पुनर्सामान्यीकरण समूह

सैद्धांतिक भौतिकी में, पुनर्सामान्यीकरण समूह (आरजी) शब्द एक औपचारिक उपकरण को संदर्भित करता है जो विभिन्न स्केल (विश्लेषणात्मक उपकरण) पर देखे गए भौतिक प्रणाली के परिवर्तनों की व्यवस्थित जांच की अनुमति देता है। कण भौतिकी में, यह अंतर्निहित बल कानूनों (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में संहिताबद्ध) में परिवर्तन को दर्शाता है क्योंकि जिस ऊर्जा पैमाने पर भौतिक प्रक्रियाएं होती हैं वह भिन्न होती है, ऊर्जा/संवेग और संकल्प दूरी के पैमाने अनिश्चितता सिद्धांत के तहत प्रभावी ढंग से संयुग्मित होते हैं।

पैमाने में परिवर्तन को स्केल अपरिवर्तनीयता कहा जाता है। पुनर्सामान्यीकरण समूह स्केल इनवेरिएंस और कन्फॉर्मल इनवेरिएंस से घनिष्ठ रूप से संबंधित है, समरूपता जिसमें एक प्रणाली सभी पैमानों (तथाकथित आत्म-समानता) पर समान दिखाई देती है।

जैसे-जैसे पैमाना बदलता है, ऐसा लगता है जैसे कोई सिस्टम को देखने वाले काल्पनिक माइक्रोस्कोप की आवर्धन शक्ति को बदल रहा है। तथाकथित पुनर्सामान्यीकरण सिद्धांतों में, एक पैमाने पर सिस्टम आम तौर पर स्वयं की समान प्रतियों से युक्त होता है जब छोटे पैमाने पर देखा जाता है, जिसमें सिस्टम के घटकों का वर्णन करने वाले विभिन्न पैरामीटर होते हैं। घटक, या मौलिक चर, परमाणुओं, प्राथमिक कणों, परमाणु स्पिन आदि से संबंधित हो सकते हैं। सिद्धांत के पैरामीटर आमतौर पर घटकों की बातचीत का वर्णन करते हैं। ये परिवर्तनशील युग्मन स्थिरांक हो सकते हैं जो विभिन्न बलों की ताकत, या स्वयं द्रव्यमान मापदंडों को मापते हैं। जैसे ही कोई व्यक्ति कम दूरी पर जाता है, घटक स्वयं अधिक समान घटकों से बने प्रतीत हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स (क्यूईडी) में, एक इलेक्ट्रॉन इलेक्ट्रॉन और पॉज़िट्रॉन जोड़े और फोटॉन से बना प्रतीत होता है, क्योंकि कोई इसे बहुत कम दूरी पर उच्च रिज़ॉल्यूशन पर देखता है। इतनी कम दूरी पर इलेक्ट्रॉन में बड़ी दूरी पर दिखाई देने वाले तैयार कण की तुलना में थोड़ा अलग विद्युत आवेश होता है, और विद्युत आवेश के मूल्य में यह परिवर्तन, या चलना, पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण द्वारा निर्धारित होता है।

इतिहास

स्केल परिवर्तन और स्केल इनवेरिएंस का विचार भौतिकी में पुराना है: पाइथागोरसवाद, यूक्लिड और गैलीलियो तक स्केलिंग तर्क आम थे। वे 19वीं सदी के अंत में फिर से लोकप्रिय हो गए, शायद पहला उदाहरण अशांति को समझाने के तरीके के रूप में ओसबोर्न रेनॉल्ड्स की बढ़ी हुई चिपचिपाहट का विचार है।

पुनर्सामान्यीकरण समूह प्रारंभ में कण भौतिकी में तैयार किया गया था, लेकिन आजकल इसके अनुप्रयोग ठोस-अवस्था भौतिकी, द्रव यांत्रिकी, भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान और यहां तक ​​कि नैनो प्रौद्योगिकी तक भी विस्तारित हैं। एक प्रारंभिक लेख 1953 में अर्न्स्ट स्टुकेलबर्ग और आंद्रे पीटरमैन द्वारा क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में इस विचार की आशा की गई है। स्टुकेलबर्ग और पीटरमैन ने वैचारिक रूप से मैदान की शुरुआत की। उन्होंने नोट किया कि पुनर्सामान्यीकरण परिवर्तनों के एक समूह (गणित) को प्रदर्शित करता है जो मात्राओं को नंगे शब्दों से काउंटर शब्दों में स्थानांतरित करता है। उन्होंने क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स| में एक फ़ंक्शन h(e) पेश किया क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स (QED), जिसे अब बीटा-फ़ंक्शन#क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स कहा जाता है (नीचे देखें)।

शुरुआत

मरे गेल-मैन और फ्रांसिस ई. लो ने 1954 में QED में बड़े पैमाने पर परिवर्तन के विचार को सीमित कर दिया, जो शारीरिक रूप से सबसे महत्वपूर्ण हैं, और उच्च ऊर्जा पर फोटॉन प्रसारक के स्पर्शोन्मुख रूपों पर केंद्रित हैं। उन्होंने उस सिद्धांत की स्केलिंग संरचना की सादगी की सराहना करके, QED में विद्युत चुम्बकीय युग्मन की भिन्नता निर्धारित की। इस प्रकार उन्होंने पाया कि ऊर्जा पैमाने μ पर युग्मन पैरामीटर g(μ) प्रभावी रूप से (एक-आयामी अनुवाद) समूह समीकरण द्वारा दिया गया है

$g(\mu )=G^{-1}\left(\left({\frac {\mu }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)$

या समकक्ष, $G\left(g(\mu )\right)=G(g(M))\left({\mu }/{M}\right)^{d}$, कुछ फ़ंक्शन जी के लिए (अनिर्दिष्ट - आजकल फ्रांज वेगनर का स्केलिंग फ़ंक्शन कहा जाता है) और एक स्थिरांक डी, एक संदर्भ पैमाने एम पर युग्मन जी (एम) के संदर्भ में।

गेल-मैन और लो ने इन परिणामों में महसूस किया कि प्रभावी पैमाने को मनमाने ढंग से μ के रूप में लिया जा सकता है, और किसी अन्य पैमाने पर सिद्धांत को परिभाषित करने के लिए भिन्न हो सकता है:

$g(\kappa )=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{\mu }}\right)^{d}G(g(\mu ))\right)=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)$

