क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण

क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण एक ऐसी गणितीय औपचारिकता हैं जो क्वांटम यांत्रिकी के समिश्र विवरण की स्वीकृति देती हैं। यह गणितीय औपचारिकता मुख्य रूप से कार्यात्मक विश्लेषण के एक भाग का उपयोग करती है, विशेष रूप से हिल्बर्ट रिक्त समष्टि, जो एक प्रकार का रैखिक समष्टि है। अमूर्त गणितीय संरचनाओं, जैसे अनंत-आयामी हिल्बर्ट समष्टि (मुख्य रूप से L² समष्टि) और इन समष्टि पर संचालकों के उपयोग से 1900 के दशक के प्रारंभ से पहले विकसित भौतिकी सिद्धांतों के लिए गणितीय औपचारिकताओं से अलग हैं। संक्षेप में, ऊर्जा और संवेग जैसे भौतिक प्रेक्षणों के मानों को अब चरण समष्टि पर फलन के मानों के रूप में नहीं माना जाता था लेकिन आइगेन मान के रूप में हिल्बर्ट समष्टि में रैखिक संचालकों (ऑपरेटर) के स्पेक्ट्रम संबंधी मानों के रूप में अधिक प्रयुक्त किया जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी के इन सूत्रों का आज भी उपयोग किया जाता है। विवरण के केंद्र में क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम समिश्र की अवधारणाए हैं जो भौतिक वास्तविकता के पिछले मॉडल में उपयोग किए गए मौलिक से भिन्न हैं। जबकि गणित कई राशियों की गणना की स्वीकृति देता है जिन्हें प्रयोगात्मक रूप से मापा जा सकता है, मानों की एक निश्चित सैद्धांतिक सीमा होती है जिन्हें एक साथ मापा जा सकता है। इस सीमा को पहली बार हाइजेनबर्ग अनिश्चितता द्वारा एक विचार प्रयोग के माध्यम से स्पष्ट किया गया था और क्वांटम समिश्र का प्रतिनिधित्व करने वाले संचालकों की गैर-अविनिमेय द्वारा नई औपचारिकता में गणितीय रूप से प्रतिनिधित्व किया गया है।

एक अलग सिद्धांत के रूप में क्वांटम यांत्रिकी के विकास से पहले, भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले गणित में मुख्य रूप से औपचारिक गणितीय विश्लेषण सम्मिलित था जिसका विकास प्रारम्भिक कैलकुलस से हुआ था और क्वांटम समिश्र में अवकल ज्यामिति और आंशिक अवकल समीकरणों तक बढ़ रहा था। विरूपण सिद्धांत का उपयोग सांख्यिकीय यांत्रिकी में किया गया था। ज्यामितीय अंतर्ज्ञान ने पहले दो में एक निश्चित भूमिका निभाई और तदनुसार, सापेक्षता भौतिकी के सिद्धांत को पूर्ण रूप से अवकल ज्यामितीय अवधारणाओं के संदर्भ में तैयार किया था क्वांटम भौतिकी की परिघटना सामान्यतः 1895 और 1915 के बीच उत्पन्न हुई और क्वांटम यांत्रिकी (1925 के आसपास) के विकास से पहले 10 से 15 वर्षों तक भौतिकविदों ने क्वांटम सिद्धांत के विषय में सोचना प्रारम्भ रखा था जिसे अब "प्राचीन भौतिकी" कहा जाता है और विशेष रूप से समान गणितीय संरचनाओं के भीतर इसका सबसे परिष्कृत उदाहरण "सोमरफेल्ड-विल्सन-इशिवारा परिमाणीकरण नियम" है, जिसे पूर्ण रूप से प्राचीन भौतिकी समष्टि पर तैयार किया गया था।

औपचारिकता का इतिहास

पुराने क्वांटम सिद्धांत और नए गणित की आवश्यकता

Main article: पुराना क्वांटम सिद्धांत

1890 के दशक में, मैक्स प्लैंक ब्लैकबॉडी-स्पेक्ट्रम को प्राप्त करने में सक्षम था जिसे बाद में पराबैंगनी विपात से बचने के लिए अपरंपरागत धारणा बनाकर उपयोग किया गया था कि पदार्थ के साथ विद्युत चुम्बकीय विकिरण की परस्पर क्रिया में ऊर्जा का केवल असतत इकाइयों में रूपांतरण किया जा सकता है जिसे उन्होंने क्वांटा कहा और प्लैंक ने विकिरण की आवृत्ति उस आवृत्ति पर ऊर्जा की स्थिति के बीच प्रत्यक्ष आनुपातिकता को अभिगृहीत किया। तथा आनुपातिकता स्थिरांक h को अब उनके सम्मान में प्लांक स्थिरांक कहा जाता है।

1905 में, अल्बर्ट आइंस्टीन ने प्रकाश विद्युत प्रभाव की कुछ विशेषताओं को यह मानकर समझाया कि प्लैंक की ऊर्जा क्वांटा वास्तविक कण थे, जिन्हें बाद में फोटॉन का दिया गया था।

ये सभी घटनाक्रम घटनात्मक थे और उस समय के सैद्धांतिक भौतिकी को चुनौती दी थी। बोह्र और सोमरफेल्ड ने पहले सिद्धांतों से बोहर मॉडल को विकसित करने के प्रयास में क्वांटम यांत्रिकी को संशोधित किया। उन्होंने प्रस्तावित किया कि अपने चरण (फेज़) समष्टि में एक यांत्रिक प्रणाली द्वारा खोजी गई सभी विवृत विस्तृत कक्षाओं में, केवल उन लोगों को जो एक क्षेत्र को घेरते थे जो कि प्लैंक के स्थिरांक का गुणक था वास्तव में स्वीकृति दी गई थी। इस औपचारिकता का सबसे परिष्कृत संस्करण तथाकथित सोमरफेल्ड-विल्सन-इशिवारा परिमाणीकरण था। हालांकि हाइड्रोजन परमाणु के बोह्र मॉडल को इस प्रकार से समझाया जा सकता है कि हीलियम परमाणु के स्पेक्ट्रम (समिश्र रूप से एक अविलेय 3-क्रम समस्या) का पूर्वानुमान नहीं की जा सकता है। क्वांटम सिद्धांत की गणितीय समष्टि कुछ समय तक अनिश्चित थी। और 1923 में, लुइस डी ब्रोगली ने प्रस्तावित किया कि तरंग-कण न केवल फोटॉनों पर बल्कि इलेक्ट्रॉनों और प्रत्येक दूसरे भौतिक तंत्र पर प्रयुक्त होता है।

