विहित परिमाणीकरण

भौतिकी में, विहित परिमाणीकरण शास्त्रीय सिद्धांत के परिमाणीकरण (भौतिकी) के लिए एक प्रक्रिया है, जबकि शास्त्रीय सिद्धांत की औपचारिक संरचना, जैसे समरूपता (भौतिकी), को सबसे बड़ी सीमा तक संरक्षित करने का प्रयास करते हुए।

ऐतिहासिक रूप से, यह क्वांटम यांत्रिकी प्राप्त करने के लिए पूरी तरह से वर्नर हाइजेनबर्ग का मार्ग नहीं था, लेकिन पॉल डिराक ने इसे अपने 1926 के डॉक्टरेट थीसिस में पेश किया, परिमाणीकरण के लिए शास्त्रीय सादृश्य की विधि, और इसे अपने क्लासिक पाठ में विस्तृत किया। कैनोनिकल शब्द हेमिल्टनियन यांत्रिकी के शास्त्रीय यांत्रिकी के दृष्टिकोण से उत्पन्न होता है, जिसमें एक प्रणाली की गतिशीलता विहित पॉइसन कोष्ठक के माध्यम से उत्पन्न होती है, एक संरचना जो केवल आंशिक रूप से विहित परिमाणीकरण में संरक्षित होती है।

पॉल डिराक द्वारा क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स के अपने निर्माण में इस पद्धति का आगे उपयोग किया गया था। क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, इसे एकल कणों के अर्ध-शास्त्रीय प्रथम परिमाणीकरण के विपरीत, क्षेत्रों का दूसरा परिमाणीकरण भी कहा जाता है।

इतिहास

जब इसे पहली बार विकसित किया गया था, तो क्वांटम भौतिकी केवल कणों की गति (भौतिकी) के परिमाणीकरण (भौतिकी) से संबंधित थी, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व को छोड़कर, इसलिए नाम क्वांटम यांत्रिकी। बाद में विद्युतचुंबकीय क्षेत्र को भी परिमाणित किया गया, और यहां तक ​​कि स्वयं कण भी परिमाणित क्षेत्रों के माध्यम से प्रतिनिधित्व करने लगे, जिसके परिणामस्वरूप सामान्य रूप से क्वांटम विद्युतगतिकी (QED) और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का विकास हुआ। इस प्रकार, परिपाटी द्वारा, कण क्वांटम यांत्रिकी के मूल रूप को प्रथम परिमाणीकरण के रूप में निरूपित किया जाता है, जबकि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को द्वितीय परिमाणीकरण की भाषा में तैयार किया जाता है।

पहला परिमाणीकरण

Main article: First quantization

एकल कण प्रणाली

निम्नलिखित व्याख्या क्वांटम यांत्रिकी पर पॉल डिराक | डिराक के ग्रंथ पर आधारित है।एक कण के शास्त्रीय यांत्रिकी में, गतिशील चर होते हैं जिन्हें निर्देशांक कहा जाता है (x) और मोमेंटा (p). ये एक शास्त्रीय प्रणाली की स्थिति को निर्दिष्ट करते हैं। शास्त्रीय यांत्रिकी के 'विहित संरचना' (जिसे सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति संरचना के रूप में भी जाना जाता है) में इन चरों को घेरने वाले पॉइसन ब्रैकेट होते हैं, जैसे कि {x,p} = 1। इन कोष्ठकों को संरक्षित करने वाले चर के सभी परिवर्तनों को शास्त्रीय यांत्रिकी में विहित परिवर्तनों के रूप में अनुमति दी जाती है। मोशन अपने आप में एक ऐसा विहित परिवर्तन है।

इसके विपरीत, क्वांटम यांत्रिकी में, एक कण की सभी महत्वपूर्ण विशेषताएं एक अवस्था में समाहित होती हैं $|\psi \rangle$, कितना राज्य कहलाती है। ऐसे क्वांटम राज्यों के हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर काम करने वाले ऑपरेटरों द्वारा वेधशालाओं का प्रतिनिधित्व किया जाता है।

इसके एक eigenstates पर कार्य करने वाले एक ऑपरेटर का eigenvalue इस प्रकार प्रदर्शित कण पर माप के मान का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, ऊर्जा हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) ऑपरेटर द्वारा पढ़ी जाती है ${\hat {H}}$ एक राज्य पर अभिनय $|\psi _{n}\rangle$, उपज

${\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle$,

कहाँ E_n इससे जुड़ी चारित्रिक ऊर्जा है $|\psi _{n}\rangle$ egenstate.

