निर्माण और विनाश संचालक

क्रिएशन ऑपरेटर्स और एनीहिलेशन ऑपरेटर्स ऑपरेटर (गणित) हैं जिनका क्वांटम यांत्रिकी में व्यापक अनुप्रयोग है, विशेष रूप से क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर्स और कई-कण प्रणालियों के अध्ययन में। एक विनाश ऑपरेटर (आमतौर पर निरूपित ${\hat {a}}$) किसी दिए गए राज्य में कणों की संख्या को एक से कम कर देता है। एक निर्माण ऑपरेटर (आमतौर पर निरूपित ${\hat {a}}^{\dagger }$) दी गई अवस्था में कणों की संख्या को एक से बढ़ा देता है, और यह सर्वनाश संचालिका का हर्मिटियन सहायक है। भौतिकी और रसायन विज्ञान के कई उपक्षेत्रों में, इन ऑपरेटरों के उपयोग को तरंगों के बजाय दूसरे परिमाणीकरण के रूप में जाना जाता है। उन्हें पॉल डिराक द्वारा पेश किया गया था। निर्माण और विनाश संचालक विभिन्न प्रकार के कणों की अवस्थाओं पर कार्य कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, क्वांटम रसायन शास्त्र और कई-शरीर सिद्धांत में सृजन और विनाश ऑपरेटर अक्सर इलेक्ट्रॉन राज्यों पर कार्य करते हैं। वे विशेष रूप से क्वांटम हार्मोनिक थरथरानवाला के लिए सीढ़ी ऑपरेटरों को भी संदर्भित कर सकते हैं। बाद के मामले में, उठाने वाले ऑपरेटर को एक सृजन ऑपरेटर के रूप में व्याख्या किया जाता है, जो ऑसीलेटर सिस्टम में ऊर्जा की मात्रा जोड़ता है (इसी तरह कम करने वाले ऑपरेटर के लिए)। उनका उपयोग फोनोन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। इन ऑपरेटरों का उपयोग करके हैमिल्टन के निर्माण का लाभ यह है कि सिद्धांत स्वचालित रूप से क्लस्टर अपघटन प्रमेय को संतुष्ट करता है। बोसोन के निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के लिए गणित क्वांटम हार्मोनिक ऑसीलेटर के सीढ़ी ऑपरेटरों के समान ही है। उदाहरण के लिए, एक ही बोसॉन राज्य से जुड़े सृजन और विनाश ऑपरेटरों के कम्यूटेटर एक के बराबर होते हैं, जबकि अन्य सभी कम्यूटेटर गायब हो जाते हैं। हालांकि, फ़र्मियन के लिए गणित अलग है, जिसमें कम्यूटेटर के बजाय कम्यूटेटर # एंटीकम्यूटेटर शामिल है।

क्वांटम हार्मोनिक थरथरानवाला के लिए सीढ़ी ऑपरेटरों

See also: Quantum harmonic oscillator § Ladder operator method

क्वांटम हार्मोनिक थरथरानवाला के संदर्भ में, सीढ़ी ऑपरेटरों को सृजन और विनाश ऑपरेटरों के रूप में पुन: व्याख्या करता है, थरथरानवाला प्रणाली में ऊर्जा की निश्चित मात्रा को जोड़ना या घटाना।

बोसोन (पूर्णांक स्पिन) और फ़र्मियन (आधा-पूर्णांक स्पिन) के लिए निर्माण/विनाश संचालक अलग-अलग हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि उनके तरंग कार्यों में अलग-अलग समान कण होते हैं।

पहले क्वांटम हार्मोनिक थरथरानवाला के फोटॉनों के सरल बोसोनिक मामले पर विचार करें। एक आयामी समय स्वतंत्र क्वांटम हार्मोनिक थरथरानवाला के लिए श्रोडिंगर समीकरण से शुरू करें,

