लेवी-सिविटा प्रतीक

Not to be confused with Levi-Civita connection.

See Ricci calculus, Einstein notation, and Raising and lowering indices for the index notation used in the article.

गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित, टेंसर विश्लेषण और अंतर ज्यामिति में, लेवी-सिविटा प्रतीक या लेवी-सिविटा एप्सिलॉन संख्याओं के संग्रह का प्रतिनिधित्व करता है; प्राकृतिक संख्याओं के क्रमपरिवर्तन की समता से परिभाषित 1, 2, ..., n, कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए n. इसका नाम इतालवी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी टुलियो लेवी-सिविटा के नाम पर रखा गया है। अन्य नामों में क्रमपरिवर्तन प्रतीक, एंटीसिमेट्रिक प्रतीक, या वैकल्पिक प्रतीक शामिल हैं, जो क्रमपरिवर्तन के संदर्भ में इसकी एंटीसिमेट्रिक टेंसर संपत्ति और परिभाषा को संदर्भित करता है।

लेवी-सिविटा प्रतीक को दर्शाने के लिए मानक अक्षर ग्रीक लोअर केस एप्सिलॉन हैं ε या ϵ, या कम सामान्यतः लैटिन लोअर केस e. इंडेक्स नोटेशन टेंसर विश्लेषण के साथ संगत तरीके से क्रमपरिवर्तन प्रदर्शित करने की अनुमति देता है:

$$\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$$

जहां प्रत्येक सूचकांक i₁, i₂, ..., i_n मान लेता है 1, 2, ..., n. वहाँ हैं nⁿ के अनुक्रमित मान ε_i1i2...in, जिसे एक में व्यवस्थित किया जा सकता है n-आयामी सरणी। प्रतीक की प्रमुख परिभाषित संपत्ति सूचकांकों में कुल एंटीसिमेट्री है। जब किन्हीं दो सूचकांकों को आपस में बदल दिया जाता है, बराबर या नहीं, तो प्रतीक अस्वीकृत हो जाता है:

$$\varepsilon _{\dots i_{p}\dots i_{q}\dots }=-\varepsilon _{\dots i_{q}\dots i_{p}\dots }.$$

यदि कोई दो सूचकांक बराबर हों, तो प्रतीक शून्य होता है। जब सभी सूचकांक असमान होते हैं, तो हमारे पास होता है:

$$\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon _{1\,2\,\dots n},$$

कहाँ पे p (क्रमपरिवर्तन की समता कहा जाता है) अनस्क्रैम्बल के लिए आवश्यक सूचकांकों के जोड़ीदार इंटरचेंज की संख्या है i₁, i₂, ..., i_n क्रम में 1, 2, ..., n, और कारक (−1)^p क्रमचय के क्रमपरिवर्तन की समता कहलाती है। मूल्य ε_{1 2 ... n} परिभाषित किया जाना चाहिए, अन्यथा सभी क्रमपरिवर्तन के लिए प्रतीक के विशेष मूल्य अनिश्चित हैं। अधिकांश लेखक चुनते हैं ε_{1 2 ... n} = +1, जिसका अर्थ है कि लेवी-सिविटा प्रतीक एक क्रमपरिवर्तन के संकेत के बराबर होता है जब सूचकांक सभी असमान होते हैं। इस विकल्प का उपयोग इस पूरे लेख में किया गया है।

शब्दn-आयामी लेवी-सिविटा प्रतीक इस तथ्य को दर्शाता है कि प्रतीक पर सूचकांकों की संख्या n विचाराधीन सदिश स्थान की विमा से मेल खाता है, जो यूक्लिडियन स्थान या गैर-यूक्लिडियन स्थान हो सकता है|गैर-यूक्लिडियन, उदाहरण के लिए, $\mathbb {R} ^{3}$ या मिंकोवस्की अंतरिक्ष। लेवी-सिविटा प्रतीक के मान किसी भी मीट्रिक टेंसर और समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र होते हैं। इसके अलावा, विशिष्ट शब्द प्रतीक इस बात पर जोर देता है कि यह एक टेंसर नहीं है क्योंकि यह समन्वय प्रणालियों के बीच कैसे बदलता है; हालाँकि इसे एक टेंसर घनत्व के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

लेवी-सिविटा प्रतीक एक वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक और त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद को आइंस्टीन संकेतन में व्यक्त करने की अनुमति देता है।