किसी भी राज्य को ऊर्जा के स्वदेशी राज्यों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है; उदाहरण के लिए,

$|\psi \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}|\psi _{n}\rangle$,

कहाँ a_n स्थिर गुणांक हैं।

शास्त्रीय यांत्रिकी के रूप में, सभी गतिशील ऑपरेटरों को स्थिति और संवेग वाले कार्यों द्वारा दर्शाया जा सकता है, ${\hat {X}}$ और ${\hat {P}}$, क्रमश। इस प्रतिनिधित्व और अधिक सामान्य तरंग क्रिया प्रतिनिधित्व के बीच का संबंध स्थिति ऑपरेटर के आइजनस्टेट द्वारा दिया गया है ${\hat {X}}$ स्थिति पर एक कण का प्रतिनिधित्व $x$, जिसे एक तत्व द्वारा निरूपित किया जाता है $|x\rangle$ हिल्बर्ट स्पेस में, और जो संतुष्ट करता है ${\hat {X}}|x\rangle =x|x\rangle$. तब, $\psi (x)=\langle x|\psi \rangle$.

इसी तरह, स्वदेशी $|p\rangle$ गति ऑपरेटर की ${\hat {P}}$ स्थिति और गति स्थान निर्दिष्ट करें: $\psi (p)=\langle p|\psi \rangle$.

इन ऑपरेटरों के बीच केंद्रीय संबंध शास्त्रीय यांत्रिकी के उपरोक्त पॉइसन ब्रैकेट का एक क्वांटम एनालॉग है, विहित रूपान्तरण संबंध ,

$[{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\hat {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}}=i\hbar$.

यह संबंध प्रपत्र में अनिश्चितता सिद्धांत को कूटबद्ध करता है (और औपचारिक रूप से इसकी ओर ले जाता है)। Δx Δp ≥ ħ/2. इस प्रकार इस बीजगणितीय संरचना को शास्त्रीय यांत्रिकी के विहित संरचना के क्वांटम एनालॉग के रूप में माना जा सकता है।

अनेक-कण प्रणालियाँ

एन-कण प्रणालियों की ओर मुड़ते समय, यानी, एन समान कणों वाले सिस्टम (द्रव्यमान, बिजली का आवेश और स्पिन (भौतिकी) जैसे समान क्वांटम संख्याओं की विशेषता वाले कण), एकल-कण राज्य फ़ंक्शन का विस्तार करना आवश्यक है $\psi (\mathbf {r} )$ एन-कण राज्य समारोह के लिए $\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})$. शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी के बीच मूलभूत अंतर समान कणों के समान कणों की अवधारणा से संबंधित है। इस प्रकार क्वांटम भौतिकी में कणों की केवल दो प्रजातियाँ संभव हैं, तथाकथित बोसोन और फरमिओन्स जो नियमों का पालन करते हैं:

$\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=+\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})$ (बोसॉन),

$\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=-\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})$ (फर्मन)।

जहां हमने दो निर्देशांकों को आपस में बदल दिया है $(\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})$ राज्य समारोह का। सामान्य तरंग फलन स्लेटर निर्धारक और समान कण सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। इस आधार का उपयोग करके, विभिन्न बहु-कण समस्याओं को हल करना संभव है।

मुद्दे और सीमाएं

शास्त्रीय और क्वांटम कोष्ठक

डिराक की किताबकम्यूटेटर्स द्वारा पोइसन ब्रैकेट्स को बदलने के उनके लोकप्रिय नियम का विवरण:

$\{A,B\}\longmapsto {\tfrac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]~.$

कोई इस प्रस्ताव की यह कहकर व्याख्या कर सकता है कि हमें परिमाणीकरण मानचित्र की तलाश करनी चाहिए $Q$ एक समारोह का मानचित्रण $f$ शास्त्रीय चरण अंतरिक्ष पर एक ऑपरेटर के लिए $Q_{f}$ क्वांटम हिल्बर्ट स्पेस पर ऐसा है

$Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$

अब यह ज्ञात है कि सभी कार्यों के लिए उपरोक्त पहचान को संतुष्ट करने वाला कोई उचित परिमाणीकरण नक्शा नहीं है $f$ और $g$.

ग्रोनवॉल्ड का प्रमेय

उपरोक्त असंभावना के दावे का एक ठोस संस्करण ग्रोएनवॉल्ड का प्रमेय है (डच सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी हिलब्रांड जे. ग्रोएनवॉल्ड के बाद), जिसका वर्णन हम सादगी के लिए एक डिग्री की स्वतंत्रता वाली प्रणाली के लिए करते हैं। आइए हम मानचित्र के लिए निम्नलिखित मूलभूत नियमों को स्वीकार करें $Q$. पहला, $Q$ पहचान ऑपरेटर को निरंतर कार्य 1 भेजना चाहिए। दूसरा, $Q$ लेना चाहिए $x$ और $p$ सामान्य स्थिति और गति ऑपरेटरों के लिए $X$ और $P$. तीसरा, $Q$ में एक बहुपद लेना चाहिए $x$ और $p$ में एक बहुपद के लिए $X$ और $P$, अर्थात्, के उत्पादों का एक परिमित रैखिक संयोजन $X$ और $P$, जिसे किसी भी वांछित क्रम में लिया जा सकता है। अपने सरलतम रूप में, ग्रोएनवॉल्ड प्रमेय कहता है कि ऐसा कोई मानचित्र नहीं है जो उपरोक्त जमीनी नियमों और कोष्ठक की स्थिति को भी संतुष्ट करता हो

$Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$

सभी बहुपदों के लिए $f$ और $g$.