आरजी का सार यह समूह संपत्ति है: जैसे-जैसे स्केल μ भिन्न होता है, सिद्धांत स्वयं की एक समान प्रतिकृति प्रस्तुत करता है, और किसी भी पैमाने को किसी अन्य पैमाने से समान रूप से समूह कार्रवाई द्वारा, कपलिंग की एक औपचारिक संक्रमणीय संयुग्मता द्वारा पहुंचा जा सकता है। गणितीय अर्थ में (श्रोडर का समीकरण)।

इस (परिमित) समूह समीकरण और इसकी स्केलिंग संपत्ति के आधार पर, गेल-मैन और लो फिर अनंत परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित कर सकते थे, और गणितीय प्रवाह फ़ंक्शन के आधार पर एक कम्प्यूटेशनल विधि का आविष्कार किया ψ(g) = G d/(∂G/∂g) युग्मन पैरामीटर जी का, जिसे उन्होंने पेश किया। स्टुकेलबर्ग और पीटरमैन के फ़ंक्शन h(e) की तरह, उनका फ़ंक्शन एक विभेदक समीकरण, पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण के माध्यम से ऊर्जा पैमाने μ में एक छोटे से बदलाव के संबंध में युग्मन g(μ) के अंतर परिवर्तन को निर्धारित करता है:

$\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }}=\psi (g)=\beta (g)$

आधुनिक नाम भी दर्शाया गया है, बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी), जो कर्टिस कैलन|सी द्वारा प्रस्तुत किया गया है। कैलन और कर्ट सिमानज़िक|के. 1970 में सिमानज़िक।चूंकि यह जी का एक मात्र कार्य है, इसके गड़बड़ी अनुमान के जी में एकीकरण युग्मन के पुनर्सामान्यीकरण प्रक्षेपवक्र के विनिर्देशन की अनुमति देता है, यानी, ऊर्जा के साथ इसकी भिन्नता, प्रभावी रूप से इस गड़बड़ी सन्निकटन में फ़ंक्शन जी। पुनर्सामान्यीकरण समूह की भविष्यवाणी (सीएफ. स्टुकेलबर्ग-पीटरमैन और गेल-मैन-लो वर्क्स) की पुष्टि 40 साल बाद एलईपी त्वरक प्रयोगों में की गई: क्यूईडी के फाइन-स्ट्रक्चर स्थिरांक | फाइन स्ट्रक्चर स्थिरांक को मापा गया था इसके आसपास 1⁄127 200 GeV के करीब ऊर्जा पर, मानक निम्न-ऊर्जा भौतिकी मान के विपरीत 1⁄137 .

गहरी समझ

पुनर्सामान्यीकरण समूह क्वांटम क्षेत्र चर के पुनर्सामान्यीकरण से उभरता है, जिसे आम तौर पर क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में अनन्तता की समस्या का समाधान करना होता है। परिमित भौतिक मात्रा प्राप्त करने के लिए क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की अनंतताओं को व्यवस्थित रूप से संभालने की इस समस्या को QED के लिए रिचर्ड फेनमैन, जूलियन श्विंगर और शिनिचिरो टोमोनागा द्वारा हल किया गया था, जिन्हें इन योगदानों के लिए 1965 का नोबेल पुरस्कार मिला था। उन्होंने द्रव्यमान और आवेश पुनर्सामान्यीकरण के सिद्धांत को प्रभावी ढंग से तैयार किया, जिसमें गति पैमाने में अनंतता को एक अति-बड़े नियमितीकरण (भौतिकी), Λ द्वारा कटऑफ (भौतिकी) किया जाता है।

भौतिक मात्राओं की निर्भरता, जैसे कि विद्युत आवेश या इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान, पैमाने Λ पर छिपी होती है, प्रभावी रूप से लंबी दूरी के पैमाने के लिए बदली जाती है जिस पर भौतिक मात्राएँ मापी जाती हैं, और, परिणामस्वरूप, सभी अवलोकन योग्य मात्राएँ अनंत के लिए भी परिमित हो जाती हैं। गेल-मैन और लो ने इन परिणामों में इस प्रकार महसूस किया कि, असीम रूप से, जबकि जी में एक छोटा सा परिवर्तन उपरोक्त आरजी समीकरण दिए गए ψ(g) द्वारा प्रदान किया जाता है, आत्म-समानता इस तथ्य से व्यक्त की जाती है कि ψ(g) स्पष्ट रूप से केवल सिद्धांत के पैरामीटर पर निर्भर करता है, न कि स्केल μ पर। नतीजतन, उपरोक्त पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण को (जी और इस प्रकार) जी(μ) के लिए हल किया जा सकता है।

पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया के भौतिक अर्थ और सामान्यीकरण की गहरी समझ, जो पारंपरिक पुनर्सामान्यीकरण सिद्धांतों के फैलाव समूह से परे जाती है, उन तरीकों पर विचार करती है जहां लंबाई के व्यापक रूप से विभिन्न पैमाने एक साथ दिखाई देते हैं। यह संघनित पदार्थ भौतिकी से आया है: 1966 में लियो पी. कडानोफ़ के पेपर ने ब्लॉक-स्पिन पुनर्सामान्यीकरण समूह का प्रस्ताव रखा था। अवरोधन विचार बड़ी दूरी पर सिद्धांत के घटकों को कम दूरी पर घटकों के समुच्चय के रूप में परिभाषित करने का एक तरीका है।

इस दृष्टिकोण ने वैचारिक बिंदु को कवर किया और केनेथ जी विल्सन के व्यापक महत्वपूर्ण योगदान में पूर्ण कम्प्यूटेशनल सामग्री दी गई। विल्सन के विचारों की शक्ति को 1975 में लंबे समय से चली आ रही समस्या, कोंडो प्रभाव के रचनात्मक पुनरावृत्तीय पुनर्सामान्यीकरण समाधान द्वारा प्रदर्शित किया गया था। साथ ही 1971 में दूसरे क्रम के चरण संक्रमण और महत्वपूर्ण घटनाओं के सिद्धांत में उनकी नई पद्धति के पूर्ववर्ती मौलिक विकास। इन निर्णायक योगदानों के लिए उन्हें 1982 में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया।