परिभाषा

लेवी-सिविटा प्रतीक का उपयोग अक्सर तीन और चार आयामों में और कुछ हद तक दो आयामों में किया जाता है, इसलिए ये सामान्य मामले को परिभाषित करने से पहले यहां दिए गए हैं।

दो आयाम

दो आयामों में, लेवी-सिविटा प्रतीक द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$\varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{if }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{if }}i=j\end{cases}}$$

मानों को 2 × 2 एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स में व्यवस्थित किया जा सकता है:

$${\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$$

द्वि-आयामी प्रतीक का उपयोग अपेक्षाकृत असामान्य है, हालांकि कुछ विशेष विषयों जैसे सुपरसिमेट्री में और ट्विस्टर सिद्धांत यह 2-स्पिनर के संदर्भ में प्रकट होता है। त्रि- और उच्च-आयामी लेवी-सिविटा प्रतीकों का अधिक सामान्यतः उपयोग किया जाता है।

तीन आयाम

सूचकांकों के लिए (i, j, k) में ε_ijk, मूल्य 1, 2, 3 में हो रहा है   चक्रीय क्रम (1, 2, 3) के अनुरूप ε = +1, में होने के दौरान   रिवर्स चक्रीय क्रम के अनुरूप है ε = −1, अन्यथा ε = 0.

तीन आयामों में, लेवी-सिविटा प्रतीक द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j,k){\text{ is }}(1,2,3),(2,3,1),{\text{ or }}(3,1,2),\\-1&{\text{if }}(i,j,k){\text{ is }}(3,2,1),(1,3,2),{\text{ or }}(2,1,3),\\\;\;\,0&{\text{if }}i=j,{\text{ or }}j=k,{\text{ or }}k=i\end{cases}}$$

वह है, ε_ijk है 1 यदि (i, j, k) का सम और विषम क्रमपरिवर्तन है (1, 2, 3), −1 यदि यह एक विषम क्रमपरिवर्तन है, और 0 यदि कोई अनुक्रमणिका दोहराई जाती है। केवल तीन आयामों में, के चक्रीय क्रमपरिवर्तन (1, 2, 3) सभी सम क्रमपरिवर्तन हैं, इसी प्रकार प्रतिचक्रीय क्रमपरिवर्तन सभी विषम क्रमपरिवर्तन हैं। इसका मतलब है कि 3d में यह का चक्रीय या प्रतिचक्रीय क्रमपरिवर्तन लेने के लिए पर्याप्त है (1, 2, 3) और आसानी से सभी सम या विषम क्रमपरिवर्तन प्राप्त कर सकते हैं।

2-आयामी मैट्रिक्स के अनुरूप, 3-आयामी लेवी-सिविटा प्रतीक के मूल्यों को एक में व्यवस्थित किया जा सकता है 3 × 3 × 3 सरणी:

कहाँ पे i गहराई है (blue: i = 1; red: i = 2; green: i = 3), j पंक्ति है और k स्तंभ है।

कुछ उदाहरण:

$${\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}$$

चार आयाम

चार-आयामी अंतरिक्ष में, लेवी-सिविटा प्रतीक द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$\varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j,k,l){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,4)\\-1&{\text{if }}(i,j,k,l){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,4)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

इन मानों को a . में व्यवस्थित किया जा सकता है 4 × 4 × 4 × 4 सरणी, हालांकि 4 आयामों और उच्चतर में इसे खींचना मुश्किल है।

कुछ उदाहरण:

$${\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}$$

n आयामों का सामान्यीकरण

अधिक सामान्यतः, n-आयामी अंतरिक्ष में|n आयाम, लेवी-सिविटा प्रतीक द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\-1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

इस प्रकार, यह क्रमपरिवर्तन के मामले में सम और विषम क्रमपरिवर्तन है, और अन्यथा शून्य।

गुणन का उपयोग करना#कैपिटल पाई नोटेशन Π संख्याओं के साधारण गुणन के लिए, प्रतीक के लिए एक स्पष्ट व्यंजक है:

$${\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}$$

जहां साइनम फ़ंक्शन (निरूपित) sgn) गैर-शून्य होने पर निरपेक्ष मान को त्यागते हुए अपने तर्क का संकेत देता है। सूत्र सभी सूचकांक मूल्यों के लिए मान्य है, और किसी के लिए भी n (जब n = 0 या n = 1, यह खाली उत्पाद है)। हालाँकि, ऊपर दिए गए सूत्र की गणना भोलेपन से करने की समय जटिलता है O(n²), जबकि चिन्ह की गणना उसके क्रमपरिवर्तन से क्रमपरिवर्तन की समता से की जा सकती है#साइकिल संकेतन केवल में O(n log(n)) लागत।