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).$

गैर-आयामीकरण के लिए एक समन्वय प्रतिस्थापन करें अंतर समीकरण

$x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.$

थरथरानवाला के लिए श्रोडिंगर समीकरण बन जाता है

${\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).$

ध्यान दें कि मात्रा $\hbar \omega =h\nu$ वही ऊर्जा है जो प्रकाश क्वांटम के लिए पाई जाती है और हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) में कोष्ठक के रूप में लिखा जा सकता है

$-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}.$

अंतिम दो पदों को एक मनमाना अवकलनीय फलन पर उनके प्रभाव पर विचार करके सरल बनाया जा सकता है $f(q),$

$\left({\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)$

जो ये दर्शाता हे,

${\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}=1,$

सामान्य विहित रूपान्तरण संबंध के साथ मेल खाना $-i[q,p]=1$, स्थिति स्थान प्रतिनिधित्व में: $p:=-i{\frac {d}{dq}}$.

इसलिए,

$-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1$

और थरथरानवाला के लिए श्रोडिंगर समीकरण बन जाता है, उपरोक्त के प्रतिस्थापन और 1/2 के कारक की पुनर्व्यवस्था के साथ,

$\hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).$

अगर कोई परिभाषित करता है

$a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)$ सृजन ऑपरेटर या उठाने वाले ऑपरेटर के रूप में और

$a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ \ \ \!{\frac {d}{dq}}+q\right)$ एनिहिलेशन ऑपरेटर या लोअरिंग ऑपरेटर के रूप में, थरथरानवाला के लिए श्रोडिंगर समीकरण कम हो जाता है

$\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).$

यह मूल रूप की तुलना में काफी सरल है। इस समीकरण के और सरलीकरण से अब तक ऊपर सूचीबद्ध सभी गुणों को प्राप्त करने में मदद मिलती है।

दे $p=-i{\frac {d}{dq}}$, कहाँ पे $p$ गैर-आयामी गति ऑपरेटर है किसी के पास

$[q,p]=i\,$

तथा

$a={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)$

$a^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).$

ध्यान दें कि इनका मतलब है

$[a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])={\frac {-i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.$

संचालिका $a\,$ तथा $a^{\dagger }\,$ सामान्य ऑपरेटरों के विपरीत हो सकता है, जो अपने आस-पास के साथ आवागमन करते हैं। ऊपर दिए गए कम्यूटेशन संबंधों का उपयोग करते हुए, हैमिल्टनियन ऑपरेटर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

${\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)$

कोई के बीच कम्यूटेशन संबंधों की गणना कर सकता है $a\,$ तथा $a^{\dagger }\,$ ऑपरेटरों और हैमिल्टनियन:

$[{\hat {H}},a]=[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right),a]=\hbar \omega [aa^{\dagger },a]=\hbar \omega (a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger })=-\hbar \omega a.$

$[{\hat {H}},a^{\dagger }]=\hbar \omega \,a^{\dagger }.$

इन संबंधों का उपयोग क्वांटम हार्मोनिक थरथरानवाला के सभी ऊर्जा eigenstates को आसानी से खोजने के लिए निम्नानुसार किया जा सकता है।

ऐसा मानते हुए $\psi _{n}$ हैमिल्टनियन का एक स्वदेशी राज्य है ${\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}$. इन कम्यूटेशन संबंधों का उपयोग करते हुए, यह इस प्रकार है कि:${\hat {H}}\,a\psi _{n}=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.$

${\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.$

यह दर्शाता है कि $a\psi _{n}$ तथा $a^{\dagger }\psi _{n}$ eigenvalues ​​के साथ हैमिल्टनियन के भी स्वदेशी राज्य हैं $E_{n}-\hbar \omega$ तथा $E_{n}+\hbar \omega$ क्रमश। यह ऑपरेटरों की पहचान करता है $a$ तथा $a^{\dagger }$ आसन्न eigenstates के बीच ऑपरेटरों को कम करने और बढ़ाने के रूप में। आसन्न eigenstates के बीच ऊर्जा अंतर है $\Delta E=\hbar \omega$.

