Eigenfunction

एक गोलाकार ड्रम के कंपन का यह समाधान किसी भी समय डिस्क पर लाप्लास ऑपरेटर का एक ईजेनफंक्शन है।

गणित में, किसी फ़ंक्शन स्थान पर परिभाषित एक रेखीय मानचित्र डी का ईजेनफंक्शन कोई गैर-शून्य फ़ंक्शन (गणित) है $f$ उस स्थान पर, जब डी द्वारा कार्य किया जाता है, केवल कुछ स्केलिंग कारक से गुणा किया जाता है जिसे ईगेनवेल्यूज़ और ईजेनवेक्टर कहा जाता है। एक समीकरण के रूप में, इस स्थिति को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$Df=\lambda f$$

कुछ अदिश (गणित) eigenvalue के लिए $\lambda .$ इस समीकरण का समाधान सीमा मूल्य समस्या#सीमा मूल्य शर्तों के अधीन भी हो सकता है जो स्वीकार्य eigenvalues ​​​​और eigenfunctions को सीमित करता है।

एक ईजेनफंक्शन एक प्रकार का आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर है।

ईजेनफंक्शन

सामान्य तौर पर, कुछ सदिश स्थान पर परिभाषित एक रैखिक ऑपरेटर डी का एक ईजेनवेक्टर डी के डोमेन में एक गैर-शून्य वेक्टर होता है, जब डी उस पर कार्य करता है, तो बस कुछ स्केलर मान द्वारा स्केल किया जाता है जिसे ईजेनवेल्यू कहा जाता है। विशेष मामले में जहां डी को फ़ंक्शन स्पेस पर परिभाषित किया गया है, ईजेनवेक्टरों को 'ईजेनफंक्शन' के रूप में संदर्भित किया जाता है। अर्थात्, एक फलन f, D का एक आइगेन फलन है, यदि वह समीकरण को संतुष्ट करता है

$$Df=\lambda f,$$

(1)

जहां λ एक अदिश राशि है। समीकरण के समाधान (1) सीमा शर्तों के अधीन भी हो सकता है। सीमा स्थितियों के कारण, λ के संभावित मान आम तौर पर सीमित होते हैं, उदाहरण के लिए असतत सेट λ के लिए₁, एल₂, … या किसी सीमा पर निरंतर सेट के लिए। डी के सभी संभावित eigenvalues ​​​​के सेट को कभी-कभी इसका स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) कहा जाता है, जो असतत, निरंतर या दोनों का संयोजन हो सकता है। λ का प्रत्येक मान एक या अधिक eigenfunctions से मेल खाता है। यदि एकाधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenfunctions में एक ही eigenvalue है, तो eigenvalue को डीजनरेट एनर्जी लेवल #गणित कहा जाता है और समान eigenvalue से जुड़े रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenफ़ंक्शन की अधिकतम संख्या, eigenvalue की गिरावट या eigenvalues ​​​​और eigenvectors#Eigenspaces, ज्यामितीय बहुलता की डिग्री है, और ईजेनबेसिस।

व्युत्पन्न उदाहरण

अनंत आयामी रिक्त स्थान पर कार्यरत रैखिक ऑपरेटरों का एक व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला वर्ग अंतरिक्ष सी पर अंतर ऑपरेटर हैं^∞ एक वास्तविक या जटिल तर्क टी के असीम रूप से भिन्न वास्तविक या जटिल कार्यों का। उदाहरण के लिए, व्युत्पन्न ऑपरेटर पर विचार करें ${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$ आइगेनवैल्यू समीकरण के साथ

$${\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).$$

इस अंतर समीकरण को दोनों पक्षों को गुणा करके हल किया जा सकता है ${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$ और एकीकृत। इसका समाधान, घातीय कार्य

$$f(t)=f_{0}e^{\lambda t},$$

डेरिवेटिव ऑपरेटर का आइगेनफंक्शन है, जहां f₀ एक पैरामीटर है जो सीमा स्थितियों पर निर्भर करता है। ध्यान दें कि इस मामले में आइगेनफंक्शन अपने आप में संबंधित आइगेनवैल्यू λ का एक फंक्शन है, जो कोई भी वास्तविक या जटिल मान ले सकता है। विशेष रूप से, ध्यान दें कि λ = 0 के लिए eigenfunction f(t) एक स्थिरांक है।