गुण

एक टेंसर जिसके घटकों को एक ऑर्थोनॉर्मल आधार पर लेवी-सिविटा प्रतीक (सहसंयोजक का एक टेंसर और वैक्टर रैंक के विपरीत) द्वारा दिया जाता है n) को कभी-कभी क्रमपरिवर्तन टेंसर कहा जाता है।

टेंसर के लिए सामान्य परिवर्तन नियमों के तहत लेवी-सिविटा प्रतीक शुद्ध घुमावों के तहत अपरिवर्तित है, इसके अनुरूप यह (परिभाषा के अनुसार) ऑर्थोगोनल परिवर्तनों से संबंधित सभी समन्वय प्रणालियों में समान है। हालांकि, लेवी-सिविटा प्रतीक एक स्यूडोटेंसर है क्योंकि जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक -1 के ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के तहत, उदाहरण के लिए, विषम संख्या में आयामों में एक प्रतिबिंब (गणित), इसे एक ऋण चिह्न प्राप्त करना चाहिए, यदि यह एक टेंसर थे। चूंकि यह बिल्कुल भी नहीं बदलता है, लेवी-सिविटा प्रतीक, परिभाषा के अनुसार, एक स्यूडोटेंसर है।

चूंकि लेवी-सिविटा प्रतीक एक स्यूडोटेंसर है, इसलिए क्रॉस उत्पाद लेने का परिणाम एक छद्म वेक्टर है, वेक्टर नहीं। एक सामान्य समन्वय परिवर्तन के तहत, क्रमचय टेंसर के घटकों को जैकोबियन मैट्रिक्स और परिवर्तन मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा गुणा किया जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि समन्वयित फ़्रेमों में, जिसमें टेंसर को परिभाषित किया गया था, से भिन्न होते हैं, इसके घटक लेवी-सिविटा प्रतीक से एक समग्र कारक से भिन्न हो सकते हैं। यदि फ़्रेम ऑर्थोनॉर्मल है, तो फ़ैक्टर ±1 होगा जो इस पर निर्भर करता है कि फ़्रेम का ओरिएंटेशन समान है या नहीं।

इंडेक्स-फ्री टेंसर नोटेशन में, लेवी-सिविटा प्रतीक को हॉज डुअल की अवधारणा से बदल दिया गया है।

आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके योग प्रतीकों को समाप्त किया जा सकता है, जहां दो या दो से अधिक शब्दों के बीच दोहराया गया सूचकांक उस सूचकांक पर योग को इंगित करता है। उदाहरण के लिए,

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}$.

निम्नलिखित उदाहरणों में, आइंस्टीन संकेतन का उपयोग किया जाता है।

दो आयाम

दो आयामों में, जब सभी i, j, m, n प्रत्येक मान 1 और 2 लेते हैं:

$\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}={\delta _{i}}^{m}{\delta _{j}}^{n}-{\delta _{i}}^{n}{\delta _{j}}^{m}$

(1)

$\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}={\delta _{j}}^{n}$

(2)

$\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2.$

(3)

तीन आयाम

सूचकांक और प्रतीक मान

तीन आयामों में, जब सभी i, j, k, m, n प्रत्येक मान 1, 2, और 3 लेते हैं:

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}=\delta _{j}{}^{m}\delta _{k}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}\delta _{k}{}^{m}$

(4)

$\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2{\delta _{j}}^{i}$

(5)

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6.$

(6)

उत्पाद

लेवी-सिविटा प्रतीक क्रोनकर डेल्टा से संबंधित है। तीन आयामों में, संबंध निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दिया जाता है (ऊर्ध्वाधर रेखाएं निर्धारक को दर्शाती हैं):

${\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\[6pt]&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned}}$

इस परिणाम का एक विशेष मामला है (4):

$\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}$

कभी-कभी टेंसर संकुचन एप्सिलॉन पहचान कहा जाता है।

आइंस्टीन संकेतन में, का दोहराव i सूचकांक का तात्पर्य योग पर है i. पिछला तब निरूपित किया जाता है ε_ijkε_imn = δ_jmδ_kn − δ_jnδ_km.