1925 से 1930 के वर्षों में स्थिति तीव्रता से परिवर्तित हुई जब इरविन श्रोडिंगर, वर्नर हाइजेनबर्ग, मैक्स बोर्न, पास्कल जॉर्डन और जॉन वॉन न्यूमैन, हरमन वेइल और पॉल डिराक के आधारभूत कार्य के माध्यम से कार्यशील गणितीय नींव पाई गई और नए विचारों के संदर्भ में कई अलग-अलग दृष्टिकोणों को एकीकृत करना संभव हो गया था और वर्नर हाइजेनबर्ग द्वारा अनिश्चितता संबंधों की खोज और नील्स बोह्र द्वारा पूरकता (भौतिकी) के विचार को प्रस्तुत करने के बाद इन वर्षों में सिद्धांत की भौतिकी व्याख्या को भी स्पष्ट किया गया था।

नया क्वांटम सिद्धांत

वर्नर हाइजेनबर्ग का क्वांटम यांत्रिकी परमाणु स्पेक्ट्रा के अवलोकित सूत्रीकरण को रूपांतरित करने का पहला सफल प्रयास था। बाद में उसी वर्ष, श्रोडिंगर ने अपनी तरंग यांत्रिकी बनाई और श्रोडिंगर की औपचारिकता को समझना, कल्पना करना और गणना करना आसान माना जाता था क्योंकि इससे अवकल समीकरणों का विकास हुआ, जिसे हल करने से भौतिक विज्ञानी पहले से ही परिचित थे। एक वर्ष के भीतर यह प्रदर्शित गया कि दो सिद्धांत समान थे।

श्रोडिंगर ने प्रारम्भ में क्वांटम यांत्रिकी की मौलिक प्रायिकतात्मक प्रकृति को नहीं समझ पाए, क्योंकि उन्होंने सोचा था कि एक इलेक्ट्रॉन के तरंग फलन के पूर्ण वर्ग को एक विस्तारित, संभवतः अवकल समष्टि के आयतन पर विस्तृत हुई वस्तु के आवेश घनत्व के रूप में व्याख्या की जानी चाहिए। यह मैक्स बोर्न था जिसने तरंग फलन के निरपेक्ष वर्ग की व्याख्या को एक बिंदु जैसी वस्तु की स्थिति के प्रायिकता वितरण के रूप में प्रस्तुत किया था। बोर्न के विचार को शीघ्र ही कोपेनहेगन में नील्स बोह्र ने ले लिया, जो तब क्वांटम यांत्रिकी की कोपेनहेगन व्याख्या के "जनक" बन गए। श्रोडिंगर के तरंग फलन को हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण की निकटता से देखा जा सकता है। हाइजेनबर्ग के क्वांटम यांत्रिकी में समिश्र यांत्रिकी के साथ समानता और भी अधिक स्पष्ट थी हालांकि कुछ अधिक औपचारिक थी। अपनी "पीएचडी थीसिस परियोजना" में पॉल डिराक ने पाया कि हाइजेनबर्ग प्रतिनिधित्व में संचालकों के लिए समीकरण, जैसा कि अब कहा जाता है समिश्र यांत्रिकी के हैमिल्टनियन औपचारिकता में कुछ राशि की गतिशीलता के लिए शास्त्रीय समीकरणों का सूक्ष्मता से अनुवाद करता है जब उन्हें पोइसन भाग के माध्यम से व्यक्त करता है। और एक प्रक्रिया जिसे अब विहित परिमाणीकरण के रूप में जाना जाता है।

अधिक सही प्रयुक्त होने के लिए पहले से ही श्रोडिंगर ने पहले, युवा पोस्टडॉक्टोरल वर्नर हाइजेनबर्ग ने अपने क्वांटम यांत्रिकी का आविष्कार किया, जो कि पहला सही क्वांटम यांत्रिकी था आवश्यक सफलता हाइजेनबर्ग का क्वांटम यांत्रिकी सूत्रीकरण अपरिमित क्वांटम यांत्रिकी के बीजगणितीय सिद्धान्त पर आधारित था प्राचीन भौतिकी के गणित के प्रकाश में एक बहुत ही कट्टरपंथी सूत्रीकरण, हालांकि उन्होंने उस समय के प्रयोगवादियों की सूचकांक-शब्दावली से प्रारम्भ किया था यह भी नहीं पता था कि उनकी "सूचकांक-योजनाएं" मेट्रिसेस थी जैसा कि बोर्न ने ही उन्हें बताया। कि वास्तव में, इन प्रारम्भिक वर्षों में, रेखीय बीजगणित अपने वर्तमान रूप में भौतिकविदों के साथ सामान्यतः लोकप्रिय नहीं थी।