उदाहरण में मान लीजिए कि f(t) सीमा शर्तों के अधीन है f(0) = 1 और ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$. हम तब पाते हैं

$$f(t)=e^{2t},$$

जहां λ = 2 अंतर समीकरण का एकमात्र eigenvalue है जो सीमा की स्थिति को भी संतुष्ट करता है।

मैट्रिसेस के आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर से लिंक

Eigenfunctions को स्तंभ वैक्टर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और रैखिक ऑपरेटरों को मैट्रिसेस के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, हालांकि उनके अनंत आयाम हो सकते हैं। नतीजतन, मैट्रिसेस के ईजेनवेक्टरों से संबंधित कई अवधारणाएं ईजेनफंक्शन के अध्ययन के लिए आगे बढ़ती हैं।

फ़ंक्शन स्पेस में आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करें जिस पर डी को परिभाषित किया गया है

$$\langle f,g\rangle =\int _{\Omega }\ f^{*}(t)g(t)dt,$$

टी के लिए ब्याज की कुछ सीमा पर एकीकृत जिसे Ω कहा जाता है। * जटिल संयुग्म को दर्शाता है।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन स्पेस में फ़ंक्शंस के सेट {यू द्वारा दिए गए ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं₁(टी), यू₂(टी), ..., यू_n(टी)}, जहां एन अनंत हो सकता है। ऑर्थोनॉर्मल आधार के लिए,

$$\langle u_{i},u_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt=\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}},$$

जहां δ_ij क्रोनकर डेल्टा है और इसे पहचान मैट्रिक्स के तत्वों के रूप में माना जा सकता है।

कार्यों को आधार कार्यों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है,

$$f(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t),$$

उदाहरण के लिए f(t) की फूरियर श्रृंखला के माध्यम से। गुणांक बी_j n by 1 कॉलम वेक्टर में स्टैक किया जा सकता है b = [b₁ b₂ … b_n]^T. कुछ विशेष मामलों में, जैसे साइनसोइडल फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला के गुणांक, इस स्तंभ वेक्टर का परिमित आयाम है।

इसके अतिरिक्त, तत्वों के साथ रैखिक ऑपरेटर डी के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व को परिभाषित करें

$$A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt.$$

हम फ़ंक्शन डीएफ (टी) को या तो आधार कार्यों के रैखिक संयोजन के रूप में लिख सकते हैं या डी के रूप में एफ (टी) के विस्तार पर अभिनय कर सकते हैं।

$$Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t).$$

इस समीकरण के प्रत्येक पक्ष के आंतरिक उत्पाद को मनमाना आधार फ़ंक्शन यू के साथ लेना_i(टी),

$${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}$$

यह आव्यूह गुणन Ab = c योग संकेतन में लिखा गया है और यह ऑर्थोनॉर्मल आधार पर व्यक्त किए गए फ़ंक्शन f(t) पर कार्य करने वाले ऑपरेटर D का मैट्रिक्स समतुल्य है। यदि f(t) eigenvalue λ के साथ D का एक eigenfunction है, तो Ab = λb।

हर्मिटियन ऑपरेटरों के ईजेनवैल्यू और ईजेनफंक्शन

भौतिकी में सामना किए गए कई संकारक स्व-आसन्न संकारक हैं। मान लीजिए कि लीनियर ऑपरेटर D एक फंक्शन स्पेस पर कार्य करता है जो कि एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष है जिसमें फ़ंक्शंस के सेट द्वारा दिए गए ऑर्थोनॉर्मल आधार {यू₁(टी), यू₂(टी), ..., यू_n(टी)}, जहां एन अनंत हो सकता है। इस आधार पर, ऑपरेटर डी में तत्वों के साथ एक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व ए है

$$A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).$$

टी निरूपित Ω के लिए ब्याज की कुछ सीमा पर एकीकृत।

हर्मिटियन मैट्रिक्स के अनुरूप, डी एक हर्मिटियन ऑपरेटर है यदि ए_ij = ए_ji*, या:

$${\begin{aligned}\langle u_{i},Du_{j}\rangle &=\langle Du_{i},u_{j}\rangle ,\\[-1pt]\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{*}.\end{aligned}}$$

eigenvalues ​​λ के साथ हर्मिटियन ऑपरेटर डी पर विचार करें₁, एल₂, ... और इसी eigenfunctions च₁(टी), एफ₂(टी), …। इस हर्मिटियन ऑपरेटर के निम्नलिखित गुण हैं:

• इसके eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं, λ_i = λ_i*
• इसके eigenfunctions एक ओर्थोगोनलिटी स्थिति का पालन करते हैं, $\langle f_{i},f_{j}\rangle =0$ अगर मैं ≠ जे

दूसरी स्थिति हमेशा λ के लिए होती है_i ≠ एल_j. समान eigenvalue λ के साथ degenerate eigenfunctions के लिए_i, ऑर्थोगोनल ईजेनफंक्शन को हमेशा चुना जा सकता है जो λ से जुड़े आइगेनस्पेस को फैलाता है_i, उदाहरण के लिए ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का उपयोग करके। स्पेक्ट्रम असतत या निरंतर है या नहीं, इस पर निर्भर करते हुए, क्रमशः क्रोनकर डेल्टा या डिराक डेल्टा समारोह के बराबर ईजेनफ़ंक्शन के आंतरिक उत्पाद को सेट करके ईजेनफ़ंक्शन को सामान्य किया जा सकता है। कई हर्मिटियन ऑपरेटरों के लिए, विशेष रूप से स्टर्म-लिउविल सिद्धांत | स्टर्म-लिउविल ऑपरेटरों के लिए, एक तीसरी संपत्ति है

• इसके eigenfunctions फ़ंक्शन स्पेस का आधार बनाते हैं जिस पर ऑपरेटर परिभाषित किया जाता है

परिणामस्वरूप, कई महत्वपूर्ण मामलों में, हर्मिटियन ऑपरेटर के ईजेनफंक्शन एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं। इन मामलों में, एक स्वैच्छिक कार्य को हर्मिटियन ऑपरेटर के ईजेनफंक्शन के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

अनुप्रयोग

कंपन तार

इसकी सीमाओं पर तय की गई स्ट्रिंग में एक खड़ी लहर का आकार एक विभेदक संकारक के ईजेनफंक्शन का एक उदाहरण है। स्वीकार्य eigenvalues ​​स्ट्रिंग की लंबाई से नियंत्रित होते हैं और दोलन की आवृत्ति निर्धारित करते हैं।

होने देना h(x, t) स्थिति के एक समारोह के रूप में एक तनावग्रस्त लोचदार राग के अनुप्रस्थ विस्थापन को निरूपित करें, जैसे कि एक स्ट्रिंग उपकरण के कंपन तार x स्ट्रिंग और समय के साथ t. यांत्रिकी के नियमों को स्ट्रिंग के अतिसूक्ष्म भागों पर लागू करना, फ़ंक्शन h आंशिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है

$${\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},$$

जिसे (एक आयामी) तरंग समीकरण कहा जाता है। यहां c एक स्थिर गति है जो डोरी के तनाव और द्रव्यमान पर निर्भर करती है।

यह समस्या चरों के पृथक्करण की विधि के लिए उत्तरदायी है। अगर हम ऐसा मान लें h(x, t) प्रपत्र के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है X(x)T(t), हम साधारण अंतर समीकरणों की एक जोड़ी बना सकते हैं: <गणित प्रदर्शन = ब्लॉक alt = d वर्ग बड़ा X बटा d x वर्ग बराबर ओमेगा का ऋणात्मक बटा c मात्रा वर्ग गुणा बड़ा X, और d वर्ग बड़ा T बटा d t वर्ग बराबर नकारात्मक ओमेगा वर्ग गुणा T >\frac{d^2}{dx ^2}X=-\frac{\omega^2}{c^2}X, \qquad \frac{d^2}{dt^2}T = -\omega^2 T.</math>

इनमें से प्रत्येक eigenvalues ​​​​के साथ एक eigenvalue समीकरण है गणित प्रदर्शन = इनलाइन >-\frac{\omega^2}{c^2}</math> और −ω², क्रमश। के किसी भी मान के लिए ω तथा c, समीकरण कार्यों से संतुष्ट हैं

$$X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}{c}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),$$

