अदिश क्षेत्र सिद्धांत

सैद्धांतिक भौतिकी में अदिश क्षेत्र सिद्धांत अदिश क्षेत्रों के सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय क्षेत्र सिद्धांत या क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को संदर्भित कर सकता है। किसी भी लोरेंत्ज़ रूपांतरण के अंतर्गत अदिश क्षेत्र अपरिवर्तनीय होता है।^[1]

प्रकृति में देखा गया एकमात्र मौलिक अदिश क्वांटम क्षेत्र हिग्स क्षेत्र है। चूँकि कई भौतिक घटनाओं के प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत विवरण में सम्मिलित हैं। इसका उदाहरण पियोन है, जो वास्तव में छद्म अदिश है।^[2]

चूँकि उनमें ध्रुवीकरण की समिश्रताएँ सम्मिलित नहीं होती हैं इसलिए अदिश क्षेत्र प्रायः दूसरे परिमाणीकरण का मूल्यांकन करने के लिए सबसे सरल होते हैं। इस कारण से अदिश क्षेत्र सिद्धांतों का प्रयोग प्रायः नवीन अवधारणाओं और तकनीकों के परिचय के प्रयोजनों के लिए किया जाता है।^[3]

नीचे नियोजित मापीय का [[मीट्रिक हस्ताक्षर|चिन्ह $(+, -, -, -)$ ]] है।

शास्त्रीय अदिश क्षेत्र सिद्धांत

इस खंड के लिए सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। अदिश क्षेत्र: आधुनिक प्राइमर (दूसरा संस्करण) यूएसए: वेस्टव्यू प्रेस. ISBN 0-201-30450-3 अध्याय 1 है।

रेखीय सिद्धांत

सबसे सामान्य अदिश क्षेत्र सिद्धांत रेखीय सिद्धांत है। क्षेत्र सिद्धांत के फूरियर रूपांतरण के माध्यम से यह युग्मित दोलक की अनंतता के सामान्य मोड का प्रतिनिधित्व करता है। जहां दोलित्र सूचकांक i की नियमित सीमा x द्वारा निरूपित की जाती है। तब मुक्त आपेक्षिकीय अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए फलन है:

{\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\\[6pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],\end{aligned}}

जहां ${\mathcal {L}}$ को लाग्रंगियन घनत्व के रूप में जाना जाता है; तीन स्थानिक निर्देशांक के लिए $d 4-1 x \equiv dx \cdot dy \cdot dz \equiv dx 1 \cdot dx 2 \cdot dx 3$ , $δ ij$ क्रोनकर डेल्टा फलन है। और $ρ$ -वें निर्देशांक $x ρ$ के लिए $\partial ρ = \partial / \partialx ρ$ है।

यह द्विघात फलन का उदाहरण है क्योंकि प्रत्येक पद क्षेत्र $φ$ में द्विघात है, कण द्रव्यमान के संदर्भ में इस सिद्धांत के परिमाणित संस्करण में इसके पश्चात की व्याख्या के कारण, m² के आनुपातिक शब्द को कभी-कभी द्रव्यमान शब्द के रूप में जाना जाता है।

इस सिद्धांत के लिए गति का समीकरण उपरोक्त फलन को विस्तृत करके प्राप्त किया जाता है। यह φ में निम्नलिखित रूप रैखिक रूप प्राप्त करता है:

\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +m^{2}\phi =\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi =0~,

जहाँ ∇² लाप्लास संक्रियक है। यह क्लेन-गॉर्डन समीकरण है, जिसकी व्याख्या क्वांटम-यांत्रिक तरंग समीकरण के अतिरिक्त शास्त्रीय क्षेत्र समीकरण के रूप में की जाती है।

अरेखीय सिद्धांत

उपरोक्त रैखिक सिद्धांत का सबसे सामान्य सामान्यीकरण लाग्रंगियन यांत्रिकी में अदिश क्षमता $V (Φ)$ ) को जोड़ना है, जहां सामान्यतः द्रव्यमान शब्द के अतिरिक्त V, $Φ$ में बहुपद है। इस प्रकार के सिद्धांत को कभी-कभी अंतःक्रियात्मक कहा जाता है, क्योंकि यूलर-लग्रेंज समीकरण अब अरैखिक है। अर्थात अंतःक्रिया का अर्थ है कि इस प्रकार के सबसे सामान्य सिद्धांत के लिए फलन है:

{\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -V(\phi )\right]\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}\right]\end{aligned}}

विस्तार में n कारक प्रस्तुत किए गए हैं क्योंकि वे क्वांटम सिद्धांत के रिचर्ड फेनमैन विस्तार में उपयोगी हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।

गति का संगत यूलर-लैग्रेंज समीकरण है:

\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +V'(\phi )=\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +V'(\phi )=0.