दरअसल, इस तरह के नक्शे का अस्तित्व पहले से ही तब तक होता है जब तक हम डिग्री चार के बहुपदों तक नहीं पहुंच जाते। ध्यान दें कि डिग्री चार के दो बहुपदों के पोइसन ब्रैकेट में डिग्री छह है, इसलिए ब्रैकेट की स्थिति का सम्मान करने के लिए डिग्री चार के बहुपदों पर मानचित्र की आवश्यकता का बिल्कुल अर्थ नहीं है। हालाँकि, हमें आवश्यकता हो सकती है कि ब्रैकेट की स्थिति कब हो $f$ और $g$ डिग्री तीन है। ग्रोनवॉल्ड की प्रमेय निम्नानुसार कहा जा सकता है:

प्रमेय: कोई परिमाणीकरण मानचित्र नहीं है $Q$ (उपर्युक्त जमीनी नियमों का पालन करते हुए) चार से कम या उसके बराबर डिग्री के बहुपदों पर जो संतुष्ट करता है

$\quad Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$

जब कभी भी $f$ और $g$ डिग्री तीन से कम या उसके बराबर है। (ध्यान दें कि इस मामले में, $\{f,g\}$ डिग्री चार से कम या बराबर है।)

प्रमाण को इस प्रकार रेखांकित किया जा सकता है। मान लीजिए कि हम पहले तीन से कम या तीन के बराबर डिग्री के बहुपदों पर परिमाणीकरण नक्शा खोजने की कोशिश करते हैं, जब भी ब्रैकेट की स्थिति को संतुष्ट करते हैं $f$ डिग्री दो से कम या बराबर है और $g$ दो से कम या उसके बराबर की डिग्री है। फिर ठीक ऐसा ही एक नक्शा है, और यह वेइल परिमाणीकरण है। असंभव परिणाम अब डिग्री चार के समान बहुपद को दो अलग-अलग तरीकों से डिग्री तीन के बहुपदों के पोइसन ब्रैकेट के रूप में लिखकर प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, हमारे पास है

$x^{2}p^{2}={\frac {1}{9}}\{x^{3},p^{3}\}={\frac {1}{3}}\{x^{2}p,xp^{2}\}$

दूसरी ओर, हम पहले ही देख चुके हैं कि यदि डिग्री तीन के बहुपदों पर एक परिमाणीकरण मानचित्र होने जा रहा है, तो यह वेइल परिमाणीकरण होना चाहिए; अर्थात्, हमने उपरोक्त सभी घन बहुपदों का एकमात्र संभावित परिमाणीकरण पहले ही निर्धारित कर लिया है।

क्रूर बल द्वारा गणना करके तर्क समाप्त हो गया है

${\frac {1}{9}}[Q(x^{3}),Q(p^{3})]$

से मेल नहीं खाता

${\frac {1}{3}}[Q(x^{2}p),Q(xp^{2})]$.

इस प्रकार, हमारे पास के मूल्य के लिए दो असंगत आवश्यकताएं हैं $Q(x^{2}p^{2})$.

परिमाणीकरण के लिए अभिगृहीत

अगर Q परिमाणीकरण मानचित्र का प्रतिनिधित्व करता है जो कार्यों पर कार्य करता है f शास्त्रीय चरण अंतरिक्ष में, तो निम्नलिखित गुणों को आमतौर पर वांछनीय माना जाता है:

1. $Q_{x}\psi =x\psi$ और $Q_{p}\psi =-i\hbar \partial _{x}\psi ~~$ (प्रारंभिक स्थिति / संवेग संचालक)
2. $f\longmapsto Q_{f}~~$ एक रेखीय नक्शा है
3. $[Q_{f},Q_{g}]=i\hbar Q_{\{f,g\}}~~$ (पॉसन ब्रैकेट)
4. $Q_{g\circ f}=g(Q_{f})~~$ (वॉन न्यूमैन नियम)।

हालाँकि, न केवल ये चार गुण परस्पर असंगत हैं, इनमें से कोई भी तीन भी असंगत हैं! जैसा कि यह पता चला है, इन गुणों की एकमात्र जोड़ी जो आत्मनिर्भर, गैर-तुच्छ समाधानों की ओर ले जाती है, वे हैं 2 और 3, और संभवतः 1 और 3 या 1 और 4। गुण 1 और 2 को स्वीकार करना, एक कमजोर स्थिति के साथ कि 3 सच हो सीमा में केवल असम्बद्ध रूप से ħ→0 (मोयल ब्रैकेट देखें), चरण स्थान निर्माण की ओर जाता है, और कुछ बाहरी जानकारी प्रदान की जानी चाहिए, जैसा कि अधिकांश भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले मानक सिद्धांतों में है। गुणों 1 और 2 और 3 को स्वीकार करना, लेकिन उपरोक्त उदाहरण में क्यूबिक जैसे शब्दों को बाहर करने के लिए क्वांटिज़ेबल वेधशालाओं के स्थान को सीमित करना ज्यामितीय परिमाणीकरण के बराबर है।

