शाते हैं। एक वैकल्पिक नोटेशन क्रमशः डबल और सिंगल ओवर- या अंडरबार्स का उपयोग करता है।

परिभाषाएँ और शब्दावली

डायडिक, बाहरी और टेंसर उत्पाद

एक डायड, टेन्सर क्रम दो और टेंसर रैंक एक का एक टेन्सर है, और दो यूक्लिडियन वैक्टर (सामान्य रूप से जटिल वैक्टर) का डायडिक उत्पाद है, जबकि एक डायडिक टेंसर ऑर्डर दो का एक सामान्य टेन्सर है (जो पूर्ण रैंक हो सकता है या नहीं)।

इस उत्पाद के लिए कई समकक्ष शब्द और नोटेशन हैं:

• दो वैक्टरों का 'डायडिक उत्पाद' $\mathbf {a}$ और $\mathbf {b}$ द्वारा निरूपित किया जाता है $\mathbf {a} \mathbf {b}$ (तुलना में; कोई प्रतीक, गुणन चिह्न, क्रॉस, बिंदु आदि नहीं)
• दो स्तंभ सदिश का बाहरी उत्पाद $\mathbf {a}$ और $\mathbf {b}$ के रूप में दर्शाया और परिभाषित किया गया है $\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$ या $\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}$, कहाँ ${\mathsf {T}}$ मतलब स्थानांतरण,
• दो वैक्टर का टेंसर उत्पाद $\mathbf {a}$ और $\mathbf {b}$ निरूपित किया जाता है $\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$,

डायडिक संदर्भ में उन सभी की एक ही परिभाषा और अर्थ है, और समानार्थक रूप से उपयोग किया जाता है, हालांकि टेंसर उत्पाद शब्द के अधिक सामान्य और अमूर्त उपयोग का एक उदाहरण है।

डिराक का ब्रा-केट नोटेशन डायड और डायडिक्स के उपयोग को सहज रूप से स्पष्ट करता है, देखें #Cahill|Cahill (2013)।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष

समतुल्य उपयोग को स्पष्ट करने के लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष | त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर विचार करें, मान लीजिए:

${\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}$

दो सदिश हों जहां i, j, k (ई द्वारा भी दर्शाया गया हो)।₁, यह है₂, यह है₃) इस सदिश समष्टि में मानक आधार सदिश हैं (कार्तीय निर्देशांक भी देखें)। तब a और b के द्विघात गुणनफल को योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

${\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}$

या पंक्ति और स्तंभ वैक्टर से विस्तार द्वारा, एक 3×3 मैट्रिक्स (ए और बी के बाहरी उत्पाद या टेंसर उत्पाद का परिणाम भी):

$\mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}.$

एक डायड, डायडिक का एक घटक है (योग का एक एकपदी या समकक्ष रूप से मैट्रिक्स की एक प्रविष्टि) - एक संख्या द्वारा आधार वैक्टर स्केलर गुणन की एक जोड़ी का डायडिक उत्पाद।

जैसे मानक आधार (और इकाई) वैक्टर 'i', 'j', 'k', का प्रतिनिधित्व होता है:

${\begin{aligned}\mathbf {i} &={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {j} &={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {k} &={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

(जिसे स्थानांतरित किया जा सकता है), मानक आधार (और इकाई) डायड का प्रतिनिधित्व है:

${\begin{aligned}\mathbf {ii} &={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ij} &={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ik} &={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ji} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ki} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

मानक आधार पर एक सरल संख्यात्मक उदाहरण के लिए:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष

यदि यूक्लिडियन स्थान एन-आयामी है, और

${\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+{\ldots }+a_{N}\mathbf {e} _{N}\\\mathbf {b} &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +b_{N}\mathbf {e} _{N}\end{aligned}}$

कहां ई_i और ई_j एन-आयामों में मानक आधार वेक्टर हैं ('ई' पर सूचकांक i)_i एक विशिष्ट वेक्टर का चयन करता है, न कि वेक्टर के किसी घटक का, जैसा कि a में है_i), तो बीजगणितीय रूप में उनका द्विपदीय गुणनफल है:

$\mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}.$

इसे डायडिक के नॉनियन रूप के रूप में जाना जाता है। मैट्रिक्स रूप में उनका बाहरी/टेंसर उत्पाद है:

$\mathbf {ab} =\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}.$

एक द्विघात बहुपद 'ए', जिसे अन्यथा द्विघात बहुपद के रूप में जाना जाता है, कई सदिशों 'ए' से बनता है।_i और बी_j:

$\mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\ldots$

एक डायडिक जिसे एन डायड से कम के योग तक नहीं घटाया जा सकता, उसे पूर्ण कहा जाता है। इस मामले में, बनाने वाले सदिश गैर-समतलीय होते हैं, #चेन|चेन (1983) देखें।