आयामी विश्लेषण और प्रवर्धन

इन अदिश क्षेत्र सिद्धांतों में भौतिक राशियों में लंबाई, समय या द्रव्यमान के आयाम या तीनों का कुछ संयोजन हो सकता है।

चूँकि, सापेक्षवादी सिद्धांत में समय के आयामों के साथ किसी भी राशि $t$ को प्रकाश की गति $c$ का उपयोग करके सरलता से लंबाई $l = ct$ में परिवर्तित किया जा सकता है। इसी प्रकार प्लैंक स्थिरांक, $ħ$ का उपयोग करते हुए, कोई भी लंबाई $l$ व्युत्क्रम द्रव्यमान, $ħ = lmc$ के समान है। प्राकृतिक इकाइयों में समय को लंबाई के रूप में समय और लंबाई को व्युत्क्रम द्रव्यमान के रूप में माना जाता है।

संक्षेप में, कोई किसी भी भौतिक राशि के आयामों के विषय में सोच सकता है। जैसा कि तीनों के संदर्भ में नहीं, अन्यथा केवल स्वतंत्र आयाम के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे प्रायः राशि का द्रव्यमान आयाम कहा जाता है। प्रत्येक राशि के आयामों को जानने से, किसी को आयामी स्थिरता के लिए आवश्यक $ħ$ और $c$ की अपेक्षित शक्तियों को पुन: सम्मिलित करके, इस द्रव्यमान आयाम के संदर्भ में प्राकृतिक इकाइयों की अभिव्यक्ति से पारंपरिक आयामों को विशिष्ट रूप से पुनर्स्थापित करने की अनुमति मिलती है।

बोधगम्य विशेषता यह है कि यह सिद्धांत शास्त्रीय है और इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि प्लैंक स्थिरांक सिद्धांत का भाग कैसे होना चाहिए। यदि वांछित है, तो वास्तव में द्रव्यमान आयामों के अतिरिक्त सिद्धांत को पुनः तैयार किया जा सकता है। चूँकि, यह क्वांटम अदिश क्षेत्र के साथ संबंध को अपेक्षाकृत अस्पष्ट करने की व्यय पर हो सकता है। यह देखते हुए कि किसी के पास द्रव्यमान के आयाम हैं, प्लैंक के स्थिरांक को यहां अनिवार्य रूप से अपेक्षाकृत निश्चित संदर्भ राशि के रूप में माना जाता है, (आवश्यक रूप से परिमाणीकरण से जुड़ा नहीं है), इसलिए द्रव्यमान और व्युत्क्रम लंबाई के मध्य परिवर्तित करने के लिए उपयुक्त आयाम हैं।

प्रवर्धन आयाम

$φ$ का शास्त्रीय स्केलिंग आयाम, या द्रव्यमान आयाम, $Δ$ , निर्देशांक के पुनर्स्केलिंग के अंतर्गत क्षेत्र के परिवर्तन का वर्णन करता है:

x\rightarrow \lambda x

\phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.

संक्रियक की इकाइयां $ħ$ की इकाइयों के समान होती हैं और इसलिए संक्रियक में शून्य द्रव्यमान आयाम होता है। यह क्षेत्र $φ$ होने के प्रवर्धन आयाम को प्रयुक्त करता है:

\Delta ={\frac {D-2}{2}}.

अनुमापीय अपरिवर्तनीयता

विशिष्ट अर्थ है जिसमें कुछ अदिश क्षेत्र सिद्धांत अनुमापीय रूप से अपरिवर्तनीय हैं। जबकि उपरोक्त सभी फलन शून्य द्रव्यमान आयाम के लिए बनाए गए हैं। प्रवर्धन रूपांतरण के अंतर्गत सभी फलन अपरिवर्तनीय नहीं हैं:

x\rightarrow \lambda x

\phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.