दूसरा परिमाणीकरण: क्षेत्र सिद्धांत

Main article: Second quantization

क्वांटम यांत्रिकी कणों की निश्चित संख्या के साथ गैर-सापेक्षतावादी प्रणालियों का वर्णन करने में सफल रही, लेकिन उन प्रणालियों का वर्णन करने के लिए एक नए ढांचे की आवश्यकता थी जिसमें कणों को बनाया या नष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, जिसे फोटॉन के संग्रह के रूप में माना जाता है। अंततः यह महसूस किया गया कि विशेष सापेक्षता एकल-कण क्वांटम यांत्रिकी के साथ असंगत थी, इसलिए अब सभी कणों को क्वांटम क्षेत्रों द्वारा सापेक्ष रूप से वर्णित किया जाता है।

जब विहित परिमाणीकरण प्रक्रिया को एक क्षेत्र पर लागू किया जाता है, जैसे कि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, शास्त्रीय क्षेत्र (भौतिकी) चर क्वांटम ऑपरेटर बन जाते हैं। इस प्रकार, क्षेत्र के आयाम में शामिल सामान्य मोड सरल दोलक हैं, जिनमें से प्रत्येक क्वांटम दोलक मानक प्रथम परिमाणीकरण में, ऊपर, अस्पष्टता के बिना है। परिणामी क्वांटा की पहचान व्यक्तिगत कणों या उत्तेजनाओं से की जाती है। उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के क्वांटा की पहचान फोटॉनों से की जाती है। पहले क्वांटिज़ेशन के विपरीत, पारंपरिक दूसरा क्वांटिज़ेशन पूरी तरह से स्पष्ट है, प्रभाव में एक मज़ेदार है, क्योंकि इसके ऑसीलेटर के घटक सेट को स्पष्ट रूप से मात्राबद्ध किया जाता है।

ऐतिहासिक रूप से, एकल कण के शास्त्रीय सिद्धांत को परिमाणित करने से एक तरंग क्रिया उत्पन्न हुई। किसी क्षेत्र की गति के शास्त्रीय समीकरण आमतौर पर इसके एक क्वांटा के तरंग-कार्य के लिए (क्वांटम) समीकरणों के रूप में समान होते हैं। उदाहरण के लिए, क्लेन-गॉर्डन समीकरण मुक्त स्केलर क्षेत्र के लिए गति का शास्त्रीय समीकरण है, लेकिन स्केलर कण तरंग-फ़ंक्शन के लिए क्वांटम समीकरण भी है। इसका मतलब यह था कि किसी क्षेत्र को परिमाणित करना एक ऐसे सिद्धांत को परिमाणित करने के समान प्रतीत होता है जो पहले से ही परिमाणित था, प्रारंभिक साहित्य में काल्पनिक शब्द 'दूसरा परिमाणीकरण' के लिए अग्रणी था, जिसका उपयोग अभी भी क्षेत्र परिमाणीकरण का वर्णन करने के लिए किया जाता है, भले ही विस्तृत आधुनिक व्याख्या अलग है .

एक सापेक्षवादी क्षेत्र के लिए विहित परिमाणीकरण में एक दोष यह है कि समय की निर्भरता निर्धारित करने के लिए हैमिल्टनियन पर निर्भर होने से, सापेक्षवादी आक्रमण अब प्रकट नहीं होता है। इस प्रकार यह जांचना आवश्यक है कि सापेक्षतावादी आक्रमण खो न जाए। वैकल्पिक रूप से, पथ अभिन्न सूत्रीकरण सापेक्ष क्षेत्रों को परिमाणित करने के लिए उपलब्ध है, और प्रकट रूप से अपरिवर्तनीय है। गैर-सापेक्षतावादी क्षेत्र सिद्धांतों के लिए, जैसे कि संघनित पदार्थ भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले, लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस कोई मुद्दा नहीं है।

फील्ड ऑपरेटर

यंत्रवत् क्वांटम, एक क्षेत्र के चर (जैसे किसी दिए गए बिंदु पर क्षेत्र के आयाम) को हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर ऑपरेटरों द्वारा दर्शाया जाता है। सामान्य तौर पर, सभी वेधशालाओं को हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर ऑपरेटरों के रूप में निर्मित किया जाता है, और ऑपरेटरों का समय-विकास हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा नियंत्रित होता है, जो एक सकारात्मक ऑपरेटर होना चाहिए। एक राज्य $|0\rangle$ हैमिल्टनियन द्वारा सत्यानाश को निर्वात अवस्था के रूप में पहचाना जाना चाहिए, जो अन्य सभी राज्यों के निर्माण का आधार है। एक गैर-अंतःक्रियात्मक (मुक्त) क्षेत्र सिद्धांत में, निर्वात को सामान्य रूप से शून्य कणों वाले राज्य के रूप में पहचाना जाता है। परस्पर क्रिया करने वाले कणों के साथ एक सिद्धांत में, निर्वात ध्रुवीकरण के कारण निर्वात की पहचान करना अधिक सूक्ष्म है, जिसका अर्थ है कि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में भौतिक निर्वात वास्तव में कभी खाली नहीं होता है। अधिक विस्तार के लिए, वैक्यूम # क्वांटम-मैकेनिकल वैक्यूम और क्यूसीडी वैक्यूम पर लेख देखें। विहित परिमाणीकरण का विवरण परिमाणित होने वाले क्षेत्र पर निर्भर करता है, और चाहे वह मुक्त हो या अन्योन्यक्रिया।

वास्तविक अदिश क्षेत्र

एक अदिश क्षेत्र सिद्धांत विहित परिमाणीकरण प्रक्रिया का एक अच्छा उदाहरण प्रदान करता है। शास्त्रीय रूप से, एक स्केलर फील्ड सरल हार्मोनिक थरथरानवाला सामान्य मोड की अनंतता का संग्रह है। यह 1+1-आयामी स्पेस-टाइम पर विचार करने के लिए पर्याप्त है $\mathbb {R} \times S_{1},$ जिसमें स्थानिक दिशा परिधि 2 के एक वृत्त के लिए एक-बिंदु संघनन हैπ, मोमेंटा असतत का प्रतिपादन।

क्लासिकल Lagrangian (क्षेत्र सिद्धांत) घनत्व एक क्वांटम_हार्मोनिक_ऑसिलेटर#हार्मोनिक_ऑसिलेटर्स_लैटिस:_फोनॉन्स द्वारा लेबल किए गए का वर्णन करता है x जो अब एक लेबल है (और परिमाणित होने के लिए विस्थापन गतिक चर नहीं है), शास्त्रीय क्षेत्र द्वारा निरूपित φ,

${\mathcal {L}}(\phi )={\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-V(\phi ),$

कहाँ V(φ) एक संभावित शब्द है, जिसे अक्सर 3 या उच्चतर डिग्री के बहुपद या मोनोमियल के रूप में लिया जाता है। क्रिया कार्यात्मक है

$S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi )dxdt=\int L(\phi ,\partial _{t}\phi )dt$.

कार्रवाई का उपयोग करके लीजेंड्रे परिवर्तन के माध्यम से प्राप्त विहित गति L है $\pi =\partial _{t}\phi$, और शास्त्रीय हैमिल्टनियन यांत्रिकी # गणितीय औपचारिकता पाई जाती है

$H(\phi ,\pi )=\int dx\left[{\frac {1}{2}}\pi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}+{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+V(\phi )\right].$

कैनोनिकल क्वांटिज़ेशन चर का इलाज करता है φ और π समय पर विहित रूपांतरण संबंधों वाले ऑपरेटरों के रूप में t= 0, द्वारा दिया गया

$[\phi (x),\phi (y)]=0,\ \ [\pi (x),\pi (y)]=0,\ \ [\phi (x),\pi (y)]=i\hbar \delta (x-y).$

ऑपरेटरों से निर्मित φ और π फिर हैमिल्टनियन द्वारा उत्पन्न समय-विकास के माध्यम से अन्य समयों पर औपचारिक रूप से परिभाषित किया जा सकता है,

${\mathcal {O}}(t)=e^{itH}{\mathcal {O}}e^{-itH}.$

हालाँकि, तब से φ और π अब लघुकरण नहीं, यह व्यंजक क्वांटम स्तर पर अस्पष्ट है। समस्या प्रासंगिक ऑपरेटरों के प्रतिनिधित्व का निर्माण करना है ${\mathcal {O}}$ हिल्बर्ट स्पेस पर ${\mathcal {H}}$ और एक सकारात्मक ऑपरेटर का निर्माण करने के लिए H इस हिल्बर्ट स्पेस पर एक क्वांटम ऑपरेटर के रूप में इस तरह से कि यह ऑपरेटरों के लिए यह विकास देता है ${\mathcal {O}}$ जैसा कि पूर्ववर्ती समीकरण द्वारा दिया गया है, और यह दिखाने के लिए ${\mathcal {H}}$ एक निर्वात अवस्था शामिल है $|0\rangle$ जिस पर H का eigenvalue शून्य है। व्यवहार में, यह निर्माण क्षेत्र सिद्धांतों को परस्पर क्रिया करने के लिए एक कठिन समस्या है, और केवल कुछ सरल मामलों में रचनात्मक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के तरीकों के माध्यम से पूरी तरह से हल किया गया है। इनमें से कई मुद्दों को किसी विशेष के लिए वर्णित फेनमैन इंटीग्रल का उपयोग करके टाला जा सकता है V(φ) अदिश क्षेत्र सिद्धांत पर लेख में।