$\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}$

एन आयाम

सूचकांक और प्रतीक मान

में n आयाम, जब सभी i₁, ...,i_n, j₁, ..., j_n मान लें 1, 2, ..., n:

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{j_{1}\dots j_{n}}$

(7)

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=\delta _{i_{1}\ldots i_{k}~i_{k+1}\ldots i_{n}}^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\ldots j_{n}}=k!~\delta _{i_{k+1}\dots i_{n}}^{j_{k+1}\dots j_{n}}$

(8)

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!$

(9)

जहां विस्मयादिबोधक चिह्न (!) भाज्य को दर्शाता है, और δ^α...
_β... सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा है। किसी के लिए n, संपत्ति

$\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!$

इस तथ्य से अनुसरण करता है कि

• हर क्रमपरिवर्तन या तो सम या विषम होता है,
• (+1)² = (−1)² = 1, तथा
• किसी के क्रमपरिवर्तन की संख्या n-तत्व सेट संख्या बिल्कुल है n!.

उत्पाद

सामान्य तौर पर, के लिए n आयाम, कोई दो लेवी-सिविटा प्रतीकों के उत्पाद को इस प्रकार लिख सकता है:

$$\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}.$$

सबूत

के लिये (1), दोनों पक्ष के संबंध में एंटीसिमेट्रिक हैं ij तथा mn. इसलिए हमें केवल मामले पर विचार करने की आवश्यकता है i ≠ j तथा m ≠ n. प्रतिस्थापन द्वारा, हम देखते हैं कि समीकरण के लिए धारण करता है ε₁₂ε¹², अर्थात्, के लिए i = m = 1 तथा j = n = 2. (दोनों पक्ष तब एक हैं)। चूंकि समीकरण में एंटीसिमेट्रिक है ij तथा mn, इनके लिए मूल्यों के किसी भी सेट को उपरोक्त मामले (जो धारण करता है) में घटाया जा सकता है। इस प्रकार समीकरण के सभी मानों के लिए धारण करता है ij तथा mn.

का उपयोग करना (1), हमारे पास (2)

$\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\delta _{i}{}^{i}\delta _{j}{}^{n}-\delta _{i}{}^{n}\delta _{j}{}^{i}=2\delta _{j}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}=\delta _{j}{}^{n}\,.$

यहां हमने आइंस्टीन के योग सम्मेलन का इस्तेमाल किया i 1 से 2 तक जा रहा है। अगला, (3) से इसी प्रकार अनुसरण करता है (2)

स्थापित करना (5), ध्यान दें कि दोनों पक्ष गायब हो जाते हैं जब i ≠ j. दरअसल, अगर i ≠ j, तो कोई नहीं चुन सकता m तथा n जैसे कि बाईं ओर के दोनों क्रमपरिवर्तन चिह्न अशून्य हैं। फिर, साथ i = j फिक्स्ड, चुनने के केवल दो तरीके हैं m तथा n शेष दो सूचकांकों से। ऐसे किसी भी सूचकांक के लिए, हमारे पास है

$\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=\left(\varepsilon ^{imn}\right)^{2}=1$

(कोई योग नहीं), और परिणाम इस प्रकार है।

फिर (6) से अनुसरण करता है 3! = 6 और किसी भी विशिष्ट सूचकांक के लिए i, j, k मान लेना 1, 2, 3, अपने पास

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=1$ (कोई योग नहीं, विशिष्ट i, j, k)

अनुप्रयोग और उदाहरण

निर्धारक

रैखिक बीजगणित में, a . का सारणिक 3 × 3 वर्ग मैट्रिक्स A = [a_ij] लिखा जा सकता है

$\det(\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$

इसी प्रकार an . का निर्धारक n × n आव्यूह A = [a_ij] के रूप में लिखा जा सकता है

$\det(\mathbf {A} )=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{1i_{1}}\dots a_{ni_{n}},$

जहां प्रत्येक i_r सारांशित किया जाना चाहिए 1, ..., n, या समकक्ष:

$\det(\mathbf {A} )={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\dots a_{i_{n}j_{n}},$

जहां अब प्रत्येक i_r और प्रत्येक j_r सारांशित किया जाना चाहिए 1, ..., n. अधिक आम तौर पर, हमारे पास पहचान है

$\sum _{i_{1},i_{2},\dots }\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{i_{1}\,j_{1}}\dots a_{i_{n}\,j_{n}}=\det(\mathbf {A} )\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}$

वेक्टर क्रॉस उत्पाद

Main article: cross product

क्रॉस उत्पाद (दो वैक्टर)