सभी फलन अपरिवर्तनीय नहीं होने के कारण यह है कि सामान्यतः पैरामीटर m और $g n$ को निश्चित राशि के रूप में माना जाता है, जो उपरोक्त परिवर्तन के अंतर्गत पुन: अनुमापीय नहीं किए जाते हैं। अदिश क्षेत्र सिद्धांत के अनुमापीय अपरिवर्तनीयता होने की स्थिति तब स्पष्ट होती है जब संक्रियक में दिखाई देने वाले सभी पैरामीटर आयाम बिना राशि में होते है। दूसरे शब्दों में, स्केल अपरिवर्तनीय सिद्धांत वह है जिसमें कोई निश्चित लंबाई स्केल (या समकक्ष, द्रव्यमान स्केल) नहीं होती है।

$D$ स्थान समय आयामों के साथ अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए, एकमात्र आयाम बिना पैरामीटर $g n$ , $n$ = $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}2D⁄(D − 2)$ को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, $D$ = 4 में केवल $g 4$ शास्त्रीय रूप से आयामहीन है, और $D$ = 4 में एकमात्र शास्त्रीय पैमाने-अपरिवर्तनीय स्केलर क्षेत्र सिद्धांत द्रव्यमान रहित $φ$ सिद्धांत है।

चूँकि क्लासिकल अनुमापीय अपरिवर्तनीयता सामान्य रूप से क्वांटम अनुमापीय अपरिवर्तनीयता का संकेत नहीं देता है, क्योंकि इसमें पुनर्सामान्यीकरण समूह सम्मिलित है। जिसके लिए नीचे बीटा फलन का वर्णन देखें।

अनुरूप अपरिवर्तन

परिवर्तन है:

$x\rightarrow {\tilde {x}}(x)$

यदि परिवर्तन संतुष्ट हो तो इसे अनुरूप समरूपता कहा जाता है:

{\frac {\partial {\tilde {x^{\mu }}}}{\partial x^{\rho }}}{\frac {\partial {\tilde {x^{\nu }}}}{\partial x^{\sigma }}}\eta _{\mu \nu }=\lambda ^{2}(x)\eta _{\rho \sigma }

कुछ फलन $λ (x)$ के लिए है।

अनुरूप समूह में उपसमूहों के रूप में मीट्रिक की आइसोमेट्री $\eta _{\mu \nu }$ सम्मिलित होती है। दोलक (पोंकारे समूह) और ऊपर माने गए स्केलिंग परिवर्तन वास्तव में, पिछले अनुभाग में स्केल-अपरिवर्तनीय सिद्धांत भी अनुरूप-अपरिवर्तनीय हैं।

$φ$ ⁴ सिद्धांत

$φ$ ⁴ सिद्धांत अदिश क्षेत्र सिद्धांत में कई रोचक घटनाओं को दर्शाता है।

लाग्रंगियन घनत्व है:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}.

स्वतःसक्रिय समरूपता विभाजन

इस लाग्रंगियन में परिवर्तन $φ \to - φ$ के अंतर्गत ℤ₂ समरूपता है। यह समष्टि-समय समरूपता के विपरीत आंतरि क समरूपता का उदाहरण है।

यदि $m 2$ धनात्मक है, तो विभव इस प्रकार है:

$V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}$

मूल में न्यूनतम है। विलयन φ = 0, ℤ₂ समरूपता के अंतर्गत स्पष्ट रूप से अपरिवर्तनीय है।

इसके विपरीत यदि $m 2$ ऋणात्मक है, तो कोई सरलता से उस क्षमता को देख सकता है:

$\,V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}\!$

दो न्यूनतम हैं। इसे डबल वेल पोटेंशियल के रूप में जाना जाता है, और इस प्रकार के सिद्धांत में सबसे कम ऊर्जा वाले अवस्था (क्वांटम क्षेत्र सैद्धांतिक भाषा में निर्वात के रूप में जाना जाता है) फलन की ℤ₂ समरूपता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं हैं (वास्तव में यह दो फलन में से प्रत्येक को चित्रित करता है।) इस स्थिति में ℤ₂ समरूपता को स्वतः विभाजन कहा जाता है।

किंक विलयन

ऋणात्मक $m$ ² के साथ $φ$ ⁴ सिद्धांत में किंक विलयन है, जो सॉलिटॉन का विहित उदाहरण है। ऐसे विलयन का स्वरूप है:

\phi ({\vec {x}},t)=\pm {\frac {m}{2{\sqrt {\frac {g}{4!}}}}}\tanh \left[{\frac {m(x-x_{0})}{\sqrt {2}}}\right]

जहाँ x स्थानिक चरों में से है ( $φ$ को $t$ और शेष स्थानिक चरों से स्वतंत्र माना जाता है।) विलयन डबल फलन की क्षमता के दो भिन्न-भिन्न रिक्त स्थानों के मध्य प्रक्षेपित होता है। अपरिमित ऊर्जा के विलयन से निकलने बिना किंक को स्थिर विलयन में रूपांतरण संभव नहीं है और इसी कारण से किंक को D>2 के लिए स्थिर कहा जाता है। (अर्थात, एक से अधिक स्थानिक आयाम वाले सिद्धांत) के लिए, इस विलयन को डोमेन वॉल कहा जाता है।

किंक विलयन के साथ अदिश क्षेत्र सिद्धांत का अन्य प्रसिद्ध उदाहरण साइन-गॉर्डन सिद्धांत है।

समिश्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत

समिश्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत में, अदिश क्षेत्र वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त समिश्र संख्याओं में मान लेता है। समिश्र अदिश क्षेत्र स्पिन-0 कणों और आवेश वाले प्रतिकणों का प्रतिनिधित्व करता है। विचार की गई क्रिया सामान्यतः रूप ले लेती है:

{\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial _{\nu }\phi -V(|\phi |^{2})\right]

इसमें U(1) समतुल्य O(2) समरूपता है, जिसके अदिश क्षेत्र के स्थान पर घूर्णन $\phi \rightarrow e^{i\alpha }\phi$ , है कुछ वास्तविक चरण कोण $α$ के लिए है।

इसमें U(1) समतुल्य O(2) समरूपता है। जो अदिश क्षेत्र के स्थान पर $\phi \rightarrow e^{i\alpha }\phi$ है कुछ वास्तविक चरण कोण α के लिए घूर्णित है।

जहाँ तक वास्तविक अदिश क्षेत्र का उत्तर है, यदि m² ऋणात्मक है तो स्वत: समरूपता विखंडन पाया जाता है। यह गोल्डस्टोन की मैक्सिकन हैट क्षमता को उत्पन्न करता है जो V के बारे में 2π रेडियन द्वारा वास्तविक अदिश क्षेत्र की डबल-वेल क्षमता का घूर्णन है। $(\phi )$ अक्ष समरूपता विभाजन उच्च आयाम में होता है, अर्थात निर्वात का चयन असतत समरूपता के अतिरिक्त निरंतर U(1) समरूपता को विभाजित करता है। अदिश क्षेत्र के दो घटकों को बड़े पैमाने पर मोड और द्रव्यमान रहित गोल्डस्टोन बोसोन के रूप में पुन: रूपांतरित किया गया है।

O(N) सिद्धांत

समिश्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत को दो वास्तविक क्षेत्रों φ¹ = Re φ और φ² = Im φ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जो U(1) = O(2) आंतरिक समरूपता के सदिश प्रतिनिधित्व में परिवर्तित हो जाता है। चूँकि इस प्रकार के क्षेत्र आंतरिक समरूपता के अंतर्गत सदिश के रूप में परिवर्तित होते हैं फिर भी वे लोरेंत्ज़ अदिश होते हैं।

इसे O(N) समरूपता के सदिश प्रतिनिधित्व में परिवर्तित होने वाले N अदिश क्षेत्रों के सिद्धांत के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। O(N) अपरिवर्तनीय अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए लैग्रेंजियन सामान्यतः फॉर्म का होता है:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \cdot \partial _{\nu }\phi -V(\phi \cdot \phi )

उपयुक्त O(N)-अपरिवर्तनीयता आंतरिक उत्पाद का उपयोग करके लाग्रंगियन सिद्धांत को समिश्र सदिश क्षेत्रों के लिए भी व्यक्त किया जा सकता है। अर्थात $\phi \in \mathbb {C} ^{n}$ इस स्थिति में समरूपता समूह लाई समूह SU(N) है।

