लोरेंत्ज़ कारक

"Gamma factor" redirects here. Not to be confused with gamma function.

लोरेंत्ज़ कारक या लोरेंत्ज़ शब्द एक मात्रा (भौतिकी) है जो व्यक्त करता है कि किसी वस्तु के चलने के दौरान समय, लंबाई और अन्य भौतिक गुणों की माप कितनी बदल जाती है। अभिव्यक्ति विशेष सापेक्षता में कई समीकरणों में प्रकट होती है, और यह लोरेंत्ज़ परिवर्तनों की व्युत्पत्तियों में उत्पन्न होती है। यह नाम लोरेंत्ज़ ईथर सिद्धांत में इसके पहले स्वरूप से उत्पन्न हुआ है - जिसका नाम नीदरलैंड के भौतिक विज्ञानी हेंड्रिक लोरेंत्ज़ के नाम पर रखा गया है। इसे सामान्यतः निरूपित किया जाता है γ (ग्रीक लोअरकेस अक्षर गामा)। कभी-कभी (विशेषकर सुपरल्युमिनल गति की चर्चा में) कारक को इस प्रकार लिखा जाता है Γ (ग्रीक अपरकेस-गामा) के बजाय γ.

परिभाषा

लोरेंत्ज़ कारक γ परिभाषित किया जाता है

$$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}[={\sqrt {\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}]={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }},$$

कहाँ:

• v जड़त्वीय संदर्भ फ़्रेमों के बीच सापेक्ष वेग है,
• c निर्वात में प्रकाश की गति है,
• β का अनुपात है v को c,
• t समन्वय समय है,
• τ एक पर्यवेक्षक के लिए उचित समय है (पर्यवेक्षक के स्वयं के फ्रेम में समय अंतराल को मापना)।

यह व्यवहार में सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला रूप है, हालांकि एकमात्र नहीं (वैकल्पिक रूपों के लिए नीचे देखें)।

परिभाषा को पूरक करने के लिए, कुछ लेखक पारस्परिक को परिभाषित करते हैं

$$\alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ ={\sqrt {1-{\beta }^{2}}};$$

वेग जोड़ सूत्र देखें.

घटना

निम्नलिखित विशेष सापेक्षता के सूत्रों की एक सूची है जिसका उपयोग किया जाता है γ आशुलिपि के रूप में:

• लोरेंत्ज़ परिवर्तन: सबसे सरल मामला एक बढ़ावा है x-दिशा (अधिक सामान्य रूप जिसमें मनमानी दिशाएं और घुमाव यहां सूचीबद्ध नहीं हैं), जो वर्णन करता है कि निर्देशांक का उपयोग करके एक जड़त्वीय फ्रेम से स्पेसटाइम निर्देशांक कैसे बदलते हैं (x, y, z, t) दूसरे करने के लिए (x′, y′, z′, t′) सापेक्ष वेग के साथ v:
  $${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),\\[1ex]x'&=\gamma \left(x-vt\right).\end{aligned}}$$

उपरोक्त परिवर्तनों के परिणाम ये हैं:

• समय फैलाव: समय (∆t′) दो टिकों के बीच, जैसा कि उस फ्रेम में मापा जाता है जिसमें घड़ी चल रही है, समय से अधिक लंबा है (∆t) इन टिकों के बीच जैसा कि घड़ी के बाकी फ्रेम में मापा जाता है:
  $$\Delta t'=\gamma \Delta t.$$
• लंबाई संकुचन: लंबाई (∆x′) किसी वस्तु को उस फ्रेम में मापा जाता है जिसमें वह घूम रही है, उसकी लंबाई से छोटी होती है (∆x) अपने स्वयं के बाकी फ्रेम में:
  $$\Delta x'=\Delta x/\gamma .$$

रैखिक गति और ऊर्जा के संरक्षण के संरक्षण कानून (भौतिकी) को लागू करने से ये परिणाम मिलते हैं:

• [[सापेक्षिक द्रव्यमान]]: द्रव्यमान {{mvar|m}गति में किसी वस्तु का } निर्भर करता है $\gamma$ और अपरिवर्तनीय द्रव्यमान m₀:
  $$m=\gamma m_{0}.$$
• सापेक्षतावादी गति: सापेक्षतावादी गति संबंध शास्त्रीय गति के समान रूप लेता है, लेकिन उपरोक्त सापेक्षतावादी द्रव्यमान का उपयोग करते हुए:
  $${\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.$$
• गतिज ऊर्जा#कठोर पिंडों की सापेक्षिक गतिज ऊर्जा: सापेक्षिक गतिज ऊर्जा संबंध थोड़ा संशोधित रूप लेता है:
  $$E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}$$
  जैसा $\gamma$ का एक कार्य है ${\tfrac {v}{c}}$, गैर-सापेक्षतावादी सीमा देती है ${\textstyle \lim _{v/c\to 0}E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$, जैसा कि न्यूटोनियन विचारों से अपेक्षित था।

संख्यात्मक मान

लोरेंत्ज़ कारक γ वेग के एक फलन के रूप में। इसका आरंभिक मान 1 (कब) है v = 0); और जैसे-जैसे वेग प्रकाश की गति के करीब पहुंचता है (v → c) γ बिना किसी सीमा के बढ़ता है (γ → ∞).

वेग के एक फलन के रूप में α (लोरेंत्ज़ कारक व्युत्क्रम) - एक गोलाकार चाप।

नीचे दी गई तालिका में, बाएं हाथ का स्तंभ गति को प्रकाश की गति के विभिन्न अंशों के रूप में दिखाता है (अर्थात् की इकाइयों में) c). मध्य स्तंभ संगत लोरेंत्ज़ कारक दिखाता है, अंतिम व्युत्क्रम है। बोल्ड में मान सटीक हैं.

Speed (units of c), β = v/c	Lorentz factor, γ	Reciprocal, 1/γ
0	1	1
0.050	1.001	0.999
0.100	1.005	0.995
0.150	1.011	0.989
0.200	1.021	0.980
0.250	1.033	0.968
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.25	0.8
0.700	1.400	0.714
0.750	1.512	0.661
0.800	1.667	0.6
0.866	2	0.5
0.900	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0.045
0.99995	100.00	0.010

वैकल्पिक अभ्यावेदन

Main articles: Momentum and Rapidity

गुणनखंड लिखने के अन्य तरीके भी हैं। ऊपर, वेग v का उपयोग किया गया था, लेकिन संवेग और तीव्रता जैसे संबंधित चर भी सुविधाजनक हो सकते हैं।

गति

पिछले सापेक्षिक संवेग समीकरण को हल करना γ ओर जाता है

$$\gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.$$

इस फॉर्म का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, हालांकि यह मैक्सवेल-जटनर वितरण में दिखाई देता है।

तेज़ी

तीव्रता की परिभाषा को अतिशयोक्तिपूर्ण कोण के रूप में लागू करना $\varphi$:

$$\tanh \varphi =\beta$$

की ओर भी ले जाता है γ (हाइपरबोलिक फ़ंक्शन#उपयोगी संबंध के उपयोग से):

$$\gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.$$

लोरेंत्ज़ परिवर्तन की संपत्ति का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि तीव्रता योगात्मक है, एक उपयोगी संपत्ति जो वेग में नहीं है। इस प्रकार रैपिडिटी पैरामीटर एक-पैरामीटर समूह बनाता है, जो भौतिक मॉडल के लिए एक आधार है।

बेसेल फ़ंक्शन

बनी पहचान बेसेल कार्यों की अनंत श्रृंखला के संदर्भ में लोरेंत्ज़ कारक का प्रतिनिधित्व करती है:

$$\sum _{m=1}^{\infty }\left(J_{m-1}^{2}(m\beta )+J_{m+1}^{2}(m\beta )\right)={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.$$

श्रृंखला विस्तार (वेग)