हालांकि श्रोडिंगर ने स्वयं एक वर्ष के बाद अपने तरंग-यांत्रिकी और हाइजेनबर्ग के क्वांटम यांत्रिकी की समानता को सिद्ध कर दिया, हिल्बर्ट समष्टि में गति के रूप में दो दृष्टिकोणों और उनके आधुनिक अमूर्तता के सामंजस्य को सामान्यतः पॉल डिराक के लिए उत्तरदायी माना जाता है जिन्होंने अपने 1930 के सिद्धान्त में एक स्पष्ट लिखा था। क्वांटम यांत्रिकी का सिद्धांत वह उस क्षेत्र का तीसरा, और संभवतः सबसे महत्वपूर्ण स्तंभ है (वह शीघ्र ही सिद्धांत के एक सापेक्षवादी सामान्यीकरण की खोज करने वाला एकमात्र व्यक्ति था)। अपने उपर्युक्त सिद्धान्त में, उन्होंने कार्यात्मक विश्लेषण में प्रयुक्त हिल्बर्ट समष्टि के संदर्भ में एक अमूर्त सूत्रीकरण के साथ, ब्रा-केट संकेतन प्रस्तुत किया था उन्होंने दिखाया कि श्रोडिंगर और हाइजेनबर्ग के दृष्टिकोण एक ही सिद्धांत के दो अलग-अलग प्रतिनिधित्व थे और एक तीसरा, सबसे सामान्य पाया जो प्रणाली की गतिशीलता का प्रतिनिधित्व करता था। उनका कार्य क्षेत्र के कई प्रकार के सामान्यीकरणों में विशेष रूप से लाभदायक था।

इस दृष्टिकोण का पहला पूर्ण गणितीय सूत्रीकरण, जिसे डिराक-वॉन न्यूमैन एक्सिओम्स के रूप में जाना जाता है सामान्यतः जॉन वॉन न्यूमैन की 1932 की पुस्तक को क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव में श्रेय दिया जाता है, हालांकि हरमन वेइल ने हिल्बर्ट समष्टि (जिसे उन्होंने एकात्मक समष्टि कहा था) को पहले ही संदर्भित कर दिया था। उनका 1927 का प्रारम्भिक पेपर और पुस्तक मे यह एक पीढ़ी पहले डेविड हिल्बर्ट के दृष्टिकोण वाले द्विघात रूपों के अतिरिक्त रैखिक संचालको के आधार पर गणितीय रैखिक सिद्धांत के लिए एक नए दृष्टिकोण के समानांतर विकसित किया गया था। हालांकि क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत आज भी विकसित हो रहे हैं, क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय सूत्रीकरण के लिए एक आधारित संरचना है जो अधिकांश दृष्टिकोणों को रेखांकित करती है और जॉन वॉन न्यूमैन के गणितीय कार्यों में वापस खोजा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सिद्धांत की व्याख्या और इसके विस्तार के विषय में चर्चा अब अधिकांश गणितीय नींव के विषय में साझा धारणाओं के आधार पर आयोजित की जाती है।

बाद के घटनाक्रम

विद्युत् चुंबकत्व के लिए नए क्वांटम सिद्धांत के अनुप्रयोग के परिणामस्वरूप क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का विकास हुआ जिसे 1930 के आसपास प्रारम्भ किया गया था। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत ने क्वांटम यांत्रिकी के अधिक परिष्कृत योगों के विकास को प्रेरित किया है जिनमें से यहां प्रस्तुत कुछ सामान्य उदाहरण हैं:

• समाकलन सूत्रीकरण
• क्वांटम यांत्रिकी और ज्यामितीय परिमाणीकरण का फेज़ समष्टि सूत्रीकरण
• कर्व्ड स्पेसटाइम में क्वांटम क्षेत्र सिद्धान्त
• वेटमैन स्वयंसिद्ध, स्थानीय क्वांटम भौतिकी और संरचनात्मक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
• सी * - बीजगणित औपचारिकता (गणित)
• क्वांटम यांत्रिकी का सामान्यीकृत सांख्यिकीय मॉडल (पीओवीएम)

क्वांटम यांत्रिकी के संबंध मे एक संबंधित विषय है। किसी भी नए भौतिक सिद्धांत को कुछ सन्निकटन में सफल पुराने सिद्धांतों को कम करना चाहिए। क्वांटम यांत्रिकी के लिए, यह क्वांटम यांत्रिकी की तथाकथित क्वांटम सीमा का अध्ययन करने की आवश्यकता में अनुवाद करता है। इसके अतिरिक्त, जैसा कि बोह्र ने महत्व दिया कि मानव संज्ञानात्मक क्षमताएं और भाषा समिश्र रूप से क्वांटम क्षेत्र से सम्बद्ध हैं और इसलिए रैखिक विवरण सहज रूप से क्वांटम की तुलना में अधिक सुलभ हैं। विशेष रूप से परिमाणीकरण (भौतिकी) अर्थात् एक क्वांटम सिद्धांत का निर्माण जिसकी क्वांटम सीमा एक दी गई और ज्ञात क्वांटम सिद्धांत है, अपने आप में क्वांटम भौतिकी का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र बन जाता है।

अंत में, क्वांटम सिद्धांत के कुछ प्रवर्तक (विशेष रूप से आइंस्टीन और श्रोडिंगर) क्वांटम यांत्रिकी के दार्शनिक निहितार्थों से खुश नही थे। विशेष रूप से, आइंस्टीन ने निर्धारित किया कि क्वांटम यांत्रिकी अधूरी होनी चाहिए, जिसने तथाकथित छिपे-चर सिद्धांतों में शोध को प्रेरित किया और क्वांटम प्रकाशिकी की सहायता से छिपे हुए चर का कारण एक प्रायोगिक कारण बन गया है।

क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत

भौतिक प्रणाली को सामान्यतः तीन मूल अवयवों द्वारा वर्णित किया जाता है: यांत्रिकी, अवकनीयता और गतिशीलता (या समय के विकास का नियम) या अधिक सामान्यतः भौतिक समरूपता का एक समूह यांत्रिकी के एक फेज़ समष्टि मॉडल द्वारा एक क्वांटम विवरण लगभग प्रत्यक्ष रूप से दिया जा सकता है: यांत्रिकी एक फेज़ समष्टि में बिंदु हैं जो सहानुभूतिपूर्ण कई गुना द्वारा तैयार किए जाते हैं, वेधशालाएं वास्तविक-मान वाले फलन हैं, समय विकास एक-पैरामीटर समूह द्वारा दिया जाता है फेज़ समष्टि की समानताएं परिवर्तनों और भौतिक समरूपता को सहानुभूतिपूर्ण परिवर्तनों द्वारा विचार किया जाता है। एक क्वांटम विवरण में समान्यतः यांत्रिकी के हिल्बर्ट समष्टि होते हैं, वेधशालाएँ यांत्रिकी के समष्टि पर स्व-संबद्ध संचालक होते हैं, समय विकास यांत्रिकी के हिल्बर्ट समष्टि पर एकात्मक परिवर्तनों के एक-पैरामीटर समूह द्वारा दिया जाता है और भौतिक समरूपता पर विचार किया जाता है एकात्मक रूपांतरण इस हिल्बर्ट-समष्टि को एक फेज समष्टि सूत्रीकरण में चित्रित करता है। (नीचे देखें।)