वर्गीकरण

निम्नलिखित तालिका डायडिक्स को वर्गीकृत करती है:

	Determinant	Adjugate	Matrix and its rank
Zero	= 0	= 0	= 0; rank 0: all zeroes
Linear	= 0	= 0	≠ 0; rank 1: at least one non-zero element and all 2 × 2 subdeterminants zero (single dyadic)
Planar	= 0	≠ 0 (single dyadic)	≠ 0; rank 2: at least one non-zero 2 × 2 subdeterminant
Complete	≠ 0	≠ 0	≠ 0; rank 3: non-zero determinant

पहचान

निम्नलिखित पहचान टेंसर उत्पाद की परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम हैं:

1. Compatible with scalar multiplication:

   $(\alpha \mathbf {a} )\mathbf {b} =\mathbf {a} (\alpha \mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} \mathbf {b} )$

   for any scalar $\alpha$.
2. Distributive over vector addition:

   ${\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} \\(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} &=\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} \end{aligned}}$

डायडिक बीजगणित

डायडिक और वेक्टर का उत्पाद

वेक्टर और डायडिक पर चार ऑपरेशन परिभाषित हैं, जो वैक्टर पर परिभाषित उत्पादों से निर्मित होते हैं।

	Left	Right
Dot product	$\mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)=\left(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \right)\mathbf {b}$	$\left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)$
Cross product	$\mathbf {c} \times \left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {c} \times \mathbf {a} \right)\mathbf {b}$	$\left(\mathbf {ab} \right)\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)$

डायडिक और डायडिक का गुणनफल

एक डायडिक से दूसरे डायडिक के लिए पांच ऑपरेशन होते हैं। मान लीजिए कि a, b, c, d वास्तविक सदिश हैं। तब:

		Dot	Cross
Dot	Dot product ${\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)&=\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {a} \mathbf {d} \end{aligned}}$	Double-dot product ${\begin{aligned}\left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)&=\mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {ab} \right)\cdot \mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)\end{aligned}}$ and $\mathbf {ab} {\underline {{}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }}}\mathbf {cd} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)$	Dot–cross product $\left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\times }\left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)$
Cross		क्रॉस-डॉट उत्पाद $\left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)$	डबल क्रॉस उत्पाद $\left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)$

दे

$\mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i},\quad \mathbf {B} =\sum _{j}\mathbf {c} _{j}\mathbf {d} _{j}$

दो सामान्य डायडिक्स बनें, हमारे पास:

		Dot	Cross
Dot	Dot product $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\mathbf {a} _{i}\mathbf {d} _{j}$	Double dot product ${\begin{aligned}\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {B} &=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\end{aligned}}$ and ${\begin{aligned}\mathbf {A} {\underline {{}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }}}\mathbf {B} &=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\end{aligned}}$	Dot–cross product $\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)$
Cross		क्रॉस-डॉट उत्पाद $\mathbf {A} {}_{\times }^{\,\centerdot }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)$	डबल क्रॉस उत्पाद $\mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)$

डबल-डॉट उत्पाद

डबल-डॉट उत्पाद की पहली परिभाषा फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद है,

${\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\right)\\&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\right)\\&=\sum _{i,j}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j})\\&=\mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} \end{aligned}}$

इसके अलावा, चूँकि,

${\begin{aligned}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}&=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{j}^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\\&=\sum _{i,j}\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}^{\mathsf {T}}\end{aligned}}$

हमें वह मिल गया,

$\mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} =\mathbf {A} {\underline {{}_{\centerdot }^{\centerdot }}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}$

इसलिए डबल-डॉट उत्पाद की दूसरी संभावित परिभाषा दूसरे डायडिक पर एक अतिरिक्त ट्रांसपोज़िशन के साथ पहली है। इन कारणों से, डबल-डॉट उत्पाद की पहली परिभाषा को प्राथमिकता दी जाती है, हालांकि कुछ लेखक अभी भी दूसरी का उपयोग करते हैं।

डबल-क्रॉस उत्पाद

हम देख सकते हैं कि, दो वैक्टर ए और बी से बने किसी भी डायड के लिए, इसका डबल क्रॉस उत्पाद शून्य है।

$\left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {a} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {b} \right)=0$

हालाँकि, परिभाषा के अनुसार, एक डायडिक डबल-क्रॉस उत्पाद आम तौर पर गैर-शून्य होगा। उदाहरण के लिए, एक डायडिक ए छह अलग-अलग वैक्टरों से बना है