गेज-क्षेत्र युग्मक

जब अदिश क्षेत्र सिद्धांत को यांग-मिल्स सिद्धांत के लिए गेज अपरिवर्तनीय प्रकार से संबद्ध किया जाता है तो व्यक्ति को अर्धचालक का गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत प्राप्त होता है। वह सिद्धांतटोपोलॉजिकल सॉलिटॉन अर्धचालक में चक्रवात के अनुरूप हैं। मैक्सिकन टोपी की न्यूनतम क्षमता अर्धचालक के अनुक्रम पैरामीटर के अनुरूप है।

क्वांटम अदिश क्षेत्र सिद्धांत

इस खंड के लिए सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। अदिश क्षेत्र सिद्धांत का ए.मॉडर्न प्राइमर द्वितीय संस्करण है और यूएसए वेस्टव्यू संस्करण ISBN 0-201-30450-3, सीएच-1 है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्षेत्र और उनसे निर्मित सभी प्रेक्षणीयता को हिल्बर्ट समष्टि पर क्वांटम संक्रियकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह हिल्बर्ट समष्टि निर्वात स्थिति पर बनाया गया है और गतिशीलता क्वांटम हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा नियंत्रित होती है। जो धनात्मक-निश्चित संक्रियक जो निर्वात को नष्ट कर देता है। क्वांटम अदिश क्षेत्र सिद्धांत का निर्माण विहित परिमाणीकरण लेख में विस्तृत है, जो क्षेत्रों के मध्य विहित रूपान्तरण संबंधों पर निर्भर करता है। अनिवार्य रूप से ऊपर दिए गए (डिकॉउल्ड) सामान्य मोड के रूप में अदिश क्षेत्र में पुन: व्यवस्थित किया गया है या मानक विधि से परिमाणित किया गया है। इसलिए संबंधित क्वांटम संक्रियक क्षेत्र संबंधित फ़ॉक समष्टि पर कार्य करने वाले क्वांटम हार्मोनिक दोलित्र की अनंतता का वर्णन करता है।

संक्षेप में आधारित चर क्वांटम क्षेत्र $φ$ और इसकी विहित गति π हैं। ये दोनों संक्रियक-मूल्यवान क्षेत्र हर्मिटियन संक्रियक हैं। स्थानिक बिंदुओं पर x→, y→ और समान समय पर उनके विहित रूपान्तरण संबंध द्वारा दिए गए हैं:

{\begin{aligned}\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\phi \left({\vec {y}}\right)\right]=\left[\pi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=0,\\\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=i\delta \left({\vec {x}}-{\vec {y}}\right),\end{aligned}}

जबकि मुक्त हैमिल्टनियन (क्वांटम सिद्धांत) ऊपर के समान है:

H=\int d^{3}x\left[{1 \over 2}\pi ^{2}+{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}\right].

स्थानिक फूरियर: रूपांतरण गति समष्टि क्षेत्रों की ओर जाती है:

{\begin{aligned}{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\phi ({\vec {x}}),\\{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\pi ({\vec {x}})\end{aligned}}

जो रूपांतरण और निर्माण संचालकों का विश्लेषण करते हैं:

{\begin{aligned}a({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})+i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\\a^{\dagger }({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})-i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\end{aligned}}

जहाँ $E={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}$

ये संक्रियक कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

{\begin{aligned}\left[a({\vec {k}}_{1}),a({\vec {k}}_{2})\right]=\left[a^{\dagger }({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=0,\\\left[a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=(2\pi )^{3}2E\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2}).\end{aligned}}

स्थिति $|0\rangle$ को सभी संक्रियकों द्वारा समाप्त कर दिया जाता है जिसे नग्न वैक्यूम के रूप में पहचाना जाता है और संवेग k→ वाला कण निर्वात में $a^{\dagger }({\vec {k}})$ प्रारंभ करके बनाया जाता है।

निर्माण संचालकों के सभी संभावित संयोजनों को वैक्यूम में प्रयुक्त करने से संबंधित हिल्बर्ट समष्टि का निर्माण होता है। इस निर्माण को फॉक समष्टि कहा जाता है। हैमिल्टनियन द्वारा निर्वात को नष्ट कर दिया जाता है:

H=\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{\frac {1}{2}}a^{\dagger }({\vec {k}})a({\vec {k}}),

जहां विक अनुक्रम द्वारा शून्य-बिंदु ऊर्जा को विस्थापित कर दिया गया है। जिसके लिए विहित परिमाणीकरण देखें।