क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय संरचना के निम्नलिखित सारांश को आंशिक रूप से डायराक-वॉन न्यूमैन स्वयंसिद्धों में देखा जा सकता है।

एक प्रणाली की स्थिति का विवरण

प्रत्येक पृथक भौतिक प्रणाली आंतरिक उत्पाद ⟨φ|ψ⟩ के साथ एक (स्थलीय रूप से) वियोज्य परिसर हिल्बर्ट समष्टि H से सम्बद्ध है। H में किरणें (अर्थात, समिश्र आयाम 1 के उप-समष्टि) प्रणाली की क्वांटम स्थितियों से सम्बद्ध हैं।

अवधारणा-I

एक पृथक भौतिक प्रणाली की स्थिति एक निश्चित समय पर प्रदर्शित होती है $t$, by a स्थित सदिश $|\psi \rangle$ से संबंधित हिल्बर्ट समष्टि ${\mathcal {H}}$ जिसे स्थिति समष्टि कहा जाता है।

दूसरे शब्दों में, क्वांटम यांत्रिकी को H में लंबाई 1 के सदिशों के समतुल्य वर्गों (किरणों) के साथ पहचाना जा सकता है जहां दो सदिश एक ही स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं यदि वे केवल एक फेज़ कारक से भिन्न होते हैं। पृथक्करण एक गणितीय रूप से सुविधाजनक परिकल्पना है भौतिक व्याख्या के साथ कि स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए कई अवलोकन पर्याप्त हैं। एक क्वांटम यांत्रिकी स्थिति प्रक्षेपीय हिल्बर्ट समष्टि में एक सदिश किरण नही है। कई पाठ्यपुस्तकें इस समीकरण को बनाने में विफल रहती हैं जो आंशिक रूप से इस तथ्य का परिणाम हो सकता है कि श्रोडिंगर समीकरण में ही हिल्बर्ट-समष्टि "सदिश" सम्मिलित है, जिसके परिणामस्वरूप किरण के अतिरिक्त "स्थिति सदिश" के उपयुक्त उपयोग से बचना बहुत जटिल होता है। यह एक निम्नलिखित समग्र प्रणाली अभिधारणा है:

समग्र प्रणाली अभिधारणा

एक समग्र प्रणाली का हिल्बर्ट समष्टि घटक प्रणालियों से सम्बद्ध स्थिति समष्टि का हिल्बर्ट समष्टि टेंसर उत्पाद है। अलग-अलग कणों की एक सीमित संख्या वाली गैर-सापेक्षतावादी प्रणाली के लिए, घटक प्रणालियां अलग-अलग कण हैं।

क्वांटम यांत्रिकी की उपस्थिति में, समग्र प्रणाली की क्वांटम यांत्रिकी को इसके स्थानीय घटकों की स्थिति के टेंसर उत्पाद के रूप में नहीं माना जा सकता है इसके अतिरिक्त इसे घटक उप-प्रणालियों की स्थिति के टेंसर उत्पादों के योग या क्वांटम अध्यारोपण के रूप में व्यक्त किया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी समग्र प्रणाली में एक उप-प्रणाली को समान्यतः एक स्थिति सदिश (या एक किरण) द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, बल्कि इसके अतिरिक्त एक घनत्व संचालक द्वारा वर्णित किया जाता है ऐसी क्वांटम स्थिति को समिश्र स्थिति (भौतिकी) के रूप में जाना जाता है। एक मिश्रित स्थिति का घनत्व संचालन एक नियंत्रक वर्ग है गैर-ऋणात्मक (धनात्मक अर्ध-निश्चित यांत्रिकी) स्व-संबद्ध संचालक ρ ट्रेस 1 के लिए सामान्यीकृत होता है। उसके स्थान में, समिश्र स्थिति के किसी भी घनत्व संचालन को एक विस्तृत उप-प्रणाली के रूप में दर्शाया जा सकता है (निम्न प्रमेय देखें)।

क्वांटम यांत्रिकी की अनुपस्थिति में, समग्र प्रणाली की क्वांटम स्थिति को वियोज्य स्थिति कहा जाता है। एक वियोज्य स्थिति में द्विदलीय प्रणाली के घनत्व यांत्रिकी को व्यक्त किया जा सकता है:

$\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$, :

जहाँ $\;\sum _{k}p_{k}=1$ यदि केवल एक $p_{k}$अशून्य है तब यांत्रिकी स्थिति को उसी रूप ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$ मे व्यक्त किया जा सकता है और इसे केवल वियोज्य या उत्पाद स्थिति कहा जाता है।

एक प्रणाली पर मापन

भौतिक राशियों का विवरण

भौतिक प्रेक्षणीयता को हर्मिटियन समूह H द्वारा दर्शाया गया है चूंकि ये संचालक हर्मिटियन होते हैं, इसलिए उनका आइगेन मान सदैव वास्तविक होता है और संबंधित प्रेक्षणीयता को मापने से संभावित परिणामों का प्रतिनिधित्व करता है। यदि प्रेक्षणीयता का स्पेक्ट्रम असतत स्पेक्ट्रम है, तो संभावित परिणाम परिमाणित होते हैं।