सुधार

इस बीच, कण भौतिकी में आरजी को 1970 में कॉलन और सिमानज़िक द्वारा अधिक व्यावहारिक शब्दों में पुन: तैयार किया गया था। उपरोक्त बीटा फ़ंक्शन, जो स्केल के साथ युग्मन पैरामीटर के चलने का वर्णन करता है, को कैनोनिकल ट्रेस विसंगति की मात्रा में भी पाया गया, जो एक क्षेत्र सिद्धांत में स्केल (फैलाव) समरूपता के क्वांटम-मैकेनिकल ब्रेकिंग का प्रतिनिधित्व करता है। मानक मॉडल की स्थापना के साथ 1970 के दशक में कण भौतिकी में आरजी के अनुप्रयोगों की संख्या में वृद्धि हुई।

1973 में, यह पता चला कि रंगीन क्वार्कों की परस्पर क्रिया के सिद्धांत, जिसे क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स कहा जाता है, में नकारात्मक बीटा फ़ंक्शन था। इसका मतलब यह है कि युग्मन का प्रारंभिक उच्च-ऊर्जा मान एक विशेष मान उत्पन्न करेगा μ जिस पर कपलिंग फट जाती है (अलग हो जाती है)। यह विशेष मान मजबूत युग्मन स्थिरांक#QCD और स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता, युग्मन स्थिरांक#QCD स्केल|μ = Λ_QCD और लगभग 200 MeV पर होता है। इसके विपरीत, युग्मन बहुत उच्च ऊर्जा (स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता) पर कमजोर हो जाता है, और क्वार्क बिंदु-समान कणों के रूप में, गहरे अकुशल प्रकीर्णन में देखने योग्य हो जाते हैं, जैसा कि फेनमैन-ब्योर्केन स्केलिंग द्वारा अनुमान लगाया गया था। QCD को कणों की मजबूत अंतःक्रिया को नियंत्रित करने वाले क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के रूप में स्थापित किया गया था।

मोमेंटम स्पेस आरजी भी ठोस अवस्था भौतिकी में एक उच्च विकसित उपकरण बन गया, लेकिन गड़बड़ी सिद्धांत के व्यापक उपयोग से बाधा उत्पन्न हुई, जिसने सिद्धांत को दृढ़ता से सहसंबद्ध प्रणालियों में सफल होने से रोक दिया।

अनुरूप समरूपता

अनुरूप समरूपता बीटा फ़ंक्शन के लुप्त होने से जुड़ी है। यह स्वाभाविक रूप से हो सकता है यदि युग्मन स्थिरांक को एक निश्चित बिंदु की ओर आकर्षित किया जाता है, जिस पर β(g) = 0 होता है। QCD में, निश्चित बिंदु कम दूरी पर होता है जहां g → 0 होता है और इसे (क्वांटम तुच्छता) पराबैंगनी निश्चित बिंदु कहा जाता है। शीर्ष क्वार्क जैसे भारी क्वार्क के लिए, द्रव्यमान देने वाले हिग्स बॉसन का युग्मन एक निश्चित गैर-शून्य (गैर-तुच्छ) अवरक्त निश्चित बिंदु की ओर चलता है, जिसकी पहली भविष्यवाणी पेंडलटन और रॉस (1981) ने की थी। और सी. टी. हिल. शीर्ष क्वार्क युकावा युग्मन मानक मॉडल के अवरक्त निश्चित बिंदु से थोड़ा नीचे स्थित है, जो अनुक्रमिक भारी हिग्स बोसॉन जैसे अतिरिक्त नए भौतिकी की संभावना का सुझाव देता है।

स्ट्रिंग सिद्धांत में, स्ट्रिंग वर्ल्ड-शीट का अनुरूप अपरिवर्तनीयता एक मौलिक समरूपता है: β = 0 एक आवश्यकता है। यहां, β अंतरिक्ष-समय की ज्यामिति का एक कार्य है जिसमें स्ट्रिंग चलती है। यह स्ट्रिंग सिद्धांत की अंतरिक्ष-समय आयामीता को निर्धारित करता है और ज्यामिति पर आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के समीकरणों को लागू करता है। स्ट्रिंग सिद्धांत और भव्य एकीकरण के सिद्धांतों के लिए आरजी का मौलिक महत्व है।

यह संघनित पदार्थ भौतिकी में महत्वपूर्ण घटनाओं के अंतर्निहित आधुनिक प्रमुख विचार भी है। दरअसल, आरजी आधुनिक भौतिकी के सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक बन गया है। इसका उपयोग अक्सर मोंटे कार्लो पद्धति के साथ संयोजन में किया जाता है।

ब्लॉक स्पिन

यह खंड शैक्षणिक रूप से आरजी की एक तस्वीर पेश करता है जिसे समझना सबसे आसान हो सकता है: ब्लॉक स्पिन आरजी, जिसे 1966 में लियो पी. कडानोफ़ द्वारा तैयार किया गया था।

एक 2डी ठोस पर विचार करें, जो एक पूर्ण वर्ग सरणी में परमाणुओं का एक समूह है, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है।

मान लें कि परमाणु आपस में केवल अपने निकटतम पड़ोसियों के साथ बातचीत करते हैं, और सिस्टम एक दिए गए तापमान पर है T. उनकी परस्पर क्रिया की शक्ति को एक निश्चित युग्मन स्थिरांक द्वारा निर्धारित किया जाता है J. हैमिल्टनियन का कहना है कि सिस्टम की भौतिकी को एक निश्चित सूत्र द्वारा वर्णित किया जाएगा H(T, J).

अब ठोस को 2×2 वर्ग के ब्लॉकों में विभाजित करने के लिए आगे बढ़ें; हम सिस्टम को ब्लॉक वेरिएबल्स के संदर्भ में वर्णित करने का प्रयास करते हैं, यानी वे वेरिएबल जो ब्लॉक के औसत व्यवहार का वर्णन करते हैं। आगे मान लीजिए कि, कुछ भाग्यशाली संयोग से, ब्लॉक चर के भौतिकी को एक ही तरह के सूत्र द्वारा वर्णित किया गया है, लेकिन इसके लिए अलग-अलग मान हैं T और J : H(T′, J′). (सामान्य तौर पर यह बिल्कुल सच नहीं है, लेकिन अक्सर यह एक अच्छा पहला अनुमान होता है।)