अंतःक्रिया हैमिल्टनियन को जोड़कर पारस्परिक प्रभाव को सम्मिलित किया जा सकता है। φ⁴ सिद्धांत के लिए यह विक अनुक्रमित शब्द g:φ4:/4 जोड़ने के अनुरूप है! हैमिल्टनियन के लिए और x पर एकीकृत करना अंतःक्रिया छवि में इस हैमिल्टनियन से प्रकीर्णन आयाम की गणना की जा सकती है। इनका निर्माण डायसन श्रृंखला के माध्यम से अस्तव्यस्तता सिद्धांत में निर्मित होते हैं जो समय अनुक्रम उत्पाद, या n-कण ग्रीन फलन $\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle$ जैसा कि डायसन श्रृंखला के लेख में बताया गया है। ग्रीन के फलनों को श्विंगर-डायसन समीकरण के विलयन के रूप में निर्मित फलन से भी प्राप्त किया जा सकता है।

फेनमैन पथ समाकलन

फेनमैन आरेख विस्तार फेनमैन पथ समाकलन सूत्रीकरण से भी प्राप्त किया जा सकता है।^[4] $φ$ में बहुपदों के समय क्रमित निर्वात प्रत्याशा मान जिसे n-कण मे ग्रीन फलन के रूप में जाना जाता है। सभी संभावित क्षेत्रों को एकीकृत करके निर्मित किया जाता है, जो बिना किसी बाहरी क्षेत्र के निर्वात प्रत्याशा मान द्वारा सामान्यीकृत होता है,

\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.

इन सभी ग्रीन फलानो को निर्मित फलन J(x)φ(x) में घातांक का विस्तार करके प्राप्त किया जा सकता है:

Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}J(x_{1})\cdots J(x_{n})\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle .

समय को काल्पनिक बनाने के लिए विक रोटेशन का उपयोग किया जा सकता है। चिन्ह को (++++) में परिवर्तित करना फिर फेनमैन समाकल को यूक्लिडियन समष्टि में सांख्यिकीय यांत्रिकी विभाजन फलन में परिवर्तित कर देता है:

Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left[{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right]}.

सामान्यतः यह नियत संवेग वाले कणों के प्रकीर्णन पर प्रयुक्त होता है, जिस स्थिति में फूरियर रूपांतरण उपयोगी होता है जो निम्न परिवर्तन देता है:

{\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int {d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{g \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.

जहाँ $\delta (x)$ डिराक डेल्टा फलन है।

सामान्यतः इस कार्यात्मक समाकल का मूल्यांकन करने के लिए मानक गति को घातीय कारकों के उत्पाद के रूप में लिखना है:

{\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-g/4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].

दूसरे दो घातीय कारकों को घात श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है और इस विस्तार के साहचर्य को क्वार्टिक प्रभाव के फेनमैन आरेख के माध्यम से आरैखिक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है।

g = 0 के साथ समाकल को अनंत रूप से कई प्राथमिक गॉसियन समाकलन के उत्पाद के रूप में माना जा सकता है। परिणाम को फेनमैन आरेखों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसकी गणना निम्नलिखित फेनमैन नियमों का उपयोग करके की जाती है:

प्रत्येक क्षेत्र ~φ(p) के n बिंदु यूक्लिडियन ग्रीन फलन को आरेख में बाहरी रेखा (अर्ध-शीर्ष) द्वारा दर्शाया गया है जो गति p के साथ संबद्ध है।
प्रत्येक शीर्ष को गुणक g द्वारा दर्शाया जाता है।
किसी दिए गए क्रम g^k पर n बाहरी रेखाओं और k शीर्षों वाले सभी आरेख इस प्रकार निर्मित होते हैं कि प्रत्येक शीर्ष में प्रवाह संवेग शून्य होता है। प्रत्येक आंतरिक रेखा को प्रचारक 1/(q² + m²) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां q उस रेखा के माध्यम से प्रवाहित गति है।
कोई भी अप्रतिबंधित संवेग सभी मान पर एकीकृत होता है।
परिणाम को समरूपता कारक द्वारा विभाजित किया जाता है जो कि इसकी सहसंबद्धता को परिवर्तित किए बिना आरेख की रेखाओं और शीर्षों को पुनर्व्यवस्थित करने की विधियों की संख्या है।
रिक्त समष्टि वाले आरेख को सम्मिलित न करें, जो अतिरिक्त किसी बाहरी रेखा के सम्बद्ध के उप आरेख हैं।