लोरेंत्ज़ कारक में टेलर श्रृंखला है:

$${\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\[1ex]&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\[1ex]&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+{\tfrac {63}{256}}\beta ^{10}+\cdots ,\end{aligned}}$$

जो द्विपद श्रृंखला का एक विशेष मामला है।

सन्निकटन ${\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$ कम गति पर सापेक्ष प्रभावों की गणना करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है। यह 1% के भीतर त्रुटि रखता है v < 0.4 c (v<120,000 किमी/सेकंड), और 0.1% त्रुटि के भीतर v < 0.22 c (v <66,000 किमी/सेकेंड)।

इस श्रृंखला के संक्षिप्त संस्करण भौतिकविदों को यह साबित करने की भी अनुमति देते हैं कि विशेष सापेक्षता कम गति पर न्यूटोनियन यांत्रिकी तक कम हो जाती है। उदाहरण के लिए, विशेष सापेक्षता में, निम्नलिखित दो समीकरण मान्य हैं:

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &=\gamma m\mathbf {v} ,\\E&=\gamma mc^{2}.\end{aligned}}$$

के लिए $\gamma \approx 1$ और ${\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$क्रमशः, ये उनके न्यूटोनियन समकक्षों को कम करते हैं:

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &=m\mathbf {v} ,\\E&=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}.\end{aligned}}$$

लोरेंत्ज़ कारक समीकरण को उपज में उलटा भी किया जा सकता है

$$\beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}.$$

इसका एक स्पर्शोन्मुख रूप है

$$\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots \,.$$

पहले दो शब्दों का उपयोग कभी-कभी बड़े पैमाने पर वेगों की त्वरित गणना करने के लिए किया जाता है γ मान. सन्निकटन ${\textstyle \beta \approx 1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}}$ 1% के भीतर सहनशीलता रखता है γ > 2, और 0.1% के भीतर सहनशीलता के लिए γ > 3.5.

खगोल विज्ञान में अनुप्रयोग

लंबी अवधि के गामा-किरण विस्फोट (जीआरबी) का मानक मॉडल मानता है कि ये विस्फोट अल्ट्रा-सापेक्षवादी (प्रारंभिक) हैं γ लगभग 100 से अधिक), जिसे तथाकथित कॉम्पैक्टनेस समस्या को समझाने के लिए लागू किया जाता है: इस अति-सापेक्षतावादी विस्तार के अभाव में, कुछ 100 केवी की विशिष्ट चरम वर्णक्रमीय ऊर्जा पर जोड़ी उत्पादन के लिए इजेक्टा वैकल्पिक रूप से मोटा होगा, जबकि त्वरित उत्सर्जन गैर-थर्मल होना देखा गया है। उपपरमाण्विक कण, जिन्हें म्यूऑन कहा जाता है, ऐसी गति से यात्रा करते हैं कि उनमें लोरेंत्ज़ कारक अपेक्षाकृत उच्च होता है और इसलिए वे अत्यधिक समय के फैलाव का अनुभव करते हैं। उदाहरण के तौर पर, म्यूऑन का औसत जीवनकाल आम तौर पर लगभग होता है 2.2 μs जिसका अर्थ है कि वायुमंडल में लगभग 10 किमी ऊपर ब्रह्मांडीय किरणों के टकराव से उत्पन्न म्यूऑन को उनके क्षय दर के कारण जमीन पर पहचाना नहीं जाना चाहिए। हालाँकि, यह पाया गया है कि ~10% म्यूऑन अभी भी सतह पर पाए जाते हैं, जिससे यह साबित होता है कि पता लगाने योग्य होने के कारण हमारे संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम के सापेक्ष उनकी क्षय दर धीमी हो गई है।

यह भी देखें

• संदर्भ का जड़त्वीय ढाँचा
• स्यूडोरैपिडिटी
• उचित वेग

बाहरी संबंध

• Merrifield, Michael. "γ – Lorentz Factor (and time dilation)". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.
• Merrifield, Michael. "γ2 – Gamma Reloaded". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.