एक मुक्त क्षेत्र के मामले में, के साथ V(φ) = 0, परिमाणीकरण प्रक्रिया अपेक्षाकृत सरल है। फूरियर को खेतों को बदलना सुविधाजनक है, ताकि

$\phi _{k}=\int \phi (x)e^{-ikx}dx,\ \ \pi _{k}=\int \pi (x)e^{-ikx}dx.$

खेतों की वास्तविकता का तात्पर्य है

$\phi _{-k}=\phi _{k}^{\dagger },~~~\pi _{-k}=\pi _{k}^{\dagger }$.

शास्त्रीय हैमिल्टनियन को फूरियर मोड में विस्तारित किया जा सकता है

$H={\frac {1}{2}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\pi _{k}\pi _{k}^{\dagger }+\omega _{k}^{2}\phi _{k}\phi _{k}^{\dagger }\right],$

कहाँ $\omega _{k}={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}$.

इस प्रकार हेमिल्टनियन शास्त्रीय सामान्य मोड थरथरानवाला उत्तेजनाओं के एक अनंत योग के रूप में पहचाने जाने योग्य है φ_k, जिनमें से प्रत्येक को क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर तरीके से परिमाणित किया जाता है, इसलिए मुक्त क्वांटम हैमिल्टन समान दिखता है। यह है φ_ks जो मानक रूपांतरण संबंधों का पालन करने वाले ऑपरेटर बन गए हैं, [φ_k, π_k^†] = [φ_k^†, π_k] = iħ, अन्य सभी गायब होने के साथ। इन सभी ऑसिलेटर्स का सामूहिक हिल्बर्ट स्पेस इस प्रकार इन मोड्स से निर्मित निर्माण और विनाश ऑपरेटरों का उपयोग करके बनाया गया है,

$a_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}+i\pi _{k}\right),\ \ a_{k}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}^{\dagger }-i\pi _{k}^{\dagger }\right),$

जिसके लिए [a_k, a_k^†] = 1 सभी के लिए k, अन्य सभी कम्यूटेटर गायब होने के साथ।

निर्वात $|0\rangle$ सभी के द्वारा नष्ट होने के लिए लिया जाता है a_k, और ${\mathcal {H}}$ निर्माण संचालकों के अनंत संग्रह के किसी भी संयोजन को लागू करके बनाया गया हिल्बर्ट स्थान है a_k^† को $|0\rangle$. इस हिल्बर्ट स्पेस को फॉक स्पेस कहा जाता है। प्रत्येक के लिए k, यह निर्माण एक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के समान है। क्वांटम फील्ड क्वांटम ऑसिलेटर्स की एक अनंत सरणी है। क्वांटम हैमिल्टनियन की मात्रा तब होती है

$H=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}a_{k}^{\dagger }a_{k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}N_{k}$,

कहाँ N_k को गति के साथ राज्य में कणों की संख्या देने वाले नंबर ऑपरेटर के रूप में व्याख्या की जा सकती है k.

यह हैमिल्टन शून्य-बिंदु ऊर्जा के घटाव से पिछली अभिव्यक्ति से अलग है ħω_k/2 प्रत्येक हार्मोनिक ऑसिलेटर का। यह इस शर्त को पूरा करता है कि {{mvar|H}उपरोक्त एक्सपोनेंटिएशन ऑपरेशन के माध्यम से ऑपरेटरों के समय-विकास को प्रभावित किए बिना, } को वैक्यूम को खत्म करना चाहिए। शून्य-बिंदु ऊर्जा के इस घटाव को क्वांटम ऑपरेटर ऑर्डरिंग अस्पष्टता का संकल्प माना जा सकता है, क्योंकि यह आवश्यकता के बराबर है कि सभी सृजन ऑपरेटर हैमिल्टनियन के विस्तार में विलोपन ऑपरेटरों के बाईं ओर दिखाई देते हैं। इस प्रक्रिया को बाती आदेश या 'सामान्य ऑर्डरिंग' के रूप में जाना जाता है।

अन्य क्षेत्र

इस प्रक्रिया के सामान्यीकरण द्वारा अन्य सभी क्षेत्रों को परिमाणित किया जा सकता है। वेक्टर या टेंसर फ़ील्ड में केवल अधिक घटक होते हैं, और स्वतंत्र निर्माण और विनाश ऑपरेटरों को प्रत्येक स्वतंत्र घटक के लिए पेश किया जाना चाहिए। यदि किसी क्षेत्र में कोई आंतरिक समरूपता है, तो इस समरूपता से संबंधित क्षेत्र के प्रत्येक घटक के लिए सृजन और विनाश ऑपरेटरों को भी पेश किया जाना चाहिए। यदि कोई गेज समरूपता है, तो क्षेत्र के स्वतंत्र घटकों की संख्या का सावधानीपूर्वक विश्लेषण किया जाना चाहिए ताकि ओवर-गिनती समकक्ष कॉन्फ़िगरेशन से बचा जा सके, और यदि आवश्यक हो तो गेज-फिक्सिंग लागू किया जा सकता है।

यह पता चला है कि कम्यूटेशन संबंध केवल बोसॉन को मापने के लिए उपयोगी होते हैं, जिसके लिए किसी भी राज्य की अधिभोग संख्या असीमित होती है। पाउली बहिष्करण सिद्धांत को पूरा करने वाले फ़र्मियन को परिमाणित करने के लिए, एंटी-कम्यूटेटर की आवश्यकता होती है। इनके द्वारा परिभाषित किया गया है {A,B} = AB+BA.

फ़र्मियन की मात्रा निर्धारित करते समय, क्षेत्र निर्माण और विनाश ऑपरेटरों में विस्तारित होते हैं, θ_k^†, θ_k, जो संतुष्ट करते हैं

$\{\theta _{k},\theta _{l}^{\dagger }\}=\delta _{kl},\ \ \{\theta _{k},\theta _{l}\}=0,\ \ \{\theta _{k}^{\dagger },\theta _{l}^{\dagger }\}=0.$

राज्यों का निर्माण एक निर्वात पर किया जाता है |0> द्वारा विलोपित θ_k, और Fock स्पेस को क्रिएशन ऑपरेटर्स के सभी उत्पादों को लागू करके बनाया गया है θ_k^† से |0>. पाउली का अपवर्जन सिद्धांत संतुष्ट है, क्योंकि $(\theta _{k}^{\dagger })^{2}|0\rangle =0$, कम्यूटेशन विरोधी संबंधों के आधार पर।

घनीभूत

ऊपर दिए गए स्केलर फील्ड स्टेट्स के निर्माण ने माना कि क्षमता को कम से कम किया गया था φ = 0, ताकि हैमिल्टनियन को कम करने वाला निर्वात 〈 को संतुष्ट करे φ 〉 = 0, यह दर्शाता है कि क्षेत्र की वैक्यूम अपेक्षा मूल्य (वीईवी) शून्य है। सहज समरूपता तोड़ने वाले मामलों में, गैर-शून्य वीईवी होना संभव है, क्योंकि मूल्य के लिए क्षमता कम हो जाती है φ = v . यह उदाहरण के लिए होता है, अगर V(φ) = gφ⁴ − 2m²φ² साथ g> 0 और m² > 0, जिसके लिए न्यूनतम ऊर्जा पाई जाती है v = ±m/√g. का मान है v इनमें से एक रिक्तिका को क्षेत्र का घनीभूत माना जा सकता है φ. विहित परिमाणीकरण तब स्थानांतरित क्षेत्र के लिए किया जा सकता है φ(x,t)−v, और शिफ्ट किए गए वैक्यूम के संबंध में पार्टिकल स्टेट्स को शिफ्ट किए गए क्षेत्र को परिमाणित करके परिभाषित किया गया है। कण भौतिकी के मानक मॉडल में हिग्स तंत्र में इस निर्माण का उपयोग किया जाता है।

गणितीय परिमाणीकरण

विरूपण परिमाणीकरण

शास्त्रीय सिद्धांत को अंतरिक्ष समय के एक spacelike पत्तियों से सजाना का उपयोग करके वर्णित किया गया है, जिसमें प्रत्येक स्लाइस पर सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड के एक तत्व द्वारा वर्णित किया जा रहा है, सिम्पेक्टिक मैनिफोल्ड पर एक हैमिल्टनियन यांत्रिकी फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न sympletomorphism द्वारा दिए गए समय के विकास के साथ। ऑपरेटरों का क्वांटम बीजगणित एक है ħ-विरूपण परिमाणीकरण ओवर द सिम्पलेक्टिक स्पेस जैसे कि टेलर एक्सपेंशन में अग्रणी टर्म ओवर ħ कम्यूटेटर की [A, B] चरण स्थान सूत्रीकरण में व्यक्त किया गया है iħ{A, B} . (यहाँ, घुंघराले ब्रेसिज़ पोइसन ब्रैकेट को दर्शाते हैं। सबलीडिंग शब्द मोयल ब्रैकेट में एन्कोड किए गए हैं, जो पॉइसन ब्रैकेट के उपयुक्त क्वांटम विरूपण हैं।) सामान्य रूप से, शामिल मात्राओं (अवलोकन) के लिए, और ऐसे कोष्ठकों के तर्क प्रदान करते हुए, ħ-विरूपण अत्यधिक गैर-अद्वितीय हैं-परिमाणीकरण एक कला है, और भौतिक संदर्भ द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। (दो अलग-अलग क्वांटम सिस्टम एक ही शास्त्रीय सीमा के दो अलग-अलग, असमान, विकृतियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, ħ → 0.)

अब, कोई इस क्वांटम बीजगणित के एकात्मक निरूपण की तलाश करता है। इस तरह के एकात्मक प्रतिनिधित्व के संबंध में, शास्त्रीय सिद्धांत में एक सहानुभूतिवाद अब एक (मेटाप्लेक्टिक) एकात्मक परिवर्तन के लिए विकृत होगा। विशेष रूप से, शास्त्रीय हेमिल्टनियन द्वारा उत्पन्न समय विकास सिम्पेक्टोमोर्फिज्म संबंधित क्वांटम हैमिल्टनियन द्वारा उत्पन्न एकात्मक परिवर्तन के लिए विकृत होता है।

एक और सामान्यीकरण शास्त्रीय सिद्धांत के लिए एक सहानुभूतिपूर्ण स्थान के बजाय जहर कई गुना पर विचार करना है और संबंधित पॉइसन बीजगणित या यहां तक ​​​​कि पोइसन सुपरमैनिफोल्ड का एच-विरूपण करना है।

ज्यामितीय परिमाणीकरण

Main article: Geometric quantization

ऊपर वर्णित विरूपण परिमाणीकरण के सिद्धांत के विपरीत, ज्यामितीय परिमाणीकरण एक वास्तविक हिल्बर्ट स्थान और उस पर ऑपरेटरों का निर्माण करना चाहता है। एक सहानुभूतिपूर्ण कई गुना से शुरू $M$, पहले एक प्रीक्वांटम हिल्बर्ट स्पेस का निर्माण करता है जिसमें एक उपयुक्त लाइन बंडल के स्क्वायर-इंटीग्रेबल सेक्शन का स्थान होता है $M$. इस स्थान पर, प्रीक्वांटम हिल्बर्ट स्पेस पर ऑपरेटरों के लिए सभी शास्त्रीय वेधशालाओं को मैप कर सकते हैं, कम्यूटेटर के साथ बिल्कुल पोइसन ब्रैकेट के अनुरूप। हालाँकि, प्रीक्वांटम हिल्बर्ट स्पेस, के परिमाणीकरण का वर्णन करने के लिए स्पष्ट रूप से बहुत बड़ा है $M$.

एक तब एक ध्रुवीकरण चुनकर आगे बढ़ता है, जो कि (मोटे तौर पर), एक विकल्प है $n$ पर चर $2n$-आयामी चरण स्थान। क्वांटम हिल्बर्ट स्थान तब वर्गों का स्थान है जो केवल पर निर्भर करता है $n$ चुने हुए चर, इस अर्थ में कि वे सहसंयोजक रूप से दूसरे में स्थिर हैं $n$ दिशाओं। यदि चुने गए चर वास्तविक हैं, तो हमें पारंपरिक श्रोडिंगर हिल्बर्ट स्पेस जैसा कुछ मिलता है। यदि चुने गए चर जटिल हैं, तो हमें सेगल-बार्गमैन स्पेस जैसा कुछ मिलता है।

यह भी देखें

• पत्राचार सिद्धांत
• निर्माण और विनाश संचालक
• डायराक ब्रैकेट
• मोयल ब्रैकेट
• चरण स्थान सूत्रीकरण (क्वांटम यांत्रिकी का)
• ज्यामितीय परिमाणीकरण

संदर्भ

ऐतिहासिक संदर्भ

• सिल्वन एस. श्वेबर: क्यूईडी और इसे बनाने वाले पुरुष, प्रिंसटन विश्वविद्यालय। प्रेस, 1994, ISBN 0-691-03327-7

सामान्य तकनीकी संदर्भ

• अलेक्जेंडर ऑल्टलैंड, बेन सिमंस: संघनित पदार्थ क्षेत्र सिद्धांत, कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय। प्रेस, 2009, ISBN 978-0-521-84508-3
• जेम्स डी. ब्योर्केन, सिडनी डी. ड्रेल: सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी, न्यूयॉर्क, मैकग्रा-हिल, 1964
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158.
• एन इंट्रोडक्शन टू क्वांटम फील्ड थ्योरी, बाय एम.ई. पेस्किन और एच.डी. श्रोएडर, ISBN 0-201-50397-2
• फ्रांज श्वाबल: उन्नत क्वांटम यांत्रिकी, बर्लिन और अन्यत्र, स्प्रिंगर, 2009 ISBN 978-3-540-85061-8

बाहरी संबंध

• What is "Relativistic Canonical Quantization"?
• Pedagogic Aides to Quantum Field Theory Click on the links for Chaps. 1 and 2 at this site to find an extensive, simplified introduction to second quantization. See Sect. 1.5.2 in Chap. 1. See Sect. 2.7 and the chapter summary in Chap. 2.