शायद, प्रारंभिक समस्या को हल करना बहुत कठिन था, क्योंकि बहुत सारे परमाणु थे। अब, पुनर्सामान्यीकृत समस्या में हमारे पास उनमें से केवल एक चौथाई हैं। लेकिन अब क्यों रुकें? उसी प्रकार की एक और पुनरावृत्ति की ओर ले जाता है H(T",J"), और परमाणुओं का केवल सोलहवां हिस्सा। हम प्रत्येक आरजी चरण के साथ अवलोकन पैमाने को बढ़ा रहे हैं।

बेशक, सबसे अच्छा विचार यह है कि इसे तब तक दोहराया जाए जब तक कि केवल एक बहुत बड़ा ब्लॉक न रह जाए। चूंकि सामग्री के किसी भी वास्तविक नमूने में परमाणुओं की संख्या बहुत बड़ी है, यह कमोबेश आरजी परिवर्तन के "लंबी दूरी" व्यवहार को खोजने के बराबर है जो लिया गया था (T,J) → (T′,J′) और (T′, J′) → (T", J"). अक्सर, जब कई बार दोहराया जाता है, तो यह आरजी परिवर्तन एक निश्चित संख्या में निश्चित बिंदुओं की ओर ले जाता है।

अधिक ठोस होने के लिए, एक चुंबकीय प्रणाली (उदाहरण के लिए, आइसिंग मॉडल) पर विचार करें, जिसमें J युग्मन पड़ोसी स्पिन (भौतिकी) के समानांतर होने की प्रवृत्ति को दर्शाता है। सिस्टम का कॉन्फ़िगरेशन ऑर्डरिंग के बीच ट्रेडऑफ़ का परिणाम है J अवधि और तापमान का विकारकारी प्रभाव।

इस प्रकार के कई मॉडलों के लिए तीन निश्चित बिंदु हैं:

1. T = 0 और J → ∞. इसका मतलब यह है कि, सबसे बड़े आकार में, तापमान महत्वहीन हो जाता है, यानी विकार कारक गायब हो जाता है। इस प्रकार, बड़े पैमाने पर, सिस्टम व्यवस्थित प्रतीत होता है। हम लौहचुम्बकीय चरण में हैं।
2. T → ∞ और J → 0. बिल्कुल विपरीत; यहां तापमान हावी है और सिस्टम बड़े पैमाने पर अव्यवस्थित है।
3. उनके बीच एक गैरतुच्छ बिंदु, T = T_c और J = J_c. इस बिंदु पर, पैमाने बदलने से भौतिकी नहीं बदलती, क्योंकि प्रणाली भग्न अवस्था में है। यह क्यूरी बिंदु चरण संक्रमण से मेल खाता है, और इसे महत्वपूर्ण बिंदु (थर्मोडायनामिक्स) भी कहा जाता है।

इसलिए, यदि हमें दिए गए मानों के साथ एक निश्चित सामग्री दी जाती है T और J, सिस्टम के बड़े पैमाने पर व्यवहार का पता लगाने के लिए हमें बस जोड़ी को तब तक दोहराना है जब तक हमें संबंधित निश्चित बिंदु नहीं मिल जाता।

प्राथमिक सिद्धांत

अधिक तकनीकी शब्दों में, आइए मान लें कि हमारे पास एक निश्चित फ़ंक्शन द्वारा वर्णित एक सिद्धांत है $Z$ राज्य चर के $\{s_{i}\}$ और युग्मन स्थिरांक का एक निश्चित सेट $\{J_{k}\}$. यह फ़ंक्शन एक विभाजन फ़ंक्शन (क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत), एक एक्शन (भौतिकी), एक हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) आदि हो सकता है। इसमें सिस्टम के भौतिकी का संपूर्ण विवरण शामिल होना चाहिए।

अब हम राज्य चर के एक निश्चित अवरोधक परिवर्तन पर विचार करते हैं $\{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}$, की संख्या ${\tilde {s}}_{i}$ की संख्या से कम होना चाहिए $s_{i}$. आइए अब पुनः लिखने का प्रयास करें $Z$ के संदर्भ में ही कार्य करें ${\tilde {s}}_{i}$. यदि यह मापदंडों में एक निश्चित परिवर्तन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, $\{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}$, तो सिद्धांत को पुनर्सामान्यीकरण योग्य कहा जाता है।

भौतिकी के अधिकांश मौलिक सिद्धांत जैसे कि क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स, क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स और विद्युत कमजोर बल | इलेक्ट्रो-कमजोर इंटरैक्शन, लेकिन गुरुत्वाकर्षण नहीं, बिल्कुल पुनर्सामान्यीकरण योग्य हैं। इसके अलावा, संघनित पदार्थ भौतिकी में अधिकांश सिद्धांत अतिचालकता से लेकर द्रव अशांति तक, लगभग पुनर्सामान्यीकरण योग्य हैं।

मापदंडों में परिवर्तन एक निश्चित बीटा फ़ंक्शन द्वारा कार्यान्वित किया जाता है: $\{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})$, जिसके बारे में कहा जाता है कि यह एक पुनर्सामान्यीकरण समूह प्रवाह (या आरजी प्रवाह) को प्रेरित करता है $J$-अंतरिक्ष। के मूल्य $J$ प्रवाह के अंतर्गत रनिंग कपलिंग कहलाते हैं।

जैसा कि पिछले अनुभाग में कहा गया था, आरजी प्रवाह में सबसे महत्वपूर्ण जानकारी इसके निश्चित बिंदु हैं। बड़े पैमाने पर सिस्टम की संभावित स्थूल अवस्थाएँ, निश्चित बिंदुओं के इस सेट द्वारा दी जाती हैं। यदि ये निश्चित बिंदु एक मुक्त क्षेत्र सिद्धांत के अनुरूप हैं, तो सिद्धांत को क्वांटम तुच्छता प्रदर्शित करने के लिए कहा जाता है, जिसमें क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स के रूप में लैंडौ पोल कहा जाता है। एक के लिए φ⁴इंटरेक्शन, माइकल एज़ेनमैन ने साबित किया कि यह सिद्धांत वास्तव में अंतरिक्ष-समय आयाम के लिए तुच्छ है D ≥ 5. के लिए D = 4, तुच्छता को अभी भी कठोरता से सिद्ध किया जाना बाकी है (लंबित हाल ही में arxiv को प्रस्तुत करना), लेकिन क्वांटम तुच्छता ने इसके लिए मजबूत सबूत प्रदान किए हैं। यह तथ्य महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम तुच्छता का उपयोग असम्बद्ध रूप से सुरक्षित गुरुत्वाकर्षण # हिग्स बोसोन परिदृश्यों के भौतिकी अनुप्रयोगों में हिग्स बोसोन द्रव्यमान जैसे मापदंडों को बाध्य करने या भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जा सकता है। लैटिस गेज सिद्धांत#क्वांटम तुच्छता के अध्ययन में कई निश्चित बिंदु दिखाई देते हैं, लेकिन इनसे जुड़े क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों की प्रकृति एक खुला प्रश्न बनी हुई है। चूँकि ऐसी प्रणालियों में आरजी परिवर्तन हानिपूर्ण हैं (अर्थात: चर की संख्या घट जाती है - एक अलग संदर्भ में उदाहरण के रूप में देखें, हानिपूर्ण डेटा संपीड़न), किसी दिए गए आरजी परिवर्तन के लिए व्युत्क्रम होने की आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार, ऐसी हानिपूर्ण प्रणालियों में, पुनर्सामान्यीकरण समूह, वास्तव में, एक अर्धसमूह है, क्योंकि हानिपूर्णता का तात्पर्य है कि प्रत्येक तत्व के लिए कोई अद्वितीय व्युत्क्रम नहीं है।

प्रासंगिक और अप्रासंगिक ऑपरेटर और सार्वभौमिकता वर्ग

See also: Universality class, Dangerously irrelevant operator, Phase transition § Critical exponents and universality classes, and Scale invariance § CFT description

एक निश्चित अवलोकनीय पर विचार करें Aआरजी परिवर्तन से गुजर रही एक भौतिक प्रणाली का। सिस्टम की लंबाई के पैमाने के छोटे से बड़े होने पर अवलोकन योग्य का परिमाण स्केलिंग कानून के लिए अवलोकन योग्य (ओं) के महत्व को निर्धारित करता है:

If its magnitude ...	then the observable is ...
always increases	relevant
always decreases	irrelevant
other	marginal

सिस्टम के स्थूल व्यवहार का वर्णन करने के लिए एक प्रासंगिक अवलोकन की आवश्यकता है; अप्रासंगिक अवलोकनों की आवश्यकता नहीं है। सीमांत अवलोकनों को ध्यान में रखने की आवश्यकता हो भी सकती है और नहीं भी। एक उल्लेखनीय व्यापक तथ्य यह है कि अधिकांश अवलोकन अप्रासंगिक हैं, अर्थात, अधिकांश प्रणालियों में स्थूल भौतिकी पर केवल कुछ अवलोकन योग्य वस्तुओं का वर्चस्व है।

उदाहरण के तौर पर, सूक्ष्म भौतिकी में, कार्बन-12 परमाणुओं के एक मोल (इकाई) से युक्त एक प्रणाली का वर्णन करने के लिए हमें 10 के क्रम की आवश्यकता होती है²³ (एवोगैड्रो स्थिरांक) चर, जबकि इसे एक स्थूल प्रणाली (12 ग्राम कार्बन-12) के रूप में वर्णित करने के लिए हमें केवल कुछ की आवश्यकता है।

विल्सन के आरजी दृष्टिकोण से पहले, समझाने के लिए एक आश्चर्यजनक अनुभवजन्य तथ्य था: चुंबकीय प्रणाली, सुपरफ्लुइड संक्रमण (लैम्ब्डा संक्रमण), मिश्र धातु भौतिकी इत्यादि जैसी बहुत ही असमान घटनाओं में महत्वपूर्ण घातांक (यानी, दूसरे क्रम के चरण संक्रमण के पास कई मात्राओं की कम-तापमान निर्भरता के घातांक) का संयोग। इसलिए सामान्य तौर पर, चरण संक्रमण के निकट एक प्रणाली की थर्मोडायनामिक विशेषताएं केवल छोटी संख्या में चर पर निर्भर करती हैं, जैसे कि आयामीता और समरूपता, लेकिन इसके प्रति असंवेदनशील हैं। प्रणाली के अंतर्निहित सूक्ष्म गुणों का विवरण।

स्पष्ट रूप से काफी भिन्न भौतिक प्रणालियों के लिए महत्वपूर्ण प्रतिपादकों का यह संयोग, जिसे सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली) कहा जाता है, को पुनर्सामान्यीकरण समूह का उपयोग करके आसानी से समझाया जा सकता है, यह प्रदर्शित करके कि व्यक्तिगत ठीक-पैमाने के घटकों के बीच घटनाओं में अंतर अप्रासंगिक अवलोकनों द्वारा निर्धारित किया जाता है, जबकि प्रासंगिक अवलोकनों को आम तौर पर साझा किया जाता है। इसलिए कई स्थूल घटनाओं को प्रासंगिक अवलोकनों के साझा सेटों द्वारा निर्दिष्ट 'सार्वभौमिकता वर्गों' के एक छोटे समूह में बांटा जा सकता है।

मोमेंटम स्पेस

व्यवहार में, पुनर्सामान्यीकरण समूह दो मुख्य स्वादों में आते हैं। ऊपर बताई गई कडानोफ़ तस्वीर मुख्य रूप से तथाकथित वास्तविक-अंतरिक्ष आरजी को संदर्भित करती है।

दूसरी ओर, मोमेंटम-स्पेस आरजी का अपनी सापेक्ष सूक्ष्मता के बावजूद एक लंबा इतिहास है। इसका उपयोग उन प्रणालियों के लिए किया जा सकता है जहां किसी दिए गए क्षेत्र के फूरियर मोड के संदर्भ में स्वतंत्रता की डिग्री डाली जा सकती है। आरजी परिवर्तन उच्च-गति (बड़े-तरंग) मोड के एक निश्चित सेट को एकीकृत करके आगे बढ़ता है। चूँकि बड़ी तरंग संख्याएँ छोटी-लंबाई के पैमानों से संबंधित होती हैं, गति-स्थान आरजी के परिणामस्वरूप वास्तविक-अंतरिक्ष आरजी के समान अनिवार्य रूप से मोटे दाने वाला प्रभाव होता है।