$\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}$

का एक गैर-शून्य स्व-डबल-क्रॉस उत्पाद है

$\mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]$

टेन्सर संकुचन

Main article: Tensor contraction

स्पर या विस्तार कारक प्रत्येक डायडिक उत्पाद को वैक्टर के डॉट उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित करके समन्वय के आधार पर डायडिक के औपचारिक विस्तार से उत्पन्न होता है:

${\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}$

सूचकांक संकेतन में यह डायडिक पर सूचकांकों का संकुचन है:

$|\mathbf {A} |=\sum _{i}A_{i}{}^{i}$

केवल तीन आयामों में, प्रत्येक डायडिक उत्पाद को एक क्रॉस उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित करने से रोटेशन कारक उत्पन्न होता है

${\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}$

इंडेक्स नोटेशन में यह लेवी-सिविटा टेंसर के साथ ए का संकुचन है

$\langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{jk}{\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.$

यूनिट डायडिक

वहाँ एक इकाई डायडिक मौजूद है, जिसे I द्वारा दर्शाया गया है, जैसे कि, किसी भी वेक्टर के लिए,

$\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a}$

दोहरे आधार के साथ 3 वैक्टर ए, बी और सी का आधार दिया गया है ${\hat {\mathbf {a} }},{\hat {\mathbf {b} }},{\hat {\mathbf {c} }}$, इकाई डायडिक द्वारा व्यक्त किया जाता है

$\mathbf {I} =\mathbf {a} {\hat {\mathbf {a} }}+\mathbf {b} {\hat {\mathbf {b} }}+\mathbf {c} {\hat {\mathbf {c} }}$

मानक आधार पर,

$\mathbf {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj} +\mathbf {kk}$

स्पष्ट रूप से, यूनिट डायडिक के दाईं ओर डॉट उत्पाद है

${\begin{aligned}\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} &=(\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mathbf {i} (\mathbf {i} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {j} (\mathbf {j} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} )\\&=\mathbf {i} a_{x}+\mathbf {j} a_{y}+\mathbf {k} a_{z}\\&=\mathbf {a} \end{aligned}}$

और बाईं ओर

${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} &=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {i} )\mathbf {i} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {j} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} \\&=a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} \\&=\mathbf {a} \end{aligned}}$

संगत मैट्रिक्स है

$\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

इसे टेंसर उत्पादों की भाषा का उपयोग करके अधिक सावधानीपूर्वक नींव पर रखा जा सकता है (यह समझाते हुए कि जक्सटेपोज़िंग नोटेशन की तार्किक सामग्री का संभवतः क्या मतलब हो सकता है)। यदि V एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान है, तो V पर एक डायडिक टेंसर अपने दोहरे स्थान के साथ V के टेंसर उत्पाद में एक प्राथमिक टेंसर है।

वी और उसके दोहरे स्थान का टेंसर उत्पाद वी से वी तक रैखिक मानचित्रों के स्थान के लिए समरूपी है: एक डायडिक टेंसर वीएफ बस वी में किसी भी डब्ल्यू को एफ (डब्ल्यू) वी में भेजने वाला रैखिक मानचित्र है। जब वी यूक्लिडियन एन-स्पेस है, तो हम वी के साथ दोहरे स्थान की पहचान करने के लिए आंतरिक उत्पाद का उपयोग कर सकते हैं, जिससे यूक्लिडियन स्पेस में दो वैक्टरों का एक डायडिक टेंसर एक प्राथमिक टेंसर उत्पाद बन जाता है।

इस अर्थ में, यूनिट डायडिक 'आईजे' 3-स्पेस से स्वयं को भेजने वाला कार्य है₁मैं + ए₂जे + ए₃k से a₂i, और jj यह राशि a को भेजता है₂जे। अब यह पता चला है कि किस (सटीक) अर्थ में ii + jj + kk की पहचान है: यह a भेजता है₁मैं + ए₂जे + ए₃k स्वयं के लिए क्योंकि इसका प्रभाव उस आधार पर वेक्टर के गुणांक द्वारा मापे गए मानक आधार में प्रत्येक इकाई वेक्टर का योग करना है।

यूनिट डायडिक्स के गुण

${\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {I} \right)\cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {I} \right)&=\mathbf {ba} -\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {I} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\mathbf {b} \times \mathbf {a} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} &=(\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\\\mathbf {I} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\left(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {ab} \right)\end{aligned}}$

जहां tr ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है।

उदाहरण

वेक्टर प्रक्षेपण और अस्वीकृति

एक गैर-शून्य वेक्टर a को हमेशा दो लंबवत घटकों में विभाजित किया जा सकता है, एक इकाई वेक्टर n की दिशा के समानांतर (‖) और एक उसके लंबवत (⊥);

$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }$

समानांतर घटक वेक्टर प्रक्षेपण द्वारा पाया जाता है, जो डायडिक एनएन के साथ ए के डॉट उत्पाद के बराबर है,