अंतिम नियम [0] से विभाजित करने के प्रभाव को ध्यान में रखता है। जो मिन्कोव्स्की-समष्टि फेनमैन नियम के समान हैं। इसके अतिरिक्त प्रत्येक शीर्ष को −ig द्वारा दर्शाया गया है जबकि प्रत्येक आंतरिक रेखा को प्रचारक i/(q²−m²+iε) द्वारा दर्शाया गया है, जहां ε शब्द मिन्कोव्स्की-समष्टि गॉसियन समाकल अभिसरण बनाने के लिए आवश्यक छोटे विक आवर्त का प्रतिनिधित्व करता है।

नवीनीकरण

अप्रतिबंधित संवेग पर समाकल, जिसे "लूप समाकलन" कहा जाता है। फेनमैन आरेख में सामान्यतः भिन्न हो जाते हैं। इसे सामान्यतः पुनर्सामान्यीकरण द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जो लैग्रैन्जियन में भिन्न-भिन्न प्रति-अवधि को इस समय से जोड़ने की प्रक्रिया है कि मूल लैग्रेंजियन और प्रति-अवधि से निर्मित आरेख परिमित हैं।^[5] प्रक्रिया में पुनर्सामान्यीकरण पैमाना प्रस्तुत किया जाता है। जिससे युग्मन स्थिरांक और द्रव्यमान इस पर निर्भर हो जाते हैं।

अनुमापीय λ पर युग्मन स्थिरांक $g$ की निर्भरता $λ$ को बीटा फलन (भौतिकी) $β (g)$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

\beta (g)=\lambda \,{\frac {\partial g}{\partial \lambda }}~.

ऊर्जा पैमाने पर इस निर्भरता को युग्मन पैरामीटर के रूप में जाना जाता है और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में इस व्यवस्थित पैमाने के निर्भरता के सिद्धांत को पुनर्संरचना समूह द्वारा वर्णित किया गया है।

बीटा-फलन की गणना सामान्यतः सन्निकटन योजना में की जाती है, सबसे सामान्य रूप से अस्तव्यस्तता सिद्धांत, जहां कोई यह मानता है कि युग्मन स्थिरांक छोटा है। इसके पश्चात कोई युग्मन पैरामीटर को ऊर्जा में विस्तार कर सकता है। और उच्च-क्रम नियमों को अपेक्षाकृत कम कर सकता है। इसी फेनमैन आरेख को लूप की संख्या के कारण उच्च लूप योगदान के रूप में भी जाना जाता है।

$φ$ ⁴ सिद्धांत के लिए लूप पर β-फलन है:

\beta (g)={\frac {3}{16\pi ^{2}}}g^{2}+O\left(g^{3}\right)~.

तथ्य यह है कि निम्नतम-क्रम अवधि के सामने संकेत धनात्मक है जो कि यह बताता है कि युग्मन स्थिरांक ऊर्जा के साथ बढ़ती है। यदि यह अनुक्रम बड़े युग्मों पर बना रहता है, तो यह क्वांटम तुच्छता से उत्पन्न होने वाली परिमित ऊर्जा पर लैंडौ ध्रुव की उपस्थिति का संकेत देता है। चूँकि प्रश्न का उत्तर केवल अविक्षोभ रूप से दिया जा सकता है, क्योंकि इसमें समिश्र युग्मन सम्मिलित है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को तुच्छ कहा जाता है, जब इसके बीटा फलन के माध्यम से गणना किए जाने वाले पुनर्सामान्यीकृत युग्मन शून्य हो जाता है। जब पराबैंगनी कटऑफ़ विस्थापित कर दी जाती है। जिसके परिणाम स्वरूप प्रचारक मुक्त कण बन जाता है और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत परस्पर क्रिया नहीं करता है।

$φ$ ⁴ सिद्धांत अंतःक्रिया के लिए माइकल आइज़ेनमैन ने सिद्ध किया कि समष्टि समय आयाम $D$ ≥ 5 के लिए सिद्धांत वास्तव में तुच्छ है।^[6] $D$ = 4 के लिए, तुच्छता को अभी तक जटिलता से सिद्ध किया जाना है, किन्तु समस्त गणनाओ ने इसके लिए जटिल प्रमाण प्रदान किए हैं। यह तथ्य महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम तुच्छता का उपयोग हिग्स बॉसन द्रव्यमान जैसे पैरामीटर को बाध्य करने या पूर्वानुमानित करने के लिए भी किया जा सकता है। यह स्पर्शोन्मुख सुरक्षा परिदृश्यों में अनुमानित हिग्स द्रव्यमान भी उत्पन्न कर सकता है।^[7]