मोमेंटम-स्पेस आरजी आमतौर पर गड़बड़ी सिद्धांत विस्तार पर किया जाता है। इस तरह के विस्तार की वैधता किसी प्रणाली की वास्तविक भौतिकी के मुक्त क्षेत्र प्रणाली के करीब होने पर आधारित है। इस मामले में, कोई व्यक्ति विस्तार में प्रमुख शब्दों को जोड़कर अवलोकन योग्य गणना कर सकता है। यह दृष्टिकोण अधिकांश कण भौतिकी सहित कई सिद्धांतों के लिए सफल साबित हुआ है, लेकिन उन प्रणालियों के लिए विफल हो जाता है जिनकी भौतिकी किसी भी मुक्त प्रणाली से बहुत दूर है, यानी, मजबूत सहसंबंध वाले सिस्टम।

कण भौतिकी में आरजी के भौतिक अर्थ के उदाहरण के रूप में, क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स (क्यूईडी) में आवेश पुनर्सामान्यीकरण के अवलोकन पर विचार करें। मान लीजिए कि हमारे पास एक निश्चित वास्तविक (या नंगे) परिमाण का एक बिंदु सकारात्मक चार्ज है। इसके चारों ओर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में एक निश्चित ऊर्जा होती है, और इस प्रकार कुछ आभासी इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन जोड़े (उदाहरण के लिए) उत्पन्न हो सकते हैं। यद्यपि आभासी कण बहुत जल्दी नष्ट हो जाते हैं, उनके अल्प जीवन के दौरान इलेक्ट्रॉन आवेश द्वारा आकर्षित होंगे, और पॉज़िट्रॉन विकर्षित हो जाएगा। चूँकि यह बिंदु आवेश के निकट हर जगह समान रूप से होता है, जहाँ इसका विद्युत क्षेत्र पर्याप्त रूप से मजबूत होता है, दूर से देखने पर ये जोड़े प्रभावी रूप से आवेश के चारों ओर एक स्क्रीन बनाते हैं। चार्ज की मापी गई ताकत इस बात पर निर्भर करेगी कि हमारी मापने वाली जांच बिंदु चार्ज के कितने करीब पहुंच सकती है, जितना करीब यह आभासी कणों की स्क्रीन को पार करती है। इसलिए दूरी के पैमाने के साथ एक निश्चित युग्मन स्थिरांक (यहां, विद्युत आवेश) की निर्भरता।

डी ब्रोगली संबंध के अनुसार, संवेग और लंबाई के पैमाने विपरीत रूप से संबंधित हैं: हम ऊर्जा या संवेग के पैमाने को जितना अधिक तक पहुंचा सकते हैं, लंबाई के पैमाने को हम उतना ही कम जांच और हल कर सकते हैं। इसलिए, संवेग-अंतरिक्ष आरजी अभ्यासकर्ता कभी-कभी अपने सिद्धांतों से उच्च संवेग या उच्च ऊर्जा को एकीकृत करने का दावा करते हैं।

सटीक पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण

एक सटीक पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण (ईआरजीई) वह है जो अप्रासंगिक युग्मन को ध्यान में रखता है। कई सूत्र हैं.

विल्सन ईआरजीई वैचारिक रूप से सबसे सरल है, लेकिन इसे लागू करना व्यावहारिक रूप से असंभव है। विक के यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूमने के बाद फूरियर संवेग स्थान में बदल जाता है। कठिन गति कटऑफ (भौतिकी) पर जोर दें, p² ≤ Λ² ताकि स्वतंत्रता की एकमात्र डिग्री वे ही हों जिनका संवेग इससे कम हो Λ. विभाजन फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) है

$Z=\int _{p^{2}\leq \Lambda ^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].$

किसी भी सकारात्मक के लिए Λ' से कम Λ, परिभाषित करना S_Λ' (फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन पर एक कार्यात्मक φ जिसके फूरियर रूपांतरण में गति समर्थन है p² ≤ Λ' ²) जैसा

$\exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].$

अगर S_Λ पर ही निर्भर करता है ϕ और के डेरिवेटिव पर नहीं ϕ, इसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है

$\exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }\int d\phi (p)\exp \left[-S_{\Lambda }[\phi (p)]\right],$ जिसमें यह स्पष्ट हो जाता है कि, चूँकि केवल कार्य करता है ϕ के बीच समर्थन के साथ Λ' और Λ को एकीकृत किया गया है, बायीं ओर अभी भी निर्भर हो सकता है ϕ उस सीमा के बाहर समर्थन के साथ। ज़ाहिर तौर से,

$Z=\int _{p^{2}\leq {\Lambda '}^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda '}[\phi ]\right].$

वस्तुतः यह परिवर्तन सकर्मक सम्बन्ध है। यदि आप गणना करते हैं S_Λ′ से S_Λ और फिर गणना करें S_Λ′′ से S_Λ′′, यह आपको एस की गणना के समान विल्सोनियन क्रिया देता है_Λ″ सीधे एस से_Λ.

पोल्किंस्की ईआरजीई में एक सुचारू कार्य यूवी नियमितीकरण (भौतिकी) कटऑफ (भौतिकी) शामिल है। मूल रूप से, यह विचार विल्सन ईआरजीई पर एक सुधार है। तीव्र गति कटऑफ़ के बजाय, यह एक सहज कटऑफ़ का उपयोग करता है। मूलतः, हम इससे अधिक क्षण के योगदान को दबा देते हैं Λ भारी. हालाँकि, कटऑफ की सहजता हमें कटऑफ पैमाने में एक कार्यात्मक अंतर समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देती है Λ. विल्सन के दृष्टिकोण के अनुसार, हमारे पास प्रत्येक कटऑफ ऊर्जा पैमाने के लिए एक अलग क्रिया कार्यात्मक है Λ. इनमें से प्रत्येक क्रिया को बिल्कुल उसी मॉडल का वर्णन करना चाहिए जिसका अर्थ है कि उनके विभाजन फ़ंक्शन (क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत) को बिल्कुल मेल खाना चाहिए।

दूसरे शब्दों में, (वास्तविक अदिश क्षेत्र के लिए; अन्य क्षेत्रों के लिए सामान्यीकरण स्पष्ट हैं),

$Z_{\Lambda }[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S_{\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{\Lambda }\cdot \phi -S_{{\text{int}}\,\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)$

और ज़ेड_Λ वास्तव में स्वतंत्र है Λ! हमने यहां संघनित डेविट अंकन का उपयोग किया है। हमने नंगे एक्शन एस को भी विभाजित कर दिया है_Λ एक द्विघात गतिक भागों और एक अंतःक्रियात्मक भागों में_{int Λ}. यह विभाजन निश्चित रूप से साफ़ नहीं है। अंतःक्रियात्मक भाग में द्विघात गतिज पद भी अच्छी तरह से शामिल हो सकते हैं। वास्तव में, यदि कोई तरंग फ़ंक्शन पुनर्सामान्यीकरण होता है, तो यह निश्चित रूप से होगा। फ़ील्ड रीस्केलिंग शुरू करके इसे कुछ हद तक कम किया जा सकता है। आर_Λ संवेग p का एक फलन है और घातांक में दूसरा पद है

${\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{\Lambda }(p){\tilde {\phi }}(p)$

जब विस्तारित किया गया.