अवधारणा II.a

प्रत्येक मापने योग्य भौतिक राशि ${\mathcal {A}}$ का वर्णन स्थैतिक समष्टि ${\mathcal {H}}$ में कार्यरत हर्मिटियन ऑपरेटर $A$ द्वारा किया जाता है। यह ऑपरेटर एक देखने योग्य है, जिसका अर्थ है कि इसके ईजेनवेक्टर ${\mathcal {H}}$ के लिए आधार बनाते हैं। किसी भौतिक राशि को मापने का परिणाम ${\mathcal {A}}$ संबंधित अवलोकन योग्य $A$ के आइगेन मान ​​​​में से एक होना चाहिए।

मापन के परिणाम

मानावलीय सिद्धांत द्वारा, हम संभाव्यता माप को A के मानों से जोड़ सकते हैं किसी भी स्थिति में ψ भी दिखा सकते हैं कि प्रेक्षणीयता के संभावित मान A किसी भी स्थिति में एक संचालक के स्पेक्ट्रम से संबंधित होना चाहिए A प्रेक्षणीयता का अपेक्षित मान (मानावलीय सिद्धांत के अर्थ में) A इकाई सदिश द्वारा प्प्रदर्शित प्रणाली के लिए ψ ∈ H है यदि हम $\langle \psi |A|\psi \rangle$ स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं तो ψ के आइगेन सदिश द्वारा गठित आधार A है तब किसी दिए गए आइगेन सदिश से संबद्ध घटक के गुणांक का वर्ग इसके संबंधित आइगेन मान को देखने की संभावना है।

Postulate II.b

When the physical quantity ${\mathcal {A}}$ is measured on a system in a normalized state $|\psi \rangle$, the probability of obtaining an eigenvalue (denoted $a_{n}$ for discrete spectra and $\alpha$ for continuous spectra) of the corresponding observable $A$ is given by the amplitude squared of the appropriate wave function (projection onto corresponding eigenvector).

${\begin{aligned}\mathbb {P} (a_{n})&=|\langle a_{n}|\psi \rangle |^{2}&{\text{(Discrete, nondegenerate spectrum)}}\\\mathbb {P} (a_{n})&=\sum _{i}^{g_{n}}|\langle a_{n}^{i}|\psi \rangle |^{2}&{\text{(Discrete, degenerate spectrum)}}\\d\mathbb {P} (\alpha )&=|\langle \alpha |\psi \rangle |^{2}d\alpha &{\text{(Continuous, nondegenerate spectrum)}}\end{aligned}}$

मिश्रित अवस्था के लिए ρ, का अपेक्षित मान A की स्थिति में ρ है $\operatorname {tr} (A\rho )$ और एक आइगेन मान $a_{n}$ प्राप्त करने की संभावना इसी प्रेक्षणीय के असतत, अविकृत स्पेक्ट्रम में $A$ द्वारा $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ दिया गया है।

यदि आइगेन मान $a_{n}$ लंबकोणीय आइगेन सदिश $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ हैं, तो आइगेन समष्टि पर प्रेक्षणीय रैखिक बीजगणित को आइगेन समष्टि में पहचान ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

$$P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|,$$

और तब $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )$.

अभिधारणाओं II.a और II.b को सामूहिक रूप से क्वांटम यांत्रिकी के नियम के रूप में जाना जाता है।

स्थिति पर मापन का प्रभाव

मिश्रित अवस्था के लिए ρ, एक आइगेन मान प्राप्त करने के बाद $a_{n}$ इसी प्रेक्षणीय के असतत, अविकृत स्पेक्ट्रम में $A$, द्वारा अद्यतन स्थिति ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ दी गई है यदि आइगेन मान $a_{n}$ लांबिक विश्लेषण $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ आइगेन सदिश हैं तो आइगेन समष्टि पर प्रक्षेपणीय रैखिक बीजगणित है:$P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$.

अभिधारणाएँ II.c को कभी-कभी स्थिति अद्यतन नियम या पतन नियम कहा जाता है बॉर्न रूल (अवधारणा II.a और II.b) के साथ मिलकर, वे क्वांटम यांत्रिकी में मापन का एक पूर्ण प्रतिनिधित्व करते हैं और कभी-कभी सामूहिक रूप से मापन अवधारणा कहलाते हैं।

ध्यान दें कि माप अभिधारणा में वर्णित प्रक्षेपणीय मापन (पीवीएम) को धनात्मक संकारक मापन (पीओवीएम) के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो क्वांटम यांत्रिकी में माप का सबसे सामान्य प्रकार है। एक पीओवीएम को एक घटक उप-प्रणाली पर प्रभाव के रूप में समझा जा सकता है जब एक पीवीएम एक विस्तृत प्रणाली पर किया जाता है (नैमार्क की प्रसारण प्रमेय देखें)।

एक प्रणाली का समय विकास

हालांकि श्रोडिंगर समीकरण को प्राप्त करना संभव है, जो वर्णन करता है कि समय में एक राज्य वेक्टर कैसे विकसित होता है, अधिकांश ग्रंथ समीकरण को अभिधारणा के रूप में मानते हैं। सामान्य व्युत्पत्तियों में डेब्रोग्ली परिकल्पना या श्रोडिंगर के समीकरण के बीच संबंध और क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण का उपयोग करना सम्मिलित है।

Postulate III

The time evolution of the state vector $|\psi (t)\rangle$ is governed by the Schrödinger equation, where $H(t)$ is the observable associated with the total energy of the system (called the Hamiltonian)

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle =H(t)|\psi (t)\rangle$

समतुल्य रूप से, समय विकास अभिधारणा को इस प्रकार कहा जा सकता है:

Postulate III

The time evolution of a closed system is described by a unitary transformation on the initial state.

$|\psi (t)\rangle =U(t;t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$

समिश्र स्थिति में विवृत मान के लिए ρ, समय विकास $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ है।

एक संवृत क्वांटम प्रणाली के विकास को क्वांटम ऑपरेशन (क्वांटम संकारक प्रमेय औपचारिकता में) और क्वांटम उपकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है और सामान्यतः एकात्मक होना जरूरी नहीं होता है।

अभिधारणाओं के अन्य निहितार्थ

• विग्नर के प्रमेय के कारण भौतिक समरूपता क्वांटम स्थितियों के हिल्बर्ट समष्टि पर एकात्मक रूप से या विपरीत रूप से कार्य करती है समरूपता पूरी तरह से एक और स्थिति है।

• घनत्व संकारक वे हैं जो एक-आयामी लंबकोणीय प्रक्षेपण के उत्तल के संवृत होने में हैं। इसके विपरीत एक-आयामी लंबकोणीय प्रक्षेपण घनत्व संकारकों के सेट के चरम बिंदु हैं। भौतिक विज्ञानी एक आयामी लंबकोणीय प्रक्षेपण को शुद्ध अवस्थाएँ और अन्य घनत्व संचालिकाएँ मिश्रित अवस्थाएँ भी कहते हैं।
• कोई भी इस औपचारिकता में हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत को बता सकता है और इसे एक प्रमेय के रूप में सिद्ध कर सकता है, हालांकि घटनाओं का शुद्ध ऐतिहासिक अनुक्रम, जो कि किसने और किस संरचना के अंतर्गत प्राप्त किया, इस लेख के दायरे से बाहर ऐतिहासिक जांच का विषय है।
• हाल के शोध ने दिखाया है कि समग्र प्रणाली अभिधारणा (टेंसर उत्पाद अभिधारणा) को स्थिति अभिधारणा (अभिधारणा I) और माप अभिधारणाओं (अभिधारणा II) से प्राप्त किया जा सकता है; इसके अलावा, यह भी दिखाया गया है कि माप अभिधारणाएं (अभिधारणा II) "एकात्मक क्वांटम यांत्रिकी" से प्राप्त की जा सकती हैं, जिसमें केवल स्थिति अभिधारणा (अभिधारणा I), समग्र प्रणाली अभिधारणा (टेंसर उत्पाद अभिधारणा) और एकात्मक विकास अभिधारणा (पोस्टुलेट III) सम्मिलित हैं।

इसके अतिरिक्त, क्वांटम यांत्रिकी की अभिधारणाओं में स्पिन (भौतिकी) और पाउली के पाउली अपवर्जन सिद्धांत के गुणों की मुख्य संरचना सम्मिलित है। (नीचे देखें।)

स्पिन सिद्धांत

एक आंतरिक कोणीय गति या उनके अन्य गुणों के अतिरिक्त सभी कणों में एक राशि होती है जिसे स्पिन (भौतिकी) कहा जाता है। एक आंतरिक कोणीय गति नाम के अतिरिक्त कण वस्तुतः एक धुरी के चारों ओर नहीं घूमते हैं और क्वांटम यांत्रिकी स्पिन का भौतिकी में कोई समानता नहीं है। स्थिति प्रतिनिधित्व में, स्पिनलेस तरंग फलन की स्थिति होती है r और समय t निरंतर चर के रूप में, ψ = ψ(r, t). स्पिन तरंग फलन के लिए स्पिन एक अतिरिक्त असतत चर ψ = ψ(r, t, σ) है जहाँ σ मान लिया जाता है:

$$\sigma =-S\hbar ,-(S-1)\hbar ,\dots ,0,\dots ,+(S-1)\hbar ,+S\hbar \,.$$

अर्थात स्पिन के साथ एक कण की स्थिति S को a द्वारा प्रदर्शित किया जाता है (2S + 1) समिश्र तरंग फलन का घटक स्पिन बहुत भिन्न स्थिति वाले कणों के दो वर्ग बोसॉन होते हैं जिनमें पूर्णांक स्पिन (S = 0, 1, 2, ...) और अर्ध-पूर्णांक चक्रण वाले फर्मियन (S = 1⁄2, 3⁄2, 5⁄2, ...) होता है।

पाउली का सिद्धांत

स्पिन की उत्पत्ति एक अन्य आधारिक संरचना से संबंधित प्रणालियों के N समान कण से संबंधित है पाउली का पाउली अपवर्जन सिद्धांत, जो एक के निम्नलिखित क्रमपरिवर्तन स्थिति का परिणाम है N-कण तरंग फलन फिर से स्थिति प्रतिनिधित्व में किसी को यह मान लेना चाहिए कि किसी भी दो के स्थानान्तरण के लिए N कण सदैव स्थित होने चाहिए।

पाउली सिद्धांत

$\psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots )=(-1)^{2S}\cdot \psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots )$

किन्हीं दो कणों के तर्कों के स्थानान्तरण पर, तरंग फलन को पुनरुत्पादित करना चाहिए, इसके अतिरिक्त प्रीफैक्टर (−1)^2Sजो बोसोन के लिए +1 है, लेकिन (−1) फ़र्मियन के लिए S = 1/2 है। प्रकाश की S = 1 बोसोन राशिया हैं असापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में सभी कण या तो बोसॉन या फ़र्मियन होते हैं आपेक्षिकीय क्वांटम सिद्धांतों में भी अति सममित सिद्धांत सम्मिलित हैं, जहां एक कण एक बोसोनिक और एक फर्मीओनिक भाग का एक रैखिक संयोजन है। केवल आयाम में d = 2 कोई संस्थाओं का निर्माण (−1)^2S कर सकता है परिमाण 1 के साथ एक अपेक्षाकृत समिश्र संख्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसे "अनिओन" कहा जाता है।

यद्यपि स्पिन और पाउली सिद्धांत केवल क्वांटम यांत्रिकी के सापेक्षवादी सामान्यीकरण से ही प्राप्त किए जा सकते हैं, पिछले दो पैराग्राफों में वर्णित सिद्धान्त पहले से ही गैर-सापेक्षतावादी सीमा में मूल अभिधारणाओं से संबंधित हैं। विशेष रूप से, प्राकृतिक विज्ञान में कई महत्वपूर्ण गुण रसायन विज्ञान की आवधिक प्रणाली मे दो गुणों के परिणाम हैं।

प्रतिनिधित्व

श्रोडिंगर समीकरण का मूल रूप वर्नर हाइजेनबर्ग के विहित रूपांतरण संबंध के एक विशेष प्रतिनिधित्व को चुनने पर निर्भर करता है। स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय यह निर्धारित करता है कि परिमित-आयामी हाइजेनबर्ग विनिमय संबंधों के सभी अलघुकरणीय निरूपण एकात्मक रूप से समकक्ष हैं। इसके परिणामों की एक व्यवस्थित समझ ने क्वांटम यांत्रिकी के फेज समष्टि निर्माण को प्रेरित किया है जो हिल्बर्ट समष्टि के अतिरिक्त पूर्ण फेज समष्टि में कार्य करता है इसलिए इसकी यांत्रिकी सीमा के लिए अधिक सहज लिंक के साथ यह चित्र विचार को सरल करता है क्वान्टीकरण (भौतिकी) का समिश्र से क्वांटम यांत्रिकी तक विरूपण विस्तार क्वांटम हार्मोनिक दोलक एक साधनीय प्रणाली है जहां विभिन्न अभ्यावेदन आसानी से तुलना किए जाते हैं। और हाइजेनबर्ग या श्रोडिंगर (स्थिति या संवेग) या फेज समष्टि अभ्यावेदन के अतिरिक्त एक फॉक (संख्या) प्रतिनिधित्व और दोलक प्रतिनिधित्व का भी सामना करता है। सेगल-बार्गमैन फॉक-समष्टि या सुसंगत स्थिति प्रतिनिधित्व (नाम के बाद इरविंग सेगल और वेलेंटाइन बर्गमैन) चारों एकात्मक रूप से समकक्ष हैं।

एक ऑपरेटर के रूप में समय

अब तक प्रस्तुत रूपरेखा समय को उस पैरामीटर के रूप में एकल करती है जिस पर सब कुछ निर्भर करता है। यांत्रिकी को इस प्रकार से तैयार करना संभव है कि समय स्वयं एक स्व-सम्मिलित संकारक से जुड़ा एक प्रक्षेपणीय बन जाता है। यांत्रिकी स्तर पर, एक भौतिक पैरामीटर s के संदर्भ में कणों के प्रक्षेप वक्र को अपेक्षाकृत रूप से मापना संभव है और उस स्थिति में समय t भौतिक प्रणाली का एक अतिरिक्त सामान्यीकृत समन्वय बन जाता है। क्वांटम स्तर पर, s में अनुवाद "हैमिल्टनियन" H − E द्वारा उत्पन्न किया जाता है जहां E ऊर्जा ऑपरेटर है और H "साधारण" हैमिल्टनियन है। हालाँकि, चूंकि s एक भौतिक पैरामीटर है, इसलिए भौतिक अवस्थाओं को "s-विकास" द्वारा अपरिवर्तनीय छोड़ दिया जाना चाहिए और भौतिक स्थिति समष्टि H − E का कर्नेल है इसके लिए कठोर हिल्बर्ट समष्टि के उपयोग की आवश्यकता होती है और इसके पुनर्सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है।

यह डायराक ब्रैकेट और गेज सिद्धांतों के परिमाणीकरण से संबंधित होता है। घटनाओं का एक क्वांटम सिद्धांत तैयार करना भी संभव है जहां समय अवलोकनीय हो जाता है। (डी एडवर्ड्स देखें)।

मापन की समस्या

Main article: क्वांटम यांत्रिकी में मापन

पिछले पैराग्राफ में दिया गया चित्र पूरी तरह से पृथक प्रणाली के वर्णन के लिए पर्याप्त है। हालांकि, यह क्वांटम यांत्रिकी और समिश्र यांत्रिकी के बीच मुख्य अंतरों में से एक के लिए भी उत्तरदायी नहीं है, अर्थात माप के प्रभाव एक प्रेक्षण योग्य के क्वांटम मापन का वॉन न्यूमैन विवरण A, जब प्रणाली को शुद्ध स्थिति में तैयार किया जाता है ψ निम्नलिखित है (ध्यान दें, हालांकि, वॉन न्यूमैन का विवरण 1930 के दशक का है और उस समय किए गए प्रयोगों पर आधारित है अधिक विशेष रूप से कॉम्पटन-साइमन प्रयोग यह अधिकांश वर्तमान मापों पर क्वांटम डोमेन के भीतर प्रयुक्त नहीं है माना कि A स्पेक्ट्रमी विभेदन है:

$$A=\int \lambda \,d\operatorname {E} _{A}(\lambda ),$$

जहाँ E_A संबंधित पहचान (जिसे प्रक्षेपण माप भी कहा जाता है) का विभेदन A है फिर अंतराल में माप परिणाम की संभावना B का R है दूसरे शब्दों में |E_A(B) ψ|² की विशेषता फलन को एकीकृत करके संभावना प्राप्त की जाती है B निर्धारित मान के योगात्मक माप के विपरीत है:

$$\langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle .$$

यदि मापा मान B में निहित है, फिर माप के शीघ्र बाद, प्रणाली (समान्यतः गैर-सामान्यीकृत) स्थिति E_A(B)ψ में होगी यदि मापा मान B नहीं है तो उपरोक्त स्थिति के लिए B को इसके पूरक द्वारा प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि राज्य स्थान है n-आयामी जटिल हिल्बर्ट समष्टि Cⁿ और A eigenvalues ​​​​के साथ एक हर्मिटियन मैट्रिक्स है λ_i, संबंधित eigenvectors के साथ ψ_i. प्रोजेक्शन-वैल्यू माप से जुड़ा हुआ है A, E_A, तब है

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि स्थित समष्टि n-आयामी समिश्र हिल्बर्ट समष्टि Cⁿ है और A एक हर्मिटियन मान है जिसमें आइगेन मान λ_i से संबंधित आइगेन सदिश ψ_i के साथ है। A, E_A से संबद्ध प्रक्षेपण माप है:

$$\operatorname {E} _{A}(B)=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,$$

जहां B एक बोरेल समूह है जिसमें केवल एक आइगेन मान λi है। यदि स्थिति में प्रणाली तैयार है:

$$|\psi \rangle$$

तब मान λi वापस करने वाले माप की संभावना की गणना वर्णक्रमीय माप को एकीकृत करके की जा सकती है:

$$\langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle$$

ऊपर B_i. यह तुच्छ मान देता है

$$\langle \psi |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}\mid \psi \rangle =|\langle \psi \mid \psi _{i}\rangle |^{2}.$$

वॉन न्यूमैन माप योजना की विशेषता यह है कि एक ही माप को दोहराने से समान परिणाम प्राप्त होते है जिसे प्रक्षेपण अभिधारणा भी कहा जाता है।

एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण प्रक्षेपण अभिधारणा माप को धनात्मक संकारक मान मापन (पीओवीएम) से परिवर्तित किया जाता है। वर्णन करने के लिए, फिर से परिमित-आयामी स्थिति को माने यहां हम स्थिति-1 अनुमानों को परिवर्तित करते है जैसे कि -

$$|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|$$

धनात्मक संकारक के एक परिमित समुच्चय द्वारा

$$F_{i}F_{i}^{*}$$

जिसका योग अभी भी पहले की तरह पहचान संकारक है (पहचान की अवधारणा) संभावित परिणामों के एक अनुक्रम के रूप में {λ₁ ... λ_n} एक प्रक्षेपण माप से संबद्ध है, वही पीओवीएम के लिए कहा जा सकता है। मान लीजिए असामान्यीकृत स्थिति में के अतिरिक्त माप परिणाम λ_i है:

$$|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\psi \rangle$$

मापन के बाद अब स्थित प्रक्षेपणीयता

$$F_{i}|\psi \rangle .$$

के बाद से F_i F_i* संकारकों को पारस्परिक रूप से लंबकोणीय अनुमानों की आवश्यकता नहीं है वॉन न्यूमैन के प्रक्षेपण सिद्धांत अब मान्य नहीं हैं। समान सूत्रीकरण सामान्य समिश्र स्थिति (भौतिकी) पर प्रयुक्त होता है।

वॉन न्यूमैन के दृष्टिकोण में, मापन के कारण स्थिति परिवर्तन कई तरीकों से समय के विकास के कारण भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, समय विकास नियतात्मक और एकात्मक है जबकि माप गैर-नियतात्मक और गैर-एकात्मक है। चूंकि दोनों प्रकार के स्थिति परिवर्तन एक क्वांटम स्थिति को दूसरे में ले जाते हैं, इस अंतर को कई लोगों ने असंतोषजनक के रूप में देखा। पीओवीएम औपचारिकता माप को कई अन्य क्वांटम परिचालनों में से एक के रूप में देखती है, जो पूरी तरह से धनात्मक मानचित्र द्वारा वर्णित हैं जो ट्रेस (भौतिकी) में वृद्धि नहीं करते हैं।

किसी भी स्थिति में ऐसा लगता है कि उपर्युक्त समस्याओं को केवल तभी हल किया जा सकता है जब समय के विकास में न केवल क्वांटम प्रणाली सम्मिलित है, बल्कि अनिवार्य रूप से यांत्रिकीय माप तंत्र (ऊपर देखें) भी सम्मिलित है।

सापेक्ष स्थिति व्याख्या

मापन की एक वैकल्पिक व्याख्या "एवरेट" जो कि विश्व व्याख्या है जिसे बाद में क्वांटम भौतिकी की विश्व व्याख्या के रूप मे स्वीकृत किया गया है।

गणितीय उपकरणों की सूची

इस विषय की लोक कथाओं का एक भाग डेविड हिल्बर्ट के गौटिंगेन विश्वविद्यालय के पाठ्यक्रमों से रिचर्ड कुरेंट द्वारा गणितीय भौतिकी की पाठ्यपुस्तक गणितीय भौतिकी के तरीके से संबंधित है। कहानी (गणितज्ञों द्वारा) बताई जाती है कि भौतिकविदों ने श्रोडिंगर के समीकरण के आगमन तक आंकड़ा को वर्तमान शोध क्षेत्रों में रुचि नहीं होने के कारण अस्वीकृत कर दिया था। उस समय यह विचार किया गया था कि इसमें नए क्वांटम यांत्रिकी का गणित पहले से ही रखा गया था। यह भी कहा जाता है कि हाइजेनबर्ग ने अपने क्वांटम यांत्रिकी के विषय में हिल्बर्ट से परामर्श किया था और हिल्बर्ट ने देखा कि अनंत आयामी यांत्रिकी के साथ उनका अपना अनुभव अवकल समीकरणों से प्राप्त हुआ था जिसे हाइजेनबर्ग ने अनदेखा कर दिया था इस सिद्धांत को एकीकृत करने का अवसर खो दिया जैसा कि वेइल और डिराक ने किया था। कुछ वर्ष बाद उपाख्यानों का आधार जो भी हो, सिद्धांत का गणित उस समय पारंपरिक था जबकि भौतिकी मौलिक रूप से नई थी।

इसमे मुख्य उपकरण में सम्मिलित हैं:

• रेखीय बीजगणित: समिश्र संख्याएं, आइगेन सदिश, आइगेन मान
• कार्यात्मक विश्लेषण: हिल्बर्ट रिक्त समष्टि, रैखिक संकारक, मानावलीय सिद्धांत
• अवकलन समीकरण: आंशिक अवकलन समीकरण, चर का पृथक्करण, साधारण अवकल समीकरण, स्टर्म-लिउविल सिद्धांत, आइगेन फलन
• हार्मोनिक विश्लेषण: फूरियर रूपांतरण

See also: क्वांटम सिद्धांत में गणितीय विषयों की सूची

संदर्भ

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