जहां चरण कोण φ तथा ψ मनमाना वास्तविक स्थिरांक हैं।

यदि हम सीमा की शर्तें लगाते हैं, उदाहरण के लिए कि स्ट्रिंग के सिरों को तय किया गया है x = 0 तथा x = L, अर्थात् X(0) = X(L) = 0, और कि T(0) = 0, हम eigenvalues ​​को विवश करते हैं। इन सीमा शर्तों के लिए, sin(φ) = 0 तथा sin(ψ) = 0, इसलिए चरण कोण φ = ψ = 0, तथा

$$\sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.$$

यह अंतिम सीमा शर्त विवश करती है ω एक मूल्य लेने के लिए ω_n = ncπ/L, कहाँ पे n कोई पूर्णांक है। इस प्रकार, क्लैम्प्ड स्ट्रिंग फॉर्म की खड़ी तरंगों के एक परिवार का समर्थन करती है

$$h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).$$

एक स्ट्रिंग उपकरण के उदाहरण में, आवृत्ति ω_n की आवृत्ति है n-वें लयबद्ध, जिसे कहा जाता है (n − 1)-वां अधिस्वर।

श्रोडिंगर समीकरण

क्वांटम यांत्रिकी में, श्रोडिंगर समीकरण

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=H\Psi (\mathbf {r} ,t)$$

हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के साथ

$$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)$$

चरों को अलग करके हल किया जा सकता है यदि हैमिल्टन समय पर स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करता है। उस स्थिति में, तरंग कार्य करती है Ψ(r,t) = φ(r)T(t) दो अंतर समीकरणों की ओर जाता है,

$$H\varphi (\mathbf {r} )=E\varphi (\mathbf {r} ),$$

(2)

$$i\hbar {\frac {\partial T(t)}{\partial t}}=ET(t).$$

(3)

ये दोनों अवकल समीकरण आइगेनवैल्यू वाले आइगेनवैल्यू समीकरण हैं E. जैसा कि पिछले उदाहरण में दिखाया गया है, समीकरण का समाधान (3) घातीय है

$$T(t)=e^{{-iEt}/{\hbar }}.$$

समीकरण (2) समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण है। ईजेन कार्य करता है φ_k हैमिल्टनियन ऑपरेटर क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम के स्थिर राज्य हैं, प्रत्येक एक संबंधित ऊर्जा के साथ E_k. वे सिस्टम की स्वीकार्य ऊर्जा अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं और सीमा स्थितियों से विवश हो सकते हैं।

हैमिल्टनियन ऑपरेटर H एक हर्मिटियन ऑपरेटर का एक उदाहरण है, जिसका ईजेनफंक्शन एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाता है। जब हैमिल्टन समय पर स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करता है, तो श्रोडिंगर समीकरण के सामान्य समाधान दोलन द्वारा स्थिर राज्यों के रैखिक संयोजनों से गुणा होते हैं T(t), ${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{{-iE_{k}t}/{\hbar }}}$ या, निरंतर स्पेक्ट्रम वाले सिस्टम के लिए,

$$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int dE\,c_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r} )e^{{-iEt}/{\hbar }}.$$

हाइड्रोजन की वर्णक्रमीय विशेषताओं की व्याख्या करने में श्रोडिंगर समीकरण की सफलता को 20वीं शताब्दी की भौतिकी की सबसे बड़ी विजय माना जाता है।

सिग्नल और सिस्टम

एलटीआई प्रणाली सिद्धांत के अध्ययन में, एक सिस्टम का ईजेनफंक्शन एक संकेत है f(t) कि, जब सिस्टम में इनपुट, एक प्रतिक्रिया पैदा करता है y(t) = λf(t), कहाँ पे λ एक जटिल स्केलर आइगेनवैल्यू है।

यह भी देखें

• आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स
• हिल्बर्ट-श्मिट प्रमेय
• साधारण अंतर समीकरणों का वर्णक्रमीय सिद्धांत
• फिक्स्ड पॉइंट कॉम्बिनेटर
• फूरियर ट्रांसफॉर्म # ईजेनफंक्शंस

उद्धृत कार्य

• Courant, Richard; Hilbert, David. गणितीय भौतिकी के तरीके. Vol. 1. Wiley. ISBN 047150447-5. (मात्रा 2: ISBN 047150439-4)
• Davydov, A. S. (1976). क्वांटम यांत्रिकी. Translated, edited, and with additions by D. ter Haar (2nd ed.). Oxford: Pergamon Press. ISBN 008020438-4.
• Girod, Bernd; Rabenstein, Rudolf; Stenger, Alexander (2001). सिग्नल और सिस्टम (2nd ed.). Wiley. ISBN 047198800-6.
• Kusse, Bruce; Westwig, Erik (1998). गणितीय भौतिकी. New York: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8.
• Wasserman, Eric W. (2016). "eigenfunction". MathWorld. Wolfram Research. Retrieved April 12, 2016.

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बाहरी संबंध

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