कब $p\ll \Lambda$, R_Λ(p)/p² मूलतः 1. कब है $p\gg \Lambda$, R_Λ(p)/p² बहुत बहुत विशाल हो जाता है और अनंत तक पहुँच जाता है। R_Λ(p)/p² हमेशा 1 से बड़ा या उसके बराबर होता है और चिकना होता है। मूलतः, यह उतार-चढ़ाव को कटऑफ से कम संवेग के साथ छोड़ देता है Λ अप्रभावित लेकिन कटऑफ से अधिक क्षण वाले उतार-चढ़ाव से योगदान को भारी रूप से दबा देता है। यह स्पष्ट रूप से विल्सन की तुलना में बहुत बड़ा सुधार है।

शर्त यह है कि

${\frac {d}{d\Lambda }}Z_{\Lambda }=0$

संतुष्ट किया जा सकता है (लेकिन केवल इससे नहीं)

${\frac {d}{d\Lambda }}S_{{\text{int}}\,\Lambda }={\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}\cdot \left({\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right)\cdot {\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\frac {\delta ^{2}S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi \,\delta \phi }}\cdot R_{\Lambda }^{-1}\right].$

जैक्स डिस्टलर ने बिना सबूत के दावा किया कि यह ईआरजीई बिना किसी परेशानी के सही नहीं है। प्रभावी औसत कार्रवाई ईआरजीई में एक सुचारू आईआर नियामक कटऑफ शामिल है। विचार सभी उतार-चढ़ावों को आईआर पैमाने तक ले जाने का है k खाते में। प्रभावी औसत क्रिया इससे बड़े क्षण वाले उतार-चढ़ाव के लिए सटीक होगी k. पैरामीटर के रूप में k को कम किया जाता है, प्रभावी औसत कार्रवाई प्रभावी कार्रवाई के करीब पहुंचती है जिसमें सभी क्वांटम और शास्त्रीय उतार-चढ़ाव शामिल होते हैं। इसके विपरीत, बड़े के लिए k प्रभावी औसत कार्रवाई नंगे कार्रवाई के करीब है। तो, प्रभावी औसत कार्रवाई नंगे कार्रवाई और प्रभावी कार्रवाई के बीच अंतर्विष्ट होती है।

वास्तविक अदिश क्षेत्र के लिए, एक आईआर कटऑफ जोड़ा जाता है

${\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{k}(p){\tilde {\phi }}(p)$

क्रिया के लिए (भौतिकी) S, जहां आर_k दोनों का एक कार्य है k और p ऐसे कि के लिए

$p\gg k$, आरk(पी) बहुत छोटा है और 0 और उसके करीब पहुंचता है $p\ll k$, $R_{k}(p)\gtrsim k^{2}$. आरk सहज और गैर-नकारात्मक दोनों है। छोटे संवेग के लिए इसका बड़ा मूल्य विभाजन फ़ंक्शन में उनके योगदान के दमन की ओर ले जाता है जो प्रभावी रूप से बड़े पैमाने पर उतार-चढ़ाव की उपेक्षा करने के समान है।

कोई संघनित डेविट नोटेशन का उपयोग कर सकता है

${\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi$

इस आईआर नियामक के लिए.

इसलिए,

$\exp \left(W_{k}[J]\right)=Z_{k}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S[\phi ]-{\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi +J\cdot \phi \right)$

कहाँ J स्रोत फ़ील्ड है. डब्ल्यू का लीजेंड्रे रूपांतरण_k सामान्यतः प्रभावी कार्रवाई देता है. हालाँकि, जिस क्रिया से हमने शुरुआत की वह वास्तव में S[φ]+1/2 φ⋅R है_k⋅φ और इसलिए, प्रभावी औसत कार्रवाई प्राप्त करने के लिए, हम 1/2 φ⋅R घटाते हैं_k⋅φ. दूसरे शब्दों में,

$\phi [J;k]={\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}[J]$

जे देने के लिए उलटा किया जा सकता है_k[φ] और हम प्रभावी औसत क्रिया Γ को परिभाषित करते हैं_k जैसा

$\Gamma _{k}[\phi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(-W\left[J_{k}[\phi ]\right]+J_{k}[\phi ]\cdot \phi \right)-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi .$

इस तरह,

${\begin{aligned}{\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}\cdot {\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]+{\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]\cdot \phi -{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\left\langle \phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \right\rangle _{J_{k}[\phi ];k}-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta J_{k}}{\delta \phi }}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\end{aligned}}$

इस प्रकार

${\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]$

ERGE है जिसे क्रिस्टोफ़ वेटेरिच समीकरण के रूप में भी जाना जाता है। जैसा कि मॉरिस ने दिखाया प्रभावी कार्रवाई Γ_k वास्तव में पोल्किंस्की की प्रभावी कार्रवाई एस से संबंधित है_int लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म रिलेशन के माध्यम से।

चूंकि इसमें अनंत रूप से कई विकल्प हैं R_k, वहाँ भी असीम रूप से कई अलग-अलग इंटरपोलिंग ईआरजीई हैं। स्पिनोरियल क्षेत्रों जैसे अन्य क्षेत्रों का सामान्यीकरण सीधा है।

यद्यपि पोल्किंस्की ईआरजीई और प्रभावी औसत कार्रवाई ईआरजीई समान दिखते हैं, वे बहुत अलग दर्शन पर आधारित हैं। प्रभावी औसत क्रिया ईआरजीई में, नंगे क्रिया को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है (और यूवी कटऑफ स्केल - यदि कोई है - को भी अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है) लेकिन प्रभावी कार्रवाई में आईआर योगदान को दबा दिया जाता है, जबकि पोल्चिंस्की ईआरजीई में, क्यूएफटी को एक बार और सभी के लिए तय किया जाता है, लेकिन पूर्व निर्धारित मॉडल को पुन: पेश करने के लिए विभिन्न ऊर्जा पैमानों पर नंगे कार्रवाई को अलग किया जाता है। पोल्किंस्की का संस्करण निश्चित रूप से आत्मा में विल्सन के विचार के बहुत करीब है। ध्यान दें कि एक नंगे कार्यों का उपयोग करता है जबकि दूसरा प्रभावी (औसत) कार्यों का उपयोग करता है।