$\mathbf {a} _{\parallel }=\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a}$

और लंबवत घटक वेक्टर अस्वीकृति से पाया जाता है, जो डायडिक के साथ ए के डॉट उत्पाद के बराबर है I − nn,

$\mathbf {a} _{\perp }=\mathbf {a} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {I} -\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a}$

रोटेशन डायडिक

Further information: Axis–angle representation

2डी घूर्णन

डायडिक

$\mathbf {J} =\mathbf {ji} -\mathbf {ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

2डी में 90° एंटीक्लॉकवाइज रोटेशन ऑपरेटर (वेक्टर स्पेस) है। वेक्टर उत्पन्न करने के लिए इसे वेक्टर r = xi + yj के साथ बाईं ओर बिंदीदार बनाया जा सकता है,

$(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,$

सारांश

$\mathbf {J} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathrm {rot} }$

या मैट्रिक्स नोटेशन में

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.$

किसी भी कोण θ के लिए, समतल में घड़ी की विपरीत दिशा में घूमने के लिए 2d रोटेशन डायडिक है

$\mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta =(\mathbf {ii} +\mathbf {jj} )\cos \theta +(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}$

जहां I और J ऊपर बताए अनुसार हैं, और किसी भी 2d वेक्टर का घूर्णन a = a_xमैं + ए_y जे है

$\mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a}$

3डी घुमाव

एक इकाई वेक्टर ω की दिशा में एक अक्ष के बारे में और कोण θ के माध्यम से वामावर्त दिशा में एक वेक्टर a का सामान्य 3डी घूर्णन, डायडिक रूप में रोड्रिग्स के घूर्णन सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है।

$\mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} \,,$

जहां घूर्णन डायडिक है

$\mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +{\boldsymbol {\Omega }}\sin \theta +{\boldsymbol {\omega \omega }}(1-\cos \theta )\,,$

और ω की कार्टेशियन प्रविष्टियाँ भी डायडिक की प्रविष्टियाँ बनाती हैं

${\boldsymbol {\Omega }}=\omega _{x}(\mathbf {kj} -\mathbf {jk} )+\omega _{y}(\mathbf {ik} -\mathbf {ki} )+\omega _{z}(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\,,$

a पर Ω का प्रभाव क्रॉस उत्पाद है

${\boldsymbol {\Omega }}\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a}$

जो एक कॉलम वेक्टर के साथ क्रॉस उत्पाद मैट्रिक्स का डायडिक रूप है।

लोरेंत्ज़ परिवर्तन

विशेष सापेक्षता में, एक इकाई वेक्टर 'एन' की दिशा में गति वी के साथ लोरेंत्ज़ बूस्ट को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$t'=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)$

$\mathbf {r} '=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {nn} ]\cdot \mathbf {r} -\gamma v\mathbf {n} t$

कहाँ

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

लोरेंत्ज़ कारक है.

संबंधित शब्द

कुछ लेखक डायडिक शब्द से संबंधित शब्दों ट्रायडिक, टेट्राडिक और पॉलीएडिक का सामान्यीकरण करते हैं।

यह भी देखें

• क्रोनकर उत्पाद
• बायवेक्टर
• बहुपद बीजगणित
• इकाई वेक्टर
• मल्टीवेक्टर
• विभेदक रूप
• चतुर्भुज
• फ़ील्ड (गणित)

संदर्भ

• P. Mitiguy (2009). "Vectors and dyadics" (PDF). Stanford, USA. Chapter 2
• Spiegel, M.R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector analysis, Schaum's outlines. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
• A.J.M. Spencer (1992). Continuum Mechanics. Dover Publications. ISBN 0-486-43594-6..
• Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953), "§1.6: Dyadics and other vector operators", Methods of theoretical physics, Volume 1, New York: McGraw-Hill, pp. 54–92, ISBN 978-0-07-043316-8, MR 0059774.
• Ismo V. Lindell (1996). Methods for Electromagnetic Field Analysis. Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-7803-6039-6..
• Hollis C. Chen (1983). Theory of Electromagnetic Wave - A Coordinate-free approach. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-010688-8..
• K. Cahill (2013). Physical Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211.

बाहरी संबंध

• Vector Analysis, a Text-Book for the use of Students of Mathematics and Physics, Founded upon the Lectures of J. Willard Gibbs PhD LLD, Edwind Bidwell Wilson PhD
• Advanced Field Theory, I.V.Lindel
• Vector and Dyadic Analysis
• Introductory Tensor Analysis
• Nasa.gov, Foundations of Tensor Analysis for students of Physics and Engineering with an Introduction to the Theory of Relativity, J.C. Kolecki
• Nasa.gov, An introduction to Tensors for students of Physics and Engineering, J.C. Kolecki