होने देना $(\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} )$ एक ओरिएंटेशन (वेक्टर स्पेस) एक वेक्टर स्पेस का ऑर्थोनॉर्मल बेस। यदि (a¹, a², a³) तथा (b¹, b², b³) सदिश (ज्यामिति) s . के निर्देशांक हैं a तथा b इस आधार पर, उनके क्रॉस उत्पाद को एक निर्धारक के रूप में लिखा जा सकता है:

$\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a^{1}&a^{2}&a^{3}\\b^{1}&b^{2}&b^{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a^{j}b^{k}$

इसलिए लेवी-सिविटा प्रतीक का भी उपयोग करना, और अधिक सरलता से:

$(\mathbf {a\times b} )^{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.$

आइंस्टीन संकेतन में, योग प्रतीकों को छोड़ा जा सकता है, और iउनके क्रॉस उत्पाद का वां घटक बराबर होता है

$(\mathbf {a\times b} )^{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.$

पहला घटक है

$(\mathbf {a\times b} )^{1}=a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\,,$

फिर के चक्रीय क्रमपरिवर्तन द्वारा 1, 2, 3 अन्य को उपरोक्त सूत्रों से स्पष्ट रूप से गणना किए बिना, तुरंत प्राप्त किया जा सकता है:

${\begin{aligned}(\mathbf {a\times b} )^{2}&=a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\,,\\(\mathbf {a\times b} )^{3}&=a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\,.\end{aligned}}$

ट्रिपल स्केलर उत्पाद (तीन वैक्टर)

क्रॉस उत्पाद के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति से, हमारे पास है:

$\mathbf {a\times b} =-\mathbf {b\times a}$.

यदि c = (c¹, c², c³) एक तीसरा वेक्टर है, तो ट्रिपल स्केलर उत्पाद बराबर होता है

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.$

इस अभिव्यक्ति से, यह देखा जा सकता है कि किसी भी जोड़े के तर्कों का आदान-प्रदान करते समय ट्रिपल स्केलर उत्पाद एंटीसिमेट्रिक है। उदाहरण के लिए,

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a\times c} )$.

कर्ल (एक वेक्टर क्षेत्र)

यदि F = (F¹, F², F³) के कुछ खुले सेट पर परिभाषित एक सदिश क्षेत्र है $\mathbb {R} ^{3}$ स्थिति वेक्टर के एक फ़ंक्शन (गणित) के रूप में x = (x¹, x², x³) (कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करके)। फिर iकर्ल (गणित) का वां घटक F बराबरी

$(\nabla \times \mathbf {F} )^{i}(\mathbf {x} )=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(\mathbf {x} ),$

जो ग्रेडिएंट वेक्टर लीनियर ऑपरेटर (नाबला) के घटकों को प्रतिस्थापित करते हुए, उपरोक्त क्रॉस उत्पाद अभिव्यक्ति से अनुसरण करता है।

टेंसर घनत्व

किसी भी मनमानी वक्रीय समन्वय प्रणाली में और यहां तक ​​कि कई गुना पर एक मीट्रिक टेंसर की अनुपस्थिति में, ऊपर परिभाषित लेवी-सिविटा प्रतीक को दो अलग-अलग तरीकों से एक टेंसर घनत्व क्षेत्र माना जा सकता है। इसे भार +1 के वैक्टर टेंसर घनत्व या वजन -1 के सहसंयोजक टेंसर घनत्व के एक सहसंयोजक और विरोधाभास के रूप में माना जा सकता है। सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा का उपयोग करते हुए n आयामों में,

${\begin{aligned}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}&=\delta _{\,1\,\dots \,n}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\,\\\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}&=\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\,1\,\dots \,n}\,.\end{aligned}}$

ध्यान दें कि ये संख्यात्मक रूप से समान हैं। विशेष रूप से, संकेत वही है।

लेवी-सिविटा टेंसर

छद्म-रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर, कोई एक समन्वय-अपरिवर्तनीय सहसंयोजक टेंसर क्षेत्र को परिभाषित कर सकता है जिसका समन्वय प्रतिनिधित्व लेवी-सिविटा प्रतीक से सहमत होता है जहां समन्वय प्रणाली ऐसी होती है कि स्पर्शरेखा स्थान का आधार मीट्रिक के संबंध में ऑर्थोनॉर्मल होता है और एक से मेल खाता है चयनित अभिविन्यास। इस टेंसर को ऊपर बताए गए टेंसर घनत्व क्षेत्र के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। इस खंड में प्रस्तुति बारीकी से इस प्रकार है Carroll 2004.