प्रभावी क्षमता का पुनर्सामान्यीकरण समूह सुधार

पुनर्सामान्यीकरण समूह का उपयोग 1-लूप से अधिक ऑर्डर पर प्रभावी कार्रवाई की गणना करने के लिए भी किया जा सकता है। कोलमैन-वेनबर्ग में सुधारों की गणना करने के लिए इस प्रकार का दृष्टिकोण विशेष रूप से दिलचस्प है तंत्र। ऐसा करने के लिए, किसी को प्रभावी क्षमता के संदर्भ में पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण लिखना होगा। के मामले में $\phi ^{4}$ नमूना:

$\left(\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}+\beta _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}+\phi \gamma _{\phi }{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)V_{\text{eff}}=0.$

प्रभावी क्षमता निर्धारित करने के लिए, लिखना उपयोगी है $V_{\text{eff}}$ जैसा

$V_{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\phi ^{4}S_{\text{eff}}{\big (}\lambda ,L(\phi ){\big )},$

कहाँ $S_{\text{eff}}$ में एक शक्ति श्रृंखला है $L(\phi )=\log {\frac {\phi ^{2}}{\mu ^{2}}}$:

$S_{\text{eff}}=A+BL+CL^{2}+DL^{3}+\dots .$

उपरोक्त ansatz का उपयोग करके, पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण को गड़बड़ी से हल करना और वांछित क्रम तक प्रभावी क्षमता का पता लगाना संभव है। इस तकनीक का शैक्षणिक विवरण संदर्भ में दिखाया गया है।

यह भी देखें

• क्वांटम तुच्छता
• स्केल अपरिवर्तनीयता
• श्रोडर का समीकरण
• नियमितीकरण (भौतिकी)
• घनत्व मैट्रिक्स पुनर्सामान्यीकरण समूह
• कार्यात्मक पुनर्सामान्यीकरण समूह
• गंभीर घटनाएँ
• सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली)
• सी-प्रमेय
• क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का इतिहास
• शीर्ष क्वार्क
• स्पर्शोन्मुख सुरक्षा

संदर्भ

ऐतिहासिक सन्दर्भ

• Fisher, Michael (1974). "आलोचनात्मक व्यवहार के सिद्धांत में पुनर्सामान्यीकरण समूह". Rev. Mod. Phys. 46 (4): 597. Bibcode:1974RvMP...46..597F. doi:10.1103/RevModPhys.46.597.

शैक्षणिक और ऐतिहासिक समीक्षाएँ

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• Goldenfeld, N. (1993). चरण परिवर्तन और पुनर्सामान्यीकरण समूह पर व्याख्यान. Addison-Wesley.
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• Delamotte, B. (February 2004). "पुनर्सामान्यीकरण का एक संकेत". American Journal of Physics. 72 (2): 170–184. arXiv:hep-th/0212049. Bibcode:2004AmJPh..72..170D. doi:10.1119/1.1624112. S2CID 2506712. पुनर्सामान्यीकरण और पुनर्सामान्यीकरण समूह के लिए एक पैदल यात्री परिचय।
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किताबें

• त्सुंग-दाओ ली|टी. डी. ली; कण भौतिकी और क्षेत्र सिद्धांत का परिचय, हारवुड अकादमिक प्रकाशक, 1981, ISBN 3-7186-0033-1. इसमें समूह संरचना का संक्षिप्त, सरल और स्पष्ट सारांश शामिल है, जिसकी खोज में वह भी शामिल थे, जैसा कि गेल-मैन और लो के पेपर में स्वीकार किया गया है।
• एल. टी.एस. एडज़ेमियन, एन. वी. एंटोनोव और ए. एन. वासिलिव; पूरी तरह से विकसित अशांति में फील्ड सैद्धांतिक नवीकरण समूह; गॉर्डन एंड ब्रीच, 1999. ISBN 90-5699-145-0.
• वासिलिव, ए.एन.; महत्वपूर्ण व्यवहार सिद्धांत और स्टोकेस्टिक गतिशीलता में क्षेत्र सिद्धांतिक पुनर्सामान्यीकरण समूह; चैपमैन एंड हॉल/सीआरसी, 2004। ISBN 9780415310024 (संपूर्ण गणनाओं के साथ पुनर्सामान्यीकरण समूह अनुप्रयोगों का स्व-निहित उपचार);
• जीन ज़िन-जस्टिन|ज़िन-जस्टिन, जीन (2002)। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और महत्वपूर्ण घटनाएँ, ऑक्सफोर्ड, क्लेरेंडन प्रेस (2002), ISBN 0-19-850923-5 (दोनों विषयों पर एक असाधारण ठोस और संपूर्ण ग्रंथ);
• जीन ज़िन-जस्टिन|ज़िन-जस्टिन, जीन: पुनर्सामान्यीकरण और पुनर्सामान्यीकरण समूह: यूवी विचलन की खोज से लेकर प्रभावी क्षेत्र सिद्धांतों की अवधारणा तक: डी विट-मोरेट सी., ज़ुबेर जे.-बी. (संस्करण), क्वांटम फील्ड थ्योरी पर नाटो एएसआई की कार्यवाही: परिप्रेक्ष्य और संभावना, जून 15-26, 1998, लेस हाउचेस, फ्रांस, क्लूवर अकादमिक प्रकाशक, नाटो एएसआई श्रृंखला सी 530, 375-388 (1999) [आईएसबीएन]। पूरा पाठ पोस्टस्क्रिप्ट में उपलब्ध है।
• हेगन क्लिनेर्ट|क्लिनेर्ट, एच. और शुल्टे फ्रोहलिंडे, वी; के महत्वपूर्ण गुण φ⁴-सिद्धांत, विश्व वैज्ञानिक (सिंगापुर, 2001); किताबचा ISBN 981-02-4658-7. पूरा पाठ PDF में उपलब्ध है।

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