ग्राउंड स्टेट को यह मानकर पाया जा सकता है कि लोअरिंग ऑपरेटर के पास एक नॉनट्रिविअल कर्नेल है: $a\,\psi _{0}=0$ साथ $\psi _{0}\neq 0$. हैमिल्टन को जमीनी अवस्था में लागू करना,

${\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.$

इसलिए $\psi _{0}$ हैमिल्टनियन का एक प्रतिरूप है।

यह जमीनी अवस्था को ऊर्जा देता है $E_{0}=\hbar \omega /2$, जो किसी को किसी भी eigenstate के ऊर्जा eigenvalue की पहचान करने की अनुमति देता है $\psi _{n}$ जैसा:$E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega .$ इसके अलावा, यह पता चला है कि पहले उल्लिखित ऑपरेटर (*), नंबर ऑपरेटर $N=a^{\dagger }a\,,$ अनुप्रयोगों में सबसे महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, जबकि दूसरा, $aa^{\dagger }\,$ बस द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $N+1$.

फलस्वरूप,

$\hbar \omega \,\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.$

प्रोपेगेटर|टाइम-इवोल्यूशन ऑपरेटर तब है

$U(t)=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,$ :$=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.$

स्पष्ट eigenfunctions

जमीनी अवस्था $\ \psi _{0}(q)$ क्वांटम हार्मोनिक थरथरानवाला की शर्त लगाकर पाया जा सकता है कि

$a\ \psi _{0}(q)=0.$

एक अंतर समीकरण के रूप में लिखा गया, तरंग कार्य संतुष्ट करता है

$q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0$

समाधान के साथ

$\psi _{0}(q)=C\exp \left(-{q^{2} \over 2}\right).$

सामान्यीकरण स्थिरांक C पाया जाता है $1/{\sqrt[{4}]{\pi }}$ से ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1}$, गाऊसी समाकलन का उपयोग करते हुए। सभी eigenfunctions के लिए स्पष्ट सूत्र अब बार-बार आवेदन द्वारा पाया जा सकता है $a^{\dagger }$ प्रति $\psi _{0}$.

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

उपरोक्त ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के निर्माण और विनाश ऑपरेटरों की मैट्रिक्स अभिव्यक्ति है

$a^{\dagger }={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\dots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&0&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}$

$a={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}$

इन्हें रिश्तों के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है $a_{ij}^{\dagger }=\langle \psi _{i}\mid a^{\dagger }\mid \psi _{j}\rangle$ तथा $a_{ij}=\langle \psi _{i}\mid a\mid \psi _{j}\rangle$. eigenvectors $\psi _{i}$ वे क्वांटम हार्मोनिक थरथरानवाला के होते हैं, और कभी-कभी उन्हें संख्या आधार कहा जाता है।

सामान्यीकृत निर्माण और विनाश संचालक

Main article: CCR and CAR algebras

ऊपर व्युत्पन्न ऑपरेटर वास्तव में सृजन और विनाश ऑपरेटरों की अधिक सामान्यीकृत धारणा का एक विशिष्ट उदाहरण हैं। ऑपरेटरों के अधिक सार रूप का निर्माण निम्नानुसार किया जाता है। होने देना $H$ एक-कण हिल्बर्ट स्पेस हो (अर्थात, कोई भी हिल्बर्ट स्पेस, जिसे एक कण की स्थिति का प्रतिनिधित्व करने के रूप में देखा जाता है)।

(बोसोनिक) सीसीआर बीजगणित से अधिक $H$ बीजगणित-साथ-संयुग्मन-संचालक (* कहा जाता है) तत्वों द्वारा अमूर्त रूप से उत्पन्न होता है $a(f)$, कहाँ पे $f\,$स्वतंत्र रूप से अधिक $H$, संबंधों के अधीन