चयनित अभिविन्यास से मेल खाने वाली किसी भी समन्वय प्रणाली में सहसंयोजक लेवी-सिविटा टेंसर (रिमेंनियन वॉल्यूम फॉर्म के रूप में भी जाना जाता है) है

$E_{a_{1}\dots a_{n}}={\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}\,\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}\,,$

कहाँ पे g_ab उस समन्वय प्रणाली में मीट्रिक का प्रतिनिधित्व है। हम हमेशा की तरह मीट्रिक के साथ सूचकांकों को ऊपर उठाकर एक विपरीत लेवी-सिविटा टेंसर पर विचार कर सकते हैं,

$E^{a_{1}\dots a_{n}}=E_{b_{1}\dots b_{n}}\prod _{i=1}^{n}g^{a_{i}b_{i}}\,,$

लेकिन ध्यान दें कि यदि मीट्रिक हस्ताक्षर में विषम संख्या में नकारात्मक हैं q, तो इस टेंसर के घटकों का चिन्ह मानक लेवी-सिविटा प्रतीक से भिन्न होता है:

$E^{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {\operatorname {sgn} \left(\det[g_{ab}]\right)}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}\,\varepsilon ^{a_{1}\dots a_{n}},$

कहाँ पे sgn(det[g_ab]) = (−1)^q, तथा $\varepsilon ^{a_{1}\dots a_{n}}$ इस लेख के बाकी हिस्सों में चर्चा की गई सामान्य लेवी-सिविटा प्रतीक है। अधिक स्पष्ट रूप से, जब टेंसर और आधार अभिविन्यास को इस तरह चुना जाता है कि ${\textstyle E_{01\dots n}=+{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$, हमारे पास वह है $E^{01\dots n}={\frac {\operatorname {sgn}(\det[g_{ab}])}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$.

इससे हम पहचान का अनुमान लगा सकते हैं,

$E^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}E_{\mu _{1}\dots \mu _{p}\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}=(-1)^{q}p!\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}\,,$

कहाँ पे

$\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}=(n-p)!\delta _{\beta _{1}}^{\lbrack \alpha _{1}}\dots \delta _{\beta _{n-p}}^{\alpha _{n-p}\rbrack }$

सामान्यीकृत क्रोनकर डेल्टा है।

उदाहरण: मिंकोव्स्की अंतरिक्ष

मिंकोव्स्की अंतरिक्ष (विशेष सापेक्षता का चार-आयामी स्पेसटाइम) में, सहसंयोजक लेवी-सिविटा टेंसर है

$E_{\alpha \beta \gamma \delta }=\pm {\sqrt {\left|\det[g_{\mu \nu }]\right|}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\,,$

जहां संकेत आधार के उन्मुखीकरण पर निर्भर करता है। contravariant Levi-Civita tensor is

$E^{\alpha \beta \gamma \delta }=g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }E_{\zeta \eta \theta \iota }\,.$

निम्नलिखित सामान्य पहचान के उदाहरण हैं जो मिंकोव्स्की स्पेस के लिए विशिष्ट हैं (किसी भी साइन कन्वेंशन में मीट्रिक टेंसर के हस्ताक्षर में विषम संख्या से उत्पन्न होने वाले नकारात्मक चिह्न के साथ):

${\begin{aligned}E_{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \mu \nu }&=-g_{\alpha \zeta }g_{\beta \eta }g_{\gamma \theta }g_{\delta \iota }\delta _{\rho \sigma \mu \nu }^{\zeta \eta \theta \iota }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E^{\rho \sigma \mu \nu }&=-g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }\delta _{\zeta \eta \theta \iota }^{\rho \sigma \mu \nu }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\alpha \beta \gamma \delta }&=-24\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \beta \gamma \delta }&=-6\delta _{\rho }^{\alpha }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \gamma \delta }&=-2\delta _{\rho \sigma }^{\alpha \beta }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \theta \delta }&=-\delta _{\rho \sigma \theta }^{\alpha \beta \gamma }\,.\end{aligned}}$

यह भी देखें

• क्रमपरिवर्तन विषयों की सूची
• सममित टेंसर

संदर्भ

• Misner, C.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. (1973). Gravitation. W. H. Freeman & Co. pp. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
• Neuenschwander, D. E. (2015). Tensor Calculus for Physics. Johns Hopkins University Press. pp. 11, 29, 95. ISBN 978-1-4214-1565-9.
• Carroll, Sean M. (2004), Spacetime and Geometry, Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8732-3

बाहरी संबंध

This article incorporates material from Levi-Civita permutation symbol on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

• Weisstein, Eric W. "Permutation Tensor". MathWorld.