यह भी देखें

पुनर्सामान्यीकरण
क्वांटम तुच्छता
लैंडौ पोल
अनुमापीय अपरिवर्तनीयता (सीएफटी विवरण)
अदिश विद्युत् गतिकी

↑ i.e., it transforms under the trivial $(0, 0)$ -representation of the Lorentz group, leaving the value of the field at any spacetime point unchanged, in contrast to a vector or tensor field, or more generally, spinor-tensors, whose components undergo a mix under Lorentz transformations. Since particle or field spin by definition is determined by the Lorentz representation under which it transforms, all scalar (and pseudoscalar) fields and particles have spin zero, and are as such bosonic by the spin statistics theorem. See Weinberg 1995, Chapter 5
↑ This means it is not invariant under parity transformations which invert the spatial directions, distinguishing it from a true scalar, which is parity-invariant.See Weinberg 1998, Chapter 19
↑ Brown, Lowell S. (1994). Quantum Field Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46946-3. Ch 3.
↑ A general reference for this section is Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second ed.). USA: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3.
↑ See the previous reference, or for more detail, Itzykson, Zuber; Zuber, Jean-Bernard (2006-02-24). Quantum Field Theory. Dover. ISBN 0-07-032071-3.
↑ Aizenman, M. (1981). "Proof of the Triviality of ϕ⁴
_d Field Theory and Some Mean-Field Features of Ising Models for d > 4". Physical Review Letters. 47 (1): 1–4. Bibcode:1981PhRvL..47....1A. doi:10.1103/PhysRevLett.47.1.
↑ Callaway, D. J. E. (1988). "Triviality Pursuit: Can Elementary Scalar Particles Exist?". Physics Reports. 167 (5): 241–320. Bibcode:1988PhR...167..241C. doi:10.1016/0370-1573(88)90008-7.

संदर्भ

Peskin, M.; Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. ISBN 978-0201503975.
Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields. Vol. I. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7.
Weinberg, S. (1998). The Quantum Theory of Fields. Vol. II. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55002-5.
Srednicki, M. (2007). Quantum Field Theory. Cambridge University Press. ISBN 9780521864497.
Zinn-Justin, J (2002). Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Oxford University Press. ISBN 978-0198509233.

बाहरी संबंध

The Conceptual Basis of Quantum Field Theory Click on the link for Chap. 3 to find an extensive, simplified introduction to scalars in relativistic quantum mechanics and quantum field theory.

[1] .e., it transforms under the trivial $(0, 0)$ -representation of the Lorentz group, leaving the value of the field at any spacetime point unchanged, in contrast to a vector or tensor field, or more generally, spinor-tensors, whose components undergo a mix under Lorentz transformations. Since particle or field spin by definition is determined by the Lorentz representation under which it transforms, all scalar (and pseudoscalar) fields and particles have spin zero, and are as such bosonic by the spin statistics theorem. See Weinberg 1995, Chapter 5

[2] This means it is not invariant under parity transformations which invert the spatial directions, distinguishing it from a true scalar, which is parity-invariant.See Weinberg 1998, Chapter 19

[3] Brown, Lowell S. (1994). Quantum Field Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46946-3. Ch 3.

[4] A general reference for this section is Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second ed.). USA: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3.

[5] See the previous reference, or for more detail, Itzykson, Zuber; Zuber, Jean-Bernard (2006-02-24). Quantum Field Theory. Dover. ISBN 0-07-032071-3.

[Aiz81-6] Aizenman, M. (1981). "Proof of the Triviality of ϕ⁴
_d Field Theory and Some Mean-Field Features of Ising Models for d > 4". Physical Review Letters. 47 (1): 1–4. Bibcode:1981PhRvL..47....1A. doi:10.1103/PhysRevLett.47.1.

[TrivPurs-7] Callaway, D. J. E. (1988). "Triviality Pursuit: Can Elementary Scalar Particles Exist?". Physics Reports. 167 (5): 241–320. Bibcode:1988PhR...167..241C. doi:10.1016/0370-1573(88)90008-7.

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