$[a(f),a(g)]=[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)]=0$

$[a(f),a^{\dagger }(g)]=\langle f\mid g\rangle ,$

ब्रा-केट नोटेशन में।

नक्शा $a:f\to a(f)$ से $H$ बोसोनिक सीसीआर बीजगणित के लिए जटिल एंटीलाइनियर होना आवश्यक है (यह अधिक संबंध जोड़ता है)। इसका हर्मिटियन जोड़ है $a^{\dagger }(f)$, और नक्शा $f\to a^{\dagger }(f)$ में रैखिक है H. इस प्रकार $H$ अपने स्वयं के सीसीआर बीजगणित के एक जटिल वेक्टर उप-स्थान के रूप में एम्बेड करता है। इस बीजगणित के प्रतिनिधित्व में, तत्व $a(f)$ एक विनाश ऑपरेटर के रूप में महसूस किया जाएगा, और $a^{\dagger }(f)$ एक सृजन ऑपरेटर के रूप में।

सामान्य तौर पर, सीसीआर बीजगणित अनंत आयामी है। यदि हम एक Banach स्थान को पूरा करते हैं, तो यह C*-बीजगणित बन जाता है। सीसीआर बीजगणित खत्म $H$ वेइल बीजगणित से निकटता से संबंधित है, लेकिन समान नहीं है।

fermions के लिए, (fermionic) CAR बीजगणित अधिक$H$इसी तरह से बनाया गया है, लेकिन इसके बजाय एंटीकम्यूटेटर संबंधों का उपयोग करते हुए, अर्थात्

$\{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0$

$\{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f\mid g\rangle .$

सीएआर बीजगणित परिमित आयामी है केवल अगर $H$ परिमित आयामी है। यदि हम एक बनच अंतरिक्ष पूर्णता (अनंत आयामी मामले में केवल आवश्यक) लेते हैं, तो यह बन जाता है a $C^{*}$ बीजगणित। सीएआर बीजगणित निकट से संबंधित है, लेकिन क्लिफोर्ड बीजगणित के समान नहीं है।

शारीरिक रूप से बोलना, $a(f)$ राज्य में एक कण को ​​हटाता है (यानी नष्ट कर देता है) $|f\rangle$ जबकि $a^{\dagger }(f)$ राज्य में एक कण बनाता है $|f\rangle$.

मुक्त क्षेत्र निर्वात अवस्था वह अवस्था है Template:Dket बिना किसी कण के, इसकी विशेषता है

$a(f)\left|0\right\rangle =0.$

यदि $|f\rangle$ सामान्यीकृत किया जाता है ताकि $\langle f|f\rangle =1$, फिर $N=a^{\dagger }(f)a(f)$ राज्य में कणों की संख्या देता है $|f\rangle$.

प्रतिक्रिया-प्रसार समीकरणों के लिए निर्माण और विनाश ऑपरेटरों

विनाश और निर्माण ऑपरेटर विवरण शास्त्रीय प्रतिक्रिया प्रसार समीकरणों का विश्लेषण करने के लिए भी उपयोगी रहा है, जैसे कि स्थिति जब अणुओं की गैस$A$एक निष्क्रिय उत्पाद बनाने, फैलाने और संपर्क पर बातचीत करने के लिए:$A+A\to \emptyset$. यह देखने के लिए कि इस तरह की प्रतिक्रिया को विनाश और निर्माण ऑपरेटर औपचारिकता द्वारा कैसे वर्णित किया जा सकता है, विचार करें $n_{i}$ एक साइट पर कण i एक आयामी जाली पर। प्रत्येक कण एक निश्चित संभावना के साथ दाएं या बाएं चलता है, और एक ही साइट पर कणों की प्रत्येक जोड़ी एक निश्चित अन्य संभावना के साथ एक दूसरे को नष्ट कर देती है।

संभावना है कि एक कण कम समय अवधि के दौरान साइट छोड़ देता हैdtके लिए आनुपातिक है $n_{i}\,dt$, हम एक संभावना कहते हैं $\alpha n_{i}dt$ बाईं ओर कूदना और $\alpha n_{i}\,dt$ सही कूदने के लिए। सभी $n_{i}$ कण एक संभावना के साथ रहेंगे $1-2\alpha n_{i}\,dt$. (तब सेdtइतना कम है, संभावना है कि दो या दो से अधिक के दौरान छोड़ दिया जाएगाdtबहुत छोटा है और इसे अनदेखा कर दिया जाएगा।)

अब हम जाली पर कणों के कब्जे को फॉर्म के 'केट' के रूप में वर्णित कर सकते हैं

$|\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle$. यह संख्या राज्यों के जुड़ाव (या संयोजन, या टेंसर उत्पाद) का प्रतिनिधित्व करता है  $\dots ,|n_{-1}\rangle$ $|n_{0}\rangle$,  $|n_{1}\rangle ,\dots$ जाली के अलग-अलग स्थलों पर स्थित है। याद करें कि

$a\mid \!n\rangle ={\sqrt {n}}\ |n-1\rangle$

तथा

$a^{\dagger }\mid \!n\rangle ={\sqrt {n+1}}\mid \!n+1\rangle ,$

सभी के लिए n  0, जबकि

$[a,a^{\dagger }]=\mathbf {1}$

इस समस्या की गैर-क्वांटम प्रकृति को समायोजित करने के लिए ऑपरेटरों की यह परिभाषा अब बदल दी जाएगी और हम निम्नलिखित परिभाषा का उपयोग करेंगे:

$a{|}n\rangle =(n)|n{-}1\rangle$

$a^{\dagger }{|}n\rangle =|n{+}1\rangle$

ध्यान दें कि भले ही केट्स पर ऑपरेटरों के व्यवहार को संशोधित किया गया हो, फिर भी ये ऑपरेटर कम्यूटेशन संबंध का पालन करते हैं

$[a,a^{\dagger }]=\mathbf {1}$

अब परिभाषित करें$a_{i}$ताकि यह लागू हो$a$प्रति $|n_{i}\rangle$. इसके अनुरूप, परिभाषित करें $a_{i}^{\dagger }$ आवेदन के रूप में $a^{\dagger }$ प्रति $|n_{i}\rangle$. इस प्रकार, उदाहरण के लिए, का शुद्ध प्रभाव $a_{i-1}a_{i}^{\dagger }$ से एक कण को ​​स्थानांतरित करना है$(i-1)^{\text{th}}$को$i^{\text{th}}$उपयुक्त कारक से गुणा करते समय साइट।

यह कणों के शुद्ध विसरित व्यवहार को इस प्रकार लिखने की अनुमति देता है

$\partial _{t}\mid \!\psi \rangle =-\alpha \sum (2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i})\mid \!\psi \rangle =-\alpha \sum (a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger })(a_{i}-a_{i-1})\mid \!\psi \rangle ,$

जहां राशि खत्म हो गई है $i$.

प्रतिक्रिया शब्द को ध्यान में रखते हुए निकाला जा सकता है $n$ कण बातचीत कर सकते हैं $n(n-1)$ अलग-अलग तरीके, ताकि एक जोड़ी के सत्यानाश होने की संभावना है $\lambda n(n-1)dt$, एक शब्द उपज

$\lambda \sum (a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})$

जहां साइट पर संख्या स्थिति n को संख्या स्थिति n − 2 से बदल दिया जाता है $i$ एक निश्चित दर पर।

इस प्रकार राज्य का विकास होता है

$\partial _{t}\mid \!\psi \rangle =-\alpha \sum (a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger })(a_{i}-a_{i-1})\mid \!\psi \rangle +\lambda \sum (a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2})\mid \!\psi \rangle$

अन्य प्रकार की बातचीत को इसी तरह से शामिल किया जा सकता है।

इस प्रकार का संकेतन प्रतिक्रिया प्रसार प्रणालियों के विश्लेषण में क्वांटम क्षेत्र सैद्धांतिक तकनीकों के उपयोग की अनुमति देता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों में निर्माण और विनाश ऑपरेटरों

Main articles: Second quantization and Quantum field theory § Second quantization

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और कई-शरीर की समस्याओं में एक क्वांटम राज्यों के निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के साथ काम करता है, $a_{i}^{\dagger }$ तथा $a_{i}^{\,}$. ये ऑपरेटर नंबर ऑपरेटर के eigenvalues ​​को बदलते हैं,

$N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}$,

एक के बाद एक, हार्मोनिक थरथरानवाला के सादृश्य में। सूचकांक (जैसे $i$) क्वांटम संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जो सिस्टम के एकल-कण राज्यों को लेबल करते हैं; इसलिए, वे आवश्यक रूप से एकल संख्या नहीं हैं। उदाहरण के लिए, क्वांटम संख्याओं का एक गुच्छा $(n,l,m,s)$ हाइड्रोजन परमाणु में राज्यों को लेबल करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

बहु-बोसोन प्रणाली में सृजन और विनाश संचालकों के रूपान्तरण संबंध हैं,

$[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},$

$[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,$

कहाँ पे $[\ \ ,\ \ ]$ कम्यूटेटर है और $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है।

फ़र्मियन के लिए, कम्यूटेटर को एंटीकम्यूटेटर द्वारा बदल दिया जाता है $\{\ \ ,\ \ \}$,

$\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},$

$\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.$

इसलिए, असंबद्ध का आदान-प्रदान (अर्थात। $i\neq j$) क्रिएशन या एनीहिलेशन ऑपरेटर्स के उत्पाद में ऑपरेटर फर्मियन सिस्टम में साइन को उलट देंगे, लेकिन बोसॉन सिस्टम में नहीं।

यदि i द्वारा लेबल किए गए राज्य हिल्बर्ट स्पेस एच का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं, तो इस निर्माण का परिणाम पिछले खंड में सीसीआर बीजगणित और सीएआर बीजगणित निर्माण के साथ मेल खाता है लेकिन एक। यदि वे क्यूएफटी में अनबाउंड कणों के लिए कुछ ऑपरेटर के निरंतर स्पेक्ट्रम के अनुरूप आइजनवेक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो व्याख्या अधिक सूक्ष्म है।

सामान्यीकरण

जबकि ज़ी गति स्थान सामान्यीकरण प्राप्त करता है $[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )$ फूरियर ट्रांसफॉर्म के माध्यम से#फूरियर ट्रांसफॉर्म के लिए अन्य कन्वेंशन, टोंग और पेस्किन और श्रोएडर प्राप्त करने के लिए सामान्य असममित सम्मेलन का उपयोग करें $[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )$. प्रत्येक व्युत्पन्न $[{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ),{\hat {\pi }}(\mathbf {x} ')]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')$.

Srednicki अतिरिक्त रूप से लोरेंत्ज़-अपरिवर्तनीय माप को अपने असममित फूरियर माप में मिला देता है, ${\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega }}$, उपज $[{\hat {a}}_{\mathbf {k} },{\hat {a}}_{\mathbf {k} '}^{\dagger }]=(2\pi )^{3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')$.

यह भी देखें

• फॉक स्पेस
• सहगल-बार्गमैन स्पेस
• ऑप्टिकल चरण स्थान
• बोगोलीबॉव-वैलाटिन परिवर्तन
• होल्स्टीन-प्रिमाकॉफ परिवर्तन
• जॉर्डन-विग्नर परिवर्तन
• जॉर्डन-श्विंगर परिवर्तन
• क्लेन परिवर्तन
• विहित रूपान्तरण संबंध

संदर्भ

• Feynman, Richard P. (1998) [1972]. Statistical Mechanics: A Set of Lectures (2nd ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-36076-9.
• Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons. Ch. XII. online

फुटनोट

श्रेणी:क्वांटम यांत्रिकी श्